logik-ws15-Blatt08-lsg - Institut für Informatik

Universität Augsburg
Institut für Informatik
Prof. Dr. W. Vogler
Dipl.-Inform. F. Bujtor
Logik für Informatiker WS 15/16
Übungsblatt 8 – Lösungsvorschlag
(Abgabe bis Donnerstag 10.12.2015, 12:00 Uhr)
Aufgabe 1: (Gentzen-Kalkül)
Leiten Sie im Gentzen-Kalkül folgende Formeln her:
1.
`G (p ∨ (q ∧ ¬q)) → p
Lösung:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
2.
.
q, ¬p
q, ¬q
q ∧ ¬q
p
p ∨ (q ∧ ¬q)
`G
`G
`G
`G
`G
`G
q
p
p
p
p
(p ∨ (q ∧ ¬q)) → p
Axiom
Neg links (1)
Kon links (2)
Axiom
Dis links (4)(3)
Imp rechts (5)
`G (A → B) → (¬A ∨ B)
Lösung:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
3 + 4 = 7 Punkte
.
{B, ¬¬A} `G B
{B, ¬B} `G ¬A
{¬B, ¬A} `G ¬A
{¬B, ¬¬A} `G A
{A → B, ¬B} `G ¬A
{A → B} `G ¬A ∨ B
`G (A → B) → (¬A ∨ B)
Axiom
Neg links (1)
Axiom
Neg links(3)
Imp links (2) (4)
Dis rechts(5)
Imp rechts (6)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
{¬A, ¬B} `G ¬A
{¬A} `G ¬A ∨ B
{¬(¬A ∨ B)} `G A
{A, ¬B} `G ¬B
{B, ¬B} `G ¬A
{B} `G ¬A ∨ B
{A → B} `G ¬A ∨ B
`G (A → B) → (¬A ∨ B)
Axiom
Dis rechts (1)
Neg links (2)
Axiom
Neg rechts (4)
Dis rechts (5)
Imp links (3) (6)
Imp rechts (7)
Aufgabe 2: (Konsistenz)
5 Punkte
Gegeben seien die Formeln A, B und eine Menge von Formeln M mit M 6` A und A 6` B.
Sind dann M ∪ {B} bzw. M ∪ {¬B} immer konsistent? Sind sie immer inkonsistent? Geben
Sie für alle 4 Fragen jeweils eine Begründung, oder ein Gegenbeispiel an.
Lösung: Weder immer konsistent, noch immer inkonsistent .
Gegenbeispiel: A ≡ p, B ≡ q und M = ∅, {q} oder {¬q}
M =∅
: M ∪ {B} und M ∪ {¬B} sind konsistent
M = {¬q} : M ∪ {B} ist inkonsistent
M = {q} : M ∪ {¬B} ist inkonsistent
Aufgabe 3: (Koinzidenzlemma)
3 + 5 = 8 Punkte
1. Seien t ∈ Term und β1 , β2 Belegungen mit β1 |FV(t) = β2 |FV(t) .
Zeigen Sie: (t)I,β1 = (t)I,β2 (vgl. Satz 3.5 Koinzidenzlemma)
Lösung: Bei struktureller Induktion über den Term t müssen wir die folgenden beiden
Fälle betrachten:
(T1): t ≡ x
Da x ∈ FV(t) gilt:
(x)I,β1 = β1 (x) = β2 (x) = (x)I,β2
Übungsblatt 8 (Logik für Informatiker WS 15/16)
2
(T2): t ≡ f (t1 , . . . , tn )
(f (t1 , . . . , tn ))I,β1
= f I ((t1 )I,β1 , . . . , (tn )I,β1 )
(T2)
= f I ((t1 )I,β2 , . . . , (tn )I,β2 )
Nach Ind. Vor. gilt(ti )I,β1 = (ti )I,β2 ,
da kürzere Herleitung und FV(ti ) ⊆ FV(t) für alle i
= (f (t1 , . . . , tn ))I,β2
(T2)
2. Beweisen Sie das Koinzidenzlemma (Satz 3.5):
Seien A ∈ For und β1 , β2 Belegungen mit β1 |FV(A) = β2 |FV(A) . Dann gilt
I, β1 |= A ⇔ I, β2 |= A
Verwenden Sie Teil 1. Sie brauchen nur Gleichungen,→ und ∀x behandeln (Prädikate
und Negation gehen analog“).
”
Achtung: Man kann nicht einfach die Induktionsvoraussetzung für ∀xA anwenden,
da x ∈ FV(A) und β1 (x) 6= β2 (x) sein könnte, so dass die Voraussetzung β1 |FV(A) =
β2 |FV(A) nicht erfüllt sein würde! Es ist daher eine genauere Argumentation erforderlich,
warum die Induktionsvoraussetzung trotzdem erfüllt ist.
Lösung: (A1): A ≡ t1 = t2
I, β1 |= t1 = t2
⇔ (t1 )I,β1 = (t2 )I,β1
⇔ (t1 )I,β2 = (t2 )I,β2
⇔ I, β2 |= t1 = t2
(A1)
Teil 1, FV(ti ) ⊆ FV(t1 = t2 ) für i = 1, 2
(A1)
(A4): A ≡ A1 → A2
I, β1 |= A1 → A2
⇔ I, β1 6|= A1 oder I, β1 |= A2
(A4)
⇔ I, β2 6|= A1 oder I, β2 |= A2
Ind. Vor., da kürzere Herleitung, FV(Ai ) ⊆ FV(A) für i = 1, 2
⇔ I, β2 |= A1 → A2
(A4)
(A5): A ≡ ∀x A:
I, β1 |= ∀x A
⇔ für alle d ∈ D gilt I, (β1 )dx |= A (A5)
⇔ für alle d ∈ D gilt I, (β2 )dx |= A (*)
⇔ I, β2 |= ∀x A
(A5)
(*) Für die Induktionsvoraussetzung muss (außer der kürzeren Herleitung) gelten:
((β1 )dx )|FV(A) = ((β2 )dx )|FV(A)
(∗∗)
Wir wissen jedoch lediglich β1 |FV(∀x A) = β2 |FV(∀x A) .
Es gilt aber F V (∀xA) = F V (A) \ {x} und ferner (β1 )dx (x) = d = (β2 )dx (x) und für
alle y ∈ FV(A) \ {x} (β1 )dx (y) = β1 (y) = β2 (y) = (β2 )dx (y). Also gilt auch (∗∗).
Übungsblatt 8 (Logik für Informatiker WS 15/16)
3
Aufgabe 4: (Alice – Tweedledai?)
5 Punkte
Eine Tages traf Alice auf die Grinsekatze, die ihr erzählte, dass Tweedledee und Tweedledum
in Wahrheit nicht Zwillinge, sondern Drillinge sind. Der dritte, Tweedledai, sei genauso wenig
von den beiden anderen zu unterscheiden, wie diese von einander. Man weiß von ihm allerdings, dass er an jedem Tag lügt. Alice war natürlich besorgt. Wenn das stimmt, dann hat sie
ihre Schlussfolgerungen vielleicht unter falschen Annahmen getroffen. Allerdings konnte man
sich bei der Grinsekatze nie sicher sein, ob sie lügt oder nicht. Sie entschloss sich, der Sache
auf den Grund zu gehen.
Es gibt vier Berichte darüber, wie sich das zugetragen hat. Wir können uns dabei sicher sein,
dass wenn es einen dritten Drilling gibt, dieser Tweedledai heißt und tatsächlich immer lügt.
1. Alice traf einen der Brüder und fragte ihn, wer er sei. Dieser antwortete: Ich bin
”
Tweedledee oder Tweedledum und ich lüge heute.“
Die Frage ist: Gibt es Tweedledai? Kann man wissen, wen Alice gerade gefragt hat?
Lösung: Der Gefragte selbst ist Tweedledai. Die Aussage ist eine Konjunktion, die nicht
wahr sein kann, da der Sprecher sonst lügen müsste. Also ist die ganze Aussage falsch.
Da der zweite Teil wahr ist, ist der erste Teil falsch. Damit kann der Sprecher weder
Tweedledee noch Tweedledum sein.
2. In diesem Bericht traf Alice zwei der Brüder und fragte einen, wer er sei. Dieser sagte:
Ich bin Tweedledai.“ Der andere bestärkte dies: Ja, er ist es wirklich“
”
”
Was kann man daraus über Tweedledai folgern?
Lösung: Die erste Aussage muss falsch sein, weil Tweedledai immer lügt und sich damit
nicht selbst als Tweedledai bezeichnen kann. Damit ist auch die zweite Aussage gelogen.
Also haben wir zwei Brüder, die beide am selben Tag lügen und von denen der eine nicht
Tweedledai ist. Weil Tweedledee und Tweedledum nicht am selben Tag lügen können,
muss der zweite Tweedledai sein.
3. Die dritte Variante erzählt davon, dass Alice nur einen der Brüder traf und dieser
behauptete: Heute lüge ich.“
Was ist davon zu halten?
”
Lösung: Dieser Bericht ist schlichtweg erlogen. Keiner der Brüder könnte diese paradoxe
Aussage treffen.
4. In der letzten Variante traf Alice wieder zwei der Brüder, diesmal an einem Werktag.
Sie fragte die beiden, ob es Tweedledai wirklich gibt. Sie bekam vom ersten als Antwort:
Ja, es gibt ihn wirklich.“ Der zweite behauptete: Es gibt mich.“
”
”
Was kann man daraus über die Existenz von Tweedledai folgern?
Lösung: Die zweite Aussage ist offensichtlich wahr. Wenn der Sprecher nicht existieren
würde, könnte er kaum sprechen. Weil aber ein Werktag ist, können nicht beide die
Wahrheit sagen und damit lügt der erste. Also gibt es Tweedledai garnicht.
Epilog (Auch Teil der Aufgabe):
Diese vier Berichte stammen vom Löwen (der bekanntlich Mo,Di,Mi lügt). Er hat sie unter
der Woche an vier aufeinanderfolgenden Werktagen erzählt. Wie steht es also um die Existenz
von Tweedledai?
Lösung: Nachdem die dritte Geschichte falsch ist, muss sie am Montag, Dienstag oder Mittwoch erzählt worden sein. Weil es aber die dritte Geschichte ist, kann sie nicht Montag, oder
Dienstag erzählt worden sein, sonst wäre die erste oder zweite am Sonntag erzählt worden.
Damit sind die ersten drei Berichte gelogen. Die vierte ist die einzig wahre und es gibt gar
keinen Tweedledai. Glück für Alice.