Ergänzungen zu Logik und Diskrete Strukturen Vorlesung 3 – 04.11

Ergänzungen zu Logik und Diskrete Strukturen
Vorlesung 3 – 04.11.2011
Themen Äquivalenz und Ersetzbarkeitstheorem, Induktive Beweise und Definitionen, konjunktive und disjunktive Normalform.
Literatur Zur aussagenlogischen Äquivalenz und dem Ersetzbarkeitstheorem [5,
1.2], [3, 2.3] oder [1, 1.1.2]. Zu Induktion [2, 9] oder [4, 2.4]. Zur konjunktiven und
disjunktiven Normalform [5, 1.2], [3, 2.4] oder [1, 1.1.3].
[1] Dassow, Jürgen: Logik für Informatiker. Vieweg, 2005. – ISBN 3519005182
[2] Ehrig, Hartmut ; Mahr, Bernd ; Cornelius, F.: Mathematisch-strukturelle Grundlagen der Informatik. 2. Auflage. Springer, 2001. – ISBN 3540419233
[3] Heinemann, Bernhard ; Weihrauch, Klaus:
Einführung. Teubner, 1992. – ISBN 3519122480
Logik für Informatiker. Eine
[4] Hoffmann, Dirk W.: Theoretische Informatik. 2. aktual. Auflage. Hanser, 2011. –
ISBN 3446426396
[5] Schöning, Uwe: Logik für Informatiker. 5. Auflage. Spektrum, 2000. – ISBN
3827410053
Ordnungen Eine zweistellige Relation R ⊆ M × M heißt Ordnungsrelation, wenn
sie reflexiv, antisymmetrisch (xRy∧yRx → x = y) und transitiv ist. Meist verwendet
man Zeichen wie ≤ , oder ⊑ für Ordnungsrelationen. Ist x ≤ y (oder x y oder
x ⊑ y) und x 6= y, so lässt man den Strich unter dem Relationszeichen weg und
schreibt x < y (oder x ≺ y oder x ⊏ y).
Eine Ordnungsrelation ≤ heißt noethersch, wenn es keine unendlichen absteigenden
Ketten x1 > x2 > x3 > . . . gibt.
Induktion Ist M eine Menge mit einer noetherschen Ordnungsrelation ≤ und
A(x) eine Aussageform (also eine parametrisierte Ausage, d.h. für jedes x ∈ M ist
A(x) eine Aussage), dann gilt das noethersche Induktionsprinzip:
Für alle x ∈ M gilt A(x)
⇔ Für alle x ∈ M gilt:
(Für alle y ∈ M mit y < x gilt A(y))→ A(x)
Im Spezialfall M = N und der üblichen ≤-Relation erhält man die ,,normale“ Induktion über die natürlichen Zahlen. Der Induktionsanfang verbirgt sich dabei in
dem Fall x = 1, da dann die Prämisse der Implikation wahr ist.
Die strukturelle Induktion, welche wir etwa für Beweise über Formeln verwenden, erhalten wir aus der noetherschen Induktion, wenn wir für M die Menge aller Formeln
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Ergänzungen zu Logik und Diskrete Strukturen
Vorlesung 3 – 04.11.2011
nehmen und F ≤ G setzen, wenn F Teilformel von G ist. Wir erhalten:
Für alle Formeln F gilt A(F )
⇔ i) Für jede atomare Formel Ai gilt A(Ai ) und
ii) Gilt A(F ) und A(G), dann
auch A(¬F ), A(F ∧ G) und A(F ∨ G)
Aufgaben
1. Strukturelle Induktion
Wir definieren den Junktor ↑ (auch ,,NAND“ genannt) durch die folgende Wahrheitstafel:
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A↑B
1
1
1
0
Zeigen Sie mit Hilfe von struktureller Induktion nach dem Formelaufbau, dass es
zu jeder Formel F eine äquivalente Formel F ′ gibt, die nur den Junktor ↑ (und
natürlich atomare Aussagen aus F sowie Klammern) verwendet.
2. Normalformen und Algorithmen
Gibt es eine Normalform, die zur Prüfung auf Erfüllbarkeit besonders geeeignet
ist? Gilt dies auch für Gültigkeit? Warum ist es dennoch nicht unbedingt effizient,
für einen solchen Test eine Formel zunächst in diese Normalform zu überführen?
3. Zusatzaufgabe für Fortgeschrittene (wird nicht in der Vorlesung besprochen)
Zeigen Sie mit Hilfe eines Gegenbeispiels, dass das noethersche Induktionsprinzip im Allgemeinen falsch wird, wenn man die Voraussetzung weglässt, dass die
Ordnungsrelation noethersch sein muss.
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