Lösung zu den Pfadregeln

Lösung zu den Pfadregeln
1. Für einen Gesangs-Talent-Wettbewerb sind nach Vorausscheidungen 10 Kandidaten in die
engere Wahl gekommen, einer davon aus Schweinfurt, acht aus Würzburg und einer aus
Tauberbischofsheim. Für eine Werbeveranstaltung in Würzburg werden nacheinander drei
Sänger zufällig unter diesen zehn Kandidaten ausgewählt. (Es interessiert die Herkunft.)
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
a. drei Würzburger teilnehmen.
b. Mindestens ein Würzburger teilnimmt.
Einem Würzburger wird für die Teilnahme 50€ Gage bezahlt, ein Schweinfurter bekommt
außer dieser Gage noch 10€ Fahrtgeld und ein Tauberbischofsheimer neben der Gage 20€
Fahrtgeld. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der der Veranstalter höchstens 160€
bezahlen muss.
p b. Gage in €
8
9
1
9
S
1
10
W
7
9
W
W
S
7
8
W
1
8
T
1
8
S
1
9
S
8
9
P(WWW)=
P(„mindestens ein Würzburger“) = 1 = 100%
504
= 70%
720
1
8
1
8
7
8
S
W
W
1
8
7
8
W
T
1
W
336
≈ 46,7%
720
P(“höchstens 160€”) =
6
8
W
T
T
T
1
1
9
1
10
W
T
1
9
8
10
7
8
1
8
S
W
56
X X 160
720
8
(SWT)
X
180
720
8
(STW)
X
180
720
(SWW)
(WSW)
56
X X 160
720
8
X
180
720
56
(WWS)
X X 160
720
336
(WWW)
X X 150
720
56
(WWT)
X
170
720
8
(WTS)
X
180
720
56
(WTW)
X
170
720
8
(TSW)
X
180
720
8
(TWS)
X
180
720
56
(TWW)
X
170
720
(WST)
Lösung zu den Pfadregeln
2
Bei Meisterschaften werden Dopingkontrollen durchgeführt, die verhindern sollen, dass sich
Sportler unlautere Vorteile verschaffen. Dopingmittel werden durch Harnuntersuchungen
nachgewiesen; dabei werden zwei Harnanalysen durchgeführt. Gehen beide Kontrollen
„positiv“ aus (d.h. wird ein Dopingmittel nachgewiesen), wird der betreffende Sportler
disqualifiziert. Zeigt sich nur bei einer der beiden Analysen eine positive Reaktion, kann eine
dritte Untersuchung angeordnet werden. Ein Dopingmittel wird durch eine Harnuntersuchung
mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% entdeckt.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass
c. beide Harnuntersuchungen positiv sind.
d. das Dopingmittel durch die beiden Tests nicht entdeckt wird.
e. eine dritte Kontrolle angeordnet werden kann.
f. der Dopingmissbrauch aufgrund einer dritten Kontrolle entdeckt wird.
g. eine Disqualifikation des Sportlers erfolgt.
P = positiv
N = negativ
P
(PP)
0,81
0,9
P
0,1
0,9
P
(PNP) 0,081
N
(PNN) 0,009
0,9
P
(NPP) 0,081
0,1
N
(NPN) 0,009
0,9
N
0,1
0,1
P
0,9
N
0,1
N
(NN)
P(„beide positiv“)= 81%
P(„Dopingmittel durch beide Tests nicht entdeckt“)= 1%
P(„dritte Kontrolle“) = 18%
P(„Doping bei Kontrolle entdeckt“)= 16,2%
P(„Disqualifikation“)= 97,2%
0,01
Lösung zu den Pfadregeln
3
In einer Lostrommel sind 9 Nieten und 1 Gewinnlos. Jede von 5 Personen darf ein Los ziehen.
Manche wollen möglichst früh das Los ziehen, weil sie der Ansicht sind, dass sie am Anfang
größere Chancen haben zu gewinnen. Andere gehen davon aus, dass ihre Chancen steigen,
wenn sie möglichst lange warten. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit das Gewinnlos zu
ziehen für alle Personen gleich groß ist.
N = Niete
G = Gewinn
1
10
G
9
10
1
N
1
N
1
N
1
N
(GNNNN)
1
10
1
9
G
1
N
1
N
1
N
(NGNNN)
1
10
1
8
G
1
N
1
N
(NNGNN)
1
10
1
7
G
1
N
(NNNGN)
1
10
6
7
N
1
6
G
(NNNNG)
1
10
5
6
N
(NNNNN)
N
8
9
N
7
8
N
Siehe Baum:
Die Wahrscheinlichkeit einen Gewinn zu ziehen ist für alle Personen 10%.
Ω = {(GNNNN);(NGNNN);(NNGNN);(NNNGN);(NNNNG);(NNNNN)}
Lösung zu den Pfadregeln
4
Eine Fangruppe hat es geschafft, 20 Karten für das Eröffnungsspiel der
Fußballweltmeisterschaft zu erhalten. Die Plätze sind in drei Blöcken A, B und C verteilt. Im
Block A erhält die Gruppe neun, in B sechs und in C fünf Karten. Die 20 Karten werden
zufällig auf die 20 Fans verteilt. Rosi erhält als erste und Sven als zweiter der Fangruppe die
Eintrittskarte. Die Verteilung von Rosi und Sven auf die einzelnen Blöcke wird als
Zufallsexperiment aufgefasst.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Rosi und Sven Karten für denselben Block
erhalten.
8
72
A
(AA)
X
19
380
A
6
19
B
(AB)
54
380
5
19
C
(AC)
45
380
9
19
A
(BA)
54
380
5
19
B
(BB)
30
380
5
19
C
(BC)
30
380
9
19
A
(CA)
45
380
6
19
B
(CB)
30
380
4
19
C
(CC)
20
380
9
20
6
20
B
X
5
20
C
P(“gleicher Block”) =
122
≈ 32,1%
380
Ω = { (BB);(BC);(BD);(CB);(CC);(CD);(DB);(DC);(DD) }
X
Lösung zu den Pfadregeln
5
Für ein Zufallsexperiment wird ein Spielbrett mit roten, grünen und blauen Feldern verwendet (siehe Zeichnung)
Start g b r g b r
Ferner steht je ein roter, grüner und blauer idealer Würfel zur Verfügung. Der rote
Würfel trägt auf einer Seitenfläche die 1, auf zwei Seiten die 2 und auf drei Seiten die 3. Der grüne Würfel weist
jede der drei Zahlen 1, 2 bzw. 3 mit gleicher Häufigkeit auf.
Beim blauen Würfel kommt die 2 auf zwei Seitenflächen, die 3 auf vier Seiten vor.
Der Ablauf eines Spiels geht folgendermaßen vor sich:
Zu Beginn wird eine Spielfigur auf das Startfeld gestellt und der rote Würfel
geworfen. Die Spielfigur wird um so viele Felder, wie die gewürfelte Augenzahl
angibt, weiter gezogen. Die Farbe des Feldes, auf dem die Spielfigur nun steht,
bestimmt die Farbe des Würfels, mit dem der zweite Wurf erfolgt. Anschließend wird
die Spielfigur um die dem zweiten Wurf entsprechende Felderzahl nach rechts gezogen. Damit endet das Spiel.
Gewonnen hat derjenige, dessen Spielfigur am Ende auf einem grünen Feld steht. Zeigen Sie:
Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt 25%.
R = rot.
G = grün
B = blau
2
6
1G
1
6
2
6
(GB)
2
36
2
6
2R
(GR)
2
36
2
6
3G
(GG)
2
36
X
2
6
2G
(BG)
4
36
X
3B
(BB)
2B
4
6
1
6
3
6
3R
P(„Gewinn“)=
1B
2
6
3
6
1G
2B
3R
8
36
3
(RG)
36
6
36
9
(RR)
36
(RB)
9
= 25%
36
Ω = {(GB);(GR);(GG);(BG);(BB);(RG);(RB);(RR) }
X
Lösung zu den Pfadregeln
6
In einer Gruppe von 7 Kindern befinden sich zwei Kinder mit behandlungsbedürftigen
Zahnerkrankungen. Es werden nacheinander drei dieser Kinder untersucht.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
E1: „Das erste untersuchte Kind hat gesunde Zähne.“
E2: „Mindestens ein Kind leidet an einer behandlungsbedürftigen Zahnerkrankung.“
E3 = E1 ∩ E2
Z = Zahnerkrankung
G = Gesund
E1 E2 E3
1
6
K
1
G
10
(KKG)
210
1
5
K
(KGK)
10
210
X
4
5
G
(KGG)
40
210
X
K
(GKK)
10
X X X
210
G
(GKG)
40
X X X
210
2
5
K
(GGK)
40
X X X
210
3
5
G
(GGG)
60
X
210
X
K
2
7
5
6
G
5
7
2
6
K
1
5
4
5
G
4
6
G
150 5
= ≈ 71,4%
210 7
60 5
= ≈ 71,4%
P(E2) =1210 7
90
3
P(E3) =
= ≈ 42,9%
210 7
P(E1) =
Ω = { (KKG);(KGK);(KGG);(GKK);(GKG);(GGK);(GGG) }
Lösung zu den Pfadregeln
7.
An einem Lotteriestand werden Rubbelkarten angeboten. Von den 16 Feldern einer Karte
tragen drei eine 1, drei eine 2 und vier eine 3. Die restlichen Felder sind Leerfelder. Eine
Rubbelkarte kostet 2 €. Es dürfen nur zwei Felder aufgerubbelt werden. Rubbelt der Käufer
zwei 3er-Felder auf, so erhält er 20 € , bei zwei 1er-Feldern 1 € und bei zwei 2er-Feldern 2 €.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für keine Auszahlung, 1€ Auszahlung, 2€ Auszahlung
sowie für 20€ Auszahlung. Sind Sie der Meinung , dass der Spielbetreiber Gewinn oder Verlust
macht? Können Sie das begründen?
z.B.
1
0
0
2
3
0
3
1
2
1
0
3
0
0
3
2
p
3
15
3
15
3
3
15
6
15
4
15
4
16
2
15
3
15
2
3
16
6
15
4
15
3
15
2
15
3
16
1
6
15
4
15
6
16
3
15
0
3
15
5
15
3
(33) 12
Auszahlung in €
20
240
2
(32)
12
240
0
1
(31)
12
240
0
0
(30)
24
240
0
3
(23)
12
240
0
2
(22)
6
240
2
1
(21)
9
240
0
0
(20)
18
240
0
3
(13)
12
240
0
2
(12)
9
240
0
1
(11)
6
240
1
0
(10)
18
240
0
3
(03)
24
240
0
2
(02)
18
240
0
1
(01)
18
240
0
0
(00)
30
240
0
Ω = {(33);(32);(31);(30);(23);(22);(21);(20);(13);(12);(11);(10);(03);(02);(01);(00) }
12
= 0,05 = 5%
240
6
P( 2€) =
= 0,025 = 2,5%
240
6
P( 1€) =
= 0,025 = 2,5%
240
24
P( 0€) = 1=0,9 = 90%
240
P(20€) =
Wenn man 240 mal spielen würde, so bekäme man wahrscheinlich 12 mal 20€,
6 mal 2€ und 6 mal 1€. Man bekäme also insgesamt 258€.
Da die Rubbelkarten pro Stück aber 2€ kosten, muss man 480€ bezahlen.
Das heißt, dass man insgesamt einen Verlust (von 222€) hat.
Lösung zu den Pfadregeln
8
Die Hochschule hält eine Eingangsprüfung im Wahlfach Englisch ab. Die Prüfung besteht aus
3 Fragen mit jeweils 4 Aussagen, von denen genau eine richtig ist. Die Prüfung ist bestanden,
wenn mindestens 2 richtige Antworten angekreuzt wurden. Ein Kandidat versucht die Prüfung
durch Raten zu bestehen.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der der Kandidat besteht. Wäre es für den ratenden
Kandidaten eine große Erschwernis, wenn für die Fragen 5 mögliche Antworten angeboten
werden?
R = richtig
F = falsch
P
1
4
R
(RR)
R
1
4
3
4
3
4
1
4
P(„bestanden“) =
X
X
1
4
R
(RFR)
3
64
3
4
F
(RFF)
9
64
1
4
R
(FRR)
3
64
3
4
F
(FRF)
9
64
F
R
F
3
4
bestanden
1
16
F
(FF)
1
3
3 10
+ + = ≈ 15,6%
16 64 64 64
Ω = { (RR); (RFR); (RFF); (FRR); (FRF); (FF) }
9
16
X
P
1
5
R
4
5
4
5
1
5
P(„bestanden“) =
X
1
5
R
(RFR)
4
X
125
4
5
F
(RFF)
16
125
1
5
R
(FRR)
4
X
125
4
5
F
(FRF)
16
125
F
R
F
4
5
1
25
(RR)
R
1
5
bestanden
F
(FF)
1
4
4
13
+
+
=
= 10,4%
25 125 125 125
Das Bestehen ist unwahrscheinlicher geworden.
Ω = { (RR); (RFR); (RFF); (FRR); (FRF); (FF) }
16
25
Lösung zu den Pfadregeln
9
12 neue Mitglieder haben sich in einem Fitness-Studio angemeldet, darunter ein
Ehepaar. Sie werden rein zufällig so auf die drei verschiedenen Übungsgruppen aufgeteilt, dass
in die erste Gruppe 4, in die zweite Gruppe 3 und in die dritte Gruppe 5 der neuen Mitglieder
kommen.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der das Ehepaar zusammen in einer Gruppe ist.
Erste Gruppe A
Erst wird der Mann eingeteilt, danach die Frau.
Zweite Gruppe B
Dritte Gruppe C
3
12
A
(AA)
X
11
132
A
3
11
B
(AB)
12
132
5
11
C
(AC)
20
132
4
11
A
(BA)
12
132
2
11
B
(BB)
6
132
5
11
C
(BC)
15
132
4
11
A
(CA)
20
132
3
11
B
(CB)
15
132
4
11
C
(CC)
20
132
4
12
3
12
B
X
5
12
C
P(“gleiche Gruppe”) =
38
≈ 28,8%
132
Ω = { (AA);(AB);(AC);(BA);(BB);(BC);(CA);(CB);(CC) }
X