02 - Rechnen mit Vektoren

Q2 Mathematik LK
Martin-Niemöller-Schule
Stefan Krissel
Q2 Mathematik LK
Rechnen mit Vektoren
Martin-Niemöller-Schule
Stefan Krissel
Linearkombinationen
Vorab: Die Rechenregeln hier werden nur für dreidimensionale Vektoren dargestellt. Sie gelten aber äquivalent auch für
zweidimensionale Vektoren. Die Regeln sind nicht so trivial wie es scheinen mag.
Grundlegende Regeln
Definition Linearkombination:
Eine Linearkombination ist eine Summe aus n Vektoren, die jeweils mit einer reellen Zahl multipliziert werden:
n
r1 ⋅ v1 + r2 ⋅ v2 + r3 ⋅ v3 + ... + rn ⋅ vn = ∑ ri ⋅ vi
i=1
(Der Ausdruck rechts vom Gleichheitszeichen ist eine abgekürzte Schreibweise der linken Seite.)
Addition und Subtraktion
Definitionen:
 a   b   a + b1 
 1  1  1

a + b =  a2  +  b2  =  a2 + b2 
 a  b  a + b 
3
 3  3  3
 a   b   a − b1 
 1  1  1

a − b =  a2  −  b2  =  a2 − b2 
a  b  a − b 
3
 3  3  3
Es gelten (Sätze):
Das Assoziativgesetz: a + b + c = a + b + c
Das Kommutativgesetz: a + b = b + a
(
)
(
)
Multiplikation mit einer reellen Zahl
Vektoren kann man mit einer reellen Zahl multiplizieren, allerdings (noch) nicht untereinander – dafür gibt es spezielle
Regeln, die später eingeführt werden.
(
Definition:
 a1   s ⋅ a1 
  

s ⋅ a = s ⋅  a2  =  s ⋅ a2 
a  s ⋅ a 
3
 3 
s,r ∈ ℝ
r ⋅ a + b = r ⋅a + r ⋅b
(r + s) ⋅ a = r ⋅ a + s ⋅ a
(r ⋅ s) ⋅ a = r ⋅ s ⋅ a
Es gelten folgende
Gesetze (Sätze):
)
( )
Ein Beweis steht auf Seite 55.
Spezielle Vektoren
Nullvektor:
0
 
0 = 0
0
 
Gegenvektor:
Jeder Vektor v hat einen Gegenvektor, der die gleiche Länge hat, aber in die entgegengesetzte Richtung zeigt.
Dieser Vektor ist −v . Es gilt natürlich: v + (−v) = v − v = 0
Kollineare Vektoren
Rechnen mit Vektoren
Lineare (Un-)Abhängigkeit
Definition:
Wenn drei Raumvektoren auf einer
Ebene liegen, nennt man sie komplanar.
Definition: n Vektoren v1, v2 , v3 , ..., vn heißen linear abhängig, wenn man
mindestens einen der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen kann. Sonst heißen sie linear unabhängig.
Satz:
Die drei Vektoren u , v und w
(dürfen keine Nullvektoren sein) sind
genau dann komplanar, wenn es
drei reelle Zahlen r, s und t gibt,
von denen mindestens zwei ungleich
0 sind, so dass gilt:
Erläuterung:
Das trifft immer auf zwei Vektoren zu, die in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung zeigen, aber unterschiedlich lang sein können.
1
Satz:
n Vektoren v1, v2 , v3 , ..., vn sind genau dann linear unabhängig,
wenn die Gleichung
r1 ⋅ v1 + r2 ⋅ v2 + r3 ⋅ v3 + ... + rn ⋅ vn = 0
nur die triviale Lösung r1 = r2 = r3 = ... = rn = 0 hat.
Die Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn es eine weitere Lösung gibt.
r ⋅ u + s ⋅ v + t ⋅ w = 0.
Skalarprodukt und Winkel
Definition
desSkalarproduktes:
Wenn v und w zwei Vektoren sind und α der Winkel, unter dem sie sich schneiden, dann ist das Skalarprodukt wie folgt definiert:
v ⋅ w = v ⋅ w ⋅ cos α
Leichte Berechnung des Skalarproduktes:
v  w 
 1   1 
v ⋅ w =  v2  ⋅  w2  = v1 ⋅ w1 + v2 ⋅ w2 + v3 ⋅ w3
v  w 
 3  3
Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren:
Es gilt zunächst
(folgt aus Definition):
Ein Einheitsvektor hat den Betrag/die Länge 1.
Definition: Zwei Vektoren v und w , für die gilt: v = r ⋅ w ,
heißen kollinear. r ∈ ℝ .
Komplanare Vektoren
v⋅w
= cos α
v⋅w
Mit Hilfe der arccos-Funktion (TR: cos −1 ) kann man nun
leicht den Winkel ausrechnen. Man beachte, dass man
immer den Winkel berechnet, der zwischen den beiden
Pfeilspitzen liegt.

α = arccos 



v⋅w 
v⋅w

Weiteres hierzu (Rechenregeln, Beweise etc.)
ab Seite 126.
Rechnen mit Vektoren
2
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Lineare Gleichungssysteme (LGS)
Definition:
Ein lineares Gleichungssystem ist eine Menge von mindestens zwei Gleichungen, in denen Variablen maximal in erster
Potenz vorkommen. Normalerweise kommen in allen Gleichungen eines Systems die gleichen Variablen vor, ansonsten
wäre es recht sinnlos.
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Aufgaben
Seiten 47–50
Zu erledigen bis
Zu erledigen bis
1
Grundlagen
6
2 acdg
Vertiefung
5 de
7 ij
12
Lineare Gleichungssysteme sind ein unverzichtbares Werkzeug, wenn es darum geht, Vektoren auf ihre Beziehungen
zueinander zu untersuchen.
Seiten 17–25
Ein Beispiel
 3
 1
 1
     
Die Vektoren u =  2  , v =  0  , w =  1 sollen auf lineare Abhängigkeit geprüft werden.
 −1
 1
 −1
 
 
 
Es ist also zu prüfen, wie die Gleichung r ⋅ u + s ⋅ v + t ⋅ w = 0 lösbar ist. Im Folgenden wird diese Gleichung aufgestellt und umgeformt.
 3
 1
 1  0 
 
 
   
r ⋅  2  + s ⋅  0  + t ⋅  1 =  0 
 −1
 1
   
 
 
 −1  0 
 3r   1s   1t   0 

   
  
 2r  +  0s  +  1t  =  0 
 −1r   1s   −1t   0 

   
  
 3r   s   t   0 
       
 2r  +  0  +  t  =  0 
 −r   s   −t   0 
       
 3r + s + t   0 

  
 2r + 0 + t  =  0 
 −r + s − t   0 

  
Um es zu lösen, versucht man, Variablen zu Eine kürzere Schreibweise
eliminieren, indem man ganze Gleichungen für die Lösung des LGS:
oder deren Vielfache zu anderen addiert oder
von anderen subtrahiert. Dabei muss in jedem
r
s
t
Schritt eine Gleichung unangetastet bleiben.
3
1
1
0
2
0
1
0
IV. = I. + III.
2r + 2s + 0 = 0
–1
1 –1
0
V. = II. + III.
r+s+0=0
2
2
0
0
III.
−r + s − t = 0
1
1
0
0
–1
1 –1
0
VI. = IV. − 2 ⋅ V.
0=0
0
0
0
0
1
1
0
0
V.
r+s+0 =0
–1
1 –1
0
III.
−r + s − t = 0
Da sich aus V. ergibt, dass nur r = −s gelten So kann man einiges an
muss, kann man s frei wählen und auf dieser Schreibarbeit sparen. Es ist
Statt der letzten Zeile kann man drei Gleichunaber stets freigestellt, wie
Basis r berechnen.
gen aufstellen und sie der Orientierung halber
man es macht.
mit römischen Zahlen kennzeichnen:
Unter Benutzung von Gleichung III. ist es dann
In der Zukunft werden wir
auch leicht möglich, t zu berechnen.
die Theorie der LGS begleiI. 3r + s + t = 0
Das ist unser Damit ist das LGS nicht-trivial gelöst, also sind tend zum restlichen Stoff
II. 2r + 0 + t = 0
weiter vertiefen.
LGS!
die Vektoren linear abhängig.
III. −r + s − t = 0
Rechnen mit Vektoren
3
Lin. Gleichungssysteme
Wollen wir z.B. drei Vektoren u, v, w auf ihre lineare Abhängigkeit untersuchen, müssen wir ja prüfen, wie die
Gleichung r ⋅ u + s ⋅ v + t ⋅ w = 0 lösbar ist – ob es nur die triviale Lösung r = s = t = 0 gibt ( lineare Unabhängigkeit) oder ob es auch andere Lösungen gibt ( lineare Abhängigkeit).
6
3a
10
Zu erledigen bis
5
7 ade
8c
15
17
Zu erledigen bis
1
Zu erledigen bis
lin. Abh.
2
kollinear &
komplanar
Seiten 26–31
1 bc
Seiten 52–60
Lin.-Komb.
Zu erledigen bis
3
8 adfh
9 adf
14
komplexe
Aufgaben
5c
6a
27
29
Zu erledigen bis
3a
Skalarprodukt
5
S. 128–129
10
Winkel S. 133f
8
Orth. S. 125
11 b
Rechnen mit Vektoren
Zu erledigen bis
4
5
8b
9
10