Proseminar: Lineare Darstellungen endlicher Gruppen Liste der
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Proseminar: Lineare Darstellungen endlicher Gruppen Prof E. Lau, Sommersemester 2016 Eine Darstellung einer Gruppe G auf einem Vektorraum V ist ein Gruppenhomomorphismus ρ : G → GL(V ). Darstellungen von Gruppen spielen in vielen Teilen der Mathematik eine Rolle, und entsprechend vielfältig sind die Methoden der Darstellungstheorie. In diesem Proseminar geht es um Darstellungen ρ einer endlichen Gruppe G auf einem endlich dimensionalen C-Vektorraum V . Ausgehend von der linearen Algebra kann man eine Theorie entwickeln, die ein genaues Verständnis dieser Darstellungen ermöglicht. Wir folgen weitgehend dem Buch von Serre [Se]. Voraussetzungen: Gute Kenntnisse der Linearen Algebra 1. Ablauf: Es werden Arbeitsgruppen von zwei bis drei Teilnehmern gebildet, die jeweils einen größeren Abschnitt des Themas gemeinsam durcharbeiten und strukturieren. Jeder Teilnehmer hält einen Vortrag von 80-90 Minuten Dauer. Jede Arbeitsgruppe trifft sich spätestens drei Wochen vor dem ersten Vortrag ihres Abschnitts mit dem Dozenten, um die letzten inhaltlichen Fragen zu klären. Natürlich sind weitere Besprechungen möglich. Jeder Teilnehmer kommt spätestens eine Woche vor seinem Vortrag mit einem handschriftlichen Manuskript seines Vortrags zur Besprechung. Vorbesprechung: Dienstag, 9.2.2016, 18-19 Uhr in D1.312 Termin: Dienstag 18:00-19:30 in A3.301 Liste der Vorträge 1.-2. Darstellungen. In den ersten beiden Vorträgen geht es um Grundbegriffe, erste zentrale Aussagen und erste Beispiele. Inhalt: Definition von Darstellungen, Existenz von Komplementen, Lemma von Schur, Zerlegung von Darstellungen in irreduzible. Beispiele: Abelsche Gruppen und die symmetrische Gruppe S3 . Tensorprodukte von Darstellungen sowie symmetrisches und alternierendes Quadrat. Literatur: [Se], Chapter 1 und Proposition 4 aus Abschnitt 2.2; [FH], Lecture 1, insbesondere §1.3. 3.-5. Charaktere. Das entscheidende Hilfsmittel der Darstellungstheorie endlicher Gruppen ist der Charakter einer Darstellung. Er erlaubt Beschreibungen der Zerlegung einer Darstellung und der Gesamtheit aller irreduziblen Darstellungen einer endlichen Gruppe. Inhalt: Charakter einer Darstellung, Verhalten unter Summen, Produkten usw., Folgerungen aus Schurs Lemma und Orthogonalitätsrelationen, Zerlegung der regulären Darstellung, Anzahl der irreduziblen Darstellungen, kanonische Zerlegung einer Darstellung. Literatur: [Se], Chapter 2; siehe auch [FH], Lecture 2. 6.-7. Konstruktion von Darstellungen. Hier geht es um die Konstruktion von Darstellungen in verschiedenen Situationen. Am wichtigsten ist die Induktion: Jede Darstellung einer Untergruppe H von G kann zu einer Darstellung von G induziert werden. Bei dieser Gelegenheit sollen auch einige Grundbegriffe im Zusammenhang mit Untergruppen erklärt werden. 1 Inhalt: Untergruppen, Nebenklassen, normale Untergruppen, Faktorgruppen, Darstellungen abelscher Gruppen bzw. bei abelschen Untergruppen, Darstellungen des Produkts zweier Gruppen, induzierte Darstellung und ihr Charakter. Literatur: [Se], Chapter 3; siehe auch [FH], §3.3. Ferner [Ar], Abschnitte 6 und 10 oder andere Lehrbücher der Algebra. 8.-9. Beispiele. Die in den vorangehenden Vorträgen entwickelte Theorie wird nun in einer Reihe von Beispielen angewendet, um eine vollständige Beschreibung der Darstellungen einiger Gruppen zu erreichen. Inhalt: zyklische Gruppen, Diedergruppen Dn und Dnh , alternierende Gruppe A4 , symmetrische Gruppe S4 , Symmetriegruppe des Würfels. Wenn möglich auch: alternierende Gruppe A5 , symmetrische Gruppe S5 . Literatur: [Se], Chapter 5; gegebenenfalls [FH], §3.1. 10.-11. Die Gruppenalgebra. Der Gruppe G ordnet man einen Ring C[G] zu, die sogenannte Gruppenalgebra. Darstellungen von G entsprechen Moduln über diesem Ring. (Moduln über einem Ring sind die naheliegende Verallgemeinerung von Vektorräumen über einem Körper.) Aus einer genaueren Untersuchung der Gruppenalgebra kann man Eigenschaften von Darstellungen ableiten. Inhalt: Begriff eines Moduls, Definition der Gruppenalgebra C[G], Beschreibung von C[G] und ihres Zentrums; ganze algebraische Zahlen und deren Eigenschaften; Ganzheit von Charakteren und Anwendungen auf irreduzible Darstellungen. Literatur: [Se], Chapter 6 ohne Proposition 9 und nur für K = C; siehe auch [FH], §3.4. Für ganze algebraische Zahlen: [JL], Chapter 22. 12.-13. Darstellungen der symmetrischen Gruppe. In diesen Vorträgen werden die irreduziblen Darstellungen der symmetrischen Gruppe Sn konstruiert. Dabei spielt die Kombinatorik von Partitionen eine Rolle. Inhalt: Partitionen, Diagramme, Tableaux; Konstruktion der irreduziblen Darstellungen von Sn . Literatur: [St], Chapter 10; siehe auch [FH], Lecture 4. 14.-15. Induzierte Darstellungen und der Satz von Artin. Wir kehren zu den induzierten Darstellungen (Vortrag 6-7) zurück, die als besonders einfach aufzufassen sind, wenn die Gruppe H klein ist. Nach einem Satz von Artin ist jede Darstellung von G in gewisser Weise aus Darstellungen zusammengesetzt, die von zyklischen Gruppen H induziert sind. Mit den richtigen Formalismus ist der Beweis nicht schwer. Inhalt: Wiederholung induzierter Darstellungen und Frobenius-Reziprozität, virtuelle Darstellungen, Satz von Artin mit zwei Beweisen. Literatur: [Se] Abschnitt 7.2 und Chapter 9. Literatur [Ar] M. Artin: Algebra. Birkhäuser, 1993 [FH] W. Fulton, J. Harris: Representation theory. Springer-Verlag, 1991 [JL] G. James, M. Liebeck: Representations and characters of groups. Cambridge University Press, 2001 [Se] J.-P. Serre: Lineare Representations of finite groups. Springer-Verlag, 1977 [St] Steinberg: Representation Theory of Finite Groups. Springer-Verlag, 2012 2
