63) X binomialverteilt mit p = 0.2 und n = 10

Lösungsvorschläge zu Aufgabe 63 von Blatt 7 den Aufgaben 64 – 68
von Blatt 8:
63) X binomialverteilt mit p = 0.2 und n = 10:
q = 1 − p = 0.8
10
0.2k 0.810−k
k = 0, 1, . . . , 10
P (X = k) =
k
a)
P (X 6 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)
10
10
10
1
9
0
10
0.22 · 0.88
0.2 · 0.8 +
0.2 · 0.8 +
=
2
1
0
10 · 9
2
8
2
= 0.8 1 · 1 · 0.8 + 10 · 0.2 · 0.8 +
· 0.2 · 1
1·2
= 0.88 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678
P (X < 2) = P (X = 0) + P (X = 1)
= 0.88 [0.64 + 1.6] = 0.376
P (X > 2) = P (X = 2) + P (X = 3) + . . . + P (X = 10) = . . .
günstiger:
P (X > 2) = 1 − P (X < 2) = 1 − 0.376 = 0.624
P (X > 1) = 1 − P (X < 1) = 1 − P (X = 0)
= 1 − 0.810 = 0.893
P (1 < X 6 3) = P (X = 2) + P (X = 3)
10
10
2
8
0.23 · 0.87
0.2 · 0.8 +
=
3
2
10 · 9 · 8
2
7 10 · 9
· 0.8 +
· 0.2
= 0.2 · 0.8
2
1·2·3
= 0.503
b)
E(X) = n · p = 10 · 0.2 = 2
V (X) = n · p · q = 2 · 0.8 = 1.6
1
64) Lieferung: 10000 Schrauben, 50 defekt, 20 Ziehungen m.Z.
”m.Z.” ⇒ nach jeder Ziehung einer Schraube wird der alte Zustand wiederhergestellt ⇒ Die 20 Ziehungen m.Z. bilden ein Bernoulli-Experiment.
”Erfolg”:= Ziehung eines defekten Stückes;
50
= 0.005.
Wahrscheinlichkeit dafür: p =
10000
q := 1 − p = 0.995
X:= Anzahl der Ziehungen von defekten Stücken
X ist binomialverteilt mit n = 20, p = 0.005, q = 0.995.
20
0.005k · 0.99520−k
P (X = k) =
k
a)
20
0.99520 = 1 · 0.99520 = 0.905
P (X = 0) =
0
b)
20
0.0051 · 0.99519 = 20 · 0.005 · 0.99519 = 0.091
P (X = 1) =
1
c)
P (X 6 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0.996
65) Bedingungen, damit das Modell des Bernoulli-Experiment exakt anwendbar
ist:
Zufällige Auswahl aus den wahlberechtigten Einwohnern der Stadt ”m.Z.”, d.h.
es können Personen mehrfach befragt werden.
”Erfolg”: Befragte Person ist für Partei A, Wahrscheinlichkeit: p = 0.45
X:= Anzahl der Resultate ”für A” bei den 50 Befragungen
X ist binomialverteilt mit p = 0.45 (⇒ q = 0.55), n = 50
44% von 50 : 22
46% von 50 : 23
P (22 6 X 6 23) = P (X = 22) + P (X = 23)
50
50
22
28
· 0.4523 · 0.5527
· 0.45 · 0.55 +
=
23
22
50 · 49 · · · 29
50 · 49 · · · 28
=
· 0.4522 · 0.5528 +
· 0.4523 · 0.5527 = 0.223
1 · 2 · · · 22
1 · 2 · · · 23
66) Annahme: Kreditnehmer verhalten sich unabhängig voneinander.
Das Prüfen der 2000 Kreditnehmer ist dann ein Bernoulli-Experiment.
2
”Erfolg”: Kreditnehmer zahlt nicht, Wahrscheinlichkeit: p = 0.001
”Fehlschlag”: Kreditnehmer zahlt, Wahrscheinlichkeit: q = 0.999
Die Zufallsvariable X:= Anzahl der Kreditnehmer, die nicht zahlen
ist binomialverteilt mit n = 2000, p = 0.001, q = 0.999
2000
0.001k · 0.9992000−k
P (X = k) =
k
P (X > 2) = 1 − P (X 6 2)
P (X 6 2) =
2
X
P (X = k) = 0.999
2000
k
2 X
0.001
2000
k
0.999
k=0
2000 · 1999
−3
−6
= 0.135 · 1 · 1 + 2000 · 1.00 · 10 +
· 1.00 · 10
1·2
= 0.677 ⇒ P (X > 2) = 0.323
k=0
Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 2 von 2000 Kreditnehmern nicht zahlen,
ist also 0.323.
67) X:= Zahl der an einem Schalter in einer Minute ankommenden Kunden
Man erwartet durchschnittlich 3 Kunden pro Minute: E(X) = 3
Poisson-Verteilung mit λ = E(X) = 3
a) Wahrscheinlichkeit, dass höchstens ein Kunde in einer Minute ankommt:
P (X 6 1) = P (X = 0) + P (X = 1)
0
3
31
−3
= e
= 4 · e−3 = 0.199
+
0!
1!
b) Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 5 Kunden in einer Minute ankommen:
P (X > 5) = 1 − P (X < 5) = 1 − P (X 6 4)
4
X
32 33 34
3k
−3
−3
1+3+
= 0.185
= 1−e
+
+
= 1−e
k!
2
6
24
k=0
68) Für die Ermittlung der der Funktionswerte der Verteilungsfunktion Φ der
Standard–Normalverteilung benutzen wir die bereitgestellte Tabelle. Da X eine stetige ZV ist, können wir immer < durch ≤ und > durch ≥ ersetzen und
umgekehrt. Es wird hauptsächlich Satz 7.6.6 angewendet.
4−3
= Φ(0.5) = 0.6915
P (X < 4) = P (X 6 4) = Φ
2
3
P (X > 4) = 1 − P (X < 4) = 0.3085
1−3
−2 − 3
P (−2 6 X 6 1) = Φ
−Φ
= Φ(−1)−Φ(−2.5) = 1−Φ(1)−(1−Φ(2.5))
2
2
= Φ(2.5) − Φ(1) = 0.9938 − 0.8413 = 0.1525
Da 3 = µ und 2.5 = 1.25 · σ bzw. 2 = 1 · σ ist, können wir Satz 7.6.6 c)v)
anwenden:
P (|X − 3| 6 2.5) = 2Φ(1.25) − 1 = 2 · 0.8944 − 1 = 0.7888
P (|X − 3| > 2) = 1 − P (|X − 3| 6 2) = 1 − (2Φ(1) − 1) = 2 − 2 · 0.8413 = 0.3174
Bei g) können wir Satz 7.6.6 c)v) nicht anwenden, da 5 nicht der Erwartungswert
von X ist, aber Satz 7.6.6 b) und c)iii):
P (|X−5| > 2.5) = 1−P (|X−5| < 2.5) = 1−P (|X−5| 6 2.5) = 1−P (5−2.5 6 X 6 5+2.5)
2.5 − 3
7.5 − 3
= 1−Φ
+Φ
= 1−Φ(2.25)+1−Φ(0.25) = 2−0.9878−0.5987 = 0.4135
2
2
2. Weg: ”Direkte” Anwend. der N(0, 1)-Verteilung:
Y :=
X −3
2
ist N(0, 1)-verteilt.
X = 2Y + 3
P (X 6 4) = P (2Y + 3 6 4) = P (Y 6 0.5) = Φ(0.5) = 0.6915
4