Übungen zur Vorlesung Werkstoffwissenschaft I (Kristallstruktur

Kristallstruktur und Mikrostruktur (Zotov), 1. Übung, 26.10.2016
WS 2016/2017
Aufgabe 1:
Die Elementarzelle von Magnesium ist hexagonal mit a = b = 3.21 Å und c = 5.21 Å,  =
90o, ß = 90o und  = 120o. Es findet sich ein Mg(1)-Atom mit fraktionellen Koordinaten
x(Mg(1)) = 1/3, y(Mg(1)) = 2/3 und z(Mg(1)) = 1/4 sowie ein Mg(2)-Atom mit fraktionellen
Koordinaten x(Mg(2)) = 2/3, y(Mg(2)) = 1/3 und z(Mg(2)) = ¾.
(a) Wie lautet der Metrische Tensor g berechnet aus a, b und c?
(b) Zeigen Sie, daß die Determinante des Metrischen Tensors dem quadrierten Volumen der
Elementarzelle entspricht.
(c) Bestimmen Sie der Abstand Mg(1)-Mg(2) unter Zuhilfenahme des Metrischen Tensors.
(d) Berechnen Sie die reziproken Gitterparameter a*, b*, c* und α*, β*, γ*.
2
(e) Leiten Sie mit Hilfe des reziproken metrischen Tensors eine Formel für d hkl
für
hexagonale Kristalle ab.
Aufgabe 2:
(a) Zeigen Sie, dass alle Zahlen {exp(2in/3)} n  {0,1,2}, bezüglich der Multiplikation
eine kommutative Gruppe bilden.
(b) Stellen Sie die Gruppentafel auf.
Aufgabe 3:
Die Orte der Atome in einem Schwefelwasserstoffmolekül (H2S) werden in einem
kartesischen Koordinatensystem durch die Ortsvektoren
0
 
rS =  0  , rH(1) =
0
 
 0.963Å 


 0.931Å  und rH(2) =
 0 


 0.963Å 


 0.931Å 


0


beschrieben.
a) Berechnen Sie die Abstände S-H(1) und S-H(2) und den Bindungswinkel H(1)-S-H(2) mit
der Hilfe des Metrik-Tensors g.
b) Zeichnen Sie das Molekül und ermitteln Sie die Punktgruppe des H2S-Moleküls
Kristallstruktur und Mikrostruktur (Zotov), 1. Übung, 26.10.2016
WS 2016/2017
Aufgabe 4:
In den folgenden Zeichnungen sind ein oder mehrere Symmetrieelemente mit ihren
charakteristischen Symbolen angedeutet.
a) Wie lautet die zur jeweiligen Abbildung gehörige Punktgruppe?
b) Zeichnen Sie die symmetrieequivalente Objekten
(a)
(c)
(b) (rechte Winkel zur Verdeutlichung)
Kristallstruktur und Mikrostruktur (Zotov), 1. Übung, 26.10.2016
WS 2016/2017
Aufgabe 5:
Wo befinden sich die Symmetrieelemente der folgenden Körper bzw. Moleküle? Ermitteln
Sie die Punktgruppen.
(a)
(b)
(c)
Es ist nur die hier abgebildete Konformation zu betrachten.
(d)
Ethylen, alle Atomkerne in einer Ebene!