Analysis I WS 16/17

Institut für Mathematik
Henrik Winkler
Leslie Leben
Blatt 11
09.01.2017
Analysis I
WS 16/17
Abgabe und Besprechung in der Übung am 16.01.2017
Aufgabe 41
4 Punkte
P∞
Es sei (an )n∈N eine monoton fallende Folge reeller Zahlen, so dass n=1 an konvergiert.
Zeigen Sie, dass (nan )n∈N eine Nullfolge ist.
Aufgabe 42
6 Punkte
P
(−1)n−1
a
mit
a
=
für
n
∈
N.
Diese
Reihe
konvergiert
gegen
Betrachte die Reihe ∞
n
n=1 n
n
einen Wert A ∈ R, A > 0. Betrachte weiterhin die bijektive Abbildung τ : N → N,
gegeben durch τ (1) = 1, τ (2) = 2 und für k > 2

k

falls 3 teilt k,
k + 3 ,
k−1
τ (k) = k − 3 ,
falls 3 teilt k − 1,


k−2
k+ 3 ,
falls 3 teilt k − 2.
Zeige, dass
∞
X
aτ (n) =
n=1
Geh dabei davon aus, dass die Reihe
P∞
n=1
A
.
2
aτ (n) konvergiert.
Aufgabe 43
4 Punkte
Es sei f : [0, 1] → [0, 1] eine monoton wachsende Abbildung. Zeige, dass f mindestens
einen Fixpunkt hat, also dass es ein x ∈ [0, 1] mit f (x) = x gibt.
Hinweis: Betrachte z = sup{y ∈ [0, 1] | y ≤ f (y)}.
Aufgabe 44
6 Punkte
Für jedes n ∈ N sei In ein nichtleeres, abgeschlossenes Intervall in R, und die Länge
der Intervalle sei mit |In | := sup In − inf In (|In | := ∞ falls In unbeschränkt) bezeichnet. Die Familie {In | n ∈ N} heißt Intervallschachtelung genau dann, wenn folgende
Eigenschaften gelten:
(i) In+1 ⊆ In für alle n ∈ N.
Institut für Mathematik
Henrik Winkler
Leslie Leben
(ii) Zu jedem ε > 0 gibt es ein n ∈ N mit |In | < ε.
Man zeige, dass es zu jeder Intervallschachtelung {In | n ∈ N} ein x ∈ R gibt mit
\
{x} =
In .
n∈N
Hinweis: Wenn der Schnitt über unendlich viele Mengen leer ist, kann im Allgemeinen
nicht geschlossen werden, dass der Schnitt von nur endlich vielen dieser Mengen schon
leer ist.