Institut für Angewandte Mathematik
WS 2015/16
Prof. Patrik Ferrari, Dr. Martin Huesmann
,,Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie”
12. Übungsblatt
Wird in den Übungen besprochen
Aufgabe 1
[0 Pkt ]
Es seien N weisse und N schwarze Kugeln auf zwei Urnen verteilt, so dass in jeder Urne
N Kugeln enthalten sind. Der Zustand des Systems zum Zeitpunkt n wird beschrieben
durch eine Zufallsvariable Xn , die die Anzahl der weissen Kugeln in der ersten Urne angibt. Bei jedem Schritt wird zufällig je eine Kugel aus jeder Urne gezogen und die beiden
Kugeln werden vertauscht. Dann ist Xn eine Markovkette mit Zustandsraum {0, . . . , N }.
Bestimmen Sie die Übergangsmatrix dieser Markovkette.
Aufgabe 2
[0 Pkt ]
Im Folgenden betrachten wir ein einfaches Wettermodell. Es sei Xn eine zeitlich homogene Markovkette mit den Zuständen 0 (= Regen) und 1 (= Sonnenschein). Die
Übergangsmatrix ist gegeben durch
1 − p01
p01
P =
, 0 < p01 , p10 < 1.
p10
1 − p10
1. Zeigen Sie
1
P =
p01 + p10
n
(1 − p01 − p10 )n p01 −p01
p10 p01
+
,
p10 p01
−p10 p10
p01 + p10
und berechnen Sie den Grenzwert limn→∞ P n .
2. Bestimmen Sie zunächst allgemein die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
A = {in 100 Tagen regnet es} = {X100 = 0},
B = { in einem Jahr regnet es 3 Tage hintereinander} = {X365 = X366 = X367 = 0},
jeweils unter der Annahme, dass es heute regnet (= {X0 = 0}) bzw. dass heute die
Sonne scheint (= {X0 = 1}). Berechnen Sie dann die Wahrscheinlichkeiten für die
konkreten Parameter p01 = 0.4 und p10 = 0.3.
3. Die invariante Verteilung π der Markovkette löst die Gleichung
πP = π.
1
Mit anderen Worten ist π linksseitiger auf Länge 1 normierter Eigenvektor von P
zum Eigenwert 1. Weil π eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, muss π positive
Einträge haben und die Summe der Einträge muss 1 sein. Bestimmen Sie die invariante Verteilung von Xn . Ist diese eindeutig?
4. In diesem Teil ist es unser Ziel, die Parameter p01 und p10 aus konkreten (in diesem
Fall mit p10 = 0.2 und p01 = 0.6 simulierten) Daten zu schätzen.
Angenommen wir haben ein Jahr lang uns interessierende Wetterdaten gesammelt.
Dann haben wir einen Vektor der Länge 365 mit Einträgen 0 für einen regnerischen
bzw. 1 für einen sonnigen Tag. Die Längen der Regen- bzw. Sonnenscheinperioden
kann man als Realisierungen geometrisch verteilter Zufallsvariablen
τ0 = inf{n ∈ N : Xn = 0, X0 = 1} und τ1 = inf{n ∈ N : Xn = 1, X0 = 0}
ansehen. Es gilt nämlich (muss nicht gezeigt werden)
P (τ0 = k) = p10 (1 − p10 )k−1
und P (τ1 = k) = p01 (1 − p01 )k−1
für k ≥ 1.
(1)
Eine Realisierung von Xn könnte z.B. wie folgt aussehen:
00 11111111
00 |{z}
111 0000
1 0000
111
1 |{z}
00 |{z}
111 |{z}
000 1111
| {z } . . . |{z}
|{z} |{z}
|{z} |{z}
|{z}
|{z} |{z}
t1
s1
t2
s2
t3
s3
t4
s4
t5
s5
t6
s6
t7
Die Werte t1 , . . . , t7 sind dann unabhängige Realisierungen von τ0 . Genauso sind die
Werte s1 , . . . , s6 unabhängige Realisierungen von τ1 . Dabei sind die Realisierungen
unabhängig wegen der Markov-Eigenschaft.
Mit den untenstehenden Daten kann man Maximum-Likelihood Schätzungen für die
Parameter p10 und p01 bestimmen. Es wird sich herausstellen, dass die Reihenfolge
der einzelnen Perioden für die Schätzung nicht relevant ist. Es reicht also zu wissen,
wie oft jeweils die einzelnen Perioden vorkamen.
Berechnen Sie jeweils eine ML-Schätzung für p01 und p10 mit den folgenden Vektoren
der Häufigkeiten der Perioden
y = (y1 , . . . , y18 ) = (9, 11, 10, 3, 7, 4, 2, 4, 1, 2, 0, 2, 0, 0, 1, 1, 0, 1)
und
z = (z1 , . . . , z4 ) = (36, 16, 3, 2).
Dabei bedeutet beispielsweise y1 = 9, dass 9 mal die Sonnenscheinperiode von einem
Tag beobachtet wurde; z2 = 16 bedeutet, dass 16 mal die RegenperiodeP
von zwei
Tagen beobachtet wurde. Der Vektor y fasst somit die Ergebnisse von n = 18
i=1 yi =
58 Realisierungen von τ0 zusammen. Genauso fasst der Vektor z die Ergebnisse von
m = 36 + 16 + 3 + 2 = 57 Realisierungen von τ1 zusammen.
2
Aufgabe 3
[0 Pkt ]
Ein Finanzjongleur erzielt mit 91 Prozent Wahrscheinlichkeit pro Arbeitstag 1 Million
Gewinn sowie mit 9 Prozent Wahrscheinlichkeit 10 Millionen Verlust.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er am Ende seines Berufslebens (10.000 Arbeitstage) seinen Arbeitsplatz nicht wie zu erwarten mit einem Gewinn von 100 Millionen
sondern mit einem Verlust von mehr als 100 Millionen verlässt?
Verwenden Sie die Normalverteilungsapproximation und runden Sie großzügig. Hier einige
Werte für
Z x
r2 1
exp −
dr :
φ(x) = √
2
2π −∞
φ(0, 1) = 0, 539
φ(0, 2) = 0, 579
φ(0, 3) = 0, 617
φ(0, 4) = 0, 655
φ(0, 5) = 0, 691
φ(0, 6) = 0, 725
φ(0, 7) = 0, 758
φ(0, 8) = 0, 788
φ(0, 9) = 0, 815
φ(1, 0) = 0, 841
φ(1, 1) = 0, 864
φ(1, 2) = 0, 884
φ(1, 3) = 0, 903
φ(1, 4) = 0, 919
φ(1, 5) = 0, 933
φ(1, 6) = 0, 945
φ(1, 7) = 0, 955
φ(1, 8) = 0, 964
φ(1, 9) = 0, 971
φ(2, 0) = 0, 977
φ(2, 1) = 0, 982
φ(2, 2) = 0, 986
φ(2, 3) = 0, 989
φ(2, 4) = 0, 991
φ(2, 5) = 0, 993
φ(2, 6) = 0, 995
φ(2, 7) = 0, 996
φ(2, 8) = 0, 997
φ(2, 9) = 0, 998
φ(3, 0) = 0, 998
Aufgabe 4
[0 Pkt ]
2
Sei (Xn )n∈N eine Folge von L -Zufallsvariablen
auf (Ω, F, P) mit festem Erwartungswert
Pn
E[Xn ] = m für alle n und sei Sn := i=1 Xi . Es gelte
Cov(Xi , Xj ) ≤ ε|i−j| ,
∀i, j ∈ N,
mit endlichen Konstanten εn ∈ (0, ∞), n = 0, 1, 2, . . .. Beweisen Sie die folgenden Erweiterungen (der L2 -Versionen) des schwachen und starken Gesetzes der großen Zahlen.
1. Konvergiert εn → 0 für n → ∞, dann folgt
Sn
→m
n
2. Falls
P∞
n=1 εn
in L2 (Ω, F, P) und in P-Wahrscheinlichkeit.
< ∞, dann ist Var(Sn /n) von der Ordnung O(1/n), und es folgt dass
Sn
→m
n
3
P-f.s.