1.2 Mengen - math.uni

Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen
1.2
Mengen
Definition: Eine Menge ist eine Kollektion von paarweise verschiedenen
Objekten. Die einzelnen Objekte werden Elemente der Menge genannt.
Beispiele für Mengen.
• N = {1, 2, 3, . . .} Menge der natürlichen Zahlen;
• N0 = {0, 1, 2, 3, . . .} Menge der nicht-negativen ganzen Zahlen;
• Studierende der TUHH;
• Hörer der Analysis I im WS 2006/2007;
• Menge der Primzahlen.
Notationen: Sei M eine Menge.
a∈M
a∈
/M
Analysis I
⇐⇒
⇐⇒
a ist ein Element der Menge M
¬(a ∈ M)
TUHH, Winter 2006/2007
Armin Iske
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Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen
Definition von Mengen.
• Aufzählung der Elemente: M := {1, 2, 3, 4}
• Charakterisierende Eigenschaft der Menge, M := {x ∈ Ω | A(x)}
Bedeutung der verwendeten Symbole.
:=
“wird definiert durch”
A(x)
Aussageform, definiert für Elemente x aus dem Grundbereich Ω
Teilmengen von Mengen.
M⊂N
⇐⇒
∀x : (x ∈ M =⇒ x ∈ N)
⇐⇒
∀x : (x ∈ M ⇐⇒ x ∈ N)
Gleichheit von Mengen.
M=N
Die leere Menge. Menge, die kein Element enthält. Bezeichnung: ∅
Analysis I
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Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen
Ordnungseigenschaften.
• M ⊂ M;
• (M ⊂ N) ∧ (N ⊂ M)
• (M ⊂ N) ∧ (N ⊂ P)
=⇒
=⇒
M = N;
M ⊂ P.
Verknüpfung von Mengen.
M∪N
:=
M\N
:=
M∩N
:=
M × N :=
P(M)
Analysis I
{x | x ∈ M ∨ x ∈ N}
(Vereinigung)
{x | x ∈ M ∧ x ∈
/ N}
(Differenz)
{x | x ∈ M ∧ x ∈ N}
{(a, b) | a ∈ M ∧ b ∈ N}
:= {X | X ⊂ M}
(Durchschnitt)
(Cartesisches Produkt)
(Potenzmenge)
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Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen
Bemerkungen und weitere Bezeichnungen.
• Gilt M ∩ N = ∅, so nennt man M und N disjunkt.
• Verknüpfung von endlich vielen Mengen.
n
[
Ak
=
A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An
:=
{a | ∃ i ∈ {1, . . . , n} : a ∈ Ai }
=
A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An
:=
{a | ∀ i ∈ {1, . . . , n} : a ∈ Ai }
=
A1 × A2 × · · · × An
:=
{(a1 , . . . , an ) | ∀ i ∈ {1, . . . , n} : ai ∈ Ai }
k=1
n
\
Ak
k=1
n
Y
Ak
k=1
Analysis I
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Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen
Weitere Bemerkungen und Bezeichnungen.
• Für geordnete Paare bzw. n-Tupel gilt:
(a1 , a2 ) = (b1 , b2 ) ⇐⇒
(x1 , . . . , xn ) = (y1 , . . . , yn ) ⇐⇒
a1 = b1 ∧ a2 = b2
∀ i ∈ {1, . . . , n} : xi = yi
• Wichtige Cartesische Produkte:
– die Euklidische Ebene
R2 = R × R = {(x, y) | x, y ∈ R}
– der dreidimensionale Euklidische Raum
R3 = R × R × R = {(x, y, z) | x, y, z ∈ R}
– der n-dimensionale Euklidische Raum
Rn = R
· · × R} = {(x1 , . . . , xn ) | xi ∈ R}
| × ·{z
n-fach
Analysis I
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Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen
Der Einheitskreis.
• Kreisscheibe mit Radius 1 (Einheitskreis)
p
2
A := (x, y) ∈ R | x2 + y2 ≤ 1
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−1.5
Analysis I
−1
−0.5
0
0.5
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1
1.5
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Zwei Streifen.
B := {(x, y) ∈ R2 | 5 ≤ x2 + 1 ≤ 17}
Beachte:
5 ≤ x2 + 1 ≤ 17
und somit gilt
4 ≤ x2 ≤ 16
⇐⇒
−4 ≤ x ≤ −2 ∨ 2 ≤ x ≤ 4
⇐⇒
B = {(x, y) ∈ R2 | − 4 ≤ x ≤ −2 ∨ 2 ≤ x ≤ 4}.
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−5
Analysis I
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
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4
5
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Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen
Intervalle in R.
Seien a, b ∈ R mit a < b.
[a, b]
:= {x | a ≤ x ≤ b}
abgeschlossenes Intervall
(a, b)
:= {x | a < x < b}
offenes Intervall
[a, b)
:= {x | a ≤ x < b}
halboffenes Intervall
:= {x | a < x ≤ b}
halboffenes Intervall
(a, b]
Analysis I
a
b
a
b
a
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b
a
b
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Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen
1.3
Funktionen
Definition: Seien M und N Mengen. Unter einer Funktion (oder Abbildung)
von M in N verstehen wir eine Vorschrift, die jedem Element x ∈ M genau ein
Element y ∈ N zuordnet.
Notationen und Bezeichnungen.
• f : M → N, y = f(x) bzw. x 7→ f(x) für alle x ∈ M. Somit gilt:
f:M→N
⇐⇒
∀x ∈ M : ∃1 y ∈ N : y = f(x).
• M heißt Definitionsbereich (oder Urbildbereich) von f;
• N heißt Zielmenge (oder Bildbereich) von f;
• Die Menge
graph(f) = {(x, f(x))|x ∈ M} ⊂ M × N
heißt Graph der Funktion f.
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Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen
Beispiel.
• Funktion f : [0, 1] → [0, 1], definiert durch f(x) = x2
• M = [0, 1] Definitionsbereich;
• N = [0, 1] Zielmenge.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Graph von f(x) = x2 .
Analysis I
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Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen
Weitere Notationen und Bezeichnungen.
Sei f : M → N eine Funktion.
2.5
• Zu A ⊂ M heißt die Menge
f(A) = {f(a) | a ∈ A} ⊂ N
2
f(A)
1.5
1
0.5
A
das Bild von A unter der Funktion f.
0
−0.5
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.8
1
2.5
• Zu B ⊂ N heißt die Menge
−1
f
(B) = {a ∈ M | f(a) ∈ B} ⊂ M
2
1.5
B
1
0.5
−1
das Urbild von A unter der Funktion f.
−1
f (B)
f (B)
0
−1
Analysis I
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−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
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