7 Radizieren

bwz uri
Radizieren
7
Radizieren
7.1
Einführung
Unter der n-ten Wurzel aus a versteht man eine Zahl x, die mit n potenziert a ergibt.
n
ax

xn  a
Potenzieren: Basis und Exponent sind gegeben,
für a0
2
9 3

der Potenzwert wird gesucht!
32  9
32  x
n: Wurzelexponent, n  N* und n  1
Radizieren:
Potenzwert und Exponent sind
gegeben, die Basis wird gesucht!
a: Radikand, a  0
x2  9
x: Wurzel(wert)

2
9x
Das Radizieren (Wurzelziehen) ist also die erste Umkehroperation des Potenzierens.
Beim Radizieren verwendet man allerdings andere Bezeichnungen.
Der Wurzelexponent 2 wird meistens nicht geschrieben.
Mehrdeutigkeit von Wurzeln
Ist 32 = 9, so ist auch (–3)2 = 9. Es gibt also zwei Zahlen, die quadriert 9 ergeben. Um eine
eindeutige Zuordnungen zu erreichen, bezeichnen wir aber nur die positive Grundzahl als
Quadratwurzel. Das Ergebnis der Quadratwurzel ist als positive Zahl definiert.
Quadrieren → eindeutige Zuordnung (Funktion)
+3
+9
–3
Radizieren → keine eindeutige Zuordnung (Relation)
 9  3  9
 25   5  25
2
2
2
2





Wurzelziehen und quadrieren heben sich auf.
 Die Umkehrung gilt jedoch nicht immer!


a2  a für a  0,
a2  a für a  R
 9  3  3 
32  9  3
 3
2
Definition
2
16  4
nicht
 4
2
16  undefiniert
Es gibt keine reelle Zahl, die quadriert  16 ergibt!
1
bwz uri
7.2
Radizieren
Der allgemeine Wurzelbegriff
Jede Wurzel kann in eine Potenz mit rationalem Exponenten umgewandelt werden.
Umgekehrt kann jede Potenz mit rationalem Exponenten als Wurzel geschrieben werden.
n
a a
m
m
n
für a  0, n, m  N* und n  1
Beweisgrundlage aus der Definition:
Beweis :
m
aus Formel oben:
x  an
n
potenzieren mit n:
mn
 m
x n   a n   a n  am
 
n-te Wurzel ziehen:
x  n am
somit:
x a a
n
m
m
n
Die n-te Wurzel aus einer positiven
Zahl a ist diejenige positive Zahl, deren
n-te Potenz gleich a ist.
2
9 3
 32  9

2
n
ax
 xn  a

xna
m
an  x
 xn  am 
32  3
x  n am
Beispiele
Geben Sie die Werte folgender Wurzeln an und machen Sie die Probe!
25  ?
1.
2.
4
16  ?
3.
4
1
?
16
4.
4
10'000  ?
5.
7
0 ?
2
a2  ?
8
a24  ?
6.
7.
2
bwz uri
7.3
Radizieren
Addition und Subtraktion von Wurzeln
Bei der Addition und der Subtraktion von Wurzeln dürfen nur Wurzeln mit gleichen Exponenten und Radikanden zu einem Glied zusammengefasst werden können.
an x  b n x  c n x   a  b  c  n x
(gemeinsamer Faktor ausklammern)
Beispiele
Vereinfachen Sie, falls möglich.
1. 33 8  23 8  3 8  ?
2. 5 4 a  6 4 b  a  34 b  ?
7.4
Radizieren von Produkten
Ein Produkt wird radiziert, indem man jeden Faktor einzeln radiziert.
n
ab  a  b
Beweis:
n
an x  n an x
Beweis:
n
n
n
1
n
1
n
1
n
ab   ab  a  b  n a  n b
an  n x
Achtung, Wurzel aus Produkt nicht mit Wurzel aus Summe verwechseln!
Im Gegensatz zu
a  b  a  b ist
ab  a  b
Zahlenbeispiel:
36  64  36  64  6  8  48
36  64  100  10
36  64  6  8  14
somit:
Merke :
36  64  36  64
Wurzeln aus Summen ziehen nur die
!
3
bwz uri
Radizieren
Beispiele
Berechnen Sie ohne Taschenrechner.
1.
9  36  ?
2. 3 50  ?
3.
3  7  21  ?
4.
 5
5.
3
6.
3 2 2 3 2 2 ?
3

?
(Quelle: Frommenwiler, Aufgabe 126a)
(Quelle: Frommenwiler, Aufgabe 126c)

3 1  ?
(Quelle: Frommenwiler, Aufgabe 126f)
(Quelle: Frommenwiler, Aufgabe 126i)
4
bwz uri
7.5
Radizieren
Radizieren von Brüchen
Ein Bruch wird radiziert, indem man Zähler und Nenner radiziert.
n
a na

b nb
1
a  0 und b  0
Beweis:
n
1
a  a  n an n a
   1  n
b b
b
bn
Beispiele
Berechnen Sie ohne Taschenrechner.
36
?
9
1.
2.
3
64a
?
343b
3.
5x
10x
:
?
60
30
4.
3  32
?
6
(Quelle: Frommenwiler, Aufgabe 126k)
5.
2  12
2
 2 ?
3
3  27
(Quelle: Frommenwiler, Aufgabe 126c)
5
bwz uri
7.6
Radizieren
Radizieren von Potenzen und Potenzieren von Wurzeln
Eine Potenz wird radiziert, indem man zunächst die Basis radiziert und anschliessend das
Ergebnis potenziert.
Liest man die Regel «von rechts nach links», so gilt:
Eine Wurzel wird potenziert, indem man zunächst den Radikanden potenziert und anschliessend aus dem Ergebnis die Wurzel zieht.
n
a 
m
 a
n
m
a  0, n, m  N und n  1
*
Beweis:
n
m
 1
a  a   an  
 
m
m
n
 a
n
m
Beim Radizieren einer Potenz kann man den Wurzelexponenten gegen den Potenzexponenten kürzen.
bm
bn
abm  n am
Beweis:
bn
m
abm  a b n  a n  n am
Beispiele
Schreiben Sie als Potenzen mit rationalen Exponenten und vereinfachen Sie, falls möglich.
1.
4
a8  ?
2.
6
b9  ?
3.
4.
1
?
a
4
3
82  ?
6
bwz uri
Radizieren
a a ?
5.
6. a0.2  5 a4  ?
3
7.
8.
 a  b 4  4  a  b5  a4
10
?
4
7


a25 :  a  a5  a10   ?


7
bwz uri
7.7
Radizieren
Radizieren von Wurzeln
Eine Wurzel wird radiziert, indem man die Wurzelexponenten multipliziert und mit dem
neuen Exponenten die Wurzel zieht.
1
n m
a  nm a
Beweis:
n m
1
1
 m1  n
mn
nm
a  a   a   a  a  nm a
 
n
1
m
Wurzelexponenten dürfen vertauscht werden.
n m
a mna
Beweis: siehe oben
Beispiele
Vereinfachen Sie so weit als möglich.
16  ?
1.
2.
3 2
64  ?
3.
4 3
16  ?
4.
x
ax  ?
8
bwz uri
4 3
5.
3
6.
Radizieren
x2 
x10  9 y6  4 y12  ?
a6  a  b   b4  a  b 
2
6
7.8
6
3
a6b6  a  b 
?
Wurzeln im Überblick
Definition Wurzel
n
ax
 xn  a
für a  0, n  N* und n  1
Allgemeiner Wurzelbegriff
m
n
am  a n
für a  0, n, m  N* und n  1
Rechenregeln:
n
ab  n a  n b
n
am 
n
n
a
a
n
b
b
n m
 a
n
m
bn
abm  n am
a  m n a  mn a
9
bwz uri
7.9
Radizieren
Definitionsmenge D bei Wurzeln bestimmen
Die Menge der erlaubten Einsetzungen für die Variablen eines Terms nennt man Definitionsmenge oder Definitionsbereich D des Terms. Bei Wurzelaufgaben mit einer Variablen
unter der Wurzel existiert ein Definitionsbereich. Man darf hier also nicht jede beliebige
Zahl einsetzen. In der Praxis geht man so vor, dass man sich den Ausdruck unter der Wurzel
ansieht und dann die Zahlen berechnet, für welche der Ausdruck unter der Wurzel 0 oder
grösser ist. Diese Zahlen sind dann zulässig, die restlichen nicht.
Beispiele für die Bestimmung der Definitionsmenge D.
Allgemeiner Ansatz: Radikand a einer Wurzel  0
d. h.
n
a
 a0

Grundmenge G
Radikand ≥ 0
Definitionsmenge D
x 9
G  R 
x0
D  x  R x  0
x  8  13
G  R 
x 80
D  x  R x  8
5 x  4
G  R 
5 x  0
D  x  R x  5
2a  3  1
G  R 
2a  3  0
D  a  R a  3 2
Wurzelausdruck
Darstellung durch Intervalle
Zahlenbereiche von reellen Zahlen werden häufig auch als Intervalle angegeben. Mit einem
«Intervall» meint man einen Abschnitt auf der Zahlenachse. Bei einem Intervall handelt es
sich also um eine Teilmenge aus R. Es gibt endliche und unendliche Intervalle. Auch für Intervalle gibt es in der Mathematik spezielle Schreibweisen:
Beispiele:
x  R x  0  [ 0 ;  [
x  R x  8  [  8 ;  [
x  R x  5 ]   ; 5 ]
3
a  R a  3 2  [ 2 ;  [
Man schreibt also die kleinere Grenze links, die grössere rechts, getrennt durch ein Semikolon «;». Ist die Klammer auswärts gerichtet, so gehört die jeweilige Grenze nicht mehr zum
angegebenen Bereich, ist die Klammer nach innen gerichtet, so gehört die jeweilige Grenze
zum angegebenen Bereich. Bei   (unendlich) ist die Klammer stets auswärts gerichtet.
Zusätzliche Informationen
http://www.mathe-lexikon.at/mengenlehre/intervalle.html
10
bwz uri
Radizieren
7.10 Übungen, Frommenwiler
Lösen Sie die folgenden Aufgaben:
Nummer
Seite
Bemerkungen
124 (a, b, f und i)
44
Radikand  0
125 (a bis f)
44
126 (e, h und k)
45
128 (a, b, d, e, i, j und k)
45
130 (b und e)
46
131 (c und e)
46
134 (a, c und f)
47
135 (b, c, f und g)
47
136 (a, b, c, d und f)
47
137 (a, b, e und h)
48
141 (alle)
51
143 (a, d, g und i)
51
147 (a, f und g)
53
148 (a, c, g, k und m)
54
149 (d, f, g, h und j)
54
150 (e, f, h, i und j)
54
151 (a)
54
152 (b, c, g und h)
55
153 (c, e und f)
55
154 (d, h und i)
55
155 (g, i und j)
55
156 a
56
157 h
56
158 (d, f und j)
56
161 (e und f)
57
162 (j und k)
57
164 (b, f und h)
58
165 (g, h und i)
58
167 (a, b und c)
58
168 (a, b, c und e)
59
Kontrolle Zahlen einsetzen
11
bwz uri
Radizieren
7.11 Übungen (Aufnahmeprüfungen von Fachhochschulen bzw. BM-Prüfungen)
1. Das Ergebnis ist in Form einer Wurzel anzugeben.
 u
4
E
3
5
s

1
3
 s 1
 1  6
 12   s 
 u
5
 u
3
?
2
2. Berechnen Sie ohne Rechner. Geben Sie die Lösung als gekürzten Bruch an.
8
8
17  1 
 1
17
17  ?
9
1
25
3. Berechnen Sie ohne Rechner.
12  27
B
?
76.52  67.52
12
bwz uri
Radizieren
ab
ab
Stellen Sie die Ausrechnung ausführlich dar; geben Sie das Resultat, ohne 3 auszurechnen, in möglichst einfacher Form an. (Das Resultat kann 3 enthalten.)
2
2
a
und b 
1
1
2
2
3
3
4. Berechnen Sie den Ausdruck:
13
bwz uri
Radizieren
5. Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck so weit wie möglich.
b ab  1
a
a
1
 2

 2
:
?
a b 1 b 1 b  b b 1
14
bwz uri
Radizieren
6. Der folgende Ausdruck kann so umgeformt werden, dass keine Wurzel mehr auftritt.
Führen Sie diese Umformung durch.
2

 a
b  

  a b  ?
 4 ab 
a  
 b


7. Der Ausdruck
4 497  2993
21987  21986 ist auszurechnen.
1989
1987
2
2
15
bwz uri
Radizieren
8. Vereinfachen Sie so weit wie möglich.
b4
b2
ab6
27a6  ?
a  3 39 4  3 2 
a b
3  3  b4
 5a 
 
3
16
bwz uri
Radizieren
9. Bestimmen Sie das Produkt. Schreiben Sie im Resultat anstelle von gebrochenen Exponenten Wurzelzeichen.
1
 
1   32
 3
6
x

x

x


x

x
 ?

 
3
x 


10. Bringen Sie den folgenden Ausdruck in die Form a  b .
1
 p
  p
 2
p2
p2
  
 25     
 25  
  2

4
4
 2
 

?
50
17
bwz uri
Radizieren
11. Vereinfachen Sie so weit wie möglich.
2
2


a2 
a2 
2
 2a   b     b     2a  ?
b
b




2
18
bwz uri
Radizieren
12. Vereinfachen Sie so weit wie möglich.
a4  a2b2
4
a4  b4

4
a4  2a2b2  b4
?
a
13. Vereinfachen Sie so weit wie möglich.
13


 2a a 4 4 b a3 4 a2 ab  8 a5



?
 1 3  3 
3
3  3b7
3
 34


19
bwz uri
Radizieren
7.12 Radizieren mit dem TI
Beispiel 1
7 ?
7 oder 2.6458 je nach Einstellung Exakt/Näherung
Ergebnis:
Hinweis:
Beispiel 2
b2  ?
Ergebnis:
Beispiel 3
Der TI-89 hat nur eine Wurzeltaste  für die Quadratwurzel
(Tastenkombination ). Der TI-89 Titanium hat zusätzlich noch
die Funktion Wurzel mit der auch die n-te Wurzel berechnet werden kann. Die Funktion Wurzel() ist über  erreichbar.
b der Rechner berücksichtigt, dass b sowohl positiv,
als auch negativ sein kann!
45 : 5  ?
Ergebnis:
Der Rechner fasst zusammen zu
45 :5  9  3 .
20
bwz uri
Radizieren
36x2  12x  1  ?
Beispiel 4
Ergebnis:
Beispiel 5

3
6x  1
2
.

2
2 1
Ergebnis:
Beispiel 6
6x  1 der Rechner erkennt das Binom
2 1  ?
2  2  2 der Rechner zeigt den Lösungsweg nicht an.
a3  ?
Ergebnis:
a
Hinweis:
n-te Wurzel funktioniert nur mit dem Titanium!
Für den normalen TI-89 erfolgt die Eingabe gemäss der Regel:
1
n
x  x n also z. B. 3 7 auf dem TI-89 7^(1  3)
21