Brüche und Bruchterme

16. Brüche und Bruchterme
Algebra
16. Der Umgang mit Brüchen und Bruchtermen
Brüche sind Zahlen, wie zum Beispiel: 37 ,
12 13
, 3.
4
Bruchterme sind Terme, wie zum Beispiel:
1 z2 − 1
z
, ,
.
z−7 n
z
Die Definition von Brüchen
Bei der ganzzahligen Division mit Rest erhält man bei der Division von 13 durch 3 den
Quotienten 4 und den Rest 1. Wir schreiben dies als:
13 = 4 · 3 + 1.
Der Bruch
13
3
ist hingegen die exakte Lösung der Gleichung
13 = x · 3.
Wir werden nun die Rechengesetze von Brüchen aus dieser Definition, nämlich als exakte
Lösung von Gleichungen, meist durch Betrachtung von Beispielen gewinnen.
a
Definition: Der Bruch ist die Lösung der Gleichung a = x · b.
b
Das Rechnen mit Brüchen und Bruchtermen
Kürzen und Erweitern: Äquivalenz von Brüchen
Die Brüche 32 ,
6
4
und
30
20
stellen dieselbe Zahl dar. Der Grund ist, dass die Gleichungen
3= x·2
dieselbe Lösung haben. Allgemein gilt:
Beispiel:
6= x·4
30 = x · 20
n·a
a
=
b
n·b
z2 + z
z(z + 1)
z+1
=
=
2
z −z
z(z − 1)
z−1
Ganze Zahlen als Brüche
Ganze Zahlen lassen sich immer als Brüche schreiben. So gilt
Lösung x = 3.
3
1
= 3 denn 3 = x · 1 hat die
Division durch 0
Die Division durch 0 ist nicht definiert: 01 ist nicht definiert, denn die Gleichung 1 = x · 0
hat keine Lösung. Allgemein: a0 ist nicht definiert.
16-1
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Addition und Subtraktion von Brüchen
Beispiele:
3 11
14
2
+
=
= =2
7
7
7
1
x+1 1
2(x + 1)
x
2x + 2 + x
3x + 2
+ =
+
=
=
x
2
2x
2x
2x
2x
a c
ad + bc
+ =
b d
bd
Dies kann man wie folgt einsehen. Man sollte die zwei Zahlen
Die allgemeine Regel lautet:
x=
a
b
und
y=
c
d
addieren. Nach Definition gilt also:
Voraussetzung:
a= x·b
und
c = y · d.
(1)
Zu zeigen: Es gilt die Gleichung ad + bc = (x + y) · bd.
Beweis: Wir multiplizieren die linke Gleichung von (1) mit d und die rechte mit b:
ad = x · bd
und
bc = y · bd.
Nun zählt man die beiden Gleichungen zusammen:
ad + bc = x · bd + y · bd = (x + y) · bd.
Das ist, was zu zeigen war.
a c
ad − bc
− =
.
b d
bd
Genau gleich sieht man die Gültigkeit von:
Multiplikation von Brüchen
Beispiele:
3 11
33
·
=
7 7
49
x+1 1
x+1
· =
x
2
2x
a
b
Dies kann man wie folgt einsehen.
Die allgemeine Regel lautet:
c
ac
= .
d
bd
Man sollte die zwei Zahlen
·
x=
a
b
und
y=
c
d
multiplizieren. Nach Definition gilt also:
Voraussetzung:
Zu zeigen:
a= x·b
und
c = y · d.
(2)
ac = (x · y) · bd.
(2)
Beweis: Es gilt: (x · y) · bd = (x · b) · (y · d) = ac.
16-2
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16. Brüche und Bruchterme
Algebra
Division von Brüchen
Beispiele:
1 1
1 3
÷ = ·
2 3
2 1
x+1 1
x+1 2
2x + 2
÷ =
· =
x
2
x
1
x
a c
ad
÷ = .
b d
bc
Dies kann man wie folgt einsehen. Man sollte die Zahl
Die allgemeine Regel lautet:
x=
a
b
durch
y=
c
d
dividieren. Nach Definition gilt also:
a= x·b
und
c = y · d.
x
Zu zeigen:
ad = · bc.
y
x bcd
xbcd (3) acd
x
=
= ad.
=
Beweis: Es gilt: · bc = ·
y
y d
yd
c
Voraussetzung:
(3)
Gleichungen mit Bruchtermen
Im Folgenden betrachten wir Gleichungen, bei denen, die Unbekannte auch im Nenner
von Brüchen auftauchen kann. Es sind dies Gleichungen, bei denen manchmal auch kritische Umformungen vorgenommen werden müssen. Dies sind Umformungen der Gleichung,
bei denen sich die Lösungsmenge verändern kann. Daher soll zuerst angegeben werden,
welche Umformungen immer problemlos vorgenommen werden können, bei welchen man
aufpassen muss und welche immer verhindert werden sollen.
Äquivalenzumformungen von Gleichungen
Folgende Umformungen darf man mit Gleichungen immer machen, ohne dass dadurch die
Lösungsmenge verändert wird:
• Vertauschen der beiden Seiten.
• Auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl oder derselbe Term addieren oder
subtrahieren.
• Beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl 6= 0 multiplizieren oder dividieren.
Man nennt diese Umformungen Äquivalenzumformungen.
Umformungen, die die Lösungsmenge vergrössern können
Manchmal muss man, um eine gegebene Gleichung zu lösen, auch anderen Umformungen
benutzen. Zwei davon sollen hier besprochen werden:
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16. Brüche und Bruchterme
• Beide Seiten quadrieren.
• Beide Seiten der Gleichung mit demselben Term multiplizieren.
Es kann jedoch vorkommen, dass man dadurch zusätzliche Lösungen einschmuggelt und
daher die Lösungsmenge vergrössert. Dies sollen die folgenden einfachen Beispiele zeigen. Diese Beispiele sind konstruiert – man würde ja nicht so, wie es hier angegeben ist,
vorgehen – aber sie zeigen das Prinzip sehr genau.
Beim ersten Beispiel wird quadriert:
−x = 1
x2 = 1
hat die einzige Lösung x = −1
hat zwei Lösungen: x = −1 oder x = 1.
Beim zweiten Beispiel wird mit dem Term x + 1 multipliziert:
x−1 =0
(x − 1)(x + 1) = 1
hat die einzige Lösung x = 1
hat zwei Lösungen: x = −1 oder x = 1.
Daher sollte man bei der Auflösung von Gleichungen folgendes beachten: Kommt in der
Liste der Umformungsschritte eine dieser “kritischen” Umformungen vor, so muss man
am Ende die Korrektheit jeder Lösung durch Einsetzen in der ursprünglichen Gleichung
überprüfen.
Umformungen, die man immer verhindern soll
Zwei Prozesse, die man immer verhindern sollte, sind:
• Von beiden Seiten die Quadratwurzel ziehen.
• Beide Seiten der Gleichung durch denselben Term dividieren.
Denn es kann passieren, dass man dadurch Lösungen verliert. Zwei einfache Beispiele
sollen dies illustrieren. Beim ersten wird die Wurzel ohne Vorzeichen gezogen:
x2 = 1
x=1
hat zwei Lösungen: x = −1 oder x = 1.
hat nur noch eine Lösung x = 1
Beim zweiten wird durch x − 1 dividiert:
x(x − 1) = 2(x − 1)
x=2
hat zwei Lösungen x = 1 oder x = 2
hat nur noch eine Lösung: x = 2.
Das Wurzelziehen kann man umgehen durch Wurzelziehen mit Vorzeichen oder mit Hilfe
des 3. Binoms. Das Dividieren durch einen Term kann man verhindern durch Ausklammern und Aufspalten:
x(x − 1) = 2(x − 1)
x(x − 1) − 2(x − 1) = 0
(x − 2)(x − 1) = 0
x−2 =0
oder
x−1 =0
x=2
oder
x=1
16-4
Ausklammern
Aufspalten
BaM