Vorbereitungsmaterial - informatik.uni

Vorbereitungsmaterial
fur ein Studium in den Fachern
Mathematik und Informatik
an der Universitat Leipzig
Herausgegeben vom Studiendekan der
Fakultat fur Mathematik und Informatik
1 Warum ein Tutorium Mathematik
In allen von unserer Fakultat angebotenen Studiengangen ist die Beschaftigung mit
mathematischen Sachverhalten selbstverstandlich. Haben Sie vor, Mathematik oder
Wirtschaftsmathematik zu studieren, wird Sie das vielleicht nicht uberraschen, aber
auch fur ein Informatik-Studium darf die grundlegende Bedeutung der Mathematik
nicht unterschatzt werden. Ein groer Teil der obligatorischen Lehrveranstaltungen
fur Informatikstudenten im Grundstudium beschaftigt sich mit mathematischen Inhalten. Auch bei den Informatik-Anwendungen werden Sie mathematische Methoden und Denkmuster benutzen. Eine wichtige Voraussetzung fur Ihren Erfolg im
Studium ist deshalb das sichere Beherrschen der mathematischen Grundlagen.
Leider haben die Erfahrungen der vergangenen Jahre gezeigt, da die fur ein Studium an unserer Fakultat unabdingbaren mathematischen Vorkenntnisse (obwohl sie
nicht uber den Schulsto hinausgehen) nicht bei allen Studienbewerbern immer in
ausreichendem Umfang vorhanden sind.
Um zu vermeiden, da ein Student wahrend des laufenden Studiums das nicht vorhandene Grundlagenwissen selbstandig nachholen mu und die zusatzliche Belastung
ihn dann uberfordert oder demotiviert, wird fur die an der Fakultat neu eingeschriebenen Studenten ein Vorbereitungskurs angeboten. Dieser Kurs wird vor Beginn des
Wintersemesters 2001/2002 stattnden.
In diesem Tutorium wird noch kein Sto gelehrt, der nicht im Leistungskurs des
Gymnasiums behandelt worden ist. Es ist fur diejenigen Studenten gedacht, die
einen Grundkursabschlu in Mathematik haben, deren letzter Mathematikunterricht
langere Zeit zuruckliegt oder die sicher sein wollen, ihr Studium grundlich vorbereitet
zu beginnen. Es ist keine vollstandige Wiederholung des Mathematikunterrichts an
der Schule, sondern wird speziell das mathematische Wissen festigen, auf das fur
alle Studiengange an unserer Fakultat vom ersten Semester an aufgebaut wird.
Damit Sie eine Vorstellung von den vorausgesetzten Mathematikkenntnissen bekommen und Ihr eigenes Wissen testen konnen, werden im nachsten Abschnitt einige
Aufgaben verschiedenenen Schwierigkeitsgrades angeboten, die Sie selbstandig losen
sollten. Es wurden Aufgaben aus Stogebieten gewahlt, auf die im Studium standig
zuruckgegrien werden mu und die dem Anfanger erfahrungsgema oft Schwierigkeiten bereiten.
Sollten Sie bei diesem Selbsttest bemerken, da Sie Probleme beim Verstandnis oder
der Losung der Aufgaben haben, ist Ihnen die Teilnahme am Vorbereitungskurs zu
empfehlen. Zu Beginn dieses Kurses konnen auf Wunsch auch die Losungen der
Aufgaben besprochen werden.
Haug wird die Frage nach vorbereitender Literatur fur die Mathematikvorlesungen
gestellt. Diese Frage ist schwer allgemeingultig zu beantworten. Einmal gibt jeder
Hochschullehrer eigene Literaturhinweise zu seinen Vorlesungen und zum anderen
sollte jeder Student wahrend der ersten Wochen eines Semesters in allen Literaturhinweisen in der Bibliothek ein wenig Probelesen und herausnden, welche Literatur
seine Erwartungen erfullt. Deshalb sei hier zur Wiederholung des Schulstoes auf
die Schullehrbucher und evt. dazu existierende Aufgabensammlungen verwiesen.
2
2 Wiederholungsaufgaben zum Studienbeginn
(Schwierigere Aufgaben sind mit einem * gekennzeichnet.)
2.1
Rechenregeln
1. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrucke
2x
2x 4
2
+
2
x + 2 (x + 2) x
3a 2b
(b)
4b 15a !
!
(a)
a
b
(c)
(d)
b
a
x 1
:
x+ 1
x
(g)
2
p6 6
pa3 b3
3
3
a
b
2b a
a b
a
(h) 2 2 + 2
+ 2
a b a + ab b a2
Warum mu jaj 6= jbj und a 6= 0
vorausgesetzt werden?
a b
+
b a
x2 1
x2 +1
1 3 3 2 x2 y
(e) 22 4
2
1 (xy ) 2
3
2
(f) 64a15 + 27b6 : 4a5 + 3b2
(i)
8b + 6
a
1 + 2ab +
a=2
Fur welche Werte ist der Bruch
nicht deniert?
2. Machen Sie die Nenner rational
p
p
5 3 3 5
p
(a) p
5
3
a
(b) p
4 3 mit a 0
a
(c) 5
484
p
(d)
(e)
p1 p
1+ 2+ 3
1
pa pb
3
3
5
3
3. Schreiben Sie 0; 2272727 : : : als gemeinen Bruch.
2.2
Teilbarkeit
1. Fur welche positiven naturlichen Zahlen a; b; c ist
1
1
a2 + ac + c2 b2
2
4
eine ganze Zahl?
2. Sei k eine beliebige ganze Zahl. Zeigen Sie, da von den durch 13 teilbaren
ganzen Zahlen aus dem Intervall (k + 1000; k + 2000) mindestens eine durch
57 teilbar ist.
3
3. * Am Neujahrstag des Jahres 1975 lernten sich A und B kennen. Im Laufe des
Gespraches kam man auf das Alter der beiden.
A: "Die Quersumme meines vierstellig geschriebenen Geburtsjahres ergibt mein
Alter.\
Nach einer Weile erwiedert B : Herzlichen Gluckwunsch zum heutigen Ge"
burtstag.\
Wie kam B zu dieser Feststellung und wie alt wurde A am 1.1.1975?
2.3
Zahlensysteme
1. Stellen Sie die Dezimalzahl 11011 in den Zahlensystemen zu den Basen 2, 5
und 8 dar.
2. Zu welcher Basis b hat die Zahl Einhundert eine Darstellung der Form a0a mit
a 2 f1; : : : ; b 1g? Warum ist a = 0 ausgeschlossen?
3. Im Zahlensystem zu welcher Basis gilt die Gleichung
1050 + 152 = 1212 ?
2.4
Logik
1. In drei Kisten liegen je zwei Kugeln, und zwar einmal zwei weie, einmal zwei
schwarze und einmal eine weie und eine schwarze. Auf den Deckeln der Kisten
war der Inhalt angegeben. Die Deckel wurden aber so vertauscht, da sich jetzt
auf keiner der Kisten der richtige Deckel bendet. Entscheide durch Ansehen
nur einer Kugel aus nur einer Kiste, welcher Deckel auf welche Kiste gehort.
2. Man kann zu einer Aussage A ihre Negation (Verneinung) nicht A\bilden. Es
"
ist A genau dann wahr, wenn nicht A\falsch ist. Formulieren Sie zu jeder der
"
folgenden Aussagen ihre Negation, uberprufen Sie, ob die Aussagen wahr sind
und begrunden Sie ihre Entscheidung:
(a)
(b)
(c)
(d)
2.5
17 < 23
Alle Primzahlen sind gerade.
x2 4 = 0 hat mindestens zwei reelle Losungen.
(x 1)(x + 1) = 0 besitzt hochstens zwei reelle Losungen.
Kombinatorik
1. Wenn jeder Teilnehmer eines Schachturniers genau eine Partie mit jedem der
ubrigen Teilnehmer spielt, so werden insgesamt 231 Partien gespielt. Wieviele
Spieler nehmen teil?
2. Wieviele verschiedene Moglichkeiten gibt es, drei naturliche Zahlen aus der
Menge f1; 2; : : : ; 100g ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwahlen, so da
4
(a) alle Zahlen in der Auswahl verschieden sind?
(b) eine Zahl in der Auswahl mehrfach auftreten darf?
(c) die Summe der Zahlen in der Auswahl gerade ist?
!
!
n 1
n 1
3.
+
= ?
k
k 1
4. * Beweisen Sie die Gleichung
n
X
i=1
2.6
i=
!
n+1
2
Gleichungen
1. Geben Sie die Losungsmengen folgender Gleichungen an
(b) a(x + 2) 2x2 + 5x 3 = 0
(c) x2 (r + s)x + rs = 0
5x 7 x + 3
(a)
+
=1
4x + 4 3x + 3
2. * Bei welchen Werten von p hat die Gleichung x2 px 28 = 0 Losungen
x1 ; x2 , welche die Bedingung x21 + x22 = 65 erfullen?
3. Bestimmen Sie in der Gleichung 4x2 kx + 15 = 0 den Parameter k so, da
die Dierenz x1 x2 = 1 und mindestens eine Losung positiv ist.
4. Losen Sie die folgenden Gleichungen
(a)
(c) *
11 2x
9
p2x
5
9 5x
=
11
(b) 5z 2 = 0; 008
9
p
1
p
= x+3
4 x
x>0
5. Unter welchen Bedingungen fur die positive reelle Zahl a hat die Gleichung
x2 4x log2 a = 0 zwei verschiedene reelle Losungen?
6. Bestimmen Sie die Losungen der Gleichung cos(2x) + sin(x) = 1
2.7
Ungleichungen
1. Man bestimme die Menge aller reellen x, fur die gilt:
(a) j2x + 7j 2
(d)
(b) j2x + 7j = 2
(c) j2x + 7j < 2
(x
(e) x2
5
1)(x 2)
x 3
5x
2
7>0
x2 4x + 5
(f) 2
>0
x + 2x + 3
(g) 3 jxj + x2 1 > 0
(i)
(j)
(k)
(l)
(h) x jxj 1
jx + 2j + jx + 3j > 1
jx + 2j + jx 3j = 1
jx + 2j + jx + 3j < 1
jx + 2j + jx + 3j = 1
2. Bestimmen Sie die Losungsmengen der folgenden Ungleichungen:
1
2x
2 sin xj < 5
j2 xj > 1
(a) 3
(b) j3 cos x
(c)
1<
7x 3
<1
8x + 5
3. Ermitteln Sie die Losungsmenge der Ungleichung
kx2
x+30
in Abhangigkeit von der nichtnegativen Zahl k.
4. Beweisen Sie folgende Ungleichungen fur beliebige positive reelle Zahlen a; b; c:
(a)
a b
+
b a
2
(b) *
1
1 1
+ +
9
a b c a+b+c
5. * x und y seien Mewerte, die mit einer Genauigkeit von 10 3 bzw. 10 5
bestimmt sind. Es sei x 1. Was kann man uber die Genauigkeit von x + y ,
x y und x=y sagen?
2.8
Gleichungssysteme
1. Geben Sie die Losungsmengen folgendes Gleichungssystems an:
(a)
3 8
x+y = 3
15
x
(b) * ax + 4y = 2
9x + ay = 3
in Abhangigkeit von a
4
y = 4
2. Fugen Sie zur Gleichung 3x 4a = 2 eine zweite lineare Gleichung so hinzu,
da das entstehende Gleichungssystem unlosbar ist.
3. Losen Sie die folgenden Gleichungssysteme
3 px + 5 py = 13
(b) 10
3
7 px 4 p y = 2
15
9
(c) 3yx 14 = 45
x
1
y+1 = 3
(a) x + y + z = 24
x+y z = 0
x y+z = 9
6
2.9
Polynome
1. Geben Sie eine quadratische Gleichung mit den Losungen
x1 = 2 und x2 = 3 an.
2. Welche Losungen haben die folgenden quadratischen Gleichungen:
21 7
(a) 7y +
y =1
4
12
(b) x2 + (u + v )x + uv = 0
3. Welches Polynom dritten Grades hat die Nullstellen x1 = 3,
x2 = 0, x3 = 7 und fur x4 = 1 den Funktionswert y4 = 6?
4. Man wahle die KoeÆzienten des Polynoms
f (x) = x2 + rx + s
so, da es die Nullstellen x1 = r und x2 = s hat.
5. * Fur welchen Wert von t hat das Polynom
f (x) = x2
tx + 36
(reelle) Nullstellen x1 ; x2 , die der Bedingung x21 + x22 = 49 genugen?
6. * Sei f (x) = (m + 1)x2 m2 (m 1)x + (m 1)3
(m ist eine beliebige ganze Zahl). Diskutieren Sie die Anzahl der reellen Nullstellen von f in Abhangigkeit von m, drucken Sie diese Nullstellen als Funktion von m aus und machen Sie Aussagen uber das Vorzeichen der Nullstellen.
Wann sind alle Nullstellen von f ganzzahlig?
2.10
Folgen und Reihen
1. Schreiben Sie mit Hilfe des Summensymbols
P
(a) 2 + 8 + 18 + 32 + 50 + 72 + 98 + 128
2
3
4
3
6
(b) 3 + 4 + 5 + 6 + 7
x q 2x q3x 4qx 5x
q
(c) c1 3 b0 + c2 3 b1 + c3 3 b2 + + c10 3 b9
2. Man berechne
100
X
(a)
7k + 3
n=1
(b)
n
X
k=1
ln k
7
(c) *
n
X
1
k=1 k (k + 1)
3. * Die Summe s3 der ersten drei Glieder einer unendlichen geometrischen Folge
betragt 6 und die Summe s aller Glieder dieser Folge betragt 163 . Fur welche
naturlichen Zahlen n gilt die Ungleichung
jsn sj < 961
2.11
Vollst
andige Induktion
1. * Man beweise:
(a) Fur beliebige positive Zahlen a1 ; a2 ; : : : ; an gilt
(1 + a1 )(1 + a2 ) (1 + an ) > 1 + a1 + a2 + + an
n(n + 1)
(b) 12 22 + 32 42 + + ( 1)n 1 n2 = ( 1)n 1
2
(c) Die Zahlenfolge (an ) sei gegeben durch a1 = 1, a2 = 2,
an = an 1 + an 2 fur n > 2. Zeigen Sie durch Induktion nach m die
Richtigkeit der Beziehung
an+m = an 1 am + an am+1
2. * Beweisen Sie die Gultigkeit der Gleichung
n
X
i3 =
!
n (n + 1) 2
2
i=0
2.12
mit n 2 N; n 0
Funktionen
1. Zeigen Sie, da fur jede Funktion f mit f (x) = m x + n,
(m; n reell, m 6= 0) gilt:
Aus x1 < x2 folgt
(
f (x1 ) < f (x2 ) falls m > 0
f (x1 ) > f (x2 ) falls m < 0
2. Ermitteln Sie die Intervalle, auf denen die folgenden fur alle reellen Argumente
x denierten Funktionen monoton sind, in Abhangigkeit von den Parametern
und geben Sie das jeweilige Monotonieverhalten an:
(a) f1 (x) = 3x2 + x + 2
(b) f3 (x) = 2 sin(3x + c)
a 6= 0; b 6= 0
3. Man gebe den Denitionsbereich folgender Funktionen an:
p
(a) y = cos x
(b) y = ln tan x
4. Man skizziere die Graphen folgender Funktionen
8
(a) y = x2
4x + 1
(c) y =
1
(b) y =
1 + x2
x
1 + x2
5. Man bestimme den groten Wert der Funktion y = cos x cos2x.
6. Geben Sie ein Beispiel fur eine periodische Funktion mit der Periode 2=5 an.
7. * Fur eine reelle Zahl x ist bxc die grote ganze Zahl, die nicht groer ist als x.
Zeigen Sie, da f (x) = x bxc eine periodische Funktion ist. Welche Periode
hat f ? Welches Bild hat f ?
8. Ermitteln Sie eine ganzrationale Funktion f mit y = f (x), fur die gilt:
f (1) =
1
1
f 0 (1) =
2
f 00 (x) = 0 fur alle x
Ist f durch die genannten Angaben eindeutig bestimmt?
2.13
Logarithmen
1. Zwischen welchen ganzen Zahlen r und r + 1 mu der Exponent in
4
7
=
8
liegen?
5
2. Zwischen welchen ganzen Zahlen r und r + 1 mu die nichtnegative Basis a
liegen?
6
(b) 0; 2a3 = 2; 7
(a) a5=6 =
7
3. Auf welche Ungleichungen zwischen den Exponenten und kann man schlieen?
9
3
(a) 3; 8 > 3; 8
(b)
<
4
2
4. Bestimmen Sie die Werte der folgenden Logarithmen ohne Taschenrechner:
p p 2
(a) log2 16
(b) log10 2 5
(c) log2 p
32
5. Geben Sie die Menge aller x an, die der Ungleichung
1
2
2
genugen.
logx
9
6. Wende Sie die Logarithmengesetze an
(a) bei der Darstellung von log12 27 mittels a = log4 9.
(b) bei der Berechnung von
log1=p p
logp
1
p
Was ist dabei uber p vorauszusetzen?
7. Zeigen Sie, da aus dem Logarithmengesetz
loga (xy ) = loga x + loga y
(a) loga
folgt:
x
= loga x loga y
y
(b) loga xp = p loga x
fur rationales p
Dabei sind x und y beliebige reelle Zahlen und a ist eine beliebige zulassige
Basis, d. h. a > 0 und a 6= 1.
2.14
Analytische Geometrie
1. Wie lautet die Gleichung der Geraden in der x-y -Ebene, die durch den Punkt
( 6; 3) geht und parallel ist zur Geraden mit der Gleichung y = 4x 5?
2. * Gesucht ist die Gleichung des Kreises durch die Punkte (8; 8), (15; 9) und
( 9; 1).
3. Einem Kreis vom Radius 2 um den Punkt (3; 7) sei ein gleichseitiges Dreieck
einbeschrieben, dessen eine Seite parallel zur x-Achse ist. Wie gro ist der
Flacheninhalt dieses Dreiecks?
4. Wo liegen die Mittelpunkte aller Kreise der Ebene, die eine gegebene Gerade
dieser Ebene in einem gegebenen Punkt beruhren?
5. * Man bestimme die Menge aller Punkte der Ebene mit den Koordinaten
(x; y ), fur die gilt:
(a) 3 jxj + 4 jy j < 1
(b) max(3 jxj; 4 jy j) 1
2.15
(c) jx y j 2
(d) x y 1
Beweise
1. Man zeige, da die Summe der dritten Potenzen von drei aufeinanderfolgenden
naturlichen Zahlen durch 9 teilbar ist.
10
2. Beweisen Sie folgende Aussagen uber naturliche Zahlen
(a) 8 ist Teiler von 9n 1 fur alle naturlichen Zahlen n 0.
(b) 2n < n2 , wenn n 2 N; n > 4
3. Jede der folgenden Aussagen ist entweder wahr oder falsch. Beweisen Sie die
wahren unter ihnen, und widerlegen Sie die falschen Aussagen durch Angabe
eines Gegenbeispiels:
(a) n2 + n + 41 ist fur jedes naturliche n eine Primzahl.
(b) Fur die Funktion f mit f (x) = ex und beliebige reelle Zahlen x1 ; x2 gilt
stets f (x1 x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ).
(c) Jede Gleichung der Gestalt ax2 + bx + c = 0 mit reellen KoeÆzienten
a; b; c und b2 4ac > 0 hat genau zwei reelle Losungen.
4. * Beweisen Sie (indirekt), da die Zahl

Letze Uberarbeitung:
16. Juli 2002
11
p
3
2 irrational ist.