Zusammenfassung: Metrik

2006/2007
Physik 9. Jahrgangsstufe
Arbeitsblatt
Zusammenfassung: Metrik
Die Metrik ist das Gebiet der analytischen Geometrie, dass Rechnungen mit Längen und Winkel
begründet. Der zentralste Inhalt ist die Definition des Skalarprodukts:
Definition des Skalarprodukts
Das Skalarprodukt wird in der analytischen Geometrie folgendermaßen definiert:

 

a1
b1
 a2  ◦  b 2  = a1 b 1 + a2 b 2 + a3 b 3
a3
b3
Das Skalarprodukt kann auch geometrisch gedeutet werden. Wenn φ der Winkel zwischen den
beiden Vektoren ~a und ~b ist, dann gilt:
~a ◦ ~b = |~a||~b| · cos(φ)
Der Betrag eines Vektors ist dabei definiert als:
q
|~a| = a2x + a2y + a2z
Der Normalenvektor und die Normalform
Ein interessanter Fall ist, wenn der Zwischenwinkel zweier Vektoren ein rechter Winkel ist. Dann
ist das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich 0. Diese Eigenschaft macht man sich zu Nutze,
wenn man einen Vektor sucht, der auf einer Ebenen senkrecht steht:
Ein Vektor, der auf der Ebene senkrecht steht, heißt Normalenvektor.




r1
s1
Sind ~r =  r2  und ~s =  s2  die Richtungsvektoren der Ebene, dann erhält man den
r3

 s3
n1

n2  durch die folgenden Schritte:
Normalenvektor ~n =
n3
1. Durch die Bedingungen ~n ◦ ~r = 0 und ~n ◦ ~s = 0 erhält man ein lineares Gleichungssystem
mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Dies ist ein unterbestimmtes System.
2. Wähle für eine Unbekannte n1 ,n2 oder n3 einen Wert zwischen 1 und 3 und setze diesen
anstelle dieser Unbekannten ein. Löse dann das Gleichungssystem mit zwei unbekannten
auf.
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Mit dem Normalvektor kann man die Parameterform der Ebene in die Normalform (entspricht
Koordinatenform) der Ebene erzeugen durch die Anwendung:
→ −
−
→
~n ◦ ( X − A ) = 0


x1
~ =  x2  und A
~ der Aufpunktsvektor der Ebene.
Dabei ist X
x3
Anwendung der Normalform
Die Hauptanwendung der Normalform ist die Bestimmung des Abstands. Dabei unterscheidet
man zwei Fälle:
• Der Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden.
• Der Abstand eines Punkts zu einer Ebene.
Den Abstand eines Punkts zu einer Ebene löst man folgendermaßen:
1. Erstelle den Normalenvektor von der Ebene.
2. Definiere damit eine Lotgerade durch den Punkt P auf die Ebene E.
3. Berechne den Schnittpunkt S der Lotgerade mit der Ebene.
−→
4. Berechne die Länge des Vektors P S.
Winkelrechnung
Mit der geometrischen Interpretation des Skalarprodukts ist es möglich, auch Winkelberechnungen zu fundieren. Dabei betrachtet man:
• Den Schnittwinkel zweier Geraden: Seien ~u und ~r die Richtungsvektoren der beiden Geraden, dann berechnet man den Schnittwinkel über:
~u ◦ ~r = |~u||~r| cos(φ)
• Den Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen:
1. Erstelle von beiden Ebenen den Normalenvektor.
2. Der Schnittwinkel ist dann:
n~1 ◦ n~2 = |n~1 ||n~2 | cos(φ)
• Der Winkel zwischen Ebene und Gerade
1. Erstelle den Normalenvektor der Ebene.
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2. Den Schnittwinkel mit der Gerade erhält man dann, wenn ~u der Richtungsvektor der
Gerade ist:
~u ◦ ~n = |~u||~n| sin(φ)
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