Schnittwinkel - Markus Peitz

Analytische Geometrie: Schnittwinkel
Sofern die Richtung der Vektoren wichtig ist (etwa bei den Innenwinkeln einer ebenen Figur),
berechnen wir den Schnittwinkel zweier Richtungsvektoren (etwa im Dreieck) mit der
Formel:
u1 ⋅ u2
cos(ϕ) =
u1 ⋅ u2
Die folgende Situation setzen wir für die Berechnung von Schnittwinkeln zwischen
Geraden und Ebenen voraus:
Gegeben seien Geraden:
g1 : x = a1 + λ ⋅ u1
und Ebenen in Normalenform:
e1 : n1 ⋅ x − p1 = 0
(
)
und
g2 : x = a 2 + µ ⋅ u 2
und
e2 : n2 ⋅ x − p 2 = 0 .
(
)
(Gegebenenfalls wandeln wir eine Ebene aus ihrer Parameter- in ihre Normalenform um:
e: x = a + λ⋅v + µ⋅w
⇒
n = v×w
und
(
)
e: n⋅ x −a = 0 )
Sofern wir keine „Richtung“ zu beachten haben, bilden zwei sich schneidende „Objekte“
immer zwei Paar von Scheitelwinkel (die sich dann jeweils auf 180° ergänzen).
Den Schnittwinkel definieren wir als den kleineren der beiden Winkel.
Für den Schnittwinkel zweier Geraden gilt, sofern sie sich schneiden:
cos(ϕ) =
u1 ⋅ u2
u1 ⋅ u2
Für den Schnittwinkel zweier Ebenen gilt,
sofern sie sich schneiden:
cos(ϕ) =
n1 ⋅ n2
n1 ⋅ n2
Im Falle einer Geraden mit dem Richtungsvektor u , die eine Ebene mit dem
Normalenvektor n schneidet, definieren wir als Schnittwinkel den Schnittwinkel, den die
Gerade mit ihrer Projektion auf die Ebene bildet.
Für den Schnittwinkel zwischen Gerade
und Ebene gilt, sofern sie sich schneiden:
sin(ϕ) =
u⋅n
u ⋅ n
Hier haben wir den Sinuswert benutzt, da wir bei der Ebene den Normalenvektor betrachten,
der senkrecht auf der Ebene steht (und somit die Ankathete zur Gegenkathete wird).
Dipl.-Math. Markus Peitz • www.markus-peitz.de
Zuletzt geändert am 13.09.2016
Beispiele:
a)
Für den Schnittwinkel der (sich im berechneten Schnittpunkt S ( − 7 / 6 / 3
 − 11
 − 4




schneidenden) Geraden g1 : x =  9  + λ ⋅  3 
 1 
 − 2




cos(ϕ) =
⇒
b)
=
u1 ⋅ u2
 − 4
3


 
 3  ⋅ 5
 − 2
 1


 
 − 4
3


 
und g2 : x =  11  + µ ⋅  5  gilt:
 4 
 1


 
− 12 + 15 − 2
=
16 + 9 + 4 ⋅ 9 + 25 + 1
 − 2
 
Für die sich schneidenden Ebenen e1 :  1  ⋅ x = − 6 und e2 :
 1 
 
⇒
=
1
29 ⋅ 35


1
 ≈ 88,2°
ϕ = cos −1 

29
⋅
35


cos(ϕ) =
c)
u1 ⋅ u2
 − 4 3

  
 3  ⋅ 5
 − 2   1

  
)
n1 ⋅ n2
=
n1 ⋅ n2
 − 2  1 
   
 1  ⋅  − 2
 1   1 
   
=
 − 2
 1 
 
 
 1  ⋅  − 2
 1 
 1 
 
 
− 2 − 2 +1
4 + 1+ 4 ⋅ 1+ 4 + 1
=
 1 
 
 − 2  ⋅ x = 15 gilt:
 1 
 
−3
6⋅ 6
=
3
1
=
6
2
 1
ϕ = cos −1  = 60°
2
 3 
2
 2 
 
 
 
Die Ebene e :  1  ⋅ x − 4 = 0 und die Gerade g : x =  3  + λ ⋅  − 3  schneiden
 − 2
 − 1
 1 
 
 
 
sich, für den Schnittwinkel gilt:
sin(ϕ) =
⇒
u⋅n
u ⋅ n
=
 2   3 
   
 − 3 ⋅  1 
 1   − 2
   
 2 
 3 
 
 
 − 3 ⋅  1 
 1 
 − 2
 
 
=
6−3−2
4 + 9 + 1 ⋅ 9 + 1+ 4
 1
ϕ = sin−1  ≈ 4,1°
 14 
Dipl.-Math. Markus Peitz • www.markus-peitz.de
Zuletzt geändert am 13.09.2016
=
1
14 ⋅ 14
=
1
14