Das unendlich Große in der Mathematik
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ht Ernst Klett Verlag Lambacher Schweizer, Leistungskurs Mathematik Wahlthema: Das unendlich Große in der Mathematik Ausarbeitung einer Unterrichtseinheit Liebe Kollegin, lieber Kollege, sic mit den beigefügten Materialien stellen wir Ihnen eine Ausarbeitung des Wahlthemas "Das unendlich Große in der Mathematik" aus dem Leistungskursband Mathematik des KlettVerlages zur Verfügung. Die Unterrichtseinheit wurde im Juli 2000 in den letzten 5 Stunden vor den großen Ferien in einem Leistungskurs Mathematik der Jahrgangsstufe 12 am Eichendorff-Gymnasium in Ettlingen durchgeführt. Über die Erfahrungen haben wir in einem Beitrag der Tangente (Ausgabe Herbst 2000) berichtet. Damit Sie unsere Vorarbeit nutzen und die Ausarbeitung ihren Wünschen entsprechend modifizieren können, haben wir neben einer kommentierten Stoffverteilung alle Dateien zu Arbeitsblättern, Folienvorlagen usw. mitgegeben. ra n Die Vorlagen wurden von uns auf Fehler durchgesehen, für alle noch vorhandenen bitten wir um Entschuldigung. Dateiübersicht: Mit herzlichen Grüßen Christa Giebel und Rolf Reimer Eichendorff-Gymnasium Ettlingen Vo e-Mail: [email protected] A0_Liesmich.doc Stoffverteilung zum Wahlthema „Das unendlich Große in der Mathematik“ ht mit kurzer Inhaltsangabe und Hinweisen auf die bereitgestellten Materialien: 1. Std. Hinführung zum Thema Entsprechend der Vorlage wird ein genetisch historisch orientierter Zugang vorgeschlagen. In der 1. und 2. Stunde wird das Buch noch nicht verwendet. ra n sic Den Schülern ist die Problematik des unendlich Großen aus früheren Klassenstufen bekannt. Jetzt geht es um den Aspekt des Zählens, insbesondere um die Angabe der Anzahl der Elemente von Mengen. Dazu verwenden wir bei endlichen Mengen die geordneten, nicht abbrechenden natürlichen Zahlen. Der Begriff des Unendlichen hat daneben auch einen zeitlichen bzw. religiösen Aspekt (unendliches Leben, Verlauf und Ausdehnung des Universums). Es sollte durch konkrete Beispiele schon an dieser Stelle verdeutlicht werden, dass Mengen realer Objekte (z. B. Sandkörner auf der Erde, Sterne des Universums usw.) stets endlich viele Elemente haben. Dagegen ist die Menge der natürlichen Zahlen nicht endlich. Z. B. kann deshalb einem Schüler zum Geburtstag (gedanklich richtig aber praktisch kaum ausführbar) eine Zahl aufgechrieben werden, die bisher noch nicht in geschriebener Form vorlag. Vorlage: A1_Galilei-Dialog.doc (Vorlesen mit verteilten Rollen; gemeinsame Inhaltsangabe) Pascals Gedanken Arbeitsblatt: A1_Pascal-unendlich.doc (Partnerarbeit Bankweise: Pascals Gedanken lesen und Arbeitsauftrag ausführen) Vo Galileis Gespräch A0_Stoffverteilung.doc Zusammenfassung Galilei: Es ist eine charakteristische Eigenschaft nicht endlicher Mengen, dass ihre Elemente in eineindeutiger Weise den Elementen einer echten Teilmenge zugeordnet werden können. Pascal: Die Annahme, dass es eine natürliche Zahl gibt, die die Anzahl der natürlichen Zahlen beschreibt, führt zu einem Widerspruch Begriffe: Antinomie bzw. Paradoxie Austeilen der Biografien, kurze Besprechung A1_Galilei-Biographie.doc und A1_Pascal-Biografie.doc 1 Folienvorlagen: A2_Aufloesung der Widersprüche und A2_Schaefer.jpg ht 2. Std. Cantors Beitrag zur Auflösung der Widersprüchlichkeiten sic Beispiele Zur geschichtlichen Betrachtung sollte auf die lange gleichmächtiger Mengen Zeitspanne hingewiesen werden, die bis zur exakten Beschreibung durch Cantor verging. Cantor gilt als Begründer der Mengenlehre. Eine exakte Beschreibung des Unendlichen ist nur mit Hilfe des Mächtigkeitsbegriffs möglich. Datei: A2_Cantor-Biographie Aufgaben S. 272 Die Aufgaben 1 bis 4 können aufgrund der Vorüberlegungen sehr zügig behandelt werden. Ein Schwerpunkt ist das diagonale Abzählverfahren zum Nachweis der Gleichmächtigkeit von N mit Q (bzw. mit den ganzzahligen Punkten P(Zähler| Nenner) der Ebene. (Es war für die Schüler nicht leicht einzusehen, dass geometrische „Abzählverfahren“ exakte Methoden darstellen.) Hausaufgabe: Wiederholung der Inhalte von Stunde 1 und 2; lesen der ausgeteilten Biographien sowie Lehrtext von Abschnitt 3, S. 273 und Hilberts Hotel, S. 274. Vorlage: A3_Wiederholung.doc ra n Geometrische und algebraische Darstellung von Bijektionen zum Nachweis gleichmächtiger Mengen 3. Std. Kardinalzahlen Die Kardinalzahl Aleph0 Die Kardinalzahlen sollen als neue, für Mengen charakteristische, Zahlen erkannt werden, deren Schreibweise für endliche Mengen mit den bisherigen natürlichen Zahlen übereinstimmt. Mit Kardinalzahlen kann man rechnen (nur kurz erläutert). Der Begriff „gleichmächtig“ erlaubt es Mengen bezüglich der Anzahl ihrer Elemente in Klassen mit gleicher Kardinalzahl einzuteilen. Hilberts Hotel Vo kurze exemplarische Besprechung Überabzählbarkeit der reellen Zahlen Arbeitsblatt: A3_Planarbeit_Überabzählbar.doc Es gibt eine Kardinalzahl, die größer als diejenige zur Menge N ist. Die Diagonalisierungsmethode sollte als wesentliches Verfahren zum Nachweis der Überabzählbarkeit herausgearbeitet werden. Die Idee des Diagonalisierungsverfahrens sollte klar Gleichmächtigkeitsnach herausgearbeitet werden. Wir geben eine erlaubte Zahl an, die nicht in der nummerierten Auflistung aller Zahlen weise überabzählbarer vorkommt. Mengen durch geomeLehrtext S. 275 unten; Aufgabe 1 a) und b) trische Zuordnungen A0_Stoffverteilung.doc 2 Vorstellung der Ergebnisse der Gruppenarbeit 5. Std Zusammenfassung Die Mächtigkeit der Potenzmenge Gruppenarbeit zu den Aufgaben von S.276 (Aufträge siehe Arbeitsblatt Planarbeit) ht 4. Std. Übungen Folienvorlage: A5_Kardinalzahlen.doc Folienvorlage: A5_Potenzmengen sic Begriffsklärung Potenzmenge Straff geführter Lehrervortrag zu den Beweisen im endlichen, abzählbar unendlichen und im allgemeinen Fall (Schüler haben Kopien der Folien; allgemeiner Fall steht im Lehrtext). Würdigung der Leistungen Cantors Hinweise: Folienvorlage: A5_Cantor_Gedenktafel (entsprechend S. 277) Vo ra n Die 1. und 2. sowie die 3. und 4. Stunde waren Doppelstunden Die Schülerinnen und Schüler des Kurses haben das Thema sehr interessiert und engagiert aufgenommen und intensiv mitgearbeitet. Durch viele Fragen seitens der Schüler zu diesem nicht gerade einfachen Stoff entstanden teilweise zeitliche Engpässe, die wegen der nahenden Ferien nur durch eine konzentrierte und straff durchgeführte, lehrerzentrierte Unterichtsführung aufgeholt werden musste. Bei einer erneuten Durchführung würden wir eine Stunde mehr an Zeit einplanen. Andererseits empfanden die Schüler die straff vermittelten Inhalte und die Abgeschlossenheit der Thematik motivierend. (Schülerzitat: "Das Thema war sehr interessant. Gut fand ich die stark eingeschränkte Stundenzahl, die ein Tempo erzwang, das das Interesse der Schüler dauerhaft aufrechterhielt und somit viel Stoff hängenblieb. Gerade der showartige Unterrichtsstil hat mir sehr gefallen.") Was wir tun kann stets verbessert werden. A0_Stoffverteilung.doc 3 ht GALILEI, GALILEO (1564 - 1642), italienischer Physiker, Mathematiker, Philosoph und Astronom. GALILEI wurde am 15. Februar 1564 in Pisa geboren. sic GALILEO GALILEI 1581 schrieb er sich an der Universität von Pisa ein, um Medizin zu studieren, bald darauf wandte er sich der Philosophie und Mathematik zu und erhielt 1589 einen Lehrstuhl für Mathematik in Pisa. Es wird berichtet, dass er seinen Studenten die irrtümliche aristotelische Lehrmeinung – nach der die Fallgeschwindigkeit dem Gewicht eines Körpers proportional sei – anschaulich widerlegte, indem er zwei unterschiedlich schwere Gegenstände gleichzeitig vom Schiefen Turm herunterfallen ließ. 1592 wurde ihm der Lehrstuhl für Mathematik an der Universität Padua übertragen, den er bis 1610 innehatte. ra n Zusammen mit JOHANNES KEPLER entwickelte er das Weltsystem von NIKOLAUS KOPERNIKUS weiter und wies mit Hilfe des von den Holländern neu entdeckten Fernrohres seine Theorien durch Experimente nach (u. a. Erforschung der Sonnenflecke, Gebirge und Krater auf dem Mond, Entdeckung der vier größten Jupitermonde sowie der Venusphasen mit einem Fernrohr mit 20-facher Vergrößerung). Da sein Fernrohr für die Marine und die Seefahrt großen Nutzen brachte, wurde GALILEIs Gehalt verdoppelt und ihm eine lebenslange Anstellung als Professor zugesichert. Aufgrund seines neu erworbenen Ruhmes wurde er in Florenz Hofmathematiker; er war dadurch von Lehrpflichten befreit und konnte sich ganz dem Forschen und Schreiben widmen. GALILEI veröffentlichte diese Erkenntnisse im März 1610 in "Sternenbotschaft". GALILEIs historische Leistung besteht auch in seinem Einsatz für wissenschaftliches und unabhängiges Denken sowie in seinem Kampf gegen Autorität und Dogma. Seine wissenschaftliche Methodenlehre sowie sein Ansatz einer Mathematisierung der Naturwissenschaften übten einen großen Einfluss auf die neuzeitlichen Naturwissenschaften aus. Vo Ab 1610 kam GALILEI durch seine wissenschaftlichen Veröffentlichungen in Konflikt mit der katholischen Kirche. GALILEO GALILEIs wissenschaftliche Erkenntnis, dass die Erde sich um die Sonne dreht und nicht umgekehrt, widersprach der Lehrmeinung der katholischen Kirche. 1632 wurde GALILEI von der Inquisition nach Rom geladen, um sich vor Gericht dem Verdacht der Ketzerei zu stellen. 1633 wurde er gezwungen, abzuschwören sowie zu lebenslanger Haft verurteilt, die dann zu ständigem Hausarrest gemildert wurde. Es wurde angeordnet, sein Werk "Dialog über die beiden Weltsysteme" zu verbrennen; das Urteil gegen GALILEI konnte in jeder Universität öffentlich eingesehen werden. GALILEI erblindete 1638 und starb am 8. Januar 1642 in Arcetri bei Florenz. Erst im Oktober 1992 gestand eine päpstliche Kommission den Irrtum des Vatikans ein und GALILEO GALILEI wurde offiziell rehabilitiert. A1_GALILEI-Biografie.doc Aus GALILEO GALILEI: Unterredungen und Mathematische Demonstrationen (1638) ht Das gesamte Werk hat die Form eines aufgezeichneten Gesprächs zwischen drei Männern (Dialogform). Salviati ist der überlegene Gesprächsführer, in der Regel die Stimme G ALILEIs selbst. Sagredo ist ein ebenbürtiger Partner, der präzise fragt und zum Gelingen der Gespräche beiträgt. Die Figuren sind nicht erdacht, sie stellen Freunde von GALILEI dar. Simplicio (d. h. der Einfältige) ist eine Symbolfigur. In den Gesprächen über die Lehren des KOPERNIKUS zeichnet er sich durch geistige Befangenheit und Beschränktheit aus. An einer Stelle lässt GALILEI den Simplicio wörtlich ein Argument von Papst Urban Vlll vortragen, wodurch er sich dessen Feindschaft zuzieht. sic GALILEI stellt die Frage: Wie viele Quadratzahlen gibt es im Vergleich zu den natürlichen Zahlen? Salviati: Ich setze voraus, Ihr wisset, welche Zahlen Quadratzahlen sind, und welche nicht. Simplicio: Mir ist sehr wohl bekannt, dass eine Quadratzahl aus der Multiplikation einer beliebigen Zahl mit sich selbst entsteht, so sind 4, 9 Quadratzahlen, die aus 2, 3 gebildet sind. Salviati: Vortrefflich; Ihr erinnert Euch auch, dass ebenso wie die Produkte Quadrate heißen. diejenigen Zahlen, welche mit sich selbst multipliziert werden, Wurzeln genannt werden. Die anderen Zahlen; welche nicht aus zwei gleichen Faktoren bestehen, sind nicht Quadrate. Wenn ich nun sage, alle Zahlen, Quadrat- und Nichtquadratzahlen zusammen, sind mehr, als alle Quadratzahlen allein, so ist das doch eine durchaus richtige Behauptung, nicht? ra n Simplicio: Dem kann man nicht widersprechen. Salviati: Frage ich nun, wie viel Quadratzahlen es gibt, so kann man in Wahrheit antworten, eben so viel, als es Wurzeln gibt, denn jedes Quadrat hat eine Wurzel, jede Wurzel hat ihr Quadrat, kein Quadrat hat mehr als eine Wurzel, keine Wurzel mehr als ein Quadrat. Simplicio: Vollkommen richtig. Vo Salviati: Wenn ich nun aber frage, wie viel Wurzeln gibt es, so kann man nicht leugnen, dass sie eben so zahlreich sind wie die gesamte Zahlenreihe, denn es gibt keine Zahl, die nicht Wurzel eines Quadrates wäre. Steht dieses fest, so muss man sagen, dass es eben so viel Quadrate als Wurzeln gibt, da sie an Zahl ebenso groß als ihre Wurzeln sind, und alle Zahlen sind Wurzeln; und doch sagten wir anfangs alle Zahlen seien mehr als alle Quadrate, da der größere Teil derselben Nichtquadrate sind. Und wirklich nimmt die Zahl der Quadrate immer mehr ab, je größer die Zahlen werden; denn bis 100 gibt es 10 Quadrate, d. h. der l0te Teil ist quadratisch; bis 10000 ist der 100ste Teil bloß quadratisch, bis 1000000 nur der 1000ste Teil; und bis zu einer unendlich großen Zahl, wenn wir sie erfassen könnten, müssten wir sagen, gibt es so viel Quadrate wie alle Zahlen zusammen. Sagredo: Was ist denn zu tun, um einen Abschluss zu gewinnen? Salviati: Ich sehe keinen anderen Ausweg als zu sagen, unendlich ist die Anzahl aller Zahlen, unendlich die der Quadrate, unendlich die der Wurzeln; weder ist die Menge der Quadrate kleiner als die der Zahlen, noch ist die Menge der letzteren größer; und schließlich gelten die Attribute des Gleichen, des Größeren und des Kleineren nicht bei Unendlichem, sondern sie gelten nur bei endlichen Größen. A1_GALILEI-Dialog.doc ht PASCAL, BLAISE (1623 - 1662), französischer Philosoph, Mathematiker und Physiker, der als einer der großen Denker der westlichen Geistesgeschichte betrachtet wird. 1642 erfand er die erste mechanische Addiermaschine. sic BLAISE PASCAL PASCAL wurde am 19. Juni 1623 in Clermont-Ferrand geboren, seine Familie ließ sich 1629 in Paris nieder. Von seinem Vater unterwiesen, wurde PASCAL bald zu einem mathematischen Wunderkind, und im Alter von 16 Jahren formulierte er einen seiner wichtigen Lehrsätze der projektiven Geometrie. ra n 1648 bewies PASCAL experimentell, dass die Höhe einer Quecksilbersäule in einem Barometer vom Luftdruck abhängig ist. Diese Entdeckung bestätigte die Hypothese des italienischen Physikers EVANGELISTA TORRICELLI über die Wirkung des Luftdruckes auf das Gleichgewicht von Flüssigkeiten. Sechs Jahre später formulierte PASCAL in Zusammenarbeit mit dem französischen Mathematiker PIERRE DE FERMAT die mathematischen Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die große Bedeutung für die Statistik bekommen hat, besonders in den Bereichen Versicherungs- und Bevölkerungsstatistik, aber auch wichtige Grundlage für Berechnungen in der modernen theoretischen Physik geworden ist. Vo In seiner Lehre kommt zum Ausdruck, dass auf empirische, experimentelle Untersuchungen mehr Wert gelegt wird als auf analytische Methoden. Im späteren Leben ergriff PASCAL Partei für den Jansenismus, und 1654 trat er in das Janseniten-Kloster von Port Royal ein, wo er ein streng asketisches Leben bis zu seinem Tod acht Jahre später führte und in dieser Zeit fast ausschließlich religiöse Werke veröffentlichte. A1_PASCAL-Biografie.doc Das Unendliche in der Mathematik ht Aus BLAISE PASCAL: Gedanken (1653) Arbeitsauftrag: sic Die Einheit, dem Unendlichen hinzugefügt, vermehrt dieses um nichts, sowenig als ein Fuß, der zu einem unendlichen Maß hinzugefügt wird, dieses vermehrt. Wir erkennen, dass es ein Unendliches gibt, und wissen nichts von seiner Natur. Da wir wissen, dass es falsch ist, dass die Zahlen endlich sind, muss es wahr sein, dass es eine Unendlichkeit von Zahlen gibt, aber wir wissen nicht, was sie ist. Es ist falsch, dass sie gerade ist, es ist falsch, dass sie ungerade ist; denn durch das Hinzufügen der Einheit verändert sie ihre Natur nicht. Und doch handelt es sich um eine Zahl, und jede Zahl ist gerade oder ungerade. Es ist wahr, dass das von jeder endlichen Zahl gilt. 1. Nennen Sie die wesentlichen Überlegungen PASCALs. 2. Bezeichnet man mit U diejenige Zahl "Unendlich", deren Existenz PASCAL nicht verneint, so ergibt sich (unter der Annahme, dass U eine natürliche Zahl ist) durch die Frage: "Ist U eine gerade oder eine ungerade Zahl?" stets ein Widerspruch. Begründen Sie dies. Vo ra n 3. Welche Annahme kann aufgrund des Text nicht richtig sein? A1_PASCAL-Unendlich.doc Auflösung der Widersprüche ht 1. Der "Zählzahl"-Aspekt der natürlichen Zahlen: Die natürlichen Zahlen dienen der Bezeichnung der Anzahl der Objekte einer "Gesamtheit" (Menge). Ihre grundlegende Eigenschaft, sic es gibt eine erste Zahl, die Eins und jede natürliche Zahl n hat als Nachfolger (n + 1) eine natürliche Zahl, charakterisieren die natürlichen Zahlen als geordnete, nicht endliche Zahlenmenge. 2. PASCALs Widerpruch beruht darauf, dass das, was wir unter Zählen (i. S. von Abzählen) verstehen, nämlich die Anzahl der Objekte mit einer natürlichen Zahl zu beschreiben, kann nicht ohne weiteres auf die Menge der natürlichen Zahlen als Ganzes angewendet werden. Präziser: Es gibt keine natürliche Zahl n, die die Anzahl der natürlichen Zahlen beschreiben kann. ra n 3. GALILEIs Überlegungen zeigen, dass nicht endliche Mengen sich von endlichen Mengen dadurch unterscheiden, dass man die Elemente einer echten Teilmenge in eineindeutiger Weise den Elementen der gesamten Menge zuordnen kann. 4. CANTORs Ansatz (200 Jahre später) Kann man die Idee der Zuordnung verwenden, um gleiche "Anzahlen" festzustellen? Idee ist alt: Finger als Zählhilfe; Schäfer mit Herde und Steinhaufen. (A2_Bild_Schaefer.jpg) Neu: Mengenbegriff und Verallgemeinerung des Begriffs "Abzählen". Vo Neue Begriffe: Bijektion zwischen A und B (eineindeutige Zuordnung aller Elemente von A mit B) Gleichmächtigkeit von Mengen (es gibt eine Bijektion). Übungen (entsprechend S. 272) 1. a) Nennen Sie Teilmengen von n, die gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen sind. b) Ist die Menge der geraden Zahlen (ungeraden Zahlen, ganzen Zahlen) gleichmächtig zu n? 2. a) Geometrische Darstellung von Bijektionen: S. 272, Aufgaben 4, 5 b) Wie viele ganzzahlige Gitterpunkte der Ebene gibt es? 3. Ist q gleichmächtig zu n? (Vgl. S. 272, A 7, A 8) A2_Aufloesung der Widersprueche.doc ht sic ra n Vo A2_Aufloesung der Widersprueche.doc ht CANTOR, GEORG (1845 - 1918), deutscher Mathematiker. CANTOR formulierte die Mengenlehre, auf der die moderne Analysis beruht. GEORG CANTOR sic Diese Theorie erweiterte das Zahlenkonzept um unendliche oder – wie er sie nannte – transfinite Zahlen. CANTORs Arbeit trug dazu bei, dass die Grundlagen der Mathematik und der mathematischen Logik kritisch überprüft wurden. ra n Der Begriff Unendlich in der Mathematik: Nach dem deutschen Mathematiker GEORG CANTOR aus der Mengenlehre hergeleiteter Begriff. Mengen können in zwei Klassen eingeteilt werden, je nachdem, ob die Elemente einer Menge umkehrbar eindeutig (das heißt in einer 1-1-Abbildung) denen einer echten Teilmenge entsprechen. Eine Menge A ist eine echte Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A in B enthalten ist, aber B mindestens ein Element enthält, das nicht in A ist. Die Elemente der Menge {1, 2, 3} können nicht umkehrbar eindeutig auf die Elemente einer ihrer echten Teilmengen abgebildet werden; eine solche Menge heißt eine endliche Menge. Die Elemente der Menge {2, 4, 6, …, 2 n, …} können eineindeutig auf die Elemente ihrer echten Teilmenge {6, 8, 10, …, 2 n + 4, …} abgebildet werden, indem man für jede ganze Zahl n dem Element 2 n der ersten Menge das Element 2 n + 4 der zweiten zuweist. Eine Menge mit dieser Eigenschaft heißt eine unendliche Menge. Also sind die Menge n aller positiven ganzen Zahlen, die Menge r aller rationalen Zahlen und die Menge z aller reellen Zahlen unendliche Mengen. Der Begriff unendlich (Symbol ) wird auch in anderen Zusammenhängen verwendet. 2 In der unendlichen Folge 1, 4, 9, … bei der das n-te Glied an gleich n ist, sagt man, n Vo dass an gegen Unendlich strebt für n gegen Unendlich. Das bedeutet, a ist größer als jede beliebige vorgegebene Zahl, falls n größer als ein bestimmter Wert ist. In der unendlichen Folge 1, 12 , 13 , …, bei der das n-te Glied bn gleich 1n ist (n = 1, 2, 3, …), sagt man, dass bn gegen 0 strebt für n gegen Unendlich. Demzufolge kann die Differenz zwischen bn und 0 kleiner werden als eine beliebig vorgegebene positive Zahl, wenn n größer als ein bestimmter Wert ist. A2_CANTOR-Biografie.doc Planarbeit (3. und 4. Stunde) Thema: Überabzählbare Mengen Partnerarbeit ht Wahlthema: Das unendlich Große in der Mathematik sic 1. Auf S. 275 wird der Beweis geführt, dass die Menge der reellen Zahlen mächtiger als die der rationalen Zahlen ist. a) Lesen Sie den Text. b) Vollziehen Sie den Gedankengang des Beweises nach. c) Bereiten Sie den Anschrieb zu einem Vortrag des Beweises an der Tafel vor. 2. Die Eigenschaft der Überabzählbarkeit endlicher Intervalle der reellen Zahlen kann durch geometrische Überlegungen begründet werden. a) Vollziehen Sie den Gedankengang nach für die zwei Beispiele auf Seite 275 unten. Was erreicht man mit dem geknickten Streckenzug? b) Bearbeiten Sie S. 276, Aufgabe 1 a) und b). ra n Besprechung der Aufgaben 1. und 2. Gruppenarbeit Gruppe 1: S. 276, Aufgabe 2 Gruppe 2: S. 276, Aufgabe 4 Gruppe 3: S. 276, Aufgabe 5 Auftrag: Aufgabe bearbeiten, den wesentlichen Gedankengang zusammenfassen, Vortrag vorbereiten (alle Mitglieder der Gruppe beteiligen). Vo Präsentation der Ergebnisse A3_Planarbeit_ueberabzaehlbar.doc A) Wiederholung (nach der 1. und 2. Stunde) 1. Notieren Sie kurz die Antworten zu den Fragen: ht Wahlthema: Das unendlich Große in der Mathematik sic a) Zu GALILEIs Unterredungen bzw. PASCALs Gedanken über das Unendliche: Welche Überlegungen bzw. Annahmen ergeben welche Widersprüche? Wie nennt man solche Widersprüche in sich? b) Wann heißen zwei Mengen A und B gleichmächtig? c) Welche Eigenschaft haben gleichmächtige endliche Mengen? d) Was sind Kardinalzahlen, worin unterscheiden sie sich von n? e) Wie heißt die Kardinalzahl die der Menge der natürlichen Zahlen zugeordnet ist? Wie schreibt man sie? f) Nenne weitere, zur Menge n gleichmächtige Mengen? g) Welche Eigenschaften der natürlichen Zahlen sind es, die uns veranlassen, Mengen, die gleichmächtig zu n sind, als abzählbar unendlich zu bezeichnen? 2. CANTOR führt in der Menge der Kardinalzahlen eine Arithmetik ein (S. 273). ra n Mit der Abkürzung |A| für „Kardinalzahl von A“ definiert er für die Vereinigungsmenge A B bzw. die Produktmenge (Paarmenge) A x B = {(x;y) | x A und y B } a) |A B| = |A| + |B| und b) |A x B| = |A| |B| Warum muss er im Fall a) voraussetzen, dass A und B keine gemeinsamen Elemente haben? Warum ist dies im Fall b) nicht notwendig? B) HILBERTs Hotel (S. 274) Lesen Sie die Überlegungen auf S. 274. Vo Die dortigen Problemlösungen machen auch deutlich, welchen Charakter die natürlichen Zahlen hinsichtlich praktischer Probleme in realer Situation haben. Mit Personen ohne Kenntnisse des mathematischen Hintergrundes ergeben sich oftmals heftige Diskussionen bezüglich der „Glaubwürdigkeit“ der Geschichte(n). Warum geschieht das, und welchen Beitrag würden Sie in einer solchen Diskussion leisten? A3_Wiederholung.doc Kardinalzahlen ht Im endlichen Fall kann die Mächtigkeit einer Menge durch eine natürliche Zahl beschrieben werden, die der Anzahl ihrer Elemente entspricht. CANTOR hat zur Charakterisierung der Mächtigkeit der Menge n die "Zahl" eingeführt (lies: Aleph0) und die Menge der Zahlen 1, 2, 3, 4, ... erweitert um als Menge der Kardinalzahlen definiert. Mit Kardinalzahlen kann man rechnen, indem neue Verknüpfungen erklärt werden. Der Begriff gleichmächtig erlaubt es, Mengen in Klassen einzuteilen, die sich bezüglich der "Anzahl der Elemente" nicht unterscheiden (Äquivalenzrelation). sic Die Ergebnisse einer neuen Theorie werden von Mathematikern oft in alltägliche Probleme verpackt, die dann verblüffende Lösungen erlauben. Beispiele: Geburtstagsüberraschung, HILBERTs Hotel Da die Mächtigkeit der reellen Zahlen größer ist als die der natürlichen Zahlen, ist nicht die größte Kardinalzahl. Vo ra n Es stellt sich die Frage, ob es überhaupt eine größte Kardinalzahl gibt. A5_Kardinalzahlen.doc Wahlthema: Das unendlich Große in der Mathematik 1. Fall: M ist endlich mit |M| = n. ht Die Mächtigkeit der Potenzmenge (= Menge der Teilmengen einer Menge) Behauptung: Die Potenzmenge von M hat 2n Elemente. e1 s1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 e2 s2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 e3 s3 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 e4 s4 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 M = { e1, e2, e3, e4} festgelegte Teilmenge {} leere Menge { e4} { e3} { e3, e4} { e2} { e2, e4} { e2, e3} { e2, e3, e4 } { e1 } { e1, e4} { e1, e3} { e1, e3, e4 } { e1, e2} { e1, e2, e4 } { e1, e2, e3 } { e1, e2, e3, e4 } ra n Elemente: Auswahl 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 sic Wir stellen für n = 4 eine Beweisführung vor, die wir problemlos verallgemeinern können: In der folgenden Liste stellen wir die Auswahl der Elemente zeilenweise durch eine 1 oder 0 dar, je nachdem, ob das Element der jeweiligen Spalte zur Teilmenge gehören oder nicht gehören soll. Die dadurch festgelegte Teilmenge steht in der letzten Spalte. Wir haben die vier Stellen mit Nullen und Einsen so angeordnet, dass sie, als Dualzahl interpretiert, die natürlichen Zahlen von 0 bis 15 darstellen (siehe 1. Spalte). Damit haben wir dafür gesorgt, dass wir keine Zahl und deshalb auch keine Teilmenge ausgelassen haben. Ergebnis: Es gibt 24 = 16 Teilmengen bei einer Menge mit n = 4 Elementen. Vo Mit der Eigenschaft, dass mit n Stellen im Dualsystem 2n verschiedene Dualzahlen darzustellen sind (Werte von 0 bis 2n – 1) gilt allgemein: Eine Menge mit n Elementen hat eine Potenzmenge der Mächtigkeit 2n. A5_Potenzmenge.doc 2. Fall: M ist abzählbar unendlich, d. h. |M| = 0 0 . ht Behauptung: Die Mächtigkeit der Potenzmenge ist größer als Es wird ein Widerspruchsbeweis geführt: Da es augenscheinlich ist, dass die Potenzmenge einer Menge M mindestens die Mächtigkeit der Menge M selbst haben muss (Begründung als Übung), wird angenommen, dass die Mächtigkeit der Potenzmenge mit der von M übereinstimmt. Deshalb gibt es eine Bijektion zwischen den Elementen e1, e2, e3, ... aus M und den Potenzmengen von M, deren Zuordnungen wir in einer Tabelle wie folgt darstellen können: 1 e1 T1 = T(e1) 2 e2 T2 = T(e2) 3 e3 T3 = T(e3) 4 e4 T4 = T(e4) sic n Elemente Potenzmengen ... ... ... Für jede natürliche Zahl k können wir die zugehörige Teilmenge Tk daraufhin untersuchen, ob sie das Element ek enthält oder nicht enthält. Diese Untersuchung führen wir für alle Zahlen n = 1, 2, 3, ... durch und verwenden sie zur Aufstellung einer Menge W mit der Eigenschaft W enthält ek genau dann, wenn ek kein Element von Tk ist. ra n Da die Menge W aufgrund des Auswahlprinzips eine Potenzmenge von M ist, muss sie in der obigen Auflistung in der Tabelle vorkommen, also gilt W = Tk für eine bestimmte natürliche Zahl k. Bezogen auf k versuchen wir, zu prüfen, ob ek Element der Menge Tk ist: - Wenn ek ein Element der Menge Tk (= W) wäre, könnte ek kein Element von Tk sein. Wenn ek kein Element der Menge Tk wäre, müsste ek ein Element von Tk (= W) sein. Beide Überlegungen führen zu einem Widerspruch in sich (Paradoxie, Antinomie). Deshalb kann die anfänglich Behauptung nicht richtig sein. CANTOR hat, in Analogie zum endlichen Fall, für die Mächtigkeit der Potenzmenge einer abzählbar unendlichen Menge die Kardinalzahl c = 2 ¿ verwendet. 0 Ganz allgemein gilt: Die Potenzmenge einer beliebigen Menge A hat stets eine größere Mächtigkeit als A. Vo Der Beweis wird, wie im abzählbar unendlichen Fall, durch Widerspruch und analog zu diesem geführt (siehe S. 277). A5_Potenzmenge.doc
