Intro Im folgenden will ich also mal die Herleitung der

Intro
Im folgenden will ich also mal die Herleitung der Gelenkwinkelberechnungen eines (etwa Hexapoden-)Beins mit 2 Schenkeln ausführen, wenn der
Fuß in einer Geraden am Bot vorbeigeführt werden soll. Es werden im folgenden 2 Ansichtsebenen verwendet. Die erste ist die einfache Draufsicht,
also jene Ansicht, die ein Spiegelei am größten wirken lässt. Die zweite Ansicht will ich mal „Beinebene“ nennen. Sie wird durch die beiden Schenkel
aufgespannt. Egal wie diese Schenkel im Raum stehen, der Blickwinkel ist
immer senkrecht darauf. Im folgenden sind die Bildchen mal aufgemalt.
Variablendefinition
(vorne)
α
B
r
C
β
δ
τ
a
D
γ δ
b
r
(hinten)
Es wird also verlangt, dass der Fuß im konstanten Abstand a zum Bot an
diesem vorbeigeführt wird. Das „Schultergelenk“ des Fußes befindet sich
in der Höhe b (Boden: b = 0). Der Winkel τ gibt also hier die Verdrehung
des Beins nach vorne oder nach hinten an (τ = 0, wenn das Bein senkrecht
zum Rumpf steht). Die Länge D ist lediglich eine Hilfslinie, die Fuß und
Schulter miteinander verbindet, mit dem Winkel δ zum Boden.
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Hauptteil
Ziel ist es jetzt unter Vorgabe eines Winkels τ die anderen beiden Gelenke
genau so zu verstellen, das der Fuß auf der Linie mit dem Abstand a steht.
Kurz: wie groß sind α und β?
Nehmen wir uns mal die Draufsicht her:
r
τ
a
Man kann hier also erkennen, wie groß die unbekannte r ist:
a = r · cos τ
a
r=
cos τ
Jetzt kann man überschwenken in die Beinebene:
B
C
D
δ
b
r
Die Linie D ist Teil von zwei Dreiecken: zum einen △BCD und △rbD.
Letztes ist ein rechtwinkliges Dreieck, was heißt man kann schnell ausrechnen, wie groß D ist:
p
D = b2 + r 2
Man kann ebenfalls erkennen, dass der Winkel, der von D und dem Schenkel B eingeschlossen wird, sich aus den beiden Winkeln β und δ zusammensetzt. Wenn wir uns also später den Winkel in diesem Dreieck berechnen, müssen wir noch δ kennen um β erhalten zu können:
b
tan δ =
r
b
bzw.
δ = arctan
r
2
Jetzt kann man also zu dem anderen Dreieck übergehen:
α
B
C
β
δ
D
γ δ
Hier hilft das gute alte Tafelwerk mit dem Kosinussatz. Ich empfand es als
sinnvoll, zunächst β zu ermitteln. Unter den drei im Tafelwerk zur Auswahl stehenden wird sich also für folgenden entschieden und nach β umgestellt:
C 2 = B 2 + D2 − 2BD cos (β + δ)
B 2 + D2 − C 2
2BD
2
B + D2 − C 2
β = arccos
−δ
2BD
cos (β + δ) =
Damit ist also bereits der eine Winkel bekannt. Für α kann man vom Sinussatz Gebrauch machen. Wenn man diesen direkt für α verwendet, erhält
man ein Ergebnis, das lediglich Werte von ≤ 90o liefert (siehe: sin 45o =
sin 135o ). (...bei mir zumindest...)
Deshalb habe ich mich dafür entschieden, damit zunächst γ zu berechnen:
sin (γ − δ)
B
=
C
sin (β + δ)
B
sin (γ − δ) =
· sin (β + δ)
C
B
γ = arcsin
· sin (β + δ) + δ
C
Letztendlich kann man dann über den Innenwinkelsummensatz α errechnen:
α + (β + δ) + (γ − δ) = 180o
α + β + γ = 180o
α = 180o − β − γ
Das ineinander Einsetzen ist dann nur noch ein einziger weiterer Schritt,
den nachzuvollziehen jeder für sich tätigen sollte. Für den Archivierungs3
fall dieses pdfs schreibe ich das Ergebnis nochmal auf:
h
i


 B 2 + cosa τ 2 + b2 − C 2 
q
α = 180o − arccos
−
2


a
2
2B
+
b
cos τ
i
h




2
a
2
2 
2


+
b
−
C
B
+
cos
τ
B

q
− arcsin  · sin arccos
2



C
a
2
+b
2B
cos τ
i
h


 B 2 + cosa τ 2 + b2 − C 2 
b · cos τ
q
− arctan
β = arccos
2


a
a
2
+
b
2B
cos τ
Solltet ihr doch noch Beanstandungen oder Fehler gefunden haben, immer
her damit!
Grüß
NRicola
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