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28 Vorlesungen über
Analysis in einer Variablen
für Lehramtstudierende der Schulformen Grund-, Haupt- und Realschule
Jens Jordan
Universität Würzburg, Wintersemester 2016/17
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 1. R
1. Axiomatische Einführung der reellen Zahlen
2. Q in R
4
4
6
Kapitel 2. Folgen und Reihen
1. Konvergenz und Divergenz
2. Häufungspunkte und Teilfolgen
3. Geometrische Reihe und Harmonische Reihe
4. e
5. Absolute Konvergenz
6. Leibnizkriterium, Wurzelkriterium, Quotientenkriterium
7
7
9
10
11
12
13
Kapitel 3. Reelle Funktionen
1. Die Exponentialfunktion
2. Stetigkeit
3. Der Zwischenwertsatz
4. Globale Maxima und globale Minima
5. Grenzwerte
6. Differenzierbarkeit
7. Der Mittelwertsatz
8. Höhere Ableitungen
9. Potenzreihen
10. Integrierbare Funktionen
11. Stammfunktionen
12. Integrieren
13. Trigonometrische Funktionen
14. Uneigentliche Integrale
15. Taylorreihen
14
14
15
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29
3
KAPITEL 1
R
1. Axiomatische Einführung der reellen Zahlen
Die Axiome der reellen Zahlen: Die Menge R versehen mit der Addition + : R × R → R und der Multiplikation · : R → R erfülle (AI) das Körperaxiom, (A II) das Axiom der Anordnung und (A III) das Vollständigkeitsaxiom.
A I: Das Körperaxiom: R ist bezüglich Addition und Multiplikation ein Körper.
A II: Die Anordnungsaxiom: Es gibt eine Teilmenge R+ ⊂ R mit
den Eigenschaften:
(i) Für jedes x ∈ R gilt genau einer der Aussagen: x ∈ R+ , −x ∈
R+ bzw. x = 0.
(ii) Sind x, y ∈ R+ so folgt x + y ∈ R+ .
(iii) Sind x, y ∈ R+ so folgt xy ∈ R+ .
Notation: Die Menge R+ nennen wir die Menge der positiven Zahlen. Die
Menge R− := {x ∈ R | − x ∈ R+ } nennen wir die Menge der negativen Zahlen.
Wir definieren
x < y :⇔ y − x ∈ R+
und
x ≤ y :⇔ y − x ∈ R+ ∪ {0}
Satz 1.1. Die Relation ≤ ist eine Ordnungsrelation, d.h. es gilt:
i) Für alle x ∈ R gilt x ≤ x Reflexivität
ii) Aus x ≤ y und y ≤ z folgt x ≤ z Transitivität
iii) Aus x ≤ y und y ≤ x folgt x = yAntisymmetrie
Definition 1.2 (Beschränkte Mengen).
a) Eine Menge M ⊂ R heißt
beschränkt, falls es eine Zahl Z ∈ R gibt, so dass |m| ≤ Z für
jedes m ∈ M gilt.
b) Eine Menge heißt von oben beschränkt, falls es eine Zahl Z ∈ R
gibt, so dass m ≤ Z für jedes m ∈ M gilt. Ein solche Zahl Z heißt
obere Schranke von M .
c) Eine Menge heißt von unten beschränkt, falls es eine Zahl Z ∈ R
gibt, so dass Z ≤ m für jedes m ∈ M gilt. Ein solche Zahl Z heißt
untere Schranke von M .
Definition 1.3 (Supremum, Infimum, Maximum, Minimum). Es sei M eine
Teilmenge von R.
a) Die kleinste obere Schranke von M heißt Supremum.
4
b) Die größte untere Schranke von M heißt Infimum.
c) Hat M ein Supremum, so heißt dieses Maximum, falls es ein Element der Menge M ist.
d) Hat M ein Infimum, so heißt dieses Minimum, falls es ein Element
der Menge M ist.
A III: Das Vollständigkeitsaxiom (Supremumseigenschaft):
Jede von oben beschränkte nichtleere Menge besitzt ein Supremum.
2. Q in R
Definition 1.4 (Topologische Eigenschaften von Teilmengen in R). Eine Teilmenge M heißt
a) offen in R falls es zu jedem m ∈ M ein > 0 gibt, so dass das Intervall
]m − , m + [ eine Teilmenge von M ist;
b) abgeschlossen, falls R \ M offen in R ist;
c) dicht in R falls zu jedem x ∈ R \ M und für jedes > 0 ein m ∈ M
im Intervall ]x − , x + [ liegt.
Satz 1.5 (Dichtheit von Q in R). .
a) Q liegt dicht in R.
b) R \ Q liegt dicht in R.
Satz 1.6 (Das Archimedische Prinzip). Sind a, b ∈ R und b > 0, so gibt es ein
n ∈ N, so dass nb > a.
Korollar 1.7.
a) Zwischen je zwei rationalen Zahlen gibt es irrationale
Zahlen. Zwischen je zwei irrationalen Zahlen gibt es rationale Zahlen.
b) Jede irrationale Zahl lässt sich mit rationalen Zahlen approximieren.
c) Q ist weder offen noch abgeschlossen in R.
Satz 1.8 (Kardinalität von Q und R). .
a) Q ist abzählbar.
b) R ist nicht abzählbar.
c) R \ Q ist nicht abzählbar.
Lemma 1.9. Abzählbare Vereinigungen abzählbarer Mengen sind abzählbar.
KAPITEL 2
Folgen und Reihen
1. Konvergenz und Divergenz
Definition 2.1 (Folgen). Eine Abbildung a : N → R (bzw. a : N0 → R) nennt
man Folge. Statt a : N → R schreibt man meist (an )n∈N und an statt a(n).
Definition 2.2 (Konvergenz, Divergenz, Grenzwert einer Folge). Es sei (an )n∈N
eine Folge.
a) (an )n∈N heißt konvergent falls ein a ∈ R mit folgender Eigenschaft
existiert: Zu jedem > 0 gibt es ein N ∈ N, so dass für alle n > N
die Ungleichung |an − a| < gilt. Der Wert a heißt in diesem Fall
Grenzwert von (an )n∈N . Wir schreiben auch an → a für n → ∞
P
n→∞
oder limn→∞ an = a oder an −→ a. Ist an = nk=1 bn so schreiben
P∞
Pn
wir auch k=1 bk = a statt limn→∞ k=1 bn = a.
b) Eine Folge heißt divergent falls sie nicht konvergent ist.
c) Gibt es zu jedem K ∈ R ein N ∈ N mit an > K für alle n > N so
schreiben wir limn→∞ an = ∞. Gibt es zu jedem K ∈ R ein N ∈ N
mit an < K für alle n > N so schreiben wir limn→∞ an = −∞.
Bemerkung: Für alle x ≥ −1 und alle n ∈ N gilt 1 + nx ≤ (1 + x)n .
(Bernoulli Ungleichung)
Bemerkung: Für alle x, y ∈ R gilt |x + y| ≤ |x| + |y| (Dreiecksungleichung)
und ||x| − |y|| ≤ |x − y| (untere Dreiecksungleichung).
Satz 2.3 (Eigenschaften von Grenzwerten). .
a) Jede Folge hat höchstens einen Grenzwert (d.h. konvergiert die Folge
(an )n∈N gegen a und gegen b so ist a = b.
b) Ist die Folge (an )n∈N konvergent so ist die Folge beschränkt, d.h., die
Menge {an | n ∈ N} ist beschränkt.
c) Es seien (an )n∈N und (bn )n∈N konvergente Folgen mit limn→∞ an = a
und limn→∞ bn = b.
(i) Seien α, β reelle Zahlen. Die Folge (αan + βbn )n∈N konvergiert
gegen αa + βb. Die Menge der konvergenten Folgen bildet also
einen Unterraum von Abb(N, R) := {f : N → R}.
(ii) Die Folge (an bn )n∈N konvergiert gegen ab.
7
−1
(iii) ist bn 6= 0 für alle n ∈ N so konvergiert (b−1
n )n∈N gegen b .
(iv) Gilt an < bn für alle bis auf endlich viele n ∈ N so ist a ≤ b.
(v) Ist (cn )n∈N eine Folge mit an ≤ cn ≤ bn und ist a = b so konvergiert (cn )n∈N gegen a.
2. Häufungspunkte und Teilfolgen
Definition 2.4 (Häufungspunkte und Teilfolgen). Es sei (an )n∈N eine Folge.
a) Ist f : N → N streng monoton steigend, so nennt man die Folge
(af (n) )n∈N eine Teilfolge von (an )n∈N .
b) Konvergiert eine Teilfolge (af (n) )n∈N gegen a ∈ R so nennt man a
einen Häufungspunkt von (an )n∈N .
Bemerkung 1:
• (an )n∈N konvergiert gegen a falls gilt: für jedes > 0 gilt |a − an | < für fast alle n ∈ N, d.h. für alle bis auf endlich viele n ∈ N.
• a ist ein Häufungspunkt von (an )n∈N falls gilt: für jedes > 0 gilt
|a − an | < für unendlich viele n ∈ N
Bemerkung 2: Konvergiert die Folge (an )n∈N gegen a ∈ R so konvergiert
auch jede Teilfolge von (an )n∈N gegen a.
Satz 2.5 (Monotone Konvergenz). Ist (an )n∈N monoton steigend (fallend) und
von oben (von unten) beschränkt so ist sie konvergent.
Satz 2.6 (Bolzano-Weierstraß). Jede beschränkte Folge hat eine konvergente
Teilfolge.
3. Geometrische Reihe und Harmonische Reihe
P
Notation: Ist eine Folge vom Typ sn = nk=1 konvergent, so sagt man die
Pn
P
Reihe limn→∞ sn =: ∞
k=1 divergent,
k=1 ak ist konvergent. Ist die Folge sn =
so sagt man die Reihe limn→∞ sn ist divergent.
P
n
Satz 2.7 (Geometrische Reihe). Sei q ∈ R. Die geometrische Reihe ∞
n=0 q
konvergiert genau dann, wenn −1 < q < 1. Ist die Reihe konvergent, dann
1
konvergiert sie gegen 1−q
Satz 2.8 (Majorantenkriterium und Minorantenkriterium). Es sei (cn )n∈N eine
Folge mit cn ≥ 0 für alle n ∈ N.
P∞
P∞
a) Ist
Majorante von
c ≤ an für alle
n=1 an eine
n=1 cn , d.h.
P∞ n
P∞
n ∈ N, und ist n=1 an konvergent, so ist auch k=1 cn konvergent.
P∞
P
, d.h. bn ≤ cn für alle n ∈
b) Ist ∞
n=1 cnP
k=1 bnPeine Minorante von
∞
N, und ist n=1 bn divergent, so ist auch ∞
n=1 cn divergent.
Lemma 2.9 (Verdichtungslemma von Cauchy). Sei (cn )n∈N eine nicht negative
P
reelle monoton fallende Folge. Die Reihe ∞
n=1 cn konvergiert genau dann wenn
P∞ k
die Reihe k=1 2 c2k konvergiert.
P
1
Satz 2.10 (Harmonische Reihe). Sei α ∈ R. Die Reihe ∞
k=1 kα konvergiert
genau dann, wenn α > 1. Insbesondere divergiert die Harmonische Reihe
P∞ 1
k=1 k .
4. e
P
1
Satz 2.11.
a) Die durch an = nk=0 k!
definierte Folge konvergiert.
1 n
b) Die durch bn = 1 + n definierte Folge konvergiert.
c) Es gilt limn→∞ an = limn→∞ bn .
Definition 2.12. Die Zahl e := limn→∞ an = limn→∞ bn heißt Eulersche Konstante.
Satz 2.13. e ∈ R \ Q.
5. Absolute Konvergenz
Definition 2.14 (Cauchy Folgen). Eine Folge (an )n∈N heißt Cauchy-Folge falls
es zu jedem > 0 ein N ∈ N gibt, so dass für alle n, m ≥ N die Abschätzung
|an − am | < gilt.
Satz 2.15 (Cauchy-Konvergenzkriterium). Eine Folge ist genau dann konvergent, wenn Sie eine Cauchy-Folge ist.
P
Satz 2.16 (Notwendiges Konvergenzkriterium). Ist die Reihe ∞
k=1 ak konvergent so gilt limk→∞ ak = 0.
P
Definition 2.17 (Absolute Konvergenz). Eine Reihe ∞
k=0 ak heißt absolut
P∞
konvergent, falls die Reihe k=0 |ak | konvergiert.
Satz 2.18 (Absolute Konvergenz impliziert Konvergenz). Jede absolut konverP
gente Reihe ∞
k=0 ak ist konvergent. Für die Werte der Reihe gilt die Ungleichung:
∞
∞
X
X
ak ≤
|ak |
k=0
k=0
.
6. Leibnizkriterium, Wurzelkriterium, Quotientenkriterium
Satz 2.19 (Das Leibnizkriterium). Ist (ck )k∈N0 eine monoton fallende Nullfolge,
P
k
so ist die Reihe ∞
k=0 (−1) ck konvergent.
P
Satz 2.20 (Wurzelkriterium). Es sei ∞
k=0 ak eine Reihe.
a) Wenn eine Zahl q mit 0 < q < 1 existiert,
so dass für alle (bis auf
p
P
endlich viele) k ∈ N die Ungleichung k |ak | ≤ q gilt, so ist ∞
k=0 ak
absolut
p konvergent.
P
b) Ist k |ak | ≥ 1 für alle (bis auf endlich viele) k ∈ N so ist ∞
k=0 ak
divergent.
√
n
Korollar 2.21. Für jedes k ∈ N gilt limn→∞ nk = 1.
P
Satz 2.22 (Quotientenkriterium). Es sei ∞
k=0 ak eine Reihe mit ak 6= 0 für
alle k ∈ N.
a) Wenn eine Zahl q mit 0 < q < 1 existiert, so dass für alle (bis auf
P
|a
|
endlich viele) k ∈ N die Ungleichung |ak+1
≤ q gilt, so ist ∞
k=0 ak
k|
absolut konvergent.
P∞
|a
|
≥
1
für
alle
(bis
auf
endlich
viele)
k
∈
N
so
ist
b) Ist |ak+1
k=0 ak
|
k
divergent.
KAPITEL 3
Reelle Funktionen
1. Die Exponentialfunktion
P
xk
Bemerkung: Die Reihe ∞
k=0 k! konvergiert für jedes x ∈ R.
Definition 3.1 (Exponentialfunktion). Die Funktion exp : R → R, x 7→
P∞ xk
k=0 k! heißt Exponentialfunktion.
Bemerkung: exp(0) = 1 und exp(1) = e.
P∞
P∞
Lemma 3.2. Das Cauchy-Produkt der Reihen
n=0 bn ist
n=0 an und
definiert durch
∞
n
X
X
ak bn−k = a0 bn + a1 bn−1 + · · · + an−1 b1 + an b0 .
cn
mit cn =
n=0
k=0
P∞
n=0 an
P
konvergent, so konverund ∞
Es gilt: Sind die Reihen
n=0 bn absolut
P
P∞
giert auch Ihr Cauchyprodukt gegen den Wert c = ( n=0 an ) · ( ∞
n=0 bn ).
Satz 3.3 (Eigenschaften der Exponentialfunktion). Die Exponentialfunktion
hat die folgenden Eigenschaften.
a) Für alle x, y ∈ R gilt exp(x + y) = exp(x) exp(y). .
b) exp : R → R ist streng monoton steigend
c) Für alle x ∈ R gilt exp(x) > 0.
Satz 3.4. Für q ∈ Q gilt eq = exp(q).
Definition 3.5. Für r ∈ R \ Q definieren wir
er := exp(r) =
∞ k
X
r
k=0
14
k!
2. Stetigkeit
Definition 3.6 (Stetigkeit). Es sei M ⊂ R und f : M → R eine Funktion. f
heißt stetig im Punkt x0 ∈ M wenn zu jedem > 0 ein δ > 0 existiert, so dass
für jedes y ∈ M mit |x0 − y| < δ auch |f (x0 ) − f (y)| < gilt. f heißt stetig
auf M falls f für jedes x ∈ M stetig ist.
Satz 3.7 (Folgenstetigkeit). Es sei M ⊂ R. Eine Funktion M → R ist genau
dann stetig im Punkt a ∈ M wenn für alle Folgen (an )n∈N mit an ∈ M und
an → a auch f (an ) → f (a) gilt.
Satz 3.8. Es seien M ⊂ R, N ⊂ R und f : M → R und g : N → R stetige
Funktionen.
a) Sei M = N .
(i) Sei α, β ∈ R. Die Funktion αf + βg : x 7→ αf (x) + βg(x) ist
stetig.
(ii) Die Funktion f g : x 7→ f (x)g(x) ist stetig.
(x)
(iii) Sei g(x) 6= 0 für alle x ∈ M . Die Funktion fg : x 7→ fg(x)
ist stetig.
(iv) Die Funktion x 7→ max{f (x), g(x)} ist stetig.
b) Sei g(N ) ⊂ M . Die Funktion f ◦ g : N → R, x 7→ f (g(x)) ist stetig.
Satz 3.9. Die Exponentialfunktion ist stetig.
3. Der Zwischenwertsatz
Satz 3.10 (Nullstellensatz von Bolzano). Es sei I = [a, b] ein kompaktes Intervall und f : I → R eine stetige Funktion mit f (a)f (b) < 0. Dann gibt es ein
x ∈ I mit f (x) = 0.
Satz 3.11 (Zwischenwertsatz). Es sei I = [a, b] ein kompaktes Intervall und
f : I → R eine stetige Funktion mit f (a) ≤ f (b). Für jedes y ∈ [f (a), f (b)] gibt
es ein x ∈ [a, b] mit f (x) = y.
Satz 3.12. Ist I ein (nicht notwendigerweise beschränktes) Intervall, M ⊂ R
und f : I → M stetig.
a) f (I) ist ein Intervall.
b) Ist f injektiv, so ist f streng monoton steigend oder streng monoton
fallend.
c) Ist f bijektiv, so ist f −1 stetig.
Satz 3.13 (Logarithmus und Wurzelfunktion).
a) Die
Logarithmus
+
−1
Funktion ln : R → R, x 7→ exp (x) ist stetig. Für alle x, y ∈ R+
gilt ln(xy) = ln(x) + ln(y).
+
+
+
p−1
b) Die n-te Wurzel Funktion R+
n (x) mit pn : R0 → R0 ,
0 → R0 , x 7→√
n
−1
+
n
x 7→ x ist stetig. Schreibweise: pn (x) = x. Für alle x, y ∈ Rn gilt
√ √
√
n xy = n x n y.
4. Globale Maxima und globale Minima
Definition 3.14. Es sei f : M → R eine Abbildung. f hat ein globales Maximum in x0 ∈ M falls f (x) ≤ f (x0 ) für alle x ∈ M gilt. f hat ein globales
Minimum in x0 ∈ M falls f (x) ≥ f (x0 ) für alle x ∈ M gilt.
Definition 3.15. Eine Teilmenge M ⊂ R heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
Satz 3.16. Eine Menge M ⊂ R ist genau dann kompakt, wenn jede Folge
(xn )n∈N mit xn ∈ M eine in M konvergente Teilfolge besitzt.
Satz 3.17. Es sei f : R → R eine stetige Funktion.
a) Ist M ⊂ R kompakt, so ist f (M ) kompakt.
b) Ist N ⊂ R offen so ist f −1 (N ) offen.
c) Ist N ⊂ R abgeschlossen so ist f −1 (N ) abgeschlossen.
Satz 3.18 (Existenz von Maxima und Minima). Ist f : M → R eine stetige
Funktion und ist M nichtleer und kompakt, so nimmt f ein globales Maximum
und ein globales Minimum auf M an.
5. Grenzwerte
Definition 3.19 (Häufungspunkt). Es sei M ⊂ R. Ein Punkt x ∈ R heißt
Häufungspunkt von M falls gilt: Für jedes > 0 ist ]x − , x + [∩M 6= ∅.
Äquivalent dazu: Ein Punkt x ∈ R heißt Häufungspunkt von M , falls es eine
Folge (xn )n∈N mit xn ∈ M gibt, die gegen a konvergiert.
Definition 3.20. Es sei M ⊂ R, f : M → R und x ein Häufungspunkt von M .
Gibt es ein c ∈ R ∪ {−∞, ∞}, so dass für alle Folgen (xn )n∈N mit xn ∈ M \ {x}
gilt, dass limn→∞ f (xn ) = c, so nennt man c den Grenzwert von f in a.
Schreibweise: c = lim f (x)
x→a
Definition 3.21. Es sei M ⊂ R nach rechts (bzw. nach links) unbeschränkt,
d.h. für jedes R > 0 gibt es ein x ∈ M mit x > R (bzw. x > R). Weiter sei
f : M → R. Gibt es ein c ∈ R ∪ {−∞, ∞}, so dass für alle Folgen (xn )n∈N mit
xn → ∞ (bzw. xn → −∞) gilt, dass limn→∞ f (xn ) = c (bzw. limn→∞ f (xn ) =
c), so nennt man c den Grenzwert von f in ∞ (bzw. in −∞).
Schreibweise: c = lim f (x) bzw. c = lim f (x)
x→∞
x→−∞
Definition 3.22. Es sei M ⊂ R, f : M → R und x0 ein Häufungspunkt
von M . Gibt es ein c ∈ R ∪ {−∞, ∞}, so dass für alle Folgen (xn )n∈N mit
xn ∈ M und xn > x0 (bzw. xn < x0 ) gilt, dass limn→∞ f (xn ) = c, so nennt
man c den rechtsseitigen Grenzwert von f in x0 (bzw. den linksseitigen
Grenzwert von f in x0 ) .
Schreibweise: c =
lim
x→x0 ,x>x0
f (x) bzw. c =
lim
x→x0 ,x<x0
f (x)
Satz 3.23. Es sei M ⊂ R, x0 ∈ M und f : M → R. Die folgenden Aussagen
sind äquivalent:
(i) f ist stetig in x0 .
(ii) Der Grenzwert limx→x0 f (x) existiert und ist gleich f (x0 ).
(iii) Der rechtsseitige Grenzwert limx→x0 ,x>x0 f (x) und der linksseitige
Grenzwert limx→x0 ,x<x0 f (x) existieren beide und beide sind gleich
f (x0 ).
6. Differenzierbarkeit
Definition 3.24 (Die Ableitung/Differenzenquotient). Es sei I eine offene
Teilmenge von R und f : I → R eine reelle Funktion. Der Grenzwert
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x) − f (x0 )
= lim
c = lim
=
x→x0
h→0
x − x0
h
heißt – falls er existiert – Differenzenquotient von f in x0 . In diesem Fall heißt f
differenzierbar in x0 . c die Ableitung von f in x0 . Gebräuchliche Notationen
für die Ableitung sind:
df
df 0
c = f (x0 ) =
.
(x0 ) =
dx
dx x=x0
Ist f für alle Punkte aus I differenzierbar so nennt man f differenzierbar und
die Funktion f 0 : I → R, x 7→ f 0 (x) die Ableitung von f .
Satz 3.25. Ist D offen und ist f : D → R differenzierbar, so ist f stetig.
Satz 3.26 (Rechenregeln für Ableitungen). Es sei I eine offene Teilmenge von
R. Die Funktionen f : I → R und g : I → R seien in x0 ∈ I differenzierbar.
a) f +g ist differenzierbar in x0 und es gilt (f +g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) +g 0 (x0 ).
b) f · g ist differenzierbar in x0 und es gilt (f · g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) +
f (x0 )g 0 (x0 ).
c) Ist g(x0 ) 6= 0 so ist fg differenzierbar in x0 und es gilt
0
f
f 0 (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g 0 (x0 )
(x0 ) =
.
g
g(x0 )2
Satz 3.27 (Die Kettenregel). Es seien I und J offene Intervalle und f : I → J,
g : J → R differenzierbare Funktionen. Dann ist g ◦ f : I → R differenzierbar
und für jedes x ∈ I gilt (g ◦ f )0 (x) = (g 0 ◦ f )(x)f 0 (x).
Satz 3.28 (Die Ableitung der Umkehrfunktion). Es sei I ein offenes Intervall.
Die Funktion f : I → f (I) ⊂ R sei bijektiv und im Punkt x0 ∈ I differenzierbar
mit f 0 (x0 ) 6= 0. Dann ist die Umkehrabbildung g = f −1 : f (I) → I im Punkt
y0 = f (x0 ) differenzierbar mit Ableitung:
1
1
= 0
.
g 0 (y0 ) = 0
f (g(y0 ))
f (x0 )
7. Der Mittelwertsatz
Definition 3.29 (Lokale Extrema). Es sei M ⊂ R und f : M → R.
a) f hat ein lokales
dass f (x0 ) ≤ f (x)
b) f hat ein lokales
dass f (x0 ) ≥ f (x)
Minimum in x0 ∈ M falls es ein > 0 gibt, so
für alle x ∈]x0 − , x0 + [∩M gilt.
Maximum in x0 ∈ M falls es ein > 0 gibt, so
für alle x ∈]x0 − , x0 + [∩M gilt.
Satz 3.30 (Permanentsprinzip). Ist f : M → R stetig, M offen und und p ∈ M
mit f (p) 6= 0, so gibt es ein > 0, so dass f (x) 6= 0 für alle x ∈]p − , p + [ gilt.
Satz 3.31 (Notwendiges Kriterium für Extrema). Es sei I ⊂ R ein offenes
Intervall. Die Funktion f : I → R sei in x0 differenzierbar und habe in x0 ein
lokales Extrema. Dann gilt f 0 (x) = 0.
Satz 3.32 (Satz von Rolle). Es sei I = [a, b] ein kompaktes Intervall. Die
Funktion f : I → R sei stetig, auf dem offenen Intervall ]a, b[ differenzierbar,
und es sei f (a) = f (b). Dann gibt es einen Punkt x0 ∈]a, b[ mit f 0 (x0 ) = 0.
Satz 3.33 (Mittelwertsatz der Differentialrechnung). Es sei I = [a, b] ein kompaktes Intervall. Die Funktion f : I → R sei stetig, auf dem offenen Intervall
]a, b[ differenzierbar.
a) Es gibt einen Punkt x0 ∈]a, b[ mit
f (b) − f (a)
.
b−a
b) Sei g : I → R eine weitere stetige und auf ]a, b[ differenzierbare Funktion. Für alle x ∈]a, b[ gelte g 0 (x) 6= 0. Dann ist g(a) 6= g(b) und es
gibt ein x0 ∈]a, b[ mit
f 0 (x0 ) =
f 0 (x0 )
f (b) − f (a)
=
.
0
g (x0 )
g(b) − g(a)
Satz 3.34 (Monotone Funktionen). Ist I ⊂ R ein offenes Intervall und f :
M → R differenzierbar.
a) Ist f 0 (x) = 0 für alle x ∈ I dann ist f konstant.
b) f ist monoton steigend (monoton fallend) genau dann wenn f 0 (x) ≥ 0
(f 0 (x) ≤ 0) für alle x ∈ I.
c) Ist f 0 (x) ≥ 0 (f 0 (x) ≤ 0) für alle x ∈ I. Gibt es zu jedem x ∈ I
mit f 0 (x) = 0 ein > 0 so dass f 0 (x) > 0 (f 0 (x) < 0) für alle
x ∈ [x − , x + ] \ {x} dann und nur dann ist ist f streng monoton
steigend (streng monoton fallend). Insbesondere ist f streng monoton
steigend (fallend) falls f 0 (x) > 0 (f 0 (x) < 0) für alle x ∈ I.
8. Höhere Ableitungen
Definition 3.35 (Mehrfache Differenzierbarkeit). Es sei I ⊂ R offen und
f : I → R differenzierbar. f heißt stetig differenzierbar in x0 ∈ I, wenn
die Ableitung f 0 : I → R stetig in x0 ist. f heißt zweifach differenzierbar in
x0 ∈ I, wenn die Ableitung f 0 differenzierbar in x0 ist. f heißt n-fach differenzierbar in x0 ∈ I, wenn der Grenzwert f (n) (x0 ) := (f (n−1) )0 (x0 ) existiert.
f heißt n-fach stetig differenzierbar in x0 ∈ I, wenn die n-te Ableitung in
x0 existiert und stetig ist.
Satz 3.36 (Hinreichendes Kriterium für lokale Extrema). Es sei I ⊂ R offen
und f : I → R zweimal stetig differenzierbar. Weiter sei x0 ∈ I mit f 0 (x0 ) = 0.
a) Ist f 00 (x0 ) > 0 so hat f ein lokales Minimum in x0 .
b) Ist f 00 (x0 ) < 0 so hat f ein lokales Maximum in x0 .
Satz 3.37 (Regel von l’Hospital). Es sei I ⊂ R offen und f, g : I → R differenzierbar.
a) Zu a ∈ I oder a Häufungspunkt von I gelte g(x) 6= 0 in einer Umgebung von a und limx→a f (x) = limx→a g(x) ∈ {0, −∞, ∞}. Falls
0 (x)
0 (x)
der Grenzwert limx→a fg0 (x)
existiert (Im Sinne von limx→a fg0 (x)
∈
R ∪ {−∞, ∞}) so gilt
f 0 (x)
f (x)
= lim 0
.
x→a g (x)
x→a g(x)
lim
b) Zu a = −∞ (oder a = ∞) gelte g(x) 6= 0 für alle x groß genug (klein
genug). Weiter gelte limx→a f (x) = limx→a g(x) ∈ {0, −∞, ∞}. Falls
0 (x)
0 (x)
der Grenzwert limx→a fg0 (x)
existiert (Im Sinne von limx→a fg0 (x)
∈ R∪
{−∞, ∞}) so gilt
f 0 (x)
f (x)
= lim 0
.
x→a g (x)
x→a g(x)
lim
Korollar 3.38. Ist p ein Polynom und α > 0, so gilt
p(x)
=0
lim
x→∞ exp(αx)
9. Potenzreihen
Definition 3.39 (Potenzreihen). Es sei (an )n∈N eine Folge und x0 ∈ R. Die
P
k
Reihe ∞
k=0 ak (x − x0 ) nennt man Potenzreihe. Die Zahlen ak ∈ R nennt man
Koeffizienten, die Zahl x0 den Entwicklungspunkt der Potenzreihe. Die
Menge
(
)
∞
X
I := x ∈ R |
ak (x − x0 )k ist konvergent
k=0
heißt Konvergenzbereich der Potenzreihe.
Satz 3.40. Es sei (ak )k∈N eine reelle Folge. Der Konvergenzbereich der PotenzP
k
reihe ∞
k=0 ak (x − x0 ) ist entweder (i) I = {x0 } oder (ii) I = R oder (iii) Es
gibt einen Wert R ∈ R+ mit den beiden Eigenschaften:
P
α) Ist |x − x0 | < R, so ist ∞
ak (x − x0 )k konvergent.
Pk=0
∞
β) Ist |x − x0 | > R, so ist k=0 ak (x − x0 )k divergent.
P
k
Die Zahl R nennt man Konvergenzradius von ∞
k=0 ak (x − x0 ) . (im Fall (i)
setzt man R = 0 und im Fall (ii) setzt man R = ∞).
P
k
Satz 3.41. Der Konvergenzradius R einer Potenzreihe ∞
k=0 ak (x − x0 ) lässt
sich auf folgende Weise berechnen:
k|
a) R = limk→∞ |a|ak+1
| , falls der entsprechende (eventuell uneigentliche)
Grenzwert existiert.
b)
p

0
falls ( k |ak |)k∈N unbeschränkt


p
1 √
falls
lim supk→∞ k |ak | ∈ R+
R=
k
lim supk→∞
|ak |

p

∞
falls
lim supk→∞ k |ak | = 0
p
k
Hierbei
ist
lim
sup
|ak | der größte Häufungspunkt der Folge
k→∞
p
k
( |ak |)k∈N .
P
k
Satz 3.42. Ist ∞
k=0 ak (x − x0 ) eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R und
f :]x0 − R, x0 + R[→ R, x 7→
∞
X
ak (x − x0 )k .
k=0
Es gilt
a) f ist stetig.
P
k−1
b) f ist differenzierbar. Genauer: Die Potenzreihe ∞
k=0 kak (x − x0 )
P
∞
hat Konvergenzradius R und es gilt f 0 (x) = k=0 kak (x − x0 )k−1 .
c) f ist unendlich oft differenzierbar.
10. Integrierbare Funktionen
Definition 3.43 (Treppenfunktionen). Eine Funktion t : [a, b] → R heißt Treppenfunktion, falls es endlich viele Punkte x0 < x1 < · · · < xn mit x0 = a und
xn = b gibt, so dass f auf jedem der offenen Intervalle ]xk−1 , xk [, k = 1, . . . , n
konstant ist. Den Wert
Z b
n
X
xk−1 + xk
t(x) dx :=
(xk − xk−1 )
t
2
a
k=1
nennt man Integral der Treppenfunktion t. Die Menge der Treppenfunktionen
auf dem kompakten Intervall [a, b] nennen wir T ([a, b]).
Definition 3.44 (Oberintegral und Unterintegral). Es sei f : [a, b] → R eine
beschränkte Funktion. Weiter sei
Z b
U(f ) =
t(x) dx | t ∈ T ([a, b]) mit t(x) ≤ f (x) für alle x ∈ [a, b]
a
und
Z
O(f ) =
b
t(x) dx | t ∈ T ([a, b]) mit t(x) ≥ f (x) für alle x ∈ [a, b]
a
Die Zahl sup U(f ) heißt Unterintegral von f und die Zahl inf U(f ) heißt Oberintegral von f .
Definition 3.45 (Riemann-integrierbare Funktionen). Eine Funktion f :
[a, b] → R heißt (Riemann)-integrierbar, falls sie beschränkt ist und
sup U(f ) = inf O(f ) gilt. Bemerkung: f : [a, b] → R ist genau dann Riemann
Integrierbar, wenn es zu jedem > 0 Treppenfunktionen t1 , t2 mit t1 ≤ f ≤ t2
Rb
Rb
gibt, so dass a t2 (x) dx − a t1 (x) dx < gilt.
Satz 3.46 (Integrierbarkeit stetiger Funktionen). Ist f : K → R auf einem
kompakten Intervall K stetig, so ist f auf K integrierbar.
R1√
Definition 3.47 (π). Die Zahl 4 0 1 − x2 dx nennt man Kreiszahl. Die
Kreiszahl wird mit π bezeichnet.
Satz 3.48 (Eigenschaften integrierbare Funktionen). Es seien f : [a, b] → R
und g : [a, b] → R auf dem Intervall I integrierbar. Dann gilt:
Z
a
a) Die Funktionen f + g und λf (mit λ ∈ R) sind integrierbar und es gilt
Z b
Z b
Z b
Z b
b
f (x) dx.
λf (x) dx = λ
g(x) dx und
f (x) dx+
(f +g)(x) dx =
a
a
a
a
Rb
Rb
b) Gilt f (x) ≤ g(x) für alle x ∈ I so ist a f (x) dx ≤ a g(x) dx.
c) Die Funktionen f + : I → R, f + (x) := max{f (x), 0} und f − : I →
R, f − (x) := | min{f (x), 0}| sind integrierbar.
d) Die Funktion |f | ist integrierbar und es gilt
Z b
Z b
f (x) dx ≤
|f (x)|dx
a
a
e) Die Funktion f · g ist integrierbar.
f) Es sei a ≤ α < β < γ ≤ b. Die eingeschränkte Funktion f |[α,γ] ist
Rγ
Rβ
Rγ
integrierbar. Es gilt α f (x) dx = α f (x) dx + β f (x) dx.
11. Stammfunktionen
Definition 3.49 (Stammfunktion). Es sei f : ]a, b[ → R eine Funktion. Die
Funktion F : [a, b] → R heißt Stammfunktion von f , falls F differenzierbar auf
]a, b[ ist und für alle x ∈ ]a, b[ die Gleichung F 0 (x) = f (x) gilt.
Satz 3.50 (Mittelwertsatz der Integralrechnung). Es sei f : [a, b] → R eine
stetige Funktion. Es gibt ein ξ ∈ [a, b] mit
Z b
f (x) dx = f (ξ) · (b − a).
a
Satz 3.51 (Hauptsatz der Integralrechnung). Es sei f : [a, b] → R eine stetige
Funktion.
a) f hat eine Stammfunktion. Diese ist von der Form
Z x
f (t) dt + c mit d ∈ [a, b] und c ∈ R.
F : [a, b] → R, x 7→
d
b) Ist F eine Stammfunktion von f , so gilt für alle α, β ∈ [a, b]
Z β
f (t) dt = F (β) − F (α).
α
12. Integrieren
Satz 3.52 (Partielle Integration). Es seien f : I → R und g : I → R stetig
differenzierbare Funktionen auf einem Intervall I. Für beliebige a, b ∈ I gilt
Z b
Z b
f 0 (t)g(t) dt.
f (t)g 0 (t) dt = f (b)g(b) − f (a)g(a) −
a
a
Satz 3.53 (Substitution). Es seien I und J reelle Intervalle, f : I → R stetig
und g : J → I stetig differenzierbar. Dann gilt:
Z b
Z g(b)
0
f (g(t))g (t) dt =
f (x) dx.
a
g(a)
für alle a, b ∈ J.
Satz 3.54 (Logarithmisches Integrieren). Es sei g : I → R eine differenzierbare
und nullstellenfreie Funktion auf [a, b]. Dann gilt:
Z b 0
g (x)
dx = log |g(b)| − log |(g(a))|.
a g(x)
13. Trigonometrische Funktionen
Definition 3.55 (Die Arcustangens-Funktion). Die Funktion
Z y
1
ds
arctan : R → R, y 7→
1
+
s2
0
heißt Arcustangens-Funktion.
Satz 3.56. Die Arcustangens-Funktion ist injektiv und es gilt arctan(R) =
] − π̃2 , π̃2 [ mit π̃ := 4 arctan(1).
˜ :]− π̃ , π̃ [→ R die UmkehrfunkDefinition 3.57 (Tangens-Funktion). Es sei tan
2 2
tion der Arcustangens-Funktion und R̃ := R \ { π̃2 + kπ̃}. Die Tangens-Funktion
˜ auf R̃, d.h. für alle α ∈ R̃
tan : R̃ → R ist die π̃-periodische Fortsetzung von tan
gilt tan(α + π̃) = tan(α).
Satz 3.58. Für alle α ∈ R \ { π̃2 + kπ̃} gilt tan0 (α) = 1 + (tan(α))2 .
˜ :] − π̃ , π̃ [→ R die
Definition 3.59 (Cosinus- und Sinus-Funktion). Es sei tan
2 2
Umkehrfunktion der Arcustangens-Funktion.
a) Die Cosinus-Funktion cos : R → R ist durch cos(α) = √ 1
,
2
1+(tan(α))
cos( π̃2 ) = 0 und cos(α + π̃) = − cos(α) definiert.
b) Die Sinus-Funktion sin : R → R ist durch sin(α) = √
sin( π̃2 ) = 1 und sin(α + π̃) = − sin(α) definiert.
Satz 3.60. Für alle α ∈ R gilt
cos(α) = cos(−α) und sin(α) = − sin(−α).
cos(α + 2π̃) = cos(α) und sin(α + 2π̃) = sin(α).
(sin(α))2 + (cos(α))2 = 1.
sin0 (α) = cos(α) und cos0 (α) = − sin(α).
R1√
Satz 3.61. Es gilt: π̃ = π := 4 0 1 − x2 dx.
a)
b)
c)
d)
tan(α)
,
1+(tan(α))2
14. Uneigentliche Integrale
Definition 3.62 (Uneigentliche Integrale). Es sei I ein Intervall (beschränkt
Rx
oder unbeschränkt) und c ∈ I. Das Integral c f (t) dt existiere für alle x ∈ I.
Weiter sei α entweder ein Häufungspunkt von I oder α ∈ {−∞, ∞}. Existiert
Rx
nun der Grenzwert limx→α c f (t) dt, so nennt man den Wert dieses Grenzwerts
Uneigentliches Integral von f über [c, α[. Schreibweise:
Z c
Z c
Z x
Z α
f (t) dt
f (t) dt := lim
f (t) dt,
f (t) dt := lim
c
x→α c
α
x→α x
bzw.
Z
∞
Z
f (t) dt := lim
c
x→∞ c
x
Z
c
f (t) dt,
Z
f (t) dt := lim
−∞
x→−∞ x
c
f (t) dt.
15. Taylorreihen
Definition 3.63 (Taylorpolynom und Taylorreihe). Sei f : I → R eine n-mal
differenzierbare Funktion, I offen und p ∈ I. Das Polynom
n
X
f (k) (p)
Tn (x) :=
(x − p)k
k!
k=0
heißt Taylorpolynom von f im Entwicklungspunkt p. Ist f beliebig oft differen(k)
P
zierbar, so nennt man die Reihe nk=0 f k!(p) (x−p)k Taylorreihe von f im Punkt
p.
Satz 3.64. Sei f : I → R eine n-mal differenzierbare Funktion, M ⊂ I offen
und p ∈ M . Das Taylorpolynom Tn ist das einzige Polynom vom Grad n mit
der Eigenschaft
Tn(k) (p) = f (k) (p), k = 1, . . . , n.
Satz 3.65 (Satz von Taylor). Sei f : I → R eine n + 1-mal differenzierbare
Funktion, I ein offenes Intervall und p ∈ M . Zu jedem x ∈ I \ {p} gibt es ein
ξ zwischen x und p so dass
f (x) = Tn (x) + Rn,x
mit
Rn,x =
f (n+1) (ξ)
· (x − p)n+1
(n + 1)!
gilt.
Satz 3.66. Sei f : I → R eine beliebig oft differenzierbare Funktion, I ein
offenes Intervall und p ∈ I. Gibt es Zahlen M > 0 und C > 0 so dass |f (n) (x)| ≤
M · C n für alle n ∈ N und alle x ∈ I gilt, so ist
∞
X
f (k) (p)
f (x) =
(x − p)k
k!
k=0
für alle x ∈ I.
Satz 3.67. Für alle x ∈ R gilt
∞
∞
X
X
(−1)k x2k+1
(−1)k x2k
sin(x) =
und cos(x) =
.
(2k + 1)!
(2k)!
k=0
k=0