Jede Fläche hat einen Inhalt – aber welchen?

Jede Fläche hat einen Inhalt –
aber welchen?
Aufgabe 46
Bürgermeister Pfiffig sitzt mit zwei Bauern aus
seiner Gemeinde an einem Tisch. Vor sich
haben sie einen Plan, in den eine trapezförmige
Fläche eingezeichnet ist. Darin sind zwei drei­
eckige Wiesen farbig unterlegt, die diesen Bau­
ern gehören. Es wäre für die Gemeinde sehr
nützlich, wenn beide Bauern ihre Grundstücke
tauschen würden. Für diese kommt ein Tausch
aber nur dann in Betracht, wenn beide Flächen
gleiche Größe haben und deshalb keiner von beiden einen Nachteil hat.
Kann Bürgermeister Pfiffig beide Bauern davon überzeugen, dass der Tausch
gerecht wäre?
Aufgabe 47
9
Gegeben ist ein Rechteck, dessen lange Seite
14 cm und dessen kurze Seite 9 cm lang ist. In
dieses Rechteck ist ein farbiges Parallelogramm
eingezeichnet. Alle Maße sind in Zentimetern
angegeben.
5
9
9
5
Welchen Flächeninhalt hat das Parallelogramm?
9
Aufgabe 48
D
X
S
U
A
W
C
Gegeben ist ein Quadrat ABCD. Die Punkte S,
T, U und V liegen so auf seinen Seiten, dass
AU = US = SD und UV || AB || ST gilt.
T
Den wievielten Teil des Flächeninhalts des Qua­
drats ABCD nimmt der Flächeninhalt des Drei­
ecks WTX ein?
V
B
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Aufgabe 49
Es sei AB der Durchmesser eines Kreises k mit
dem Mittelpunkt M und dem Radius r. In M
sei auf AB die Senkrechte errichtet und auf ihr
der Punkt mit E bezeichnet, der von M den
Abstand EM = 12 r hat. Weiter seien C der zwei­
te Schnittpunkt von AE mit dem Kreis k und D
der Schnittpunkt der Geraden ME und BC.
D
k
C
E
A
r
2
M
B
Welchen Flächeninhalt hat das Dreieck MBD?
Aufgabe 50
Die Abbildung zeigt eine Pyramide, wie sie im mittelamerikanischen Urwald
öfter zu finden ist. Um sie vor Witterungseinflüssen zu schützen, wird sie in re­
gelmäßigen Abständen mit einem farblosen Schutzanstrich versehen. Die Pyra­
mide ist unten 10 m und oben 4 m breit, ihre Höhe beträgt 5 m. Alle Schichten
sind gleich hoch, haben quadratische Grundflächen und sind so aufeinanderge­
setzt, dass alle Stufen gleich breit sind.
Wie groß ist die Fläche dieser Pyramide, die gestrichen werden muss?
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zu Aufgabe 45
S. 23
a)Wegen 60 : 5 = 12 erzielen die beiden Frauen 2 Euro · 12 = 24 Euro.
b) Wegen 25 Euro : 60 =
5
12
Euro muss jedes Glas
5
12
Euro kosten.
Antwort: Um für 60 Gläser 25 Euro zu erzielen, hätten die beiden Frauen beispielsweise 2,50 Euro für 6 Gläser verlangen müssen.
zu Aufgabe 46
D
S. 24
Diese zu Aufgabe liegt folgender Satz zugrunde:
In einem beliebigen Trapez ABCD schneiden
sich die beiden Diagonalen im Punkt E. Dann
sind die aus den Abschnitten der Diagonalen
und den Schenkeln des Trapezes gebildeten
Dreiecke flächengleich.
C
E
Zum Beweis verwenden wir: Zwei Dreiecke sind
dann flächengleich, wenn sie in ihren Grundlinien und in ihren Höhen übereinstimmen.
A
B
Erste Überlegung: AABD = AABC
Zweite Überlegung: AABD – AABE = AAED
Dritte Überlegung: AABC – AABE = ABCE
Wenn Gleiches von Gleichem subtrahiert wird, dann entsteht Gleiches.
Also gilt: AAED = ABCE.
Antwort: Auf diese Weise konnte Bürgermeister Pfiffig die beiden Bauern davon
überzeugen, dass ihre Wiesen gleich groß sind.
zu Aufgabe 47
Erste Lösung
AParallelogramm = ARechteck – 2A1 – 2A2
= 14 cm · 9 cm – 9 cm · 9 cm – 5 cm · 5 cm
= 126 cm2 – 81 cm2 – 25 cm2
AParalellogramm = 20 cm2
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S. 24
Zweite Lösung
9
Die großen Dreiecke sind gleichschenkligrechtwinklig, also müssen es auch die kleinen
sein. Daher sind die senkrechten Seiten des
Parallelogramms 5 cm lang. Seine Höhe bezüglich dieser Seiten beträgt offensichtlich
4 cm, und daher hat es den Flächeninhalt
4 cm · 5 cm = 20 cm2.
5
A2
A1
AP
9
9
A1
A2
5
9
Antwort: Das Parallelogramm hat einen Flächeninhalt von 20 cm2.
zu Aufgabe 48
D
C
X
S
U
T
V
W
A
Durch die Parallelen wird das Quadrat gedrittelt. Daher gilt auch:
UW = XT = SU = 13 AB.
Weil XT die Grundseite und SU die Höhe des
gesuchten Dreiecks ist, gilt
AWTX =
1
2
· XT · SU =
1
2
·
1
3
·
1
3
· AB2 =
1
AB2.
18
B
Antwort: Der Flächeninhalt des Dreiecks WTX nimmt den 18. Teil des Flächeninhalts des Quadrats ABCD ein.
S. 25
zu Aufgabe 49
Der Winkel ACB ist nach dem Satz des Thales
90° groß. Also sind die Dreiecke ABC und MBD
rechtwinklig. Diese Dreiecke haben den Winkel
DBA = CBA gemeinsam. Damit stimmen sie
auch in der Größe des dritten Winkels überein,
so dass Winkel BAC = Winkel MDB gilt.
D
k
C
E
A
r
2
M
B
Weil aber das rechtwinklige Dreieck AME auch
diesen Winkel BAC = MAE besitzt, ist es zu den
beiden anderen Dreiecken ähnlich. Seine kürzeste Seite hat die Länge 12 r und ist damit halb
so lang wie die kürzeste Seite des Dreiecks MBD
mit der Länge r. Entsprechend ist die Seite AM
mit der Länge r halb so lang wie die Seite MD;
diese muss also die Länge 2r besitzen.
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Dann gilt für den Flächeninhalt von MBD: AMBD =
1
2
· r · 2r = r 2.
S. 25
2
Antwort: Der Inhalt des Dreiecks MBD beträgt r Flächeneinheiten.
zu Aufgabe 50
Sämtliche horizontalen Flächen dieser Pyramide haben zusammen den gleichen
Inhalt wie das Grundflächenquadrat, also 100 m 2.
Alle senkrechten Flächen sind 1 m hoch.
Ihr Gesamtumfang beträgt
4(10 m + 8,50 m + 7 m + 5,50 m + 4 m) = 140 m.
Ihre Gesamtfläche beträgt somit 140 m2.
Ergebnis: 100 m2 + 140 m2 = 240 m2.
Antwort: Die zu streichende Pyramidenfläche beträgt 240 m2.
S. 26
zu Aufgabe 51
Erster Lösungsweg
Nehmen wir an, es wären nur Käfer. Dann hätten diese 8 Tiere zusammen 48 Beine.
Somit würden 6 Beine fehlen. Jeder Käfer, der durch eine Spinne ersetzt wird,
vermehrt die Anzahl der Beine um 2. Es müssen also 3 Käfer durch Spinnen ersetzt
werden.
Zweiter Lösungsweg
Nehmen wir an, es wären nur Spinnen. Dann hätten diese 8 Tiere zusammen 64
Beine. Somit würden 10 Beine zuviel sein. Jede Spinne, die durch einen Käfer
ersetzt wird, vermindert die Anzahl der Beine um 2. Es müssen also 5 Spinnen
durch Käfer ersetzt werden.
Dritter Lösungsweg
Wir bezeichnen die Anzahl der Käfer mit k und die Anzahl der Spinnen mit s.
Die Mengengleichung lautet k + s = 8.
Die Beingleichung lautet 6k + 8s = 54.
Aus der ersten Gleichung folgt s = 8 – k. Einsetzen in die zweite liefert
6k + 64 – 8k = 54 und nach Umformen k = 5.
Daraus ergibt sich s = 3.
Antwort: In dem Glasbehälter befinden sich 5 Käfer und 3 Spinnen.
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