12150 - Mathe-CD

ALGEBRA
de
Ungleichungen
w
.m
at
h
ec
d.
Lineare Ungleichungen
xt
f
ür
w
w
Datei Nr. 12150
Friedrich W. Buckel
D
em
o-
Te
Stand: 11. November 2016
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
www.mathe-cd.schule
12150
Lineare Ungleichungen
2
Vorwort
Folgende Texte zu Ungleichungen und Beträgen gibt es derzeit auf der Mathematik-CD:
Lineare Ungleichungen mit 1 Variablen, Doppelungleichungen, Oder-Verknüpfung
12160
Beträge, Lineare und quadratische Betragsgleichungen
12161
Lineare Betragsungleichungen mit 1 Variablen
12190
Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen
12270
Quadratische Ungleichungen
12272
Bruch-Ungleichungen
41005
Ungleichungen beweisen
41006
Ungleichungen mit ln und e lösen
41008
Betrags(un)gleichungen anwenden
41021
Lineare Betragsfunktionen
41022
Quadratische Betragsfunktionen
41023
Gebrochen rationale Betragsfunktionen
.m
at
h
ec
d.
de
12150
w
w
Inhalt
Einfachste Gleichungen und Ungleichungen
ür
w
1
Intervalle
4
Wiederholung: Lineare Gleichungen
6
3
Lineare Ungleichungen
8
xt
f
2
Typ 1:
x+a ¹ b
8
Typ 2:
a⋅ x ¹ b
9
Te
Achtung bei Multiplikation/Division mit einer negativen Zahl
12
Grafische Lösung von Ungleichungen
13
Typ 4:
Kompliziertere Ungleichungen
16
Typ 5:
Scheinbar quadratische Ungleichungen
18
oem
10
ax + c ¹ b
Typ 3:
D
3
4
Doppelungleichungen
20
5
Oder-Verknüpfungen von Ungleichungen
23
Lösung der Aufgaben
Friedrich Buckel
26
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Lineare Ungleichungen
1.
3
Einfachste Gleichungen und Ungleichungen
a und b können gleich groß sein:
a=b
(2)
a kann kleiner als b sein:
a<b
(3)
a kann größer als b sein:
a>b
(4)
a kann höchstens so groß sein wie b:
a£b
(5)
a kann mindestens so groß sein wie b:
a³b
Der Fall (1) ist eine Gleichung. Die einfachste Gleichungsform ist diese:
L  4 .
ist eine Gleichung mit der Lösungsmenge
ec
x=4
L  5 .
x = -5 ist eine Gleichung mit der Lösungsmenge
at
h
Die Fälle (2) bis (4) nennt man Ungleichungen:
d.
(1)
de
Vergleicht man zwei Zahlen a und b, dann kann man diese Aussagen machen:
x<4
Welche Zahlen sind kleiner als 4?
(3)
x>4
Welche Zahlen sind größer als 4?
(4)
x£4
Welche Zahlen sind kleiner oder gleich (also höchstens) 4?
(5)
x³4
Welche Zahlen sind größer oder gleich (also mindestens) 4?
w
.m
(2)
w
Die Lösungsmenge hängt stets davon ab, welche Grundmenge zur Verfügung steht. Wir werden
lernen, wie man sie aufschreibt. Sie hängt davon ab, welche Zahlen überhaupt zur Verfügung stehen.
ür
w
Je nach Altersstufe kennen Schüler diese Zahlenmengen:

O

(oft auch als  bezeichnet)



Te
xt
f
Menge der natürlichen Zahlen:
Menge der nicht negativen Zahlen:
Menge der (positiven) Bruchzahlen:
Menge der ganzen Zahlen:
Menge der rationalen Zahlen:
Menge der reellen Zahlen:
D
em
o-
Ich beschreibe nun, wie man die Lösungen in den Fällen (2) bis (5) findet.
Friedrich Buckel
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Lineare Ungleichungen
Die Ungleichung (2):
4
x<4
In Klasse 5 stehen nur natürliche Zahlen zur Verfügung, die Grundmenge ist also G   .
Dann lautet die Lösungsmenge: L 2  1; 2 ; 3 .
Nimmt man die 0 noch zur Grundmenge hinzu, also G   O , dann folgt L 2  0 ;1; 2 ; 3 .
Spätestens ab Klasse 7 stehen auch noch die negativen Zahlen zur Verfügung, so dass man
de
insgesamt auf die Menge  der ganzen Zahlen zugreifen kann: G   .
d.
Dann wird die Lösungsmenge unendlich groß: L 2  ... ;  3 ;  2 ;  1; 0 ;1; 2 ; 3 .
ec
Nimmt man die positiven und negativen Bruchzahlen hinzu, ist eine solche aufzählende
Schreibweise für die Lösungsmenge nicht mehr möglich.
at
h
Verwendet man als Grundmenge die Menge  aller reellen Zahlen (oder auch schon die
rationalen Zahlen), kann man L auch als Abschnitt auf der Zahlengeraden darstellen:
Die Ungleichung
x<4
hat dann
.m
als Lösungsmenge alle reellen (oder rationalen) Zahlen, die kleiner sind als 4.
w
Man schreibt dies so auf: L 2   ; 4 und nennt es ein offenes Intervall.
Man beachte, dass die Klammern nach außen zeigen, was bedeuten soll, dass die
w
rechte Zahl 4 nicht mehr zur Lösungsmenge gehört, und natürlich -¥ (Minus Unendlich)
ür
w
auch nicht mehr. Unendlich ist keine Zahl und kann daher nie zu einer Lösungsmenge
gehören. Dass man dennoch -¥ links anschreibt, soll andeuten, dass es links keine
Grenze für L2 gibt.
Te
-¥ ]
Bei einem offenen Intervall gehören die Grenzen nie zur Menge dazu!
xt
f
Merke:
0
4
x
L1
Übrigens gibt es im offenen Intervall L1     ; 4
o-
[
x<4

keine größte Zahl.
em
3,99 oder 3,9999 lässt sich durch Anhängen von Ziffern immer noch größer machen. Schüler
meinen dann, dass dann 3,9 die größte Zahl sei. Dazu sei nur gesagt, dass man beweisen kann,
D
dass 3,9 = 4 ist und somit nicht zum Intervall gehört.
Vereinbarung:
Wir verwenden ab jetzt stets G =  oder G =  , so dass die Lösungsmengen
unserer Ungleichungen immer Intervalle sind.
Friedrich Buckel
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Lineare Ungleichungen
5
x>4
Die Ungleichung (3):
Die Lösungsmenge besteht jetzt aus allen reellen Zahlen, die größer als 4 sind, also zwischen
4 und Unendlich liegen: Die Lösungsmenge ist dann das offene Intervall L 3   4 ;   .
Seine Darstellung auf dem Zahlenstrahl sieht so aus:
4
[
]
L3
d.
Zwischenüberlegung:
x
de
0
-¥
Bildet man aus der Zahl 4 noch die Menge
4
und vereinigen alle drei, dann erhält man die
oder  
je nach Kenntnisstand.
at
h
gesamte Grundmenge G   ; 4  4   4 ;    
x£4
Die Ungleichung (4):
ec
Vereinigt man L 2   ; 4 und L3   4 ;   , dann erhält man alle Zahlen bis auf die 4.
.m
Der Unterschied zur Ungleichung x < 4 in Beispiel (2) mit L 2   ; 4 liegt darin, dass x
kleiner als 4 aber auch gleich groß wie 4 sein darf.
x < 4 hat L 2   ; 4
w
Vergleiche diese beiden Zeilen:
w
Also gehört jetzt die 4 noch zur Lösungsmenge.
ür
w
x £ 4 hat L3   ; 4 
Die rechte Klammer zeigt nach innen, was bedeutet, dass 4 zu L3 gehört.
Dieses Intervall ist links noch offen, rechts aber abgeschlossen, weil es eine letzte (größte) Zahl
xt
f
gibt, also ein halboffenes Intervall.
Te
Die Ungleichung (5):
x³4
Der Unterschied zur Ungleichung
x > 4 mit L 2   4 ; 

liegt darin, dass x größer als 4
o-
sein darf, aber auch gleich groß sein kann. Also gehört jetzt die 4 noch zur Lösungsmenge.
em
Vergleiche diese beiden Zeilen:
x > 4 hat L 2   4 ; 
x ³ 4 hat L 4

 4; 
D
Die linke Klammer zeigt nach innen, weil 4 zu L4 gehört.
Noch ein Beispiel:
Friedrich Buckel
x = -3
hat
L = {-3}
x < -3
hat
L = ]-¥ ; - 3
x £ -3
hat
x > -3
hat
x ³ -3
hat
[
L = ]-¥ ; - 3 ]
L = ] -3 ; ¥ [
L =[ -3 ; ¥ [
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