Ein-Blick in die Mathematik
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Ein-Blick in die Mathematik Von Richard Bamier und Christian Reiher et al. Aulis Verlag Deubner • Köln Inhaltsverzeichnis Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 13 In diesem Artikel führen fundierte Betrachtungen über mathematische Aussagen (und wie man zu ihnen kommt) hin zum Prinzip der vollständigen Induktion. Anschaulich wird an Hand von Beispielen demonstriert, wie dieses Prinzip funktioniert und wie man damit beweist. Danach wird dargelegt, in welchem Sinne man die vollständige Induktion als Axiom respektieren muss. Abschließende Übungsaufgaben aus unterschiedlichsten Gebieten der Mathematik ermuntern den Leser, die vollständige Induktion als neues, unentbehrliches „Werkzeug" in sein BeweisRepertoire aufzunehmen. 1.1 Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 1.1.0 Vorbemerkungen 1.1.1 Allgemeine und spezielle Aussagen 1.1.2 Die „Übergänge" Deduktion und Induktion 1.1.3 Beispiele zu Induktionen: Falsch oder richtig? 1.1.4 Beweisen mit vollständiger Induktion 1.2 Kann man das Prinzip der vollständigen Induktion beweisen? . . . 1.3 Besonderheiten, weitere Beispiele und Übungen 1.4 Literatur 13 13 13 14 15 17 20 23 26 Der Euklidische Algorithmus 27 Rekursionen 33 Der Artikel gibt einen breiten Überblick bezüglich Wettbewerbsaufgaben zum Thema „Rekursionen". 3.1 Lineare Rekursionen 3.2 Substitution 3.3 Periodizität 3.4 Satz von Beatty 3.5 Abstruses 33 36 41 42 45 INHALTSVERZEICHNIS 3.6 3.7 Aufgaben Literatur 48 53 4 Lernzirkel zur Kongruenzenrechnung In diesem Lernzirkel werden zunächst die notwendigen Grundlagen der Teilbarkeitslehre wiederholt. Dann wird darauf aufbauend die Kongruenzenrechnung eingeführt und anhand früherer Wettbewerbsaufgaben illustriert, welche zahlentheoretischen Probleme damit lösbar sind. Als Krönung wird noch in Abschnitt 4.7 die EuLERsche «^-Funktion eingeführt und der kleine Satz von FERMAT bewiesen. 4.1 Einführung in die Teilbarkeitslehre 4.2 ggT und Teilerfremdheit 4.3 Primzahlen und Primfaktorzerlegung 4.4 Einführung in die Kongruenzenrechnung 4.5 Einteilung der ganzen Zahlen in Restklassen 4.6 Rechenregeln für die Kongruenzenrechnung 4.7 Potenzen einer Zahl modulo m betrachtet 4.7.1 Allgemeine Betrachtung 4.7.2 Die EuLERsche ^-Funktion 4.8 Sätze und Anwendung der Modulo-Rechnung 4.8.1 Verändern des Modulus 4.8.2 Wichtige Sätze 4.8.3 Anwendung bei diophantischen Gleichungen 4.9 Aufgaben aus der elementaren Zahlentheorie 4.10 Lösungen 55 5 Polynome Dieses Kapitel bietet eine Einführung in die Welt der Polynome. Es werden Schritt für Schritt bekannte Begriffe, wie 'Teilbarkeit' und 'Primfaktorzerlegungen' auf die Menge der Polynome übertragen. Parallel dazu werden mit dem erworbenen Wissen zahlreiche interessante Themen der Algebra angerissen. Diese reichen von den 'komplexen Zahlen' und 'Lösungen diophantischer Gleichungen' bis zur Konstruktion einer Lösungsformel für kubische Gleichungen. 5.1 Einführung 5.2 Teilbarkeit 5.3 Division mit Rest 5.4 Der Euklidische Algorithmus 5.5 Primzahlen und irreduzible Polynome 5.6 Primfaktorzerlegungen 5.7 Ein abschreckendes Beispiel 85 56 58 60 62 64 66 67 67 68 71 71 72 73 75 77 86 92 95 97 103 108 110 INHALTSVERZEICHNIS 5.8 5.9 Ist q,[X] faktoriell? Das Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein 113 117 6 Nicht-klassische Konstruktionen 129 In der Geometrie versteht man unter „Konstruktionen" in aller Regel „Konstruktionen mit Zirkel und Lineal". Dass sogar noch einfachere Zeichengeräte erstaunlich leistungsfähig sind, zeigt dieser Artikel. 6.1 6.2 6.3 6.4 Das Lineal mit zwei Markierungen 129 Dreieckskonstruktionen mit Lineal und „verrostetem" Zirkel . . . . 139 Zwei Bemerkungen 144 Algebraische Theorie des skalierten Lineals 145 7 Aufgaben aus Russland 159 Russland hat eine sehr lange Tradition in der Olympiademathematik. Schon 1935 gab es die Moskau-Olympiade, 24 Jahre bevor die erste IMO (Internationale-Mathematik-Olympiade) stattfand. Auch jetzt schneidet Russland, sowie viele andere ehemalige Sowjetrepubliken bei der IMO hervorragend ab. Hier sind einige Aufgaben, die Ihnen einen Überblick über russische Problemlösestrategien verschaffen sollen. 8 Finanzmathematik — Annuitätendarlehen 167 Der folgende Artikel ist nicht so sehr für Mathematiker geschrieben als vielmehr für Leute, die sich für Geld interessieren. Es wird aber schnell klar, dass man mit der Sprache der Mathematik viele zunächst unklare Begriffe und Zusammenhänge — man denke z.B. an den effektiven Jahreszins — leicht durchschauen kann. Auch wenn hier nur ein kleiner Ausschnitt der Finanzmathematik, nämlich das Annuitätendarlehen, behandelt wird, lässt sich das Gesagte doch leicht verallgemeinern. Denn es kommt klar zum Ausdruck, dass allen finanziellen Überlegungen das eherne Gesetz der exponentiellen Kapitalvermehrung zu Grunde liegt. Der Beitrag schließt mit einer kurzen Betrachtung, warum das so sein muss. 8.1 Einleitung 167 8.2 Mathematisches Rüstzeug 168 8.2.1 Die geometrische Summenformel 168 8.2.2 Die exponentielle Kapitalvermehrung 169 8.2.3 Unterjährige Zinsberechnung der Banken 170 8.3 Die Kreditformel und Folgerungen daraus 171 8.4 Aus der Praxis 177 8.5 Aufgaben 182 INHALTSVERZEICHNIS 8.6 9 Anhang: Warum exponentielle Kapitalvermehrung? 186 Melonengeometrie 189 Die Geschichte erzählt von Mr McMelon, der dringend zu seiner Freundin muss, und auf dem Weg dorthin manches Problem zu lösen hat. Dass dabei der Leser — so ganz nebenbei — in die sphärische Geometrie eingeführt wird, ist ein nicht ganz ungewolltes Nebenprodukt. Aber lesen Sie selbst, wie die Geschichte verläuft! 10 Ungleichungen 10.1 Die Mittelungleichungen für zwei Variablen 10.2 Die Mittelungleichungen für drei Variablen 10.3 Die Mittelungleichungen für n Variablen 10.4 Trigonometrische Substitution 10.5 Cauchy-Schwarz-Ungleichung 10.6 Höhere Mittelungleichungen 10.7 Umordnungs-Ungleichung 10.8 zusätzliche Übungsaufgaben 201 201 207 211 213 214 218 220 223 11 Die Jensen-Ungleichung Vom anschaulichen Konzept der Konvexität einer Funktion ausgehend, wird Konvexität dann sogleich als Ungleichung formuliert. Danach werden sämtliche Mittelungleichungen mit Hilfe entsprechender konvexer (bzw. konkaver) Funktionen auf die Jensen-Ungleichung zurück geführt. Die Konvexität der entsprechenden Funktionen wird dabei mittels der zweiten Ableitung gezeigt. Zum Verständnis sind dann also Kenntnisse in Analysis von Nöten. 11.1 Von der Konvexität zur Ungleichung 11.2 Mittelungleichungen 11.3 Aufgaben 227 227 229 231 12 Der harmonische Oszillator 233 Schwingungen sind eines der grundlegendsten Phänomene in der Physik. Es gibt unzählige verschiedene Arten von Oszillatoren, vom Faden- und Federpendel bis hin zu Schwingungen von einzelnen Atomen. Aber alle Gleichungen für diese verschiedenen Schwingungsarten können mit Hilfe eines einzigen Ansatzes gelöst werden. 13 Von der elementaren Geometrie 13.1 Vorkenntnisse 13.2 Kreise 245 246 249 INHALTSVERZEICHNIS 13.2.1 Eine kleine Übung 249 13.2.2 Über Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende 250 13.2.3 Eine interessante Eigenschaft des Höhenschnittpunktes . . 251 13.2.4 Weiteres über den Höhenschnittpunkt . 251 13.2.5 Eine Aufgabe aus Baden-Württemberg 252 13.2.6 Aus einer Nordeuropäischen Mathematikolympiade 252 13.2.7 Die Simsongerade 253 13.2.8 Der Schmetterling 254 13.2.9 Eine Formel Leonhard Eulers 256 13.2.10 Aus dem fernen Osten 258 13.2.11 Rumänische Qualifikationsklausur 259 13.2.12 Eine IMO-Aufgabe 260 13.3 Strecken 262 13.3.1 Umkreis und Fläche 263 13.3.2 Der Inkreis 263 13.3.3 Der Ankreis 264 13.3.4 Die Flächenformel des Heron 266 13.3.5 Eine geometrische Ungleichung 266 13.3.6 Der Kreis des Apollonios 268 13.3.7 Die Parallelogrammformel 272 13.3.8 Stewart 274 13.3.9 Ptolemaios 276 13.3.10 Die Diagonalen im Sehnenviereck 276 13.3.11 Brahmagupta 278 13.3.12 Carnot 282 13.4 Menelaos und Ceva 285 13.4.1 Orientierte Strecken 286 13.4.2 Das Teilverhältnis 286 13.4.3 Der Satz von Menelaos 287 13.4.4 Der Satz von Ceva 289 13.4.5 Gergonne 290 13.4.6 Pazifik 291 13.4.7 Pappos 291 13.4.8 Pascal 294 13.4.9 Polen 295 13.4.10CruxMathematicorum 297 13.5 Inversion am Kreis 299 13.5.1 Definition der Inversion 299 13.5.2 Konstruktion 300 13.5.3 Was passiert mit Geraden? 302 INHALTSVERZEICHNIS 13.5.4 Kreise nicht durch O 13.5.5 Abstand 13.5.6 Nochmals Ptolemaios 13.5.7 Österreich und Polen 13.5.8 Ostsee 13.5.9 Nochmals Euler 13.5.10 Vorklausur 13.6 Aufgaben 13.7 Lösungen 13.8 Literatur 303 305 305 307 309 310 311 314 353 399
