Terme und Termumformungen

Terme und
Termumformungen
Terme enthalten Variable und Zahlen, die durch Rechenoperationen
miteinander verknüpft sind. Variable sind dabei einfach Platzhalter für
beliebige Zahlen. Für Terme gelten deshalb die gleichen Rechenregeln wie
für Zahlen. Ein Term wird nach der letzten Rechenoperation benannt, die
durchzuführen ist.
Bsp.: Der Term (2x − 3)2 + (5:(x − 7)) ist eine Summe.
Setzt man für die Variablen eines Terms Zahlen ein, so erhält man eine Zahl,
den Wert des Terms bei dieser Einsetzung. Für gleiche Variablen muss man
dieselbe Zahl einsetzen. Bei verschiedenen Variablen darf man auch
dieselbe Zahl einsetzen.
Zwei Terme heißen wertgleich, wenn sie bei jeder beliebigen Einsetzung
übereinstimmende Werte ergeben.
Umformungen eines Terms in einen einsetzungsgleichen Term heißen
Termumformungen. Termumformungen sind:
1. Addition von Termen (Zusammenfassen)
Terme können nur dann addiert
Bsp: 3a + 4a = 7a
2a2b + 3a2b = 5a2b
werden, wenn sie die gleichen
7x3yz2 − 5z2yx3 = 2x3yz2
Variablen mit den gleichen
Exponenten enthalten. Dabei
aber: 2ab2 + 3a2b , 2a + 3ab , 2a +
werden einfach die Vorfaktoren
3b lassen sich nicht
addiert. (Die Variablen und ihre Exponenten
zusammenfassen!
bleiben unverändert!)
(Da eine Subtraktion durch Addition der Gegenzahl ersetzt werden kann, gilt für die Subtraktion
die gleiche Regel.)
2. Multiplikation von Termen
a) Multiplikation eines Produktes mit einer Zahl bzw. Variablen /
reine Multiplikation (Ordnen):
Nur einer der Faktoren wird mit der Bsp: 4·(3xy) = (4·3)xy = 12xy
x·(3xy) = 3x2y
Zahl bzw. Variablen multipliziert.
Zahlen nach vorn, miteinander
multiplizieren;
Variablen alphabetisch geordnet,
miteinander multiplizieren.
5b·7ab2·2ab
= 2·5·7·a·a·b2·b·b
= 70a2b4
(Da eine Division durch eine Multiplikation mit dem Kehrwert ersetzt werden kann, gilt für die
Division die gleiche Regel.)
b) Multiplikation von Summen (Ausmultiplizieren / in eine Summe
umformen):
Multipliziert man einen Term mit
Bsp: x(4 + 7y) = x·4 + x·7y
= 4x + 7xy
einer Summe, so muss jeder
−3a(b2 − 4c + 7)
einzelne Summand mit diesem
= −(3ab2 − 12ac + 21a)
Term multipliziert werden. (Die
Rechenzeichen werden dabei als Vorzeichen
= −3ab2 + 12ac − 21a
der nachfolgenden Zahl interpretiert!)
Bei der Multiplikation von zwei
Bsp: (a − b + c)(−d + e − f + g)
= −ad + ae − af + ag + bd − be
Summen muss jeder Summand der
+ bf − bg − cd + ce − cf + cg
ersten Summe mit jedem Summand
der zweiten Summe multipliziert
werden. (Die Rechenzeichen werden dabei
als Vorzeichen der nachfolgenden Zahl
interpretiert!)
Nach dem Ausmultiplizieren lassen sich gleichartige Terme eventuell
noch zusammenfassen.
c) Binomische Formeln:
I (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
II (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
III (a + b)(a − b) = a2 − b2
Bsp: (7 + x)2 = 49 + 14x + x2
(y − 5z)2 = y2 − 10yz + 25z2
(4x + 3y)(4x − 3y) = 16x2 − 9y2
3. Ausklammern / Faktorisieren / in ein Produkt umformen
Zahlen und Variablen, die in
Bsp: 24a3b + 32a2 − 60ab + 4a
= 4a(6a2b + 8a − 15b + 1)
allen Summanden gleichzeitig
vorhanden sind, können ausgeklammert werden.
Auch Klammerterme können
ausgeklammert werden
(schrittweise faktorisieren).
Bsp: ab − a − b + 1
= a(b − 1) − (b − 1)
= (a − 1)(b − 1)
x2 + (a + b)x + a·b Bsp: x2 − 15x + 50
Sonderfall:
(Satz von Vieta) = (x + a)(x + b)
= (x − 5)(x − 10)
x2 + x − 12 = (x + 4)(x − 3)
Bsp: 11x2 − 11y2 = 11(x2 − y2)
= 11(x + y)(x − y)
50x3 − 20x2y + 2xy2
= 2x(25x2 − 10xy + y2)
= 2x(5x − y)2
Reihenfolge: immer zuerst ausklammern, wenn möglich!
Auch die binomischen Formeln
können hilfreich sein.