Folien Mathematik 3

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Folien „Mathematik”: Lineare Gleichungen
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M. Giger, 2000
Steigung und Gefälle
Steigungsdreieck
C
Steigungswinkel
A
horizontale Länge
Höhenunterschied
ke
c
tre
s
g
ä
r
h
Sc
B
Formel für die Steigung
y y 2 −y 1
Höhenunterschied
Steigung a = horizontale Länge = x = x 2 −x 1
Beispiele
Steigung in %
0
50
100
200
400
’
Bemerkung
horiz. Länge = Schrägstrecke
0°
26.5 6°
45°
63.4 3°
75.9 6°
Division durch Null!
90°
Folien „Mathematik”: Lineare Gleichungen
M. Giger, 2000
Funktionen
Funktionen sind mathematische Vorschriften, welche
eine Zahlenmenge auf eine andere abbilden.
Darstellung von Funktionen
Funktionen werden normalerweise in der Form einer
Wertetabelle, eines Graphen oder einer Funktionsgleichung dargestellt.
Beispiel einer Funktion
x
-2
-1
0
1
2
y
-8
-3
2
7
12
Wertetabelle
Folien „Mathematik”: Lineare Gleichungen
\
y = 5x + 2
[
2
oder
1
f: x à 5x + 2 = y
Graph
Funktionsgleichung
M. Giger, 2000
Lineare Funktion
Eine Funktion, deren Graph eine Gerade ist, nennt man
lineare Funktion. Die Funktionsgleichung einer linearen
Funktion hat die Form: y = ax + b.
Steigung a =
y2- y1
x2- x1
horizontale Länge
3[\
1 1 1
Höhenunterschied
3[\
2 2 2
b = y-Achsenabschnitt
Beispiel
Von einer Geraden sind die beiden Punkte P1(5/4) und
P2(7/10) bekannt. Schreibe deren Funktionsgleichung auf.
Mit folgender Formel kann die Steigung berechnet werden:
y −y
6 =3
Steigung a = x 22 −x 11 = 10−4
=
7−5
2
Ist die Steigung bekannt, wird der y-Achsenabschnitt b wie
folgt berechnet:
y = ax + b X b = y − ax = 4 − 3 5 = −11
Also lautet die gesuchte Gleichung: y = 3x - 11
Folien „Mathematik”: Lineare Gleichungen
M. Giger, 2000
Gleichungssysteme
Wir sprechen von einem Gleichungssystem, wenn wir
x Gleichungen mit x Variablen zu einer Aussageform
verbinden. Die Lösungsmenge eines solchen Gleichungssystems besteht aus Gruppen von jeweils x Zahlen, die alle
Gleichungen erfüllen.
Beispiel: zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten
1. Gleichung:
2x + y = 7
2. Gleichung:
3x - 4y = 7
Das Gleichungssystem notieren wir wie folgt:
2x + y = 7
3x - 4y = 7
Auflösung von Gleichungssystemen
Gleichungssysteme können in der Regel sowohl graphisch
(Schnittpunktsuche) als auch algebraisch gelöst werden.
Drei algebraische Lösungstechniken haben sich je nach
Aufgabentyp als besonders nützlich erwiesen: das Gleichsetzungs-, das Einsetzungs- und das Additionsverfahren.
Folien „Mathematik”: Lineare Gleichungen
M. Giger, 2000
Produkt von Binomen
Zweigliedrige Terme (z.B. a + b oder c – d) werden
Binome genannt.
Wir wissen: a · (c + d) = a · c + a · d (Distributivgesetz)
Um das Produkt zweier Binome zu bilden, benutzen wir
einen mathematischen Trick: (a + b) · (c + d) = ?
Wir ersetzen (c + d) durch z und können nun folgende
Rechnung ausführen: (a + b) · z = a · z + b · z
Nun ersetzen wir z wieder durch (c + d) und erhalten:
a · (c + d) + b · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d
Es gilt also: (a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd
Man multipliziert zwei Binome miteinander, indem man
jedes Glied des einen Binoms mit jedem Glied des
anderen multipliziert und die Produkte addiert.
Binomische Formeln
(a + b) · (a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab +b2
(a + b) · (a – b) = a2 – b2
(a – b) · (a – b) = (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Geometrische Deutung der binomischen Formeln:
a
a
b
2
a
ab
b
ab
b2
a2 + 2ab +b2
a-b
b
b
a
b b
a-b
2
a
ab
a
b2
ab
a2 – b2
Folien „Mathematik”: Algebra in der Menge der rationalen Zahlen
b2
b
b
2
a
ab
ab
ab
ab
b2
b2
a2 – 2ab + b2
M. Giger, 2000
Ganzzahlige Zerlegung quadratischer Trinome
Ausdrücke der folgenden Art werden als quadratische
Trinome bezeichnet.
2
x + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
konstantes (absolutes) Glied
lineares Glied
quadratisches Glied
Um solche Trinome zu zerlegen (sofern möglich), suchen
wir zwei Zahlen, für welche gilt:
a + b ist der Koeffizient des linearen Gliedes und
a · b ist das konstante Glied.
Beispiele:
x2 + (a + b)x + ab
a+b
ab
(x + a)(x + b)
x2 + 8x + 15
8
15
(x + 3)(x + 5)
1 · 15
3·5
x2 + 2x – 15
2
–15
(x – 3)(x + 5)
–3 · 5
3 · –5
x2 – 2x – 15
–2
–15
(x + 3)(x – 5)
3 · –5
x2 – 8x + 15
–8
15
(x – 3)(x + 5)
–3 · –5
Folien „Mathematik”: Algebra in der Menge der rationalen Zahlen
M. Giger, 2000
Lösung von Bruchgleichungen
Gleichungen, die Nenner mit Polynomen (z.B. Binom)
enthalten, werden gelöst, indem man beide Seiten der
Gleichung mit dem Hauptnenner multipliziert.
Beispiel:
x
4
x+ 2 + x+ 6 = 1 [ (x + 2 )(x + 6)
x(x+2)(x+6) 4(x+2)(x+6)
+
= 1 (x + 2)(x + 6)
x+2
x+6
x(x + 6) + 4(x + 2) = (x + 2)(x + 6)
x2 + 6x + 4x + 8 = x2 + 6x + 2x + 12
x2 + 10x + 8 = x2 + 8x + 12 | –x2
10x + 8 = 8x + 12 | –8x –8
2x = 4 | ÷2
x=2
Durch die Multiplikation mit dem Hauptnenner können
Lösungen entstehen, welche die Ausgangsgleichung nicht
erfüllen. Daher ist stets eine Probe vorzunehmen. Besonders ist auf Werte zu achten, für die der Nenner Null wird,
da diese nicht zur Definitionsmenge gehören.
Probe für Beispiel:
x + 4 = 2 + 4 = 2+4 = 1+1 =1
ü
x+2 x+6 2+2 2+6 4 8 2 2
x = 2 ist wirklich Lösung der Gleichung.
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M. Giger, 2000
Lösung von Wurzelgleichungen
Wurzelausdrücke in Gleichungen lassen sich oft durch
einfaches Quadrieren beseitigen.
Dazu sind die drei Schritte nötig: 1. Wurzel isolieren, 2.
Gleichung quadrieren, 3. Probe.
1. Wurzel isolieren
Die Gleichung wird so umgeformt, dass der Wurzelausdruck allein auf einer Seite steht.
20 − 2x − x = 2 [ +x
2. Gleichung quadrieren
Beide Seiten der Gleichung werden mit sich selbst multipliziert. Dies wird mit ()2 gekennzeichnet.
20 − 2x = 2 + x [ ( ) 2
Nun kann die neue Gleichung gelöst werden.
20 – 2x = x2 + 4x + 4 | + 2x - 20
x2 + 6x – 16 = 0
(x – 2)(x + 8) = 0 => x1 = 2, x2 = –8
3. Probe
Durch Quadrieren einer Gleichung können Lösungen
entstehen, welche die Ausgangsgleichung nicht erfüllen.
Daher ist stets eine Probe vorzunehmen.
20 − 2x − x = 20 − 2 2 − 2 = 16 − 2 = 4 − 2 = 2 ü
x = 2 ist eine Lösung der gegebenen Gleichung.
20 − 2x − x = 20 − 2 −8 − −8 = 36 + 8 = 6 + 8 = 14 û
x = –8 ist keine Lösung der gegebenen Gleichung!
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M. Giger, 2000