Lösung 11 - holtiegel.de

WVV-12
Schuljahr 2012/2013
Lösungen zu Übung 11
1
1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung derjenigen Zufallsvariablen X , die beim Wurf dreier
Würfel die Augensumme angibt!
1
216
3
P (X = 4) = 216
6
P (X = 5) = 216
10
P (X = 6) = 216
15
P (X = 7) = 216
21
P (X = 8) = 216
25
P (X = 9) = 216
27
P (X = 10) = 216
27
P (X = 11) = 216
25
P (X = 12) = 216
21
P (X = 13) = 216
15
P (X = 14) = 216
10
P (X = 15) = 216
6
P (X = 16) = 216
3
P (X = 17) = 216
1
P (X = 18) = 216
P (X = 3) =
111[1] (In den eckigen Klammern jewils die Anzahl der möglichen Vertauschungen)
112[3]
113[3], 122[3]
114[3], 123[6], 222[1]
115[3], 124[6], 133[3], 223[3]
116[3], 125[6], 134[6], 224[3], 233[3]
126[6], 135[6], 144[3], 225[3], 234[6], 333[1]
136[6], 145[6], 226[3], 235[6], 244[3], 334[3]
Tausche jetzt 1 ↔ 6, 2 ↔ 5, 3 ↔ 4.
Dann erhältst du aus allen Kombinationen für
X = 3 diejenigen für X = 18,
aus allen Kombinationen für
X = 4 diejenigen für X = 17
usw.
2. Beim zweifachen Wurf eines Würfels kann die Ergebnismenge angegeben werden mit
Ω = {(i; j) : i, j ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}}.
Dann ist X (ω) = i + j , ω = (i; j) diejenige Zufallsvariable, die die Augensumme der beiden Würfe angibt.
Die Wertemenge X (Ω) ist dann X (Ω) = {2; 3; . . . ; 12}.
Nun soll X1 diejenige Zufallsvariable sein, die die Augenzahl des ersten Wurfs angibt, entsprechend X2
diejenige, die die Augenzahl des zweiten Wurfs angibt.
(a) Welchen Wertebereich besitzen die Zufallsvariablen
i. X1 − X2
Der Wertebereich ist {−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
ii. X1 − 2X2
Der Wertebereich ist {−11, −10, . . . , 4}
iii. X1 · X2
Der Wertebereich ist {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 36}
(b) Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten
i. P (X1 < X2 )
# ({X1 = 6} ∩ {X1 < X2 }) = 0, # ({X1 = 5} ∩ {X1 < X2 }) = 1, ... , # ({X1 = 1} ∩ {X1 < X2 }) =
5.
# (M ) gibt dabei die Anzahl der Elemente der Menge M an.
Also ist P (X1 < X2 ) =
ii. P (min (X1 , X2 ) > 2);
1+2+3+4+5
36
=
15
36
=
5
12 .







X1
min (X1 , X2 ) = 

, falls X1 ≤ X2
X2
, falls X2 < X1
16
= 49
P (min (X1 , X2 ) > 2) = P ({(i; j) : i, j ∈ {3; 4; 5; 6}}) = 36




3. Bei einer Qualitätskontrolle können Werkstücke zwei Arten von Fehlern aufweisen, den Fehler A und den
Fehler B. Aus Erfahrung ist bekannt, dass ein zufällig herausgegrienes Werkstück mit Wahrscheinlichkeit
0,05 den Fehler A hat, mit Wahrscheinlichkeit 0,01 beide Fehler aufweist und mit Wahrscheinlichkeit 0,02
nur den Fehler B hat.
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Lösungen zu Übung 11
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(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit weist das Werkstück den Fehler B auf?
Das Ereignis, dass der Fehler A auftritt soll schlicht mit A bezeichnet werden, entsprechend das
Ereignis, dass der Fehler B auftritt mit B .
Der Aufgabentext liefert also:
P (A) = 0, 05
P (A ∩ B) = 0, 01
P (B ∩ A) = 0, 02.
Damit ist P (B) = P (B ∩ A) + P (A ∩ B) = 0, 02 + 0, 01 = 0, 03 die Wahrscheinlichkeit für das
Auftreten des Fehlers B.
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Werkstück fehlerhaft bzw. fehlerfrei?
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0, 05 + 0, 03 − 0, 01 = 0, 07 ist also die Wahrscheinlichkeit
für ein fehlerhaftes Werkstück, entsprechend P (A ∩ B) = 1 − P (A ∪ B) = 1 − 0, 07 = 0, 93 die
Wahrscheinlichkeit für ein fehlerfreies Werkstück.
(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit besitzt das Werkstück genau einen der beiden Fehler?
P
A ∩ B ∪ B ∩ A = P (A) + P (B) − 2P (A ∩ B) = 0, 05 + 0, 03 − 2 · 0, 01 = 0, 06
4. Zwei Paare nehmen bei einem gemeinsamen Dinner rein zufällig um einen runden Tisch mit vier Stühlen
Platz. Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Partner jeweils nebeneinander sitzen!
Man sieht am deutlichsten, was passiert, wenn eine Person sich bereits zufällig einen Platz besetzt hat.
Für den zugehörigen Partner gibt es nun zwei Plätze neben, aber nur einen Platz nicht neben der zuerst
platzierten Person. Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Partner jeweils nebeneinandersitzen p = 23 .
5. Ein Würfel wird 8-mal hintereinander geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jede
Augenzahl mindestens einmal auftritt!
Xi ; i = 1, . . . , 6 ist diejenige Zufallsvariable, die die Anzahl, mit der die Augenzahl i auftritt, zählt. Das
beschriebene Ereignis tritt genau dann ein, wenn entweder eine Augenzahl dreimal und die übrigen fünf je
einmal auftreten, oder zwei Augenzahlen doppelt und die anderen vier Augenzahlen je einmal auftreten.
Nun ist
P (X1 ≥ 1, X2 ≥ 1, . . . , X6 ≥ 1)
=
=
6 · P (X1 = 3, X2 = 1, . . . , X6 = 1)
+ 62 · P (X1 = X2 = 2, X3 = 1, . . . , X6 = 1)
8
8
8!
1
8! 1
+ 15 ·
≈ 0, 114
6·
3! 6
2!2! 6
Dabei tritt der Faktor 62 auf, da zwei der sechs möglichen Augenzahlen ausgewählt werden. Der Faktor
8!
3! tritt auf, da die acht festgelegten Augenzahlen, die nun fallen müssen, in 8! verschiedenen Reihenfolgen
8!
auftreten können, die drei gleichen Augenzahlen aber nicht zu unterscheiden sind. Der Faktor 2!2!
tritt auf,
da die acht festgelegten Augenzahlen, die nun fallen müssen, in 8! verschiedenen Reihenfolgen auftreten
können, die beiden doppelt auftretenden Augenzahlen aber jeweils nicht zu unterscheiden sind.
6. Vervollständigen Sie die abgedruckte Vierfeldertafel! Erstellen Sie zwei Baumdiagramme mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten!
Schüler
weiblich
männlich
sprachlicher Zweig
359
258
617
naturwissenschaftlicher Zweig
211
238
449
570
496
1066
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