STATISTIK II F¨UR WIWI

Blatt 7
SS 2003
D. Kahnert
STATISTIK II FÜR WIWI
Aufgabe 30.
Für die Gewichte von Warenpackungen wird angenommen, dass sie durch
unabhängige N (µ, σ 2 )-verteilte Zufallsvariablen beschrieben werden können,
wobei µ und σ 2 unbekannt seien. Eine Stichprobe vom Umfang 10 aus dem
Warenlager ergab für die Gewichte (in kp)
20.40 20.25 19.80 20.00 20.05 19.90 20.50 20.15 20.20 20.10
Man bestimme ein konkretes Schätzintervall der Form [a, ∞) für µ zum
Niveau 0.99.
Aufgabe 31.
Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn seien unabhängig und identisch N (µ, 25)verteilt mit unbekanntem Erwartungswert µ ∈ R.
a) Wie groß muss n mindestens gewählt werden, damit bei dem üblichen
Konfidenzschätzverfahren für den Parameter µ zum Konfidenzniveau
0.9 ein konkretes Schätzintervall entsteht, dessen Länge nicht größer
als 1.25 ist?
b) Welches Konfidenzniveau besitzt das übliche Konfidenzschätzverfahren
für den Parameter µ, wenn bei n = 200 konkrete Schätzintervalle der
Länge 1.15 entstehen?
c) Welche Länge besitzt ein konkretes Schätzintervall, das bei n = 150
mit dem üblichen Konfidenzschätzverfahren zum Niveau 0.8 für das
Schätzen des Parameters µ entsteht?
Aufgabe 32.
Eine in einer Brauerei zur Abfüllung von Flaschen eingesetzte Maschine ist
auf den Normwert 0.33 l eingestellt. Bei der Messung der Biermengen in 10
abgefüllten Flaschen ergaben sich die folgenden Werte (in Liter):
0.329 0.339 0.331 0.324 0.328 0.327 0.334 0.336 0.332 0.326
a) Unter der Annahme, dass die Messwerte eine Realisierung von unabhängigen identisch N (0.33, σ 2 )-verteilten Zufallsvariablen sind, berechne
man mittels eines Konfidenzschätzverfahrens zum Konfidenzniveau 0.95
aus der angegebenen Messreihe ein konkretes Schätzintervall für den
Parameter σ 2 .
b) Unter der Annahme, dass der Parameter σ 2 im berechneten konkreten
Schätzintervall liegt, bestimme man eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, dass in eine bestimmte Flasche höchstens 0.32 l Bier abgefüllt
werden.
Aufgabe 33.
Bei der Produktion von bestimmten Bauteilen für elektronische Geräte entstehen mit einer (unbekannten) Wahrscheinlichkeit p defekte Stücke. Um Aufschluss über die Wahrscheinlichkeit p zu bekommen, wird bei laufender Produktion eine Stichprobe von n Bauteilen entnommen, die auf ihre Funktionstüchtigkeit überprüft werden. Unter geeigneten Annahmen
a) bestimme man für n = 600 ein konkretes Schätzintervall zum (approximativen) Konfidenzniveau 0.95 für p, wenn 69 der 600 überprüften
Bauteile defekt sind.
b) bestimme man ein n, so dass das in a) verwendete Konfidenzschätzverfahren zum selben Niveau konkrete Schätzintervalle liefert, deren Längen
nicht größer als 0.05 sind.
Aufgabe 34.
In einer Fabrik wurden innerhalb eines Jahres 100 Fälle registriert, in denen
ein Arbeitnehmer genau einen Tag bei der Arbeit fehlte. Davon entfielen auf
die einzelnen Wochentage
Wochentag Mo
Anzahl
22
Di
19
Mi
16
Do Fr
18 25
Ist die Annahme haltbar, dass sich solche eintägigen Arbeitsausfälle
gleichmäßig auf die fünf Arbeitstage verteilen? Man prüfe eine entsprechende
Hypothese mit einem geeigneten Testverfahren zum Niveau 5%.
Aufgabe 35.
Ein Taschenrechner liefert Zufallszahlen zwischen 0 und 1. Es wurden nacheinander 1000 dieser Zahlen erzeugt. Nach Einteilung des Intervalls [0, 1] in 10
gleichgroße Teilintervalle wurde gezählt, wieviele der 1000 Zufallszahlen auf
die einzelnen Klassen entfielen. Man erhielt folgende Tabelle:
Klasse
Anzahl
.....
.....
[0, 0.1]
680
(0.6, 0.7]
136
(0.1, 0.2]
116
(0.7, 0.8]
101
(0.2, 0.3]
101
(0.8, 0.9]
79
(0.3, 0.4]
107
(0.4, 0.5]
92
(0.5, 0.6] .....
100
.....
(0.9, 1]
100
Mit Hilfe eines geeigneten χ2 -Tests zum Niveau α = 0.05 überprüfe man, ob
die Zufallszahlen x1 , . . . , x100 als eine Folge von im Intervall [0, 1] gleichverteilten Zufallszahlen, d.h. als Realisierung von unabhängigen, R(0, 1)-verteilten
Zufallsvariablen X1 , . . . , X1000 angesehen werden können.