MSG (Zirkel 11) – Hausaufgaben 1. Einem Quadrat (der Seitenlänge

MSG (Zirkel 11) – Hausaufgaben
1. Einem Quadrat (der Seitenlänge 2r) wird ein
Kreis einbeschrieben. Diesem Kreis wird nun
seinerseits ein Quadrat einbeschrieben, dem
wiederum ein Kreis und immer so weiter.
Wie groß ist die Summe der Flächeninhalte
– aller dieser Quadrate und
– aller dieser Kreise?
2. Bei der Konstruktion einer Aufgabe hätte ich eine große natürliche Zahl x (x > 4) benötigt,
für die der Term 4 x 2 + 24 x + 9 wieder eine natürliche Zahl geworden wäre. Ich ließ den
Computer eine Weile suchen und stellte fest, dass die Nachkommastellen der
ausgerechneten Wurzel für wachsendes x immer größer wurden, sich aber beharrlich
weigerten, einmal auf ...,0000... zu fallen.
Kann man also allgemein sagen, dass bei solchen quadratischen Termen für große
natürliche Zahlen x keine Hoffnung auf eine aufgehende Wurzel besteht?
3. a) Find the sum 1 + 4 + 7 + 10 + ... + 121.
b) Find an expression for
n
n
i =1
i =0
∑ (3i − 2) or ∑ (3i + 1) .