2. Tutoriumsserie Statistik I

2. Tutoriumsserie Statistik I
(Wir benutzen im Folgenden gleichberechtigt Ac = A)
1. Aufgabe: Ein Skatspiel hat 32 Karten. Beim einmaligen zufälligen Ziehen (d.h. jede
der 32 Karten wird mit der Wahrscheinlichkeit 1/32 gezogen) seien die Ereignisse:
• A: Die gezogene Karte ist eine Dame.
• B: Die gezogene Karte hat die Farbe Herz.
Was bedeuten die folgenden Ereignisse? Bestimmen Sie deren Wahrscheinlichkeiten.
a) A ∪ B d) A ∪ B
b) A ∩ B e) A ∩ B
c) A
f) A ∩ B
2. Aufgabe: Eine symmetrische Euromünze wird dreimal geworfen. Es sei A das
Ereignis, dass mindestens zweimal Zahl erscheint und B das Ereignis, dass alle
Würfe das gleiche Ergebnis liefern. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die
folgenden Ereignisse
a) A ∪ B
b) A ∩ B
c) A ∩ B c
d) (A ∪ B)c
Welche Ereignisse werden durch a)-d) beschrieben?
3. Aufgabe: Bei einer olympischen Disziplin werden nach den olympischen Spielen
Dopingtests zu der Substanz TDM gemacht. Die Prüfmethode zum Nachweis von
TDM weist 99% der tatsächlich positiven Fälle der Nutzung nach. In 5% der Fälle
liefert sie jedoch ein falsch positives Ergebnis, d.h. der Test ist positiv, obwohl der
Sportler kein TDM genommen hat. Weiterhin weiß man, dass 20% der Sportler
TDM nehmen.
a) Nennen Sie die gegebenen Ereignisse mit ihren Wahrscheinlichkeiten.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Dopingprobe positiv ist?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler TDM genommen hat,
obwohl seine Dopingprobe negativ war?
4. Aufgabe: Die Produktion eines Produktes läuft über drei parallele Fertigungsstraßen. Die fertigen Teile werden im Lager gesammelt. Für die drei Straßen gelten
folgende Werte:
• Straße 1: 700 Teile pro Stunde, wobei 80% einwandfrei sind,
• Straße 2: 800 Teile pro Stunde, wobei 85% einwandfrei sind,
• Straße 3: 1000 Teile pro Stunde, wobei 65% einwandfrei sind,
Ein fertiges Teil wird zufällig dem Lager entnommen.
a) Nennen Sie die gegebenen Ereignisse mit ihren Wahrscheinlichkeiten.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das zufällig herausgenommene Teil
defekt ist.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das zufällig herausgenommene intakte Teil von der ersten Fertigungsstraße stammt.
5. Aufgabe:
Im Folgenden ist mit Bevölkerung immer die arbeitsfähige Bevölkerung gemeint.
30% der Bevölkerung verfüge als Schulabschluss über die (Fach-)Hochschulreife. In
dieser Bevölkerungsgruppe betrage die Wahrscheinlichkeit arbeitslos zu sein 5%.
Die Wahrscheinlichkeit arbeitslos zu sein in der Bevölkerungsgruppe ohne (Fach)Hochschulreife betrage 10%.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit arbeitslos zu sein in der Bevölkerung?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person der
Bevölkerung über die (Fach-)Hochschulreife verfügt?
c) Von einer zufällig ausgewählten Person wissen Sie, dass sie arbeitslos ist. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie über die (Fach-)Hochschulreife verfügt?
d) Ist die Art des Schulabschlusses unabhängig davon, ob jemand arbeitslos ist
oder nicht?
6. Aufgabe: Das unten skizzierte System fällt aus, falls die Komponente K3 sowie
zusätzlich mindestens eine der Komponenten K1 oder K2 ausfallen.
Innerhalb einer gewissen Betriebsdauer fallen K1 mit Wahrscheinlichkeit 0,05, K2
mit Wahrscheinlichkeit 0,15 und K3 mit Wahrscheinlichkeit 0, 01 aus. Berechnen
Sie unter der Annahme unabhängiger Defekte an den einzelnen Komponenten die
Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb der Betriebsdauer das System nicht ausfällt.
7. Aufgabe: Eine Fertigungsstraße bestehe aus einer Maschine vom Typ I, vier Maschinen vom Typ II und zwei Maschinen vom Typ III. A bzw. Bk (k=1,2,3,4) bzw. Cj
(j=1,2) bezeichne das Ereignis, dass die Maschine vom Typ I bzw. die k-te Maschine
vom Typ II bzw. die j − te Mascine vom Typ III intakt ist. Die Fertigungsstraße
ist arbeitsfähig, wenn von jedem Maschinentyp mindestens eine intakt ist. Dieses
Ereignis werde mit D bezeichnet.
a) Beschreiben Sie die Ereignisse D und Dc mit Hilfe der Ereignisse A, Bk , Cj und
den Ereignisoperationen!
b) Die Ereignisse A, Bk , Cj sollen vollständig unabhängig sein. Bestimmen Sie
die Wahrscheinlichkeiten für D und Dc !
P (A)
0.9
P (B1 ) P (B2 )
0.8
0.7
P (B3 ) P (B4 )
0.75
0.65
P (C1 ) P (C2 )
0.9
0.95
8. Aufgabe: Das folgende System funktioniert, falls mindestens eines der Teile der
Gruppe A (A1, A2) funktioniert und mindestens eines der Teile der Gruppe B (B1,
B2, B3) funktioniert.
Die Ausfallwahrscheinlichkeit der Teile von A1 und A2 ist jeweils 5%. Die Ausfallwahrscheinlichkeit von B1 und B2 ist jeweils 10% und die von B3 ist 20%. Die
Teile A1 , A2 und B1 bis B3 fallen unabhängig voneinander aus. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass das System funktioniert?