Grundkurs Übungen Vorkurs WS1617

Ergängungen Mathematik Vorkurs
(WS 2016/17)
Übung 1: Klammern, Binomische Formeln, Bruchrechnung
27.09.2016
Aufgabe 1
(Klammern auflösen)
Lösen Sie die Klammern auf:
(a) 7a − 3b + (a − 2c) − (3c − 6b) − (6a − 3c)
(d) (a + b)(c + d) − (a − b)(c − d)
(b) 5a + [7c − (2a − 3b)] − (4c − a + b)
(e) 3(a + b + c) − 5(a + b) − c − 2(b − c − a)
(c) (−a)(b − a − c)
(f) (a + 4)(a − 2) − (a + 2)(a − 1)
Aufgabe 2
(Binomische Formeln)
Leiten Sie die binomischen Formeln durch Nachrechnen her:
(a) (a + b)2
Aufgabe 3
(b) (a − b)2
(c) (a + b)(a − b)
(Binomische Formeln (Fortsetzung))
Wenden Sie die binomischen Formeln an und vereinfachen Sie, wenn möglich!
(a) (−a − b)(a − b)
(d) (a2 + b2 )2 − (a2 − b2 )2
(b) (−1 + a)(1 + a)
(e) (3a + 2b − 5c)2
(c) (4a2 − 3)(4a2 + 3) − (3a − 4)2 + (5a + 1)2
(f) (a2 + 2ab − b2 )2
Aufgabe 4
(Binomische Formeln mit quadratischer Ergänzung)
Vervollständigen Sie die Binomischen Formeln mit quadratischer Ergänzung und formen Sie um!
(a) 49a2 + 42a + 9
(d) (8a − b)2 + 16ab
(b) 25a2 − 40ab + 16b2
(e) a2 − 2b − b2 − 2a
(c) 4x2 − 4x + 5
(f) (a + b)2 − (a − b)2 − 4ab
Aufgabe 5
(Faktorisieren)
Zerlegen Sie die angegebenen Ausdrücke in Faktoren und vereinfachen Sie so weit wie möglich!
(a) 8ab + b2
(b) a2 b2 + ab + ab + 1
(f) (a3 − a2 )(2a − 2a2 )
(g) (−5a − 10b)(−3a + 6b)
(c) ab − ac − b + c
(d) 3a + 3 − 2a − 2 + 4b(a + 1)
(e) a2 b + ac − ab − c
(h) (−a − 1)(a − 1) − (a2 − 1)
(i) (−5a − 3b)2 + (−5a + 3b)2
Aufgabe 6
(Addition und Subtraktion von Brüchen)
Berechnen Sie die folgenden Brüche! (Denken Sie daran, zunächst den Hauptnenner zu bilden!)
1−a
a
(i)
3
3b−a
b−a
b
(j)
b+5c−a
6
(b)
a−1
a
−
a+1
a
−
(c)
a+1
b
−
a−b
b
−
(d)
4
3
3
4
(e)
10
5
(f)
a
4
−
1
2
(m)
a
a−1
(g)
a
b
−
b
2b
(n)
3a−1
4a−1
+
−
−
2
3
−
−
4
b−3a
−
(k)
b
a
+
a
b
(l)
1
a
+
1
1+a
3
2
Aufgabe 7
a−1
a+1
a+1
a−1
1
3
+
4
3
(h)
(a)
a2 +b2
2b
−
+
3a−7b+6c
4
−1
+
1
2+a
a
a+1
−2
−
+
3
4
(Vereinfachen durch Ausklammern und Kürzen)
Vereinfachen Sie! Klammern Sie dafür sinnvoll aus und kürzen Sie!
(a)
3ax−3by
6x2 −6xy 2
(b)
a+2b
3a2 −3ab
−
−
5a2 x+5aby
10ax2 y+10axy 2
1
2b
−
3b−a
2ab−2b2
(c)
a
b
+
b
a
−
b2
a2 +ab
−
a2
ab+b2
4a−5b+7c
3
Ergängungen Mathematik Vorkurs
(WS 2016/17)
Übung 2: Bruchrechnung, Potenzgesetze, Summenzeichen
28.09.2016
Aufgabe 8
(Bruchrechnung (Fortsetzung))
Vereinfachen Sie die Brüche (nach vorheriger Umformung) durch Kürzen, soweit möglich:
(a)
35ac−50bc
7a−10b
(b)
a2 −ab+ac
b−a−c
(c)
ax+bx+ay+by
a+b
(d)
2x2 +8xy+8y 2
(x+2y)2
Aufgabe 9
(e)
a4 −b4
(a+b)2 (a−b)2
(f)
(a+b)4 −(a−b)4
a2 +b2
(g)
(a2 −b2 )2 −(a2 +b2 )2
ab(a+b)
(e)
3−a
4
(f)
2
a
(Multiplikation von Brüchen)
Berechnen Sie:
(a)
a
3b
+
3b
a
· 3ab
(b)
1
2a
+
1
3b
· (2a − 3b)
(c)
5
8
·
8
5
(d)
1
2
·
3
4
·
5
6
Aufgabe 10
(g)
7!
5!
b
a
b−a
a
b
b+a
(b)
1
1
a − a2
1
1− a
a2 +b
(f)
(g)
a+b2
(c)
− a
b
a
b
b + a +1
(d)
a−1
a
a − a+1
a+1
a
1−a + a
(e)
1
a2
(h)
1
+ ab
+ b12
1
a3
=
1
1
a
3
b
·
a
2
b
3
−
7·6·5·4·3·2·1
5·4·3·2·1
= a, aber
1
a
1
= a1 .
a+b
a−b
a−b − a+b
a2 +b2
a+b
a−b − a2 −b2
1
1 + 1 + 1
2ab
16a2
b2
1 + 1
8a
2b
+
1 − 1 + 1
2ab
16a2
b2
1 − 1
8a
2b
1
1− 1−ab
1
a+ 1−ab
(i) a −
− b13
Aufgabe 11
+
1
3−a
(Doppel-Brüche)
Berechnen Sie die angegebenen Terme. Beachten Sie, dass gilt:
(a)
·
a
a
1− a−b
(Potenzgesetze)
Beweisen Sie mit der Definition xn = x
| · x{z· · · x} die Potenzgesetze:
n-mal
(a) xa · xb = xa+b
(b) ax · bx = (a · b)x
b
(c) (xa ) = xa·b
Aufgabe 12
(Potenzdefinition anwenden)
Schreiben Sie als Potenzen
(a) 4 · 4 · 4
(c) (−a) · a · (−a) · a
(b) (−a−1 )(−a−1 )(−a−1 )(−a−1 )
(d) −(b − a) · (a − b) · (a − b)
Aufgabe 13
(Potenzgesetze anwenden)
Berechnen Sie:
an
a
(a) (−3)4
(h)
(b) (−5)3
(i) a5 · b5 ·
(c) −34
(j) a3 · a−3
(d) ((−2)−1 )3
(k)
(e) (− 32 )3
(l)
3
(f) − 23
(g)
(m)
a5
a3
Aufgabe 14
1
ab
3an+1 6xn+7 9bx+1
3xn 2bx+1 3a
7an+1 an+1 an
a0 an an−1
ax+1 bx+3 a3x−1 bx+3
ax−2 b3−x ax bx+1
(n)
a3n−x b2n+x
an+2x b2n−x
·
x3n+2 y 2n−1
x2n−3 y n+1
(Summen– und Produktzeichen)
Schreiben Sie die Summen- und Produktzeichen aus:
(a)
P3
n
(e)
P3
+ b)n
(b)
P6
n
(f)
Q4
− n)
(c)
P5
1
(g)
Q7
(d)
P5
xn
(h)
Q3
n=0
n=4
n=1
n=0
n=0 (a
n=0 (6
n=1
an
n=0 (a
− n)n
Ergängungen Mathematik Vorkurs
(WS 2016/17)
Übung 3: Wurzeln, lineare Gleichungssysteme
28.09.2016
Aufgabe 15
(Addition von Wurzeln)
Ziehen Sie die Wurzel soweit wie möglich und fassen Sie zusammen:
(a)
√
√
√
50 + 8 + 72
√
√
√
(e) 3 + 12 − 27
√
x−1
(f) 1 − x + 2√
1−x
49
√
(b) 3 27
√
(c) 50
(d)
Aufgabe 16
√
(Multiplikation von Wurzeln)
Berechnen Sie! Erweitern Sie ggfs. mit einer Wurzel, um den Wurzelterm im Nenner zu eliminieren:
(a)
(b)
√
√
5·
7·
√
√
√
20
(e)
7
(f)
·
√
√4
2
(g)
(d)
√x−2
x−2
(h)
4 − x2
1√
(1−x2 ) 1−x2
√
(c)
Aufgabe 17
4−x2
2−x
a2 −x2
a2 −x2
+
+
2
3x√
(1−x2 )2 1−x2
2
√ x
a2 −x2
(Lineare Gleichungssysteme)
Lösen Sie die Gleichungssysteme durch umformen und einsetzen. Lösen Sie für x und y und behandeln Sie a
und b als Konstanten:
1
1 2x + 5y = 10
7
=
4y−3 (a) (i) 2 x−3
1
1 5x + 2y = 2 = 3y−1
5 x+4
2
2x + 3y = 8 1
(b) 4 3x−5 = 7y−13
3x − 6y = −30
(j) 1
8
y−x = 3x+y
x = 3y − 1410
(c) y = 3x − 22 x+y =a
(k)
ax − y = b
3
51x − 20y
=
3
(d) 1
48 − 10y
=2
3x − 2y = 5a
1
(l) x + y2 = 3
2x − 3y = 5b (e) 5
1
x − y =4
10x + 6y = 4a + b
(m) 5(y + 2) − 3(x + 1) = 23
6x + 10y = 4a − b
(f) 3(y − 2) = 19 − 5(x − 1)
2(a2 +b2 ) 3(2x − y) + 4(x − 2y) = 87
x
+
y
=
2
2
a −b (n) (g) x − y = a24ab
2(3x − y) − 3(x − y) = 82 −b2
(x − 1)(2y + 5) = (y + 1)(2x − 1)
ax + by = 2a (h) (2x + 7)(y − 2) = (2y − 3)(2 + x)
(o) 2
a x − b2 y = a2 + b2 Ergängungen Mathematik Vorkurs
(WS 2016/17)
Übung 4: e-Funktion, Logarithmen, quadratische Gleichungen
4.10.2016
Aufgabe 18
(e-Funktion)
Zeichnen Sie die Exponential- und hyperbolischen Funktionen im Bereich x ∈ [−4, 4] in ein gemeinsames Koordinatensystem!
(a) f (x) = ex
(c) f (x) = cosh(x) = 21 (ex + e−x )
(b) f (x) = e−x
(d) f (x) = sinh(x) = 21 (ex − e−x )
Aufgabe 19
(Logarithmen)
Wenden Sie die Definition des Logarithmus an und bestimmen Sie x:
1
10
(a) x = log7 49
(g) x = log10
(b) x = log2 32
(h) 4x = 64
(c) x = log4 16
(i) 3x =
(d) x = log3 27
(j) log10 x = 3
(e) x = log9 81
(k) log10 x = −2
(f) x = log3 1
(l) loge x = 0
Aufgabe 20
1
27
(Logarithmen-Gesetze)
Wenden Sie die Logarithmengesetze an und formen Sie um, falls möglich:
5
(a) ln(a4 )
(e) ln( ab5 )
(b) ln(a4 · b)
(f) 3 ln(a) + 5 ln(a)
(c) ln(3b · ab )
(g) 3 ln(a) + c ln(b)
√
3
(h) 3 ln( a) − ln(a 2 )
(d) ln(a − b)
Aufgabe 21
(Quadratische Gleichungen)
Lösen Sie die Gleichungen für x. Verwenden Sie dazu ggfs. die quadratische Ergänzung. Überprüfen Sie mit
der p-q-Formel. Achtung: Quadratische Gleichungen können in den reellen Zahlen null, eine oder zwei Lösungen
besitzen!
(a) x2 − 4 = 0
(b) 3x2 + 27 = 0
2
(f) x2 + 12 x +
3
2
=0
(g) x2 − a2 = 0
(c) x − 9x = 0
(h) x2 + 43 ax + 13 a2 = 0
(d) x2 − 6x + 8 = 0
(i) x2 + 12 bx − 12 b2 = 0
(e) x2 + 4x + 2 = 0
(j) 16x2 − 8ax + a2 − b2 = 0
Ergängungen Mathematik Vorkurs
(WS 2016/17)
Übung 5: Lineare, quadratische und trigonometrische Funktionen
5.10.2016
Aufgabe 22
(Graph oder nicht Graph?)
Beurteilen Sie, ob es sich bei den Abbildungen um den Graph zu einer Funktion handelt.
Aufgabe 23
(Lineare Funktionen zeichnen)
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion. Berechnen Sie dazu nur die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen!
(a) f (x) = x
(d) f (x) = 3x − 6
(b) f (x) = 2x
(e) f (x) = −2x + 5
(c) f (x) = 12 x + 1
(f) f (x) = −x − 2
Aufgabe 24
(Quadratische Funktionen zeichnen)
Skizzieren Sie die Funktionen! Bringen Sie dazu die Funktion in die Form f (x) = a(x − x0 )2 + b, wobei x0 die
Verschiebung des Scheitelpunktes in x-Richtung, b die Verschiebung des Scheitelpunktes in y-Richtung und a
die Stauchung der Parabel bezeichnet. Überprüfen Sie ggfs. mit einem Computer!
(a) f (x) = x2
(d) f (x) = (x − 1)2 − 1
(b) f (x) = 21 x2 − 3
(e) f (x) = −3x2 + 6x
(c) f (x) = (x + 3)2
(f) f (x) = (x − 2)2 + 4x − 5
Aufgabe 25
(Funktionen zeichnen)
Skizzieren Sie die Funktionen! Versuchen Sie, sich zunächst vorzustellen, wie die Funktion aussehen müsste. Sie
dürfen gerne einen Computer benutzen.
(a) f (x) = 2x3
(c) f (x) = |x|
(b) f (x) = e−x
(d) f (x) = |x2 − 1|
Das Zeichnen von Funktion kann z.B. mit der Website/App „Khan Academy“ (www.khanacademy.org) oder
www.ixl.com/math/algebra-2/graph-a-linear-function geübt werden.
Aufgabe 26
(Ähnlichkeit von Sinus und Cosinus)
Zeichnen Sie die folgenden Funktionen:
(a) f (x) = sin(x)
(b) f (x) = cos(x)
Machen Sie sich anhand der beiden Zeichnungen klar, dass cos(x) = sin(x + π).
Aufgabe 27
(Trigonometrische Funktionen zeichnen)
Skizzieren Sie die Funktionen. Sie dürfen dazu gerne einen Computer benutzen. Formulieren Sie anschließend
Sätze, in denen Sie den Graphenverlauf mit sin(x) vergleichen.
(a) f (x) = sin(x)
(b) f (x) = cos(x)
(c) f (x) =
1
2
(g) f (x) =
1
3
· sin(0.5x − π)
sin(x)
(d) f (x) = sin(x) + 1
(e) f (x) = sin(x + π4 )
Aufgabe 28
(f) f (x) = 2 · sin(2x)
(h) f (x) = 1 +
1
2
cos(2x)
x
(i) f (x) = sin( 2π
)
(Nullstellen finden)
Finden Sie heraus, ob die angegebenen Funktionen Nullstellen haben und bestimmen Sie diese!
(a) f (x) = 2x − 1
(f) f (x) = (x + 3)2 − 4
(b) f (x) = 4x2 + 5
(g) f (x) = ex
(c) f (x) = −3x2 + 6
(h) f (x) = e− x − 1
(d) f (x) = (x − 2)2
(i) f (x) = 3x3 − 4x
(e) f (x) = 5
(j) f (x) = (x − 1)2 − 1
Ergängungen Mathematik Vorkurs
(WS 2016/17)
Übung 6: Trigonometrie
6.10.2016
Aufgabe 29
(Grad- und Bogenmaß)
Rechnen Sie die Winkel vom Grad- ins Bogenmaß um:
(a) 5◦
(b) 30◦
(c) 45◦
(d) 60◦
(e) 90◦
(f) 120◦
(g) 180◦
(h) 270◦
(i) 360◦
Zeichnen Sie die oben berechneten Winkel am Einheitskreis ein und bestimmen Sie den Sinus und Cosinus dieser
Winkel näherungsweise aus der Zeichnung. Fertigen Sie eine Tabelle an!
Aufgabe 30
(Dreiecke berechnen)
Berechnen Sie die übrigen Größen im Dreieck. Berechnen Sie die trigonometrischen Funktionen nur, falls sich
√ daraus exakte Werte ergeben
(z.B. sin(90◦ ) = 1 oder sin(45◦ ) = 1/ 2).
(a) α = 30◦ , c = 5
(d) α =
(b) α = 45◦ , c = 8
(e) β = π/6, b = b
(c) b = 3, c = 5
(f) α = 60◦ , b = b
Aufgabe 31
π
4,
b=1
(Zerlegung vektorieller Größen)
Fertigen Sie zur Lösung der folgenden Aufgaben Zeichnungen an!
(a) Ein Ball wird unter 45◦ mit 20 km/h abgeworfen. Bestimmen Sie die vertikale und horizontale Geschwindigkeitskomponenten. Was ergibt sich für einen Abwurfwinkel von 30◦ ?
(b) Ein Auto mit der Gewichtskraft FG = 10000N steht auf einer Straße mit 7% Gefälle (= 7m runter/100m
geradeaus). Berechnen Sie Hangabtriebskraft und Normalkraft.
(c) 2 Hunde ziehen jeweils mit der Kraft F unter einem Winkel von 20◦ einen Schlitten. Wie groß ist die
resultierende Kraft? Geben Sie das Ergebnis für einen beliebigen Winkel α zwischen den Hunden an.
(d) Ein Flugzeug hat nach dem Start eine Geschwindigkeit von 500 km/h bei einem Steigwinkel von 10◦ .
Berechnen Sie die Horizontal- und Vertikalkomponente der Geschwindigkeit.
(e) Dasselbe Flugzeug fliegt anschließend mit gleicher Geschwindigkeit in nord-nord-östlicher Richtung (22, 5◦
von Nord abweichend). Wie lauten die Geschwindigkeitskomponenten in Nord-Süd- und Ost-West-Richtunge?
(f) Zusatzfrage: Wie groß sind die Geschwindigkeitskomponenten in diesen Richtungen, solange sich das Flugzeug noch im Steigflug befindet?