Warnung: Mengenlehre kann die Erkenntnisfähigkeit beeinträchtigen!

Warnung: Mengenlehre kann die Erkenntnisfähigkeit beeinträchtigen!
Dagobert Duck gewinnt jeden Tag 10 Dollars und gibt einen wieder aus. Als Comic-Figur
lebt er ewig und sein Reichtum wächst ins Unermessliche. Gibt er jedoch immer den ältesten
Dollar aus und wendet er die Mengenlehre an, so macht er Bankrott. [1, 2]
Der kleine Kobold wohnt in einem Haus mit zwei Räumen, Wohnzimmer und Schlafzimmer.
Morgens geht er ins Wohnzimmer, abends ins Schlafzimmer. Das währt ewig. Es gibt kein
Problem, kein Paradoxon und kein "Endergebnis". Thomson hat eine ähnliche Geschichte
ersonnen [3], die oft als Paradoxon missverstanden wird, aber keines ist. Es geht nur immer so
weiter. Wendet man dagegen die Mengenlehre an, so gibt es ein "schließlich", denn das
Unendliche kann "vollendet" werden [4], und schließlich bleibt das Schlafzimmer leer, weil die
Zahl der Rückkehren ausgeschöpft ist. Andererseits bleibt auch das Wohnzimmer leer, weil die
Zahl der Eintritte dort auch ausgeschöpft ist. Der kleine Kobold ist verschwunden. (Man beachte,
dass die Folge der Tage des kleinen Kobolds monoton steigt. Daher greift die Entschuldigung
nicht, wonach der Mengenlimes bei nichtmonotonen Folgen versage.)
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Diese Überlegung basieren auf der Ausschöpfbarkeit von unendlichen Mengen, dem sogenannten
Mengenlimes [5]. Er ist Grundlage der transfiniten Mengenlehre, die wiederum als Grundlage der
modernen Mathematik angesehen wird – jedenfalls von den meisten Mathematikern: Die meisten
dieser meisten sind allerdings keine Experten auf diesem Gebiet; sie verlassen sich auf die
Expertise der Experten. Diese vergleichsweise wenigen Mathematiker müssen aber die
Ausschöpfbarkeit akzeptieren, weil anderenfalls aufgrund der relativistischen Äquivalenz von
Zeitachse und Raumachse der reellen Zahlen die Idee der "abzählbaren Menge" unhaltbar wird –
und damit ein großer Teil ihres Lebenwerkes.
Offensichtlich sind diese Ergebnisse unsinnig. Doch wie konnte es zum Credo in Absurdum
kommen? Dazu muss während des Studiums ein irreversibler Defekt generiert worden sein. Er
vermindert zwar nicht die Intelliganz, verhindert aber jede Wahrnehmung der Lächerlichkeit
dieser Resultate.
Ich möchte Studenten vor dem Übel bewahren, was erfahrungsgemäß erfolgversprechend ist,
sofern es früh genug geschieht. Ich habe diese Erfahrung mit vielen Hunderten von Studenten
gemacht, die der Verfestigung dieser verderblichen Lehre entgingen und die obigen Resultate mit
rationaler Skepsis ablehnen, weil sie den hier allein maßgebenden analytischen Methoden
widersprechen, wonach die Folge (9n)nœÙ einen (uneigentlichen) unendlichen Grenzwert besitzt
– und weiter nichts.
Daher liegt mir an möglichster Verbreitung dieses Textes.
Wolfgang Mückenheim
Literatur
[1] W. Mückenheim: Transfinity - A Source Book (2017) p. 252
[2] A. Fraenkel, ein führender Kopf der Mengenlehre schreibt: "Bekannt ist so die Geschichte
von Tristram Shandy, der daran geht, seine Lebensgeschichte zu schreiben, und zwar so
pedantisch, daß er zur Schilderung der ersten Tage seines Lebens je ein volles Jahr benötigt. Er
wird natürlich mit seiner Biographie niemals fertig, wenn er so fortfährt. Würde er indes
unendlich lang leben (etwa 'abzählbar unendlichviele' Jahre in der Ausdrucksweise des nächsten
Paragraphen), so würde seine Biographie 'fertig'; es würde dann nämlich, genauer ausgedrückt,
jeder noch so späte Tag seines Lebens schließlich eine Schilderung bekommen, weil das für diese
Arbeit an die Reihe kommende Jahr eben irgend einmal in seinem Leben erschiene." [Adolf
Fraenkel: "Einleitung in die Mengenlehre" 3. Aufl., Springer, Berlin (1928) p. 24]
[3] J.F. Thomson: "Tasks and super-tasks", Analysis 15 (1954) 1-13
Wikipedia: Thomson's lamp
[4] W. Mückenheim: Transfinity - A Source Book (2017) p. 21
[5] Eine Folge (Mn) von Mengen Mn besitzt einen Grenzwert Lim Mn genau dann, wenn
Lim M n = LimSup M n = LimInf M n
wobei
∞
∞
LimSup M n = ∩∪ M k
n =1 k = n
LimInf M n =
∞
∞
∪∩ M
k
.
n =1 k = n
[S.I. Resnick: "A probability path", Birkhäuser, Boston (1998) p. 6]
Wikipedia: Limit superior and limit inferior
Informationen zur Person
Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Mückenheim
Homepage: https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/
W. Mückenheim: "Die Geschichte des Unendlichen", 6th ed., Maro, Augsburg (2011)
W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)