Analysis I - TU Ilmenau

Institut für Mathematik
Dr. rer. nat. habil. H. Winkler (Curiebau C 231),
Dipl.-Math. M. Vielitz, M.Sc. M. Kellner
WS 2012/13
Analysis I
13. Serie
Aufgabe 74 Sei a0 := 0 und a1 := 1 und an := (an−1 + an−2 )/2 für n = 2, 3, · · · . Zeige
zuerst induktiv, dass an+1 − an = (−1)n /2n ist und beweise dann die Konvergenz der
Folge (an )n∈N mit Hilfe des Cauchyschen Konvergenzprinzips.
Aufgabe 75 Zeige, dass aus limn→∞ an = a stets folgt limn→∞
kehrung jedoch i.A. nicht gilt.
Aufgabe* 76
D ⊂ R2 , mit
a1 +...+an
n
= a, die Um-
Mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes zeige man, dass in der Menge
1
1
D := {(x, y) ∈ R2 < |x| ≤ , |y| ≤ },
2
2
das folgende nichtlineare Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt:
3
1
x = (x2 − y 2 + )
2
4
1 2
y = (x + y 2 − 1).
2
Aufgabe* 77 Nach einem von P.F. Verhulst 1845 entwickelten Populationsmodell genügt die relative (bezogen auf die maximale Anzahl 1) Anzahl xn an Individuen einer
Population in der n-ten Generation dem rekursiven Ansatz
xn+1 = r · xn · (1 − xn ),
0 ≤ r ≤ 4.
a) Zeige, dass für 0 ≤ x0 ≤ 1 gilt 0 ≤ xn ≤ 4r ∀n ∈ N.
b) Man bestimme die Fixpunkte der Rekursionsgleichung und zeige, dass für 0 ≤ r < 3
ein Fixpunkt anziehend (d.h. ist x∗ der Fixpunkt, so gilt |xn+1 − x∗ | < |xn − x∗ |) ist.
c) Für x0 = 0.1 und r = 0.5, 1.5, 2.5, 3.44, 3.45, 3.56, 3.58, 3.8 berechne man mit Hilfe eines
geeigneten Rechenprogramms das Verhalten der Folge (xn ) und stelle dieses grafisch dar.
Aufgabe 78 Entscheide und begründe, welche der Funktionenfolgen (fn )n∈N auf (0, 1)
gleichmäßig konvergieren, wenn fn (x) gegeben ist durch
(i)
√
n
x,
(ii)
1
,
1 + nx
(iii)
x
.
1 + nx
1
Aufgabe 79 Gegeben sei eine Nullfolge (an ). Betrachte die Funktionenfolge fn (x) :=
sin(an · x). Zeige, dass diese auf jedem Intervall [x0 , x1 ] gleichmäßig konvergiert, jedoch
nicht auf ganz R
Sei nun f : R → R eine Funktion und (an ) eine Nullfolge. Wir definieren die Funktionenfolge fn (x) := f (an · x). Bestimme f und an (und x) so, dass fn (x) nicht punktweise
gegen f (0) konvergiert.
Aufgabe 80 Es seien (fn )n∈N und (gn )n∈N gleichmäßig konvergente reellwertige Funktionenfolgen auf einer Menge X mit den Grenzfunktionen f und g. Zeige:
(a) (fn + gn ) konvergiert gleichmäßig gegen f + g.
(b) Sind f und g beschränkt auf X, so konvergiert (fn · gn ) gleichmäßig gegen f · g.
Ferner zeige man anhand eines Beispiels, dass in (b) auf die Beschränktheit der Grenzfunktionen nicht verzichtet werden kann.
Es sei (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen mit an ≥ 0 für alle n ∈ N.
∞
P
Weiterhin sei a := lim an und a < 1. Zeigen Sie, dass die Reihe
ann konvergiert.
Aufgabe* 81
n→∞
n=1
Die mit * markierten Aufgaben sind als Hausaufgaben zu bearbeiten und vor der nächsten
Übung am 14.01.13 abzugeben. Die restlichen Aufgaben sind so vorzubereiten, dass diese
an der Tafel vorgestellt werden können.
2