Leseprobe zum Titel: Mathematik üben mit Erfolg - 9

Inhalt
A
Grundlagen
1
2
3
4
5
6
7
B
Quadratwurzeln – Reelle Zahlen
1
2
3
4
C
Die Funktion f mit f(x) = ax2 und ihr Graph
Die Funktionen f: x ¦ x2 + e und f: x ¦ (x – d)2
Die Scheitelpunktform f: x ¦ a(x – d)2 + e
Binomische Formeln und quadratische Ergänzung
Die allgemeine quadratische Funktion
Quadratische Gleichungen
1
2
3
4
5
6
7
8
E
Quadratwurzeln
Reelle Zahlen
Wurzelziehen und Quadrieren
Umformen von Wurzeltermen
Quadratische Funktionen
1
2
3
4
5
D
Gleichungen und Ungleichungen
Bruchterme
Einfache Bruchgleichungen
Lineare Gleichungssysteme
Zinsen und Zinseszinsen
Wahrscheinlichkeiten
Umfang und Flächeninhalt des Kreises
Quadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen zeichnerisch lösen
Lösen mit quadratischer Ergänzung
Quadratische Gleichungen mit einer Lösungsformel lösen
Lösen von verwandten Gleichungen
Zerlegung in Linearfaktoren und der Satz von Vieta
Lösbarkeit quadratischer Gleichungen
Anwendungsaufgaben
Zentrische Streckung und Ähnlichkeit
1
2
3
4
5
Zentrische Streckungen
Ähnliche Dreiecke
Ähnliche Vielecke
Strahlensätze
Vermischte Übungen
6
6
7
8
9
11
12
13
14
14
16
18
20
22
22
24
25
26
28
30
30
31
32
34
36
38
39
40
42
42
44
46
47
49
4
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F
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck
1
2
3
4
G
Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
1
2
3
4
H
Potenzbegriff und Potenzgesetze
Normdarstellung von Zahlen
Wurzeln höheren Grades
Potenzen mit rationalen Exponenten
Wahrscheinlichkeitsrechnung
1
2
3
4
J
Winkelbeziehungen am rechtwinkligen Dreieck
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens
Die Sinusfunktion für alle Winkel
Potenzen und Wurzeln
1
2
3
4
I
Der Satz des Pythagoras
Streckenlängen berechnen
Kathetensatz und Höhensatz
Anwendungen
Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeiten
Ereignisse und Summenregel
Mehrstufige Zufallsexperimente und Pfadregeln
Simulation von Zufallsexperimenten
Raumgeometrie
1
2
3
4
5
6
7
Prismen
Oberflächeninhalt und Volumen von Prismen
Kreis und Kreisteile
Kreiszylinder
Pyramiden
Kreiskegel
Das Prinzip des Cavalieri
Lösungen
50
50
52
54
56
58
58
60
62
63
64
64
67
68
70
72
72
74
76
79
80
80
82
84
87
88
90
92
93
Mathematische Zeichen
149
Stichwortverzeichnis
150
5
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A Grundlagen
1
Gleichungen und Ungleichungen
Beim systematischen Lösen einer Gleichung oder Ungleichung werden
Äquivalenzumformungen angewendet.
Drei Schritte führen dabei zur Lösung:
(1) Beide Seiten vereinfachen, (2) sortieren, (3) die Variable isolieren.
Nicht immer ist eine Gleichung eindeutig lösbar. Lässt sich eine
Gleichung durch Äquivalenzumformungen auf die Form 0 = 0 bringen,
so sind alle Zahlen der Grundmenge Lösung der ursprünglichen
Gleichung. Man nennt die Gleichung auch allgemein gültig.
Ergibt sich dagegen durch Äquivalenzumformungen ein Widerspruch,
wie z. B. 0 = 1, so hat die ursprüngliche Gleichung keine Lösung;
man nennt sie dann unlösbar.
Beispiel 1
Löse in Q: (x + 4)(x – 5) = x2 – 25
(x + 4) · (x – 5) = x2 – 25
| Ausmultiplizieren, zusammenfassen
2
2
⇔ x – x – 20 = x – 25
| – x2, danach + 20
⇔
– x = –5
| · (–1)
⇔
x=5
Probe: Setze in der Ausgangsgleichung für x die Zahl 5 ein:
Linksterm = (5 + 4)(5 – 5) = 9 · 0 = 0; Rechtsterm = 52 – 25 = 0
Weil 0 = 0 wahr ist, löst 5 die Gleichung, also ist L = {5}.
Beispiel 2 Löse in Z: 4x – (2 – 2x) < 7
4x – (2 – 2x) < 7
| Minusklammer auflösen, zusammenfassen
⇔
6x – 2 < 7
| + 2, danach : 6
⇔
x < 1,5
Stichprobe: Man ersetzt x durch 1: Linksterm = 4 · 1 – (2 – 2 · 1) = 4 – 0 = 4
Weil 4 < 7 wahr ist, löst 1 die Ungleichung.
Man ersetzt x durch 2: Linksterm = 4 · 2 – (2 – 2 · 2) = 8 + 2 = 10
Weil 10 < 7 falsch ist, löst 2 die Ungleichung nicht.
6
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2
Bruchterme
Terme, bei denen im Nenner eine Variable vorkommt, heißen
Bruchterme.
4+y
Die Terme 3 : x = }3x oder (4 + y) : (3x – 2) = }}}
sind Beispiele dafür.
3x – 2
Die Definitionsmenge D besteht aus allen Zahlen der Grundmenge,
für die der Nenner des Bruchterms nicht 0 wird.
Bruchterme kann man wie Brüche erweitern und kürzen.
Erweitern heißt: Zähler und Nenner werden mit dem gleichen Term
multipliziert.
Kürzen heißt: Zähler und Nenner werden durch den gleichen Term
dividiert.
Bruchterme werden ähnlich wie Brüche addiert oder subtrahiert.
Sind die Nennerterme gleich, so werden nur die Zählerterme addiert
(subtrahiert) und der gemeinsame Nenner beibehalten.
Sind die Nennerterme verschieden, musst du die Bruchterme zuerst
auf den gleichen Nenner bringen, bevor du sie addieren (subtrahieren)
kannst.
Für die Multiplikation und Division von Bruchtermen gelten die
gleichen Regeln wie für das Bruchrechnen.
Achtung: Beim Umformen von Bruchtermen oder beim Rechnen mit
Bruchtermen kann sich die Definitionsmenge ändern. Der „alte“ und
der „neue“ Term sind nur für die Einsetzungen gleichwertig, für die
beide Terme zugleich definiert sind.
x–1
Erweitere den Bruchterm }}
mit (x + 1). Bestimme die Definitionsmenge des
x2
ursprünglichen und des neuen Bruchterms.
Beispiel 1
Lösung
(x – 1) · (x + 1)
x · (x + 1)
2
x –1
= }}}
. Im ursprünglichen Bruchterm ist nur die Einsetzung x = 0
}}}}}
2
3
2
x +x
nicht erlaubt. Für den neuen Bruchterm aber gilt: D = Q {–1; 0}.
2
x –1
x +1
Vereinfache: }}}}
· }}
2
x–1
Beispiel 2
x + 2x + 1
2
(x + 1) · (x – 1) · (x + 1)
(x + 1) · (x – 1)
x –1
x +1
· }}
= }}}}}}}}
= 1 (Erst binomische Formeln anwenden und
}}}}
2
2
x + 2x + 1
x–1
dann kürzen.) Bedingung: D = Q {–1; 1}
7
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A Grundlagen
3
Einfache Bruchgleichungen
2
Ein Gleichung wie }}
– }1 = }12 nennt man Bruchgleichung, denn die
x–1 x
Variable x kommt hier im Nenner vor. Am besten gehst du so vor:
(1) Ermittle die Definitionsmenge D.
(2) Ermittle für alle vorkommenden Nenner einen gemeinsamen
Nenner GN.
(3) Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit GN und kürze möglichst weit.
(4) Löse die so entstandene (bruchfreie) Gleichung.
(5) Prüfe, welche der gefundenen Lösungen zur Definitionsmenge D
der ursprünglichen Bruchgleichung gehören, und mache mit diesen
die Probe.
Beispiel
2
1
1
}} – } = } ; D = Q\{0; 1}
x–1
2x
6x
GN: (x – 1) · 6x
2
1
1
}} – } = }
x–1
2x
| · (x – 1) · 6x
6x
2
1
1
}} · (x – 1) · 6x – } · (x – 1) · 6x = } · (x – 1) · 6x
x–1
2x
2 · 6x – (x – 1) ·3
9x + 3
8x
x
6x
= (x – 1)
= x –1
= –4
= – }12
| TU
|–x–3
|:8
Da die Zahl – }12 in D
enthalten ist, kommt
– }12 auch als Lösung der
Bruchgleichung infrage.
Wir machen deshalb
die Probe.
2
1
1
Probe: }}}
– }}}
0 }}}
– }12 – 1 2 · 1 – }12 2
6 · 1 – }12 2
2
1
1
}3 – } 0 }6
– }2
–1
– }2
– }43 – (–1) 0 – }13
– }13 = – }13
Zuerst bestimmen wir
die Definitionsmenge.
Da 2x ein Teiler von 6x
ist, verwenden wir als
gemeinsamen Nenner
das Produkt (x – 1) · 6x
und multiplizieren beide
Seiten der Gleichung
damit.
Nun kürzen wir so weit
wie möglich. Die neu
entstandene Gleichung
lösen wir wie üblich.
(wahr) ⇒ L = 5 – }12 6
8
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4
Lineare Gleichungssysteme
Werden zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen gleichzeitig
betrachtet, so liegt ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit zwei
Variablen vor. Ein Zahlenpaar (x | y) heißt Lösung des LGS, wenn es jede
einzelne dieser Gleichungen erfüllt.
Zeichnerische Lösung eines LGS in Q:
Zeichne die zu den Gleichungen gehörenden Geraden in dasselbe
Koordinatensystem. Schneiden sich die Geraden im Punkt (x | y), so ist
das Paar (x | y) die einzige Lösung. Sind die Geraden identisch, so gibt
es unendlich viele Lösungen. Sind sie parallel, so gibt es keine Lösung.
Gegeben ist das Gleichungssystem
(1)
x–y=1
(2) 2x + 3y = 12
Zeichnerische Lösung
Löse die Gleichungen (1) und (2) nach y auf.
Du erhältst die Geradengleichungen
g1: y = x – 1 und g2 = – }23 x + 4.
Zeichne g1 und g2 in dasselbe Koordinatensystem. Die Geraden schneiden sich im
Punkt S(3 | 2). Also löst das Zahlenpaar
(3 | 2) das Gleichungssystem.
Rechnerische Probe:
(1)
3 – 2 = 1 (wahr)
(2) 2 · 3 + 3 · 2 = 12 (wahr)
Antwort: L = {3 | 2}
Beispiel 1
y
4
g1
g2
3
s
2
1
1
2
3
4
5
6
x
–1
Ein LGS aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen kannst du auch durch
Äquivalenzumformungen lösen. Dabei musst du entscheiden, ob du das
Gleichsetzungsverfahren, das Einsetzungsverfahren oder das
Additionsverfahren anwenden willst.
Lösung mit dem Gleichsetzungsverfahren
1. Löse beide Gleichungen nach derselben Variablen auf.
2. Setze die beiden rechten Seiten gleich.
3. Löse die durch das Gleichsetzen entstandene Gleichung.
4. Setze die Lösung von Schritt 3 in Gleichung (1) oder (2) ein und
bestimme den Wert der anderen Variablen.
5. Führe die Proben durch und gib die Lösungsmenge an.
9
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A Grundlagen
Beispiel 2 Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren:
(1)
2x + 3y
(2)
x + 2y
1. Löse beide Gleichungen
(1')
x
nach der Variablen x auf.
(2')
x
2. Setze die rechten Seiten gleich.
(3) 4,25 – 1,5y
3. Löse die Gleichung (3):
⇒
y
4. Setze in (2) für y die Zahl 1,5 ein.
(4) x + 2 · 1,5
⇒
x
Die Probe gelingt mit beiden Gleichungen, also: L = {(2 | 1,5)}
=
=
=
=
=
=
=
=
8,5
5
4,25 – 1,5y
5 – 2y
5 – 2y
1,5
5
2
Lösung mit dem Einsetzungsverfahren
1. Löse eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen auf.
2. Ersetze in der anderen Gleichung diese Variable durch den im ersten
Schritt erhaltenen Term.
3. Löse die in Schritt 2 entstandene Gleichung.
4. Weiter wie beim Gleichsetzungsverfahren.
Beispiel 3 Löse mit dem Einsetzungsverfahren:
1. Löse Gleichung (2) nach x auf.
2. Ersetze in (1) x durch 5 – 2y.
3. Löse Gleichung (1´), weiter wie im Beispiel 2!
(1)
2x + 3y = 8,5
(2)
x + 2y = 5
(2')
x = 5 – 2y
(1') 2(5 – 2y) + 3y = 8,5
⇒
y = 1,5
Lösung mit dem Additionsverfahren
1. Multipliziere eine oder beide Gleichungen so mit geeigneten
Zahlen, dass ein Zahlenfaktor einer bestimmten Variablen in der
ersten und der entsprechende Zahlenfaktor in der zweiten
Gleichung Gegenzahlen sind.
2. Ersetze eine der zwei Gleichungen durch die Summe beider
Gleichungen.
3. Löse die in Schritt 2 entstandene neue Gleichung
4. Weiter wie bei den anderen Verfahren.
Beispiel 4 Löse mit dem Additionsverfahren:
1. Schreibe Gleichung (1) hin
und multipliziere (2) mit – 2.
2. Ersetze Gleichung (1) durch die Summe (1) + (2').
3. Löse (1') nach y auf.
4. Weiter wie bei den anderen Verfahren!
(1) 2x + 3y
(2)
x + 2y
(1) 2x + 3y
(2') – 2x – 4y
(1')
–y
⇒
y
=
=
=
=
=
=
8,5
5
8,5
–10
–1,5
1,5
10
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5
Zinsen und Zinseszinsen
Grundbegriffe:
Zinssatz p %
4%
Kapital K
Jahreszinsen Zj
von 12 000 1
sind 480 1.
Grundaufgaben
Berechnung der Jahreszinsen:
Berechnung des Zinssatzes:
Berechnung des Kapitals:
K
Z j = }}
·p
100
Zj
p%=}
· 100 %
K
Zj
K=}
p · 100
t
K
K
m
· p }}
; Zinsen für m Monate: Zm = }}
·p·}
Zinsen für t Tage: Zt = }}
100
360
100
12
Zinseszinsen
Berechnung des Endkapitals Kn bei gleichbleibendem Zinssatz p %:
p
Kn = K · q · q · q · … · q = K · qn mit q = 1 + }}
100
n Faktoren q
Beispiel 1
Frankas Konto wies seit dem 15. September 2007 ein Soll von 4 200,00 1 auf.
Dafür musste sie 9,5 % Schuldzinsen zahlen. Bestimme den Kontostand zum
31. Dezember 2007.
Gegeben: K = 4 200,00 1; p = 9,5 %; t = 105 Tage
4 200,00 1
105
7
· 9,5 · }}
= 42,00 1 · 9,5 · }
= 116,38 1
Rechnung: (1) Zt = }}}}
100
360
24
(2) Kn = K + Zt = 4 200,00 1 + 116,38 1 = 4 316,38 1
Antwort: Frankas Konto zeigte am 31. Dez. 2007 ein Soll von 4 316,38 1.
Beispiel 2
Ein Stiftungskapital von 120 000 1 bringt in einem Jahr 6 600 1 Zinsen.
Zu welchem Zinssatz ist es angelegt?
Gegeben: ZJ = 6 600 1; K = 120 000 1; Gesucht: p %
ZJ
6 600 1
Rechnung: p % = }
· 100 % = }}}}
· 100 % = 5,5 %
K
120 000 1
Antwort:
Das Kapital wurde zu 5,5 % angelegt.
Jan legt am 1. Januar 2008 einen Betrag von 3 600 Euro an. Die Bank zahlt im
ersten Jahr 4,5 % Zinsen, im 2. und 3. Jahr 5,0 % Zinsen und im 4. und 5. Jahr
6,0 % Zinsen. Berechne sein Guthaben zum 31.12. 2012.
Gegeben: K0 = 3 600,00 1; p1 = 4,5 % (q1 = 1,045); p2 = p3 = 5 %
(q2 = q3 = 1,05) ; p4 = p5 = 6 % (q4 = q5 = 1,06)
Ansatz:
Kn = K0 · q1 · q2 · q3 · q4 · q5
Rechnung: Kn = 3 600,00 1 · 1,045 · 1,05 · 1,05 · 1,06 · 1,06 = 4 660,02 1
Antwort: Jan hat am 31. 12. 2012 ein Guthaben von 4 660,02 1.
Beispiel 3
11
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A Grundlagen
6
Wahrscheinlichkeiten
Die Wahrscheinlichkeit, mit dem bei einem Zufallsexperiment ein
bestimmtes Ergebnis eintritt, kann man mithilfe der relativen
Häufigkeit schätzen, wenn man das Experiment sehr oft wiederholt.
Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments fasst man zum
Ergebnisraum S (zur Ergebnismenge) zusammen.
Ein Ereignis E wird durch die Menge der zu ihm gehörenden Ergebnisse
festgelegt.
Summenregel: Man bestimmt die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses E, indem man die Wahrscheinlichkeiten der zu E gehörenden
Ergebnisse addiert.
Bei den so genannten Laplace-Experimenten sind die möglichen
Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Bei diesen Zufallsexperimenten kann
man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisse E so berechnen:
Anzahl der für E günstigen Ergebnisse
Wahrscheinlichkeit von E = P(E) = }}}}}}}}}}}}}}}
Anzahl aller möglichen Ergebnisse
Beispiel 1
Tage mit Niederschlag in München (langjähriges Mittel).
Monat
Anzahl
J
19
F
16
M
17
A
16
M
13
J
14
J
16
A
11
S
16
O
15
N
17
D
16
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es a) an einem beliebigen Tag im Mai
regnet, b) an einem beliebigen Tag im August nicht regnet?
Lösung
13
a) P(Regentag im Mai) = }
< 0,419 = 41,9 %
31
11
b) P(Trockener Tag im Aug.) = 1 – P(Regentag im Aug.) = 1 – }
< 64,5 %
31
Beispiel 2 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der
1
2
3
1
2 1
Zeiger des Glücksrads nach dem Drehen
a) auf der Zahl 1,
b) auf der Zahl 4,
c) auf einer ungeraden Zahl stehen bleibt?
Lösung
Es handelt sich um ein Laplace-Experiment, denn der Zeiger bleibt auf jedem Feld
mit der gleichen Wahrscheinlichkeit stehen.
1
c) P(1;3) =
4
}
8
+
1
}
8
=
5
}
8
2
a) P(1) = }48 = }12 = 50 %
b) P(4) = 0 (unmögliches Ereignis!)
= 62,5 %
12
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7
Umfang und Flächeninhalt des Kreises
Der Kreis ist die Ortslinie für alle Punkte, die von einem festen Punkt M
(dem Mittelpunkt des Kreises) den gleichen Abstand r (= Radius des
Kreises) besitzen.
Für den Umfang U und den Flächeninhalt A eines Kreises gelten:
UKreis = 2p · r
AKreis = p · r²
Ist der Durchmesser d gegeben, kannst du auch diese Formeln benutzen:
p
UKreis = p · d
Akreis = }
· d2
4
Die Zahl p kann nur als Näherungswert angegeben werden.
Merke dir: p < 3,1416 .
Beispiel 1
Vor Großmutters Ruhebank stehen zwei
Beistelltische, einer links und einer rechts.
Ihre Enkelin Sophia meint, dass die
beiden kreisrunden Tischplatten nicht
genau gleich groß seien. Hat sie Recht?
Unter einer Platte klebt ein Schild
„Oberfläche = 0,30 m²” (Tisch 1).
Den Umfang des zweiten Tisches misst Sophia zu 188 cm.
Lösung
188 cm
Aus U2 = 188 cm folgt r2 = }}}
< 29,9 cm (TR; Wert in den Speicher legen)
2p
Tisch 2 hat die Oberfläche A2 = p · r22 < 2 812,6 cm² < 0,28 m². Seine Platte ist
also etwas kleiner als die des anderen Tisches.
Beispiel 2
Gegeben ist ein Quadrat mit s = 2,0 cm mit Umkreis
und Inkreis.
a) Wie lang sind die Radien dieser Kreise?
b) Berechne die Flächeninhalte dieser Kreise.
Lösung
a) Die Länge der Quadrat-Diagonalen beträgt
}
e = f = 2,0 cm · Ï 2 . Also ist:
}
2,0 cm · Ï 2
}
ru = }}}}
= Ï 2 cm < 1,4 cm und ri = 1,0 cm.
2
}
2
b) Au = p · 1 Ï 2 cm 2 < 6,28 cm2; Ai = p · (1 cm)2 < 3,14 cm2
13
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B Quadratwurzeln – Reelle Zahlen
1
Quadratwurzeln
Ein Quadrat habe einen Flächeninhalt von 64 cm2. Will man wissen,
wie lang die Seiten des Quadrates sind, so muss man herausfinden,
welche positive Zahl mit sich selbst multipliziert das Ergebnis 64 liefert.
}
Es ist die Zahl 8, denn 8 · 8 = 64. Man schreibt hierfür auch Ï 64 = 8 (lies:
„Die Wurzel aus 64 ist 8.“). Das Quadrat hat also die Seitenlänge 8 cm.
Ganz allgemein gilt: Diejenige nicht negative Zahl, die mit sich selbst
multipliziert a ergibt, heißt Quadratwurzel aus a (Wurzel aus a).
}
Man schreibt hierfür Ï a . Die nichtnegative Zahl a heißt Radikand.
}
}
}
Merke: Für a $ 0 ist Ï a $ 0 und Ï a · Ï a = a.
Beispiele
}
a) Ï 25 = 5, denn 5 · 5 = 25 und 5 $ 0.
}
b) Ï 2,25 = 1,5, denn 1,5 · 1,5 = 2,25 und 1,5 $ 0.
}
c)
9
3
3
3
9
3
Ï}4 = }2 , denn }2 · }2 = }4 und }2 $ 0 .
}
d) (– 2) · (– 2) = 4, aber Ï 4 Þ – 2, denn Wurzeln sind nie negativ.
}
e) Ï –25 ist nicht definiert, denn der Radikand darf nicht negativ sein.
}
f) Ï 5 können wir nur näherungsweise ermitteln. Wir geben beim Taschenrechner BÁ ein und erhalten den Näherungswert 2,23606798.
Aufgaben
1. Ermittle die Quadratwurzel ohne Hilfe eines Taschenrechners.
}
a) Ï 9
}
e) Ï 49
2. a)
}
b) Ï 4
}
f) Ï 1
}
}
Ï
4
9
}
}
c) Ï 100
}
g) Ï 81
b)
Ï
16
25
}
}
d) Ï 144
}
h) Ï 169
}
}
c)
Ï
1
36
}
d)
121
225
Ï}}
3. Gib ohne TR an, zwischen welchen beiden natürlichen Zahlen die Quadratwurzel liegt. Bestimme anschließend mit Hilfe des TR einen auf fünf
Dezimalen gerundeten Näherungswert für die Quadratwurzel.
}
}
}
}
a) Ï 10
b) Ï 20
c) Ï 70
d) Ï 180
14
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1 Quadratwurzeln
4. a) Berechne. Du darfst auch einen TR benutzen.
}
}
Ï 400 =
Ï4 =
}
}
}
Ï 0,0144 =
}
Ï 0,04 =
Ï 0,0004 =
}
}
Ï 1,44 =
Ï 144 =
Ï 14 400 =
b) Ergänze: Verschiebt man das Komma beim Radikanden
um zwei, vier, sechs, … Stellen nach rechts bzw. links,
so
5. Berechne ohne TR. Nutze die Erkenntnisse aus Aufgabe 4.
}
}
Ï9 =
a)
}
Ï 900 =
}
}
b) Ï 196 =
Ï 1,96 =
}
Ï 0,09 =
Ï 0,0009 =
}
}
Ï 19 600 =
Ï 0,0196 =
6. Ein 18 m langes und 32 m breites rechteckiges Grundstück soll gegen ein
quadratisches Grundstück mit gleichem Flächeninhalt getauscht werden.
7. Berechne im Kopf.
}
a) Ï 0
}
b) Ï 106
c)
}
}
Ï Ï 16
d)
}
}
Ï 4 · Ï 81
▲ 8. Ein Würfel hat einen Oberflächeninhalt von 384 cm2 (13,5 m2).
Berechne sein Volumen.
9. Zwei Quadrate mit je 1 cm Seitenlänge
werden entlang einer Diagonale halbiert.
Die vier entstehenden Dreiecke werden dann
zu einem neuen Quadrat zusammengesetzt.
Begründe, dass das neue Quadrat eine
}
Seitenlänge von Ï 2 cm besitzt.
▲ 10. Die Zeichnung zeigt ein Quadrat
mit der Seitenlänge 2 cm.
Welche Zahl wird durch die gezeigte
Vorgehensweise auf der Zahlengeraden
markiert? Begründe.
2 cm
1 cm
1 cm
1 cm
2
2
0
1
2
3
15
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B Quadratwurzeln – Reelle Zahlen
2
Reelle Zahlen
Alle rationalen Zahlen können als Brüche dargestellt werden, wobei
Zähler und Nenner ganze Zahlen sind. Der Nenner darf jedoch nicht
Null sein.
Gibt man rationale Zahlen als Dezimalzahlen an, so gibt es drei mögliche Fälle, wie die folgenden Beispiele zeigen:
11
–}
= –1,375
8
ist eine abbrechende Dezimalzahl.
}
2
} = 0,6666… = 0,6
ist eine reinperiodische Dezimalzahl.
3
}
7
} = 0,583333… = 0,583
12
}
}
}
ist eine gemischt-periodische Dezimalzahl.
}
Ï 2 ; Ï 3 ; Ï 5 ; Ï 6 sind Beispiele für Zahlen, die man nicht als gewöhnliche
Brüche darstellen kann. Man nennt solche Zahlen irrationale Zahlen.
Schreibt man eine irrationale Zahl als Dezimalzahl, so ist diese weder
abbrechend noch periodisch und besitzt unendlich viele Dezimalen.
Die Menge Q der rationalen Zahlen und
die Menge I der irrationalen Zahlen ergeben
zusammen die Menge R der reellen Zahlen.
Beispiel 1
Q
I
R
}
a) Ï 8 ist eine irrationale Zahl und kann nicht als gewöhnlicher Bruch dargestellt
}
werden. Mit dem TR erhält man Ï 8 = 2,828427125…
}
b) Ï 9 ist keine irrationale Zahl, sondern eine rationale Zahl, denn es ist
}
Ï 9 = 3 = }31 .
}
}
}
}
c) –Ï 2 ist eine irrationale Zahl, denn – Ï 2 = – 1 · Ï 2 , und da man Ï 2 nicht
}
}
als gewöhnlichen Bruch darstellen kann, kann mann auch – 1 · Ï 2 = – Ï 2
nicht als gewöhnlichen Bruch darstellen.
Aufgaben
11. Gib drei irrationale Zahlen zwischen 1 und 10 an.
12. a) Ordne zu: Ï 7 ; Ï 25 ; –Ï 36 ; 2,3478; – 3,1010010001…; 4,578}
32
}
}
}
rationale Zahlen:
irrationale Zahlen:
b) Ordne die Zahlen nun der Größe nach.
16
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2 Reelle Zahlen
}
Beispiel 2
Eine Quadratwurzel, z. B. Ï 6 , kann näherungsweise durch eine Intervallschachtelung bestimmt werden, indem man schrittweise immer kleinere Inter}
valle angibt, in denen Ï 6 liegt. Die folgende Tabelle zeigt ein Beispiel hierfür.
linke
Intervallgrenze
rechte
Intervallgrenze
Begründung
2
3
2 < Ï 6 < 3, denn 22 < 6 < 32
2,4
2,5
2,4 < Ï 6 < 2,5, denn 2,42 < 6 < 2,52
2,44
2,45
2,44 < Ï 6 < 2,45, denn 2,442 < 6 < 2,452
2,449
2,450
2,449 < Ï 6 < 2,450, denn 2,4492 < 6 < 2,4502
2,4494
2,4495
2,4494 < Ï 6 < 2,4495, denn 2,44942 < 6 < 2,44952
2,44948
2,44949 2,44948 < Ï 6 < 2,44949, denn 2,449482 < 6 < 2,449492
}
}
}
}
}
}
}
Mit diesen Ergebnissen können wir sicher sein, dass Ï 6 mit der Ziffernfolge
}
2,44948… beginnt, und wir können runden: Ï 6 < 2,4495.
}
13. Gib nach dem oben gezeigten Beispiel eine Intervallschachtelung für Ï 12
Aufgaben
an. Führe sie so weit aus, bis du auf drei Dezimalen runden kannst.
linke
Intervallgrenze
rechte
Intervallgrenze
Begründung
3
4
3 < Ï 12 < 4, denn
}
14. Beurteile die folgenden Aussagen.
a)
b)
c)
▲ d)
Zwischen zwei reellen Zahlen gibt es immer weitere reelle Zahlen.
Die Null ist keine reelle Zahl.
Das Produkt zweier irrationalen Zahlen ist wieder eine irrationale Zahl.
Die Summe aus einer rationalen und einer irrationale Zahl ist irrational.
17
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B Quadratwurzeln – Reelle Zahlen
3
Wurzelziehen und Quadrieren
Beim Quadrieren wird eine Zahl mit sich selbst multilpiziert. Jede reelle
Zahl kann quadriert werden, das Ergebnis ist stets nicht negativ.
Quadrieren
5
Quadrieren
25
–4
Wurzelziehen
16
+4
Wurzelziehen
Das Wurzelziehen kann man nur mit nichtnegativen reellen Zahlen
durchführen. Das Ergebnis ist wieder nichtnegativ.
Ist die Ausgangszahl nichtnegativ, z. B. 5, so wird das Quadrieren der
Zahl durch das Wurzelziehen rückgängig gemacht. Man sagt für diesen
Fall auch: Das Wurzelziehen ist die Umkehrung des Quadrierens.
Ist die Ausgangszahl hingegen negativ, z. B. – 4, so ist das Wurzelziehen
nicht die Umkehrung des Quadrierens.
}
}
a, falls a $ 0
Allgemein gilt also: Ï a2 =
oder in Kurzform: Ï a2 = | a |.
–a, falls a < 0
Beispiel 1
}
}
}
a) Ï 42 = Ï 16 = 4
c)
}
b) Ï –16 existiert nicht, denn – 16 < 0
}
Ï (–5)2 = Ï 25 = 5
}
Beispiel 2 a) Ï 1,752 = 1,75
Aufgaben
}
d) Ï –52 existiert nicht, denn – 52 = – 25
b)
}
Ï (–3,18)2 = 3,18
c)
}
}
Ï (–2)4 = Ï 16 = 4
15. Setze eines der Zeichen = oder Þ passend ein. Es sei x Þ 0.
a) (– 4)2
42
b) – 32
32
c) (– 2)8
28
d) (– x)2
x2
e) – x2
x2
f)
(– x)6
x6
c)
Ï (–1)4
f)
Ï (–10)6
16. Berechne im Kopf.
}
a)
Ï (–7)2
d)
Ï (–3)4
}
}
b)
Ï –2,52
e)
Ï | –16 |
}
}
}
18
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Stichwortverzeichnis
Absolutglied 30
Additionsverfahren 10
ähnlich 42
allgemein gültig 6
Ankathete 58
Äquivalenzumformungen 6
Basis 64
Bogenlänge 84
Bogenmaß 84
Bruchgleichungen 8, 36
Bruchterme 7
Definitionsmenge 7
Diskriminante 34
Dreiecke, ähnliche 44
Einsetzungsverfahren 10
Ereignis 12
Ereignis, sicheres 74
Ereignis, unmögliches 74
Ergänzung, quadratische 26, 32
Ergebnismenge 72
Ergebnisse 72
Exponenten 64
Flächeninhalt 13
Formeln, binomische 26
Funktion, quadratische 22, 28
Gegenereignis 74
Gegenkathete 58
gemischtquadratisch 30
Gleichsetzungsverfahren 9
Gleichung 6
Gleichung, biquadratische 36
Gleichung, quadratische 30
Gleichungssystem, lineares 9
Glied, lineares 30
Glied, quadratisches 30
Grundflächen 80
Grundzahl 64
Hochzahl 64
Höhe 80, 87
Höhensatz 54
Hypotenuse 58
Jahreszinsen 11
Kapital 11
Kathetensatz 54
Kosinus 58
Kreis 13
Kreisausschnitt 84
Kreiskegel 90
Kreiszylinder 87
Laplace-Experimenet 12, 72
Linearfaktoren 38
Mantelfläche 80
Mantellinie 90
Maximum 29
Minimum 29
Netz 81
Normalform 34
Normalparabel 22
Normdarstellung 67
Nullstelle 40
Parabel 22
Pfadregeln 76
150
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Stichwortverzeichnis
Potenzgesetze 64
Prisma, gerades 80
Pyramide 88
Pyramidenstumpf 89
Quadratfunktion 22
Quadratwurzel 14
Quadrieren 18
Radikand 14, 68
reinquadratisch 30
Satz des Pythagoras 50
Scheitel 22
Scheitelpunktform 25
Schnittstelle 40
Schrägbild 81
Seitenflächen 80
Sinus 58
Sinusfunktion 63
Spitze 88
Strahlensätze 47
Summenregel 12, 74
Tangens 58
Umfang 13
Ungleichung 6
unlösbar 6
Vielecke, ähnliche 46
Wahrscheinlichkeit 12, 72
Wahrscheinlichkeitsverteilung 72
Wurzelexponent 68
Wurzelgesetze 69
Wurzelgleichungen 36
Wurzelterme 20
Wurzelziehen 18
Zahlen, reelle 16
Zinseszinsen 11
Zinssatz 11
Zufallsexperiment 72
Zufallsexperimente, mehrstufige 76
Zylinder 87
151
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