Lösungsvorschläge zu Blatt 2 8) Da das Teilchen sich mit konstanter

Lösungsvorschläge zu Blatt 2
8) Da das Teilchen sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit bewegt und zufällig
gestoppt wird und da Z und Z + 2kπ, k ∈ Z, das gleiche X liefern, kann Z als
eine auf [−π, π] gleichverteilte ZV angesehen und X = cos Z gesetzt werden. Die
Verteilungsdichte von Z ist somit (vergl. 5a) mit a = −π und b = π):
1/(2π) für − π ≤ z ≤ π
fZ (z) =
0
sonst
a) Verteilungsfunktion von X:
−1 ≤ x ≤ 1 :
F (x) := P (X ≤ x) = P (cos Z ≤ x) = P (cos Z < x) = P (cos |Z| < x),
da Z eine stetige ZV und cos eine gerade Funktion ist (cos(−α) = cos α). Da nun
arccos eine streng monoton fallende Funktion ist, x in ihrem Definitionsbereich
liegt und arccos(cos α) = α für 0 ≤ α ≤ π gilt, kann man weiter folgern:
F (x) = P (|Z| > arccos x) = 1 − P (|Z| ≤ arccos x)
Intervallänge von [− arccos x, arccos x]
(∗)
= 1−P (− arccos x ≤ Z ≤ arccos x) = 1−
Intervallänge von [−π, π]
2 arccos x
arccos x
= 1−
=1−
.
2π
π
Dabei wurde für (∗) benutzt, dass [− arccos x, arccos x] ⊂ [−π, π] und dass Z in
[−π, π] gleichverteilt ist. Da die Verteilungsfunktion monoton wachsend ist, gilt
schließlich:
x < −1 ⇒ 0 ≤ F (x) ≤ F (−1) = 1 − (arccos(−1))/π = 1 − π/π = 0 ⇒ F (x) = 0.
x > +1 ⇒ 1 ≥ F (x) ≥ F (1) = 1 − (arccos 1)/π = 1 − 0/π = 1 ⇒ F (x) = 1.
b)

0






 −1
−1
0
·√
f (x) = F (x) =
π

1 − x2






0
für x < −1
für
−1<x<1
für x > 1
f (x) kann in endlich vielen Stellen x (also z.B. in ±1) undefiniert bleiben oder
willkürlich definiert werden (z.B. f (±1) := 0). Es bleibt dann zu beweisen, was
aber hier nicht durchgeführt werden soll:
Z x
F (x) =
f (t)dt f.a. x
−∞
c)
E(X) = E(cos Z) =
Z
∞
cos z fZ (z)dz =
−∞
1
Z
π
−π
1
cos z
dz =
[sin z]π−π = 0
2π
2π
d)
2
2
2
V (X) = E(X ) − (E(X)) = E(cos Z) − 0 =
Z
π
−π
Z π
(cos z)2
1 + cos 2z
1
dz =
dz
2π
2π −π
2
π
1
1
sin 2z
2π
= .
=
z+
=
4π
2
4π
2
−π
9) X sei der Gewinn bei Entscheidung A und Y der Gewinn bei Entscheidung
B.
a) E(X) = 2.5 · 0.30 + 2 · 0.50 + (−1) · 0.20 = 1.55,
E(X 2 ) = 2.52 · 0.30 + 22 · 0.50 + (−1)2 · 0.20 = 4.075,
2
2
V (X) = E(X
= 4.075 − 1.552 = 1.6725,
p ) − (E(X))
√
σ(X) := V (X) = 1.6725 = 1.29,
E(Y ) = 5 · 0.30 + 3 · 0.40 + (−2) · 0.30 = 2.1,
E(Y 2 ) = 52 · 0.30 + 32 · 0.40 + (−2)2 · 0.30 = 12.3,
2
2
2
V (Y ) = E(Y
p ) − (E(Y
√ )) = 12.3 − 2.1 = 7.89,
σ(Y ) := V (Y ) = 7.89 = 2.8,
b) Wenn eine Unternehmensleitung nur auf den erwarteten Gewinn achtet,
wird sie sich für Alternative B entscheiden. Dies ist aber mit einem großen Risiko verbunden; denn es sollten auch Abweichungen von dem erwarteten Gewinn
berücksichtigt werden, und dies lässt sich grob mit dem Intervallen
[E(X) − σ(X), E(X) + σ(X)] = [1.55 − 1.29, 1.55 + 1.29] = [0.26, 2.84],
[E(Y ) − σ(Y ), E(Y ) + σ(Y )] = [2.1 − 2.8, 2.1 + 2.8] = [−0.7, 4.9]
erreichen. Bei Alternative B reicht dieses Intervall in den negativen Bereich und
bei Alternative A nicht. Andererseits ist 4.9 deutlich größer als 2.84. eine risikofreudige Unternehmensleitung wird sich wohl für Alternative B, eine sehr
vorsichtige für Alternative A entscheiden.
10)Zu berechnen ist die Wahrscheinlichkeit
P (|X − E(X)| ≤ σ(X)) = P (E(X) − σ(X) ≤ X ≤ E(X) + σ(X))
für einige ZV aus den vorherigen Aufgaben.
√
zu 4 b) E(X) = 0 und aus p ≤ 1/2 folgt: σ(X) = 2p ≤ 1.
Für p = 0 ist X keine “echte” ZV und damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit
= 1.
p = 1/2 : P (E(X) − σ(X) ≤ X ≤ E(X) + σ(X)) = P (−1 ≤ X ≤ 1) = 1,
da X nur Werte zwischen (−1)und (+1) annimmt.
√
√
0 < p < 1/2 : P (E(X) − σ(X) ≤ X ≤ E(X) + σ(X)) = P (− 2p ≤ X ≤ 2p)
= P (X = 0) = 1 − 2p. (P (|X − E(X)|
√ ≤ σ(X)) kann also
√ sehr klein werden.)
Dabei wurde benutzt, dass −1 < − 2p < 0 und 0 < 2p < 1 ist und X nur
ganzzahlige Werte annimmt.
√
zu 5 a) σ(X) = (b − a)/(2 3) und damit > 0 und < (b − a)/2, und
E(X) = (b + a)/2.
2
Daraus folgt:
E(X) − σ(X) >
b+a b−a
b+a b−a
−
= a und E(X) + σ(X) <
+
= b.
2
2
2
2
Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhalten wir somit, da X eine stetige ZV ist
und da das Intergrationsintervall ⊂ [a, b] ist:
Z E(X)+σ(X)
1
2σ(X)
1
dx
E(X)+σ(X)
=
[x]E(X)−σ(X) =
= √ = 0.577.
b−a
b−a
3
E(X)−σ(X) b − a
√
zu 5 b) σ(X) = 2. Da der Integrand eine gerade Funktion ist und über ein
symmetrisches Intervall integriert wird, erhalten wir für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
Z √2
Z √2
√
√
√
−|x|
P (0 − 2 ≤ X ≤ 0 + 2) = 0.5 √ e dx =
e−x dx = 1 − e− 2 = 0.757.
− 2
0
13) Bedingungen, damit das Modell des Bernoulli-Experiment exakt anwendbar
ist:
Zufällige Auswahl aus den wahlberechtigten Einwohnern der Stadt ”m.Z.”, d.h.
es können Personen mehrfach befragt werden.
”Erfolg”: Befragte Person ist für Partei A, Wahrscheinlichkeit: p = 0.45
X:= Anzahl der Resultate ”für A” bei den 50 Befragungen
X ist binominalverteilt mit p = 0.45, (⇒ q = 0.55), n = 50
44% von 50 : 22
46% von 50 : 23
P (22 6 X 6 23) = P (X = 22) + P (X = 23)
50
50
22
28
=
· 0.45 · 0.55 +
· 0.4523 · 0.5527
22
23
= 0.223
14) Annahme: Kreditnehmer verhalten sich unabhängig voneinander.
Das Prüfen der 2000 Kreditnehmer ist dann ein Bernoulli-Experiment.
”Erfolg”: Kreditnehmer zahlt nicht, Wahrscheinlichkeit: p = 0.001
”Fehlschlag”: Kreditnehmer zahlt, Wahrscheinlichkeit: q = 0.999
Die Zufallsvariable X:= Anzahl der Kreditnehmer, die nicht zahlen
ist binominalverteilt mit n = 2000, p = 0.001, q = 0.999
2000
P (X = k) =
0.001k · 0.9992000−k
k
P (X > 2) = 1 − P (X 6 2)
3
P (X 6 2) =
2
X
P (X = k) = 0.999
2000
k=0
k
2 X
2000
0.001
k
k=0
1
= 0.135 · 1 · 1 + 2000 · 1.00 · 10
= 0.677 ⇒ P (X > 2) = 0.323
−3
0.999
2000 · 1999
+
· 1.002 · 10−6
1·2
Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 2 von 2000 Kreditnehmern nicht zahlen,
ist also 0.323.
15) X:= Zahl der an einem Schalter in einer Minute ankommenden Kunden
Man erwartet durchschnittlich 3 Kunden pro Minute: E(X) = 3
Poisson-Verteilung mit λ = E(X) = 3
a) Wahrscheinlichkeit, dass höchstens ein Kunde in einer Minute ankommt:
P (X 6 1) = P (X = 0) + P (X = 1)
0
3
31
−3
= e
= 4 · e−3 = 0.199
+
0!
1!
b) Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 5 Kunde in einer Minute ankommen:
P (X > 5) = 1 − P (X < 5) = 1 − P (X 6 4)
4
X
3k
= 1 − e−3
= 0.185
k!
k=0
Für die Ermittlung der der Funktionswerte der Verteilungsfunktion Φ der
Standard–Normalverteilung benutzen wir die bereitgestellte Tabelle. Da X eine
stetige ZV ist, können wir immer < durch ≤ und > durch ≥ ersetzen und umgekehrt. Es wird hauptsäcchlich Satz 7.6.6 angewendet.
16)
4−3
P (X < 4) = P (X 6 4) = Φ
= Φ(0.5) = 0.6915
2
P (X > 4) = 1 − P (X < 4) = 0.3085
1−3
−2 − 3
P (−2 6 X 6 1) = Φ
−Φ
= Φ(−1)−Φ(−2.5) = 1−Φ(1)−(1−Φ(2.5))
2
2
= Φ(2.5) − Φ(1) = 0.9938 − 0.8413 = 0.1525
Da 3 = µ und 2.5 = 1.25 · σ bzw. 2 = 1 · σ ist, können wir Satz 7.6.6 c)v)
anwenden:
P (|X − 3| 6 2.5) = 2Φ(1.25) − 1 = 2 · 0.8944 − 1 = 0.7888
4
P (|X − 3| > 2) = 1 − P (|X − 3| 6 2) = 1 − (2Φ(1) − 1) = 2 − 2 · 0.8413 = 0.3174
Bei g) können wir Satz 7.6.6 c)v) nicht anwenden, da 5 nicht der Erwartungswert
von X ist, aber Satz 7.6.6 b) und c)iii):
P (|X−5| > 2.5) = 1−P (|X−5| < 2.5) = 1−P (|X−5| 6 2.5) = 1−P (5−2.5 6 X 6 5+2.5)
7.5 − 3
2.5 − 3
= 1−Φ
+Φ
= 1−Φ(2.25)+1−Φ(0.25) = 2−0.9878−0.5987 = 0.4135
2
2
2. Weg: ”Direkte” Anwend. der N (0, 1)-Verteilung:
Y :=
X −3
2
N (0, 1)-vert.
X = 2Y + 3
P (X 6 4) = P (2Y + 3 6 4) = P (Y 6 0.5) = Φ(0.5) = 0.6915
17) Die Zufallsvariable X:= Brenndauer einer Glühbirne in Stunden
ist näherungsweise N (1300, 150)-verteilt.
a)
1100 − 1300
P (X < 1100) ≈ Φ
150
≈ Φ(−1.333)
= 1 − Φ(1.333)
Da wir nun “1.333” in der Tabelle nicht finden, wenden wir eine schon in der
Statistik I im Zusammenhang mit kumulierten Häufigkeiten benutzte Formel zur
linearen Interpolation an:
x − x1
Φ(x2 ) − Φ(x1 )
x2 − x 1
x1 6 x 6 x 2
Φ(x) ≈ Φ(x1 ) +
Für die “1.333” benachbarten Argumente erhalten wir aus der Tabelle:
Φ(1.33) = 0.9082
Φ(1.34) = 0.9099
Somit liefert die Interpolationsformel mit x1 := 1.33, x2 := 1.34 und x = 1.333:
Φ(1.333) ≈ 0.9082 +
1.333 − 1.33
(0.9099 − 0.9082) = 0.9087
1.34 − 1.33
5
Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhalten wir somit:
P (X < 1100) ≈ 0.0913
b)
P (X > 1400) ≈
≈
≈
=
1400 − 1300
1−Φ
150
1 − Φ(0.667)
0.667 − 0.66
1 − Φ(0.66) +
Φ(0.67) − Φ(0.66)
0.67 − 0.66
0.007
(0.7486 − 0.7454) = 1 − 0.7476 = 0.2524
1 − 0.7454 +
0.01
c)
1500 − 1300
1000 − 1300
P (1000 6 X 6 1500) ≈ Φ
−Φ
150
150
≈ Φ(1.333) − Φ(−2)
a)
≈ 0.9087 − (1 − 0.9772) = 0.8859
18) a)
X
N (µ, σ)-verteilt,
µ =?, σ =?
2512 − µ !
P (X < 2512) = P (X 6 2512) = Φ
= 0.0139
σ
2512 − µ
Wir suche in Tabelle x =
mit Φ(x) = 0.0139. Dieser Wert kommt
σ
als Funktionswert in der Tabelle nicht vor, da 0.0139 < 0.5 ist. Ausweg:
Φ(−x) = 1 − Φ(x) = 1 − 0.0139 = 0.9861
Die Tabelle liefert dann:
−x = −
2512 − µ
= 2.20
σ
Dies formen wir noch etwas um:
µ − 2512 = 2.20 · σ
2590 − µ !
P (X > 2590) = P (X > 2590) = 1 − Φ
= 0.1469
σ
6
(1)
Bezeichnen wir (2590 − µ)/σ mit y, so suchen wir also einen Wert y mit
Φ(y) = 1 − 0.1469 = 0.8531
Die Tabelle liefert dann:
2590 − µ
=: y = 1.05
σ
Dies formen wir noch etwas um:
2590 − µ = 1.05 · σ
(1) + (2) : (2590 − 2512) = (2.200 + 1.050) · σ
σ = 24
Dies in (1) eingesetzt liefert:
µ = 2.200 · 24 + 2512 = 2564.8
σ 2 = 576
b)
X
µ =?, σ 2 = 225, d.h. σ = 15
200 − µ !
P (X > 200) = 1 − Φ
= 0.0047
15
N (µ, σ)-verteilt,
Φ(z) = 1 − 0.0047 = 0.9953
Die Tabelle liefert dann:
200 − µ
=: z = 2.60
15
200 − µ = 2.60 · 15
µ = 161
170 − 161
140 − 161
P (140 6 X 6 170) = Φ
−Φ
15
15
= Φ(0.6) − 1 − Φ(1.4)
= 0.7257 − (1 − 0.9192) = 0.6449
19) X sei N (10, 0.02)-verteilt.
a) Da 10 = µ und 0.03 = 1.5 · σ ist, können wir Satz 7.6.6 c)v) anwenden:
P (|X − 10| 6 0.03) = 2Φ(1.5) − 1 = 2 · 0.9332 − 1 = 0.8664
7
(2)
Es sind also 13.36% Ausschuss zu erwarten.
b)
P (10 − C 6 X 6 10 + C) = P (|X − 10| 6 C)
C
!
= 2Φ
− 1 = 0.95
0.02
C
Φ
= 0.975
0.02
C
= 1.96
0.02
C = 0.0392
Die Tabelle liefert:
8