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03.05.2011
2 Elementare Termumformungen
•
•
Kommutativgesetz
1.)
a+b = b+a
Entsprechende Umformungen gelten
2.)
a.b
für Subtraktion und Division nicht.
=
b.a
Assoziativgesetz
3.)
(a + b) + c = a + (b + c)
=
a+b+c
4.)
(a . b) . c
= a . (b . c
)
(a + b) - c = a + (b - c)
=
a.b.c
=
a+b- c
=
a.b:c
5.)
6.)
(a . b) : c
= a . (b : c)
Entsprechende Formeln gelten für die Ausdrücke
a:b:c
und
a-b+c ,
a-b-c,
a : b . c nicht. Daher sollte man hier zur Vermeidung von
Missverständnissen stets Klammern setzen (zumindest gedanklich).
Bei Ausdrücken wie a - b : c gilt Punktrechnung geht vor Strichrechnung.
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•
Distributivgesetz
7.)
a . (b + c) = a . b + a . c
ausmultiplizieren
ausklammern
8.)
(a + b) . (c + d) = a.c + a.d + b.c + b.d
ausmultiplizieren
faktorisieren
Beispiel
7 . y + 14 + 2 . x + x . y
= 7 . y + 14 + x . ( 2 + y )
= 7.(y + 2) + x.(2 + y)
= (y + 2) . (7 + x)
Faktorisierungen sind oft sehr hilfreich, aber auch oft schwierig zu finden !
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•
Binomische Formeln
9.)
(a + b)2
=
a2 + 2.a.b + b2
10.)
(a - b)2
1. binomische Formel
=
a2 - 2.a.b + b2
11.)
(a - b) . (a + b) =
2. binomische Formel
a2 - b2
3. binomische Formel
Weitere binomische Formeln:
12.)
13.)
(a + b)3
=
a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3
(a - b) 3
=
a3 - 3.a2.b + 3.a.b2 - b3
(a + b) . (a2 - a.b + b2)
=
a3 + b3
(a - b) . (a2 + a.b + b2)
=
a3 - b3
(a + b) 4
=
a4 + 4.a3.b + 6.a2.b2 + 4.a.b3 + b4
Die Kenntnis binomischer Formeln ist in vielen Fällen unersetzlich, um
Faktorisierungen zu finden.
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Primfaktorzerlegung
Primzahlen sind natürliche Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind
( d.h. wenn man eine Primzahl durch eine natürliche Zahl n dividiert, so ergibt
sich als Quotient genau dann eine natürliche Zahl, wenn n entweder 1 oder die
gegebene Zahl selbst ist ) .
Primzahlen sind also die Zahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, ...
Die Zahl 1 ist keine Primzahl.
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Jede natürliche Zahl n lässt sich als Produkt von Primzahlen ausdrücken.
Diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig und heißt
Primfaktorzerlegung ( PFZ ) von n.
Beispiele:
168 = 2 . 84 = 2 . 2 . 42 = 2 . 2 . 2 . 21 = 2 . 2 . 2 . 3 . 7 = 23 . 3 . 7
180 = 2 . 90 = 2 . 2 . 45 = 2 . 2 . 3 . 15 = 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 22 . 32 . 5
75 = 3 . 25 = 3 . 5 . 5
= 3 . 52
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•
ggT
Der größte gemeinsame Teiler ( ggT ) zweier natürlicher Zahlen ist die größte
natürliche Zahl n, durch die man beide ohne Rest dividieren kann.
Zwei natürliche Zahlen, deren ggT 1 ist, heißen teilerfremd.
Der ggT zweier Zahlen kann leicht aus der PFZ dieser Zahlen bestimmt werden.
Im ggT zweier Zahlen kommt nämlich jede Primzahl so oft vor, wie sie in jeder
der PFZ der beiden Zahlen mindestens vorkommt.
Beispiel:
168 = 23 . 3 . 7 , 180 = 22 . 32 . 5 : ggT ( 168 ; 180 ) = 22 . 3 = 12
168 = 12 . 14
, 180 = 12 . 15
, ggT ( 14 ; 15 ) = 1
Auch der ggT von mehr als zwei Zahlen lässt sich auf diese Weise bestimmen.
Beispiel:
168 = 23 . 3 . 7 , 180 = 22 . 32 . 5 , 75 = 3 . 52 :
ggT ( 168 ; 180 ; 75 ) = 3 = ggT ( 12 ; 75 )
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•
kgV
Das kleinste gemeinsame Vielfache ( kgV ) zweier natürlicher Zahlen ist die
kleinste natürliche Zahl n, die man durch beide ohne Rest dividieren kann.
Bei teilerfremden Zahlen ist das kgV das Produkt der beiden Zahlen.
Das kgV zweier Zahlen kann ebenfalls aus ihrer PFZ bestimmt werden.
Im kgV zweier Zahlen kommt nämlich jede Primzahl mit der größten Anzahl
vor, mit der sie in mindestens einer der PFZ der beiden Zahlen vorkommt.
Beispiel:
168 = 23 . 3 . 7 , 180 = 22 . 32 . 5 :
kgV ( 168 ; 180 ) = 23 . 32 . 5 . 7 = 2520
168 . 15 = 2520
, 180 . 14 = 2520
, ggT ( 14 ; 15 ) = 1
Auch der kgV von mehr als zwei Zahlen lässt sich auf diese Weise bestimmen.
Beispiel:
168 = 23 . 3 . 7 , 180 = 22 . 32 . 5 , 75 = 3 . 52 :
kgV ( 168 ; 180 ; 75 ) = 23 . 32 . 52 . 7 = 12600
= kgV ( 2520 ; 75 )
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Bruchrechnung
a.c
b.c
14.)
a
b
=
15.)
a
b
+
c
d
=
a.d
b.d
+
c.b
d.b
=
a.d + b.c
b.d
Addition
16.)
a
b
-
c
d
=
a.d
b.d
-
c.b
d.b
=
a.d - b.c
b.d
Subtraktion
erweitern mit c
kürzen durch c
Brüche können nur addiert bzw. subtrahiert werden, wenn sie gleichnamig
sind ( d.h. dass sie den gleichen Nenner haben ) .
Um dies zu erreichen, geht man i.a. nicht exakt nach den Regeln 15 bzw. 16 vor,
sondern man nimmt als sogenannten Hauptnenner das kgV der beiden Nenner.
Dadurch erhält man eine einfachere Darstellung des Ergebnisses.
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Beispiel
15.)
a
b
+
c
d
1
1
1 . 36
1 . 24
+
+
=
.
24
36
24 36
36 . 24
=
=
a.d
b.d
+
36 + 24
=
24 . 36
1
1
1
1
3
2
+
+ 2 2 = 3 2 + 3 2
= 3
24
36
2 .3
2 .3
2 .3
2 .3
c.b
d.b
=
60
864
=
=
5
72
a.d + b.c
b.d
22 . 3 . 5
25 . 33
=
5
72
Bei der zweiten Methode genügt es also, die PFZ von zwei kleinen Zahlen zu
bestimmen, während bei der ersten Methode zwei große Zahlen faktorisiert
werden müssen.
Dieser Vorteil ist noch viel wichtiger, wenn im Zähler und Nenner der beiden
Brüche keine natürlichen Zahlen, sondern Rechenterme mit Variablen stehen,
da es oft sehr schwierig ist, die Faktorisierungen solcher Rechenterme zu
bestimmen.
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17.)
a
b
.
c
d
=
a.c
b.d
18.)
a
b
:
c
d
=
a
b
Multiplikation
.
d
c
a.d
b.c
=
Division
Punktrechnung ist mit Brüchen also deutlich einfacher als Strichrechnung.
Bemerkung
a
b
:
c
d
( ba )
=
a
b
=
c
=
c
d
(d )
a.d
b.c
Da die Division nicht assoziativ ist, gibt es bei Mehrfachbrüchen häufig Fehler
wegen Missachtung der Reihenfolge.
Um dies zu vermeiden, sollte man durch Klammern oder durch die Länge der
Bruchstriche die Reihenfolge der Divisionen deutlich machen.
Noch sicherer ist es, Mehrfachbrüche zu Einfachbrüchen umzuformen.
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Bemerkung
Falls nur einer der beiden Operanden ein Bruch ist, kann man die Rechenoperation nach den gleichen Regeln durchführen, indem man den anderen
Operand als Bruch mit dem Nenner 1 schreibt:
a
+ c =
b
a
c
+
b
1
=
a
c.b
+
b
b
=
a + c.b
b
a
b
- c =
a
b
-
c
1
=
a
b
-
c.b
b
=
a - c.b
b
a
b
. c =
a
b
.
c
1
=
a.c
b
a
b
: c =
a
b
:
c
1
=
a
b
.
1
c
=
a
b.c
Entsprechend geht man vor, wenn nur der zweite Operand ein Bruch ist.
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•
Potenz- und Wurzelrechnung
Potenzen a b sind definiert
•
für jede positive Basis a
•
und jeden reellen Exponenten b.
Es gibt zwar auch Potenzen mit negativer Basis, die für uns aber
nicht von Bedeutung sind (s.u.) .
19.)
a b . a c = a b+c
Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis
20.)
ac.bc = (a.b)c
Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponent
21.)
22.)
ab
ac
ac
bc
= a b-c
Division von Potenzen mit gleicher Basis
c
=
( ab )
Division von Potenzen mit gleichem Exponent
Es gibt keine Rechenregeln für die Summe bzw. die Differenz zweier Potenzen.
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2 besondere Potenzen
Nach Regel 21 gilt z.B.
a8
a8
=
a 8- 8 = a 0
Nach Regel 14 aber auch
a8
a8
=
a.a.a.a.a.a.a.a
a.a.a.a.a.a.a.a
= 1
Für jede Basis a definiert man daher:
23.)
a0 = 1
Nach Regel 21 gilt z.B.
a8
a7
=
a 8- 7 = a 1
Nach Regel 14 aber auch
a8
a7
=
a.a.a.a.a.a.a.a
a.a.a.a.a.a.a
= a
Für jede Basis a definiert man daher:
24.)
a1 = a
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Doppelpotenzen
Potenzieren ist nicht assoziativ.
(3 2 )
2
= 512 .
2
(2 3 )
Beispielsweise ist
= 64
und
Daher darf eine Doppelpotenz nicht ohne Klammer geschrieben werden
c
25.)
(a b )
.
= ab c
Doppelpotenz mit Klammer unten
Für Doppelpotenzen mit Klammer oben gibt es keine Rechenregel.
Negative Exponenten
Nach Regel 21 gilt z.B.
a5
a8
=
a 5- 8 = a -3
Nach Regel 14 aber auch
a5
a8
=
a.a.a.a.a
a.a.a.a.a.a.a.a
1
a3
=
Allgemein definiert man daher:
26.)
1
a -b =
ab
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Wurzeln
Nach Definition der Wurzel gilt z.B.
Andererseits gilt nach Regel 19
3
a
( 13 )
a
.
3
a
( 31 )
. a
.
3
( 31 )
. a
a
=
a .
= a1 = a .
Allgemein gilt:
27.)
n
a
( 1n )
=
a
Wurzeln sind also nur eine andere Schreibweise für Potenzen.
Daher gelten auch die gleichen Rechenregeln wie bei Potenzen:
28.) = 20.)
n
n
29.) = 22.)
30.) = 25.)
n
a
.
n
a
=
b
=
n
a
a
a.b
b
b
m n
n
=
m.n
a
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28.) = 20.)
n
a
n
29.) = 22.)
30.) = 25.)
n
.
a
=
n
b
=
n
a
a
m.n
=
p
( q)
31.)
a
=
p
( q)
32.)
a
33.) = 19.)
m
a
=
n
.
a.b
b
b
m n
n
a
( 1q )
)
(a
p
( q1 )
( )
a
a
=
a
q
=
p
a
p
(
=
(m1 )
. a
q
( 1n )
=
a
)
p
( nm+. mn )
m.n
=
a m+n
a
n
a
34.) = 21.)
m
=
m.n
am- n
a
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Potenzen mit negativer Basis
Beispiel:
( 13 )
(-8)
1
3
3
=
( )
(-8)
Beispiel:
( 12 )
(-4)
( 21 )
(-4)
-8
( )
=
(-8)
2
=
-4
=
(-4)
?
= -2
2
6
( 42 )
6
=
(-8)2
6
=
64
= 2
?
ist nicht definiert.
4
=
(-4)2
4
=
16
= 2
Bei Potenzen mit negativer Basis gelten also die üblichen Rechenregeln
nicht.
Auch ist unklar, ob bzw. welche Potenzen mit negativer Basis überhaupt
definiert sind.
Daher werden wir uns nicht mit Potenzen mit negativer Basis beschäftigen.
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•
Logarithmen
2x = 8
x = 3 = log 2 ( 8 )
2x = 7
x = log 2 ( 7 )
„ Logarithmus von 7 zur Basis 2 “
Allgemein definiert man:
log a ( b ) ist die Zahl, die b ergibt, wenn man a mit ihr potenziert.
Es gelten also die beiden Rechengesetze
( log a ( b ) )
35.)
a
36.)
log a (a b ) = b
= b
Da Potenzen a b nur definiert sind, wenn die Basis a positiv ist,
und dann auch einen positiven Wert haben, sind die Logarithmen
log a ( b ) nur für a > 0 und b > 0 definiert.
Für jede positive Basis a gibt es also einen Logarithmus.
Dabei sind zwei Logarithmen besonders wichtig:
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Zehner - Logarithmus
•
Basis a = 10
Der Logarithmus zur Basis 10 heißt dekadischer Logarithmus oder
Zehner - Logarithmus und wird mit lg bezeichnet:
lg ( x ) = log 10 ( x )
Der Vorteil des dekadischen Logarithmus ist seine Beziehung zum
dekadischen Zahlsystem.
So weiß man auch ohne Taschenrechner, was vor dem Komma
eines dekadischen Logarithmuswertes steht.
Beispiel:
lg ( 3245 )
= 3, ...
lg ( 1000 ) = 3
lg ( 10000 ) = 4
1000 < 3245 < 10000
Die Zahl vor dem Komma
des Logarithmuswertes
ist also um 1 kleiner als
die Anzahl der Stellen
der Ausgangszahl.
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Natürlicher Logarithmus
•
Basis a = e = 2,718281828459 ...
Die Zahl e heißt Euler‘ sche Zahl.
Der Logarithmus zur Basis e heißt natürlicher Logarithmus oder
Logarithmus naturalis und wird mit ln bezeichnet:
ln ( x ) = log e ( x )
Der Vorteil des natürlichen Logarithmus wird erst bei der
Differential- und Integralrechnung verständlich.
Er ist allerdings so gravierend, dass man in der Mathematik fast
ausschließlich den natürlichen Logarithmus benutzt.
Daher werden wir auch die Rechenregeln für Logarithmen mit dem
natürlichen Logarithmus formulieren, obwohl sie für alle anderen
Logarithmen ebenso gelten.
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Rechenregeln für Logarithmen
a
36.)
log a (a b ) = b
35.)
e
36.)
ln (e b ) = b
Für a , b > 0 gilt:
37.)
38.)
39.)
( log a ( b ) )
35.)
( ln ( b )) =
ln ( a . b )
=
( denn
e ln( a ) +ln ( b ) = e ln ( a ) . e ln ( b ) = a . b )
ln
( ba )
=
ln ( a ) + ln ( b )
= b
b
ln ( a ) - ln ( b )
( denn
e ln( a ) - ln ( b ) =
ln ( a t )
=
( denn
e t . ln ( a )
e ln ( a )
e ln ( b )
=
a
)
b
t . ln ( a )
t
=
( e ln ( a) )
= at )
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•
Polynomdivision
Beispiel 1
( x4 + 3.x3 + 2.x2 + 3.x + 1 ) : ( x2 + 1 )
( x4
+
=
x2 + 3.x + 1
x2)
3.x3 + x2 + 3.x + 1
( 3.x3
+ 3.x)
x2
( x2
+1
+1)
0
Beispiel 2
( x4 + 3.x2 + 6.x + 7 ) : ( x3 + 2.x - 1 )
( x4 + 2.x 2 - x )
x2 + 7.x + 7
x2 + 7.x + 7
=
x
+
x3 + 2.x - 1
2<3
Diese Polynomdivision geht also nicht auf,
sondern ergibt den Rest x 2 + 7 . x + 7 .
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