Unscharfe Mengen Einführung und ¨Ubersicht Grundbegriffe

Unscharfe Mengen
Prof. Dr. Gerhard Goos
Fakultät für Informatik
Universität Karlsruhe
Einführung und Übersicht
Sommersemester 2002
c Gerhard Goos 2002
http://i44www.info.uni-karlsruhe.de/∼i44www/lehre/unscharf.html
Grundbegriffe
Unscharfe Regelung I: Grundbegriffe
Unscharfe Mengenoperationen
Unscharfe Relationen
Binäre unscharfe Relationen I
Definition: (Definitions-, Wertebereich)
eine binäre unscharfe Relation auf
Sei R
) und der Wertebereich ran(R
) sind
U = X × Y. Der Definitionsbereich dom(R
wie folgt definiert:
µdom(R)
(x) = sup µR(x, y) ≡ [R ↓ X ]
y
µran(R)
(y) = sup µR(x, y) ≡ [R ↓ Y ]
x
Komposition, Erweiterungsprinzip
Definition: (inverse Relation)
−1 : Y × X → [0, 1] mit
Die unscharfe Relation R
µR−1 (y, x) := µR(x, y)
:X ×Y
nennt man die zu R
→ [0, 1] inverse Relation.
Schreibweise:
X , Y ) :≡ R
: X × Y → [0, 1]
R(
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Unscharfe Mengen, SS2003: Komposition
92
Binäre unscharfe Relationen II
Binäre unscharfe Relationen III
Folgerungen (für Max-Min-Komposition):
X , X ) und S(
X,X)
gegeben: R(
Definitionen: (Die unscharfen Verallgemeinerungen sind auch hier keineswegs
eindeutig!)
und S
symmetrisch und R
◦S
=S
◦R
• R
X , X ) heißt:
Die Relation R(
(a) symmetrisch:
(b) antisymmetrisch:
(c)
(d)
(e)
(f)
ist reflexiv ⇒ R
◦S
⊇S
⊆R
◦ R)
• R
(damit: R
und S
reflexiv ⇒ R
◦S
reflexiv.
• R
µR(x1, x2) = µR(x2, x1).
x1 = x2 ⇒ [µR(x1, x2) = µR(x2, x1)]
∨ [µR(x1, x2) = µR(x2, x1) = 0].
µR(x, x) = 1.
µR(x, x) ≥ .
µR(x, x) ≥ µR(x, x ) und µR(x, x) ≥ µR(x , x).
µR(x1, x2) ≥
c(µR(x1, x), µR(x, x2))
reflexiv:
-reflexiv:
schwach reflexiv:
max-c-transitiv:
max
x∈X
⊇R
◦R
(d.h. R
)
◦S
ist symmetrisch.(damit: R
m = R
◦R
m−1 ist symmetrisch)
⇒ R
ist symmetrisch und max-min-transitiv
• R
ist schwach reflexiv.
⇒ R
ist reflexiv und max-min-transitiv
• R
◦R
= R.
⇒ R
und S
sind max-min-transitiv und R
◦S
=S
◦R
• R
◦S
ist max-min-transitiv.
⇒ R
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Unscharfe Mengen, SS2003: Komposition
93
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Binäre unscharfe Relationen IV
Unscharfe Mengen, SS2003: Komposition
94
Binäre unscharfe Relationen V
Eigenschaften binärer unscharfer Relationen:
(Gültigkeit abhängig von der konkreten Wahl der Kompositionsoperatoren)
gegeben:
X , Y)
R(
U(Z , W )
Y, Z)
S(
T (Y , Z )
(1) Assoziativität:
Konklusion: Komposition unscharfer Relationen Wählt man für Komposition
und S
eine beliebige t-Norm c, erfüllt die daraus abgeleitete
von R
-cKomposition
max
◦ (S
◦ U)
= (R
◦ S)
◦U
R
(2) Distributivität über Mengen-Vereinigung:
◦ (S
∪T
) = (R
◦ S)
∪ (R
◦T
)
R
µR
c S(x, z) =
(3) schwache Distributivität über Mengen-Schnitt:
max
c(µR(x, y), µS(y, z))
y∈Y
nur (1) Assoziativität, (2) Distributivität und (4) Monotonie.
◦ (S
∩T
) ⊆ (R
◦ S)
∩ (R
◦T
)
R
(4) Monotonie:
◦S
⊆R
◦T
S ⊆ T ⇒ R
(5) Symmetrie:
◦R
−1 ist eine schwach reflexive und symmetrische Relation auf X × X .
R
Mit Max-Min-Komposition ist (1)-(5) immer erfüllt.
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Unscharfe Mengen, SS2003: Komposition
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Unscharfe Mengen, SS2003: Komposition
96
Erweiterungsprinzip I
Erweiterungsprinzip II
Betrachtet man f als (n + 1)-stellige unscharfe Relation F
F : X1 × · · · × Xn × Y → {0, 1}
als Verbund A
=A
∗ ... ∗ A
, so gilt mit Max-Min-Komposition:
und A
n
1
sei: X := X1 × · · · × Xn und x := (x1, . . . , xn )
Motivation für das Erweiterungsprinzip
(extension principle, L.A. Zadeh):
gegeben:
µA◦F(y) =
=
X = X1 × · · · × X n
f:X →Y
=
i ⊆ Xi
A
gesucht:
n)
:= f(A
1, . . . , A
B
Erweiterungsprinzip:
µB(y) :=
=







sup
y=f(x1 ,...,xn )
0
[min [µA1 (x1), . . . , µAn (xn)]]
max
[min [µA(x), µF(x, y)]]
x∈X
[min [min [µA (x1), . . . , µA (xn)], µF(x, y)]]
max
x∈X
1



max





x∈X ,µF (x,y)=1


y=f(x1 ,...,xn )
0
n
min [µA (x1), . . . , µA (xn)]]
[
1
n
(falls ¬∃x : µF(x, y) = 1)
max [min [µA (x1), . . . , µA (xn)]]
0
1
n
(falls y nicht im Bild von f)
= µf(
(y)
A1 ,...,
An )
(falls y nicht im Bild von f)
Das Erweiterungsprinzip ist somit ein Spezialfall der allgemeinen
Max-Min-Komposition.
Beachte: Auf das Erweiterungsprinzip wird oft auch in allgemeineren Zusammenhängen verwiesen.
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Unscharfe Mengen, SS2003: Komposition
97
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Unscharfe Mengen, SS2003: Komposition
98
Unscharfe Arithmetik: Vorbemerkung
Unscharfe Arithmetik mit den vier Grundoperationen ⊕, , , : ist eine Anwendung des Erweiterungsprinzips auf ein- und zweistellige Funktionen.
Unscharfe Arithmetik
In der praktischen Anwendung kommt unscharfe Arithmetik selten vor.
:=
Sie wird hier als Beispiel behandelt, wie man generell mit Funktionen B
f(A1, . . . , An) umgeht, und, wie man die dabei auftretenden Effizienzprobleme
reduzieren kann.
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Unscharfe Mengen, SS2003: Arithmetik
99
Unscharfe Zahlen
Wiederholung: Erweiterungsprinzip
Wiederholung:
X = X1 × · · · × X n
gegeben:
Definition: (Konvexität)
heißt konvex genau dann, wenn jeder ihrer α-Schnitte
Sei U = IRn . Eine unscharfe Menge M
eine konvexe Menge ist.
i ⊆ Xi
A
n)
:= f(A
1, . . . , A
B
gesucht:
oder: ∀r, s ∈ IRn , ∀λ ∈ [0, 1] :
µM(λr + (1 − λ)s) ≥
min[µM(r), µM(s)]
Erweiterungsprinzip:
Definition: (Unscharfe Zahl)
heißt unscharfe Zahl genau dann, wenn gilt:
Eine unscharfe Menge A
1. U = IR
ist konvex
2. A
3. ∃1x : µA(x) = 1 ⇔ |A1| = 1
µB(y) :=




sup
y=f(x1 ,...,xn )



0
(falls y nicht im Bild von f)
gegeben:
1 und A
2, Funktion ∗ : IR2 → IR
unscharfe Zahlen A
:= A
1 A
2.
B
gesucht:
1
∀y ∈ IR :
Erweiterungsprinzip:
µB(y) = µA1A2 (y) =
unscharfe Zahl
IR
unscharfes Intervall
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[min [µA1 (x1), . . . , µAn (xn)]]
Anwendung: Operation auf unscharfen Zahlen:
Definition: (Unscharfes Intervall)
heißt unscharfes Intervall genau dann, wenn gilt:
Eine unscharfe Menge A
1. U = IR
ist konvex
2. A
3. ∃x : µA(x) = 1 ⇔ |A1| ≥ 1
1
f:X →Y
sup
y=x1 ∗x2
[min [µA1 (x1), µA2 (x2)]]
IR
Unscharfe Mengen, SS2003: Arithmetik
100
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B
=A
1 A2 als Max-Min-Komposition
Unscharfe Mengen, SS2003: Arithmetik
101
Beispiel Addition, Subtraktion
(1)
Beachte:
⊕B
=C
A
2
r ∗ s : algebraische Operation ∗ auf IR .
S
: unscharfe Operation auf F (IR)2.
R
: Verbund von R
⊂ IR und S
⊂ IR ∗S
R
↑ IR × IR ] ⊂ IR2
∗S
= [R
↑ IR × IR ] ∩ [S
R
A
2
B
4
7
9
11
C
14 15
18
22
, die die Operation ∗ auf IR2 beMit einer ternären “unscharfe” Relation P
schreibt,
µP (x, y, z) =
1
0
falls x ∗ y = z,
sonst.
(2)
A
=0
A
gilt:
= A
A
B
1
2
) ◦ P.
= (A1 ∗ A
2
-A
-11
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Unscharfe Mengen, SS2003: Arithmetik
102
-8
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0
-3
A
3
8
11
Unscharfe Mengen, SS2003: Arithmetik
103
Beispiel Multiplikation, Inverse
Unscharfe Arithmetik – Intervallarithmetik
Definition: (Intervallarithmetik)
wird definiert durch
(3)
B
=C
A
A
1
mit Intervallen I1, I2 auf IR und algebraischer Operation ∗.
C
B
3 4 5
I1 I2 := {x1 ∗ x2 | x1 ∈ I1, x2 ∈ I2}
7
15
, B
unscharfe Zahlen/Intervalle mit stetiger ZugehörigkeitsfunkSatz: Seien A
tion und beschränktem Träger. Dann gilt mit α ∈ (0, 1]
28
B
= (A
B)
A
α
α
α.
und B
ist nach Voraussetzung ein abgeschlossenes Intervall.
Beweis: Jeder α-Schnitt von A
α
α B
y∈A
α, x2 ∈ B
α : x 1 ∗ x2 = y
⇔
∃ x1 ∈ A
(µA(x1), µB(x2)) ≥ α
⇔
(4)
max min
=C
A
: (A)
x1 ,x2 : x1 ∗x2 =y
⇔
C
-A
-12
-8
-6
-2 -1
⇒ Unscharfe Arithmetik entspricht Intervallarithmetik auf α-Schnitten!
A
6
8
B)
α
y ∈ (A
Bemerkung: Der Satz läßt sich auf beliebige Funktionen verallgemeinern,
12
(Kruse,Gebhardt,Klawonn 1993).
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Unscharfe Mengen, SS2003: Arithmetik
104
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Wann ist Ergebnis T = R
S unscharfe Zahl?
Unscharfe Mengen, SS2003: Arithmetik
105
Steigende/fallende Bereiche
Beweis über zwei Lemmata:
und S
unscharfe Zahlen, µR und µS stetig, und ∗ eine stetige, steigende, binäre Operation
Seien R
auf IR:
Definition: (steigende (fallende) Operation)
Eine binäre Operation ∗ auf IR heißt steigend (fallend), falls gilt:
(<)
[x1 > y1 und x2 > y2] ⇒ x1 ∗ x2 > y1 ∗ y2.
Notation:
• F (IR) bezeichne die Menge aller unscharfen Zahlen.
• ⊕, , , . . . bezeichne die unscharfen Erweiterungen der auf IR definierten algebraischen
Operationen +, ·, −, . . . auf F (IR).
Theorem:
[Dubois & Prade]
und S
unscharfe Zahlen mit stetigen und surjektiven Zugehörigkeitsfunktione
Sind R
µR und µS, und ist ∗ eine stetige, steigende (fallende) binäre Operation auf
S
ebenfalls eine unscharfe Zahl mit stetiger und surjektiver ZuIR, so ist R
gehörigkeitsfunktion µRS.
und s = S
:
Beachte: Wenn das Theorem anwendbar ist, so gilt es auch für scharfe Zahlen r = R
Lemma 1:
Seien [lR , rR ] und [lS , rS ] zwei Intervalle im nicht-fallenden (nicht-steigenden) Bereich von µR bzw.
µS mit
∀x ∈ [lR , rR ], ∀y ∈ [lS , rS ] : µR (x) = µS (y) = ω.
Dann gilt: ∀z ∈ [lR ∗ lS , rR ∗ rS ] : µRS (z) = ω.
⇒ Bestimmung des Ergebnisses µRS für nicht-fallende (bzw. nicht-steigende) Bereiche von µR
und µS möglich.
Lemma 2:
Seien µR und µS nicht-fallend auf (−∞, r] bzw. (−∞, s] und nicht-steigend auf [r, ∞) bzw. [s, ∞),
das heißt: µR (r) = µS (s) = 1.
= IR ∪ {−∞, ∞} und µR(IR ) = µS(IR ) = [0, 1].
Sei außerdem IR
Dann gilt: ∀z ∈
inf
x,y
(x ∗ y), sup (x ∗ y)
x,y
∃(xR , yS ) :
[xR ≤ r ∧ yS ≤ s] ∨ [xR ≥ r ∧ yS ≥ s],
S
= T = r ∗ s.
R
µRS(xR ∗ yS) = µR(xR) = µS(yS) = µRS(z).
1 und R
2 zurückführbar, wenn
1 S
2 S
⇒ Bestimmung von µRS ist auf die Bestimmung von R
1, S
2, S
1 die nicht-fallenden, R
2 die nicht-steigenden Bereiche von µR und µS darstellen.
R
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Unscharfe Mengen, SS2003: Arithmetik
106
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Unscharfe Mengen, SS2003: Arithmetik
107
Positive / negative unscharfe Zahlen, unäre Operationen
Definition: (positive/negative unscharfe Zahl)
(>)
heißt positiv (negativ), falls ∀x < 0 : µR(x) = 0. Notationen:
Eine unscharfe Zahl R
< 0,
bzw. R
>0
R
|S
∈ F (IR), S
> 0},
F (IR+ ) := {S
−
F (IR ) := {S | S ∈ F (IR), S < 0},
x=−y
sup
x=1/y
[µR(y)] = µR( x1 ).]
1 ∈
∈
1 nicht konvex.
Beachte: R
/ F (IR), da R
/ F (IR±) ⇒ R
(λ ∈ IR\{0}) zu R
:
(3) skalares Vielfaches λR
x
µλR(x) = sup [µR(y)] = µR( λ ).
x=λ·y
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Unscharfe Mengen, SS2003: Arithmetik
max − min-Komposition sehr aufwendig.
Abhilfe:
1 Berechnung über α-Schnitte?
2 Partitionierung der µ-Funktionen in steigende/fallende Bereiche, Anwendung von Folie 107;
3 LR-Funktionen als µ-Funktionen und (näherungsweises) Rechnen damit;
4 Abtastung: Diskretisierung der µ-Funktionen und Berechnung des Resultats aus einer endlichen Menge von Meßpunkten (unvermeidlich, wenn µFunktionen durch diskrete Meßwerte gegeben).
5 Polygonverfahren: Interpolation zwischen exakt berechneten
Stützstellen.
Unscharfe unäre Operatoren:
µR(x) = sup [µR(y)] = µR(−x).
µR1 (x) =
B
=A
⊕ (B)
.
Subtraktion ebenfalls o.k., wenn definiert durch A
Aber Berechnung der
∈
R
/ F (IR±): unscharfe Null
1 zu R
:
(2) inverser Wert R
Unscharfe Addition liefert nach Satz von Dubois & Prade wieder unscharfe
Zahlen.
B
∈ IR± o.k. Division definiert durch A
=
Multiplikation und Division mit A,
:B
1
A (B) .
F (IR± ) := F (IR+ ) ∪ F (IR− ).
zu R
:
(1) negativer Wert R
Unscharfe Arithmetik: Übersicht I
108
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Unscharfe Mengen, SS2003: Arithmetik
109
Unscharfe Arithmetik: Eigenschaften
Schwache Distributivität
Satz:
Seien der binäre Operator ∗ auf IR und der entsprechende Operator auf F (IR)
gegeben:
Satz: (schwache Distributivität von über ⊕)
eine positive oder negative unscharfe Zahl und sind S
sowie T
beide negative
Ist R
oder beide positive unscharfe Zahlen, so gilt:
(1) ∗ ist kommutativ ⇒ ist kommutativ, da
(2) ∗ ist assoziativ ⇒ ist assoziativ, da
(S
⊕T
) = (R
S)
⊕ (R
T
).
R
min (x, y) = min (y, x)
und T beliebige Vorzeichen, so gilt nur:
Besitzen S
(S
⊕ (R
⊕ T) ⊆ (R
S)
T).
R
sup [min [ sup [min [µR (x), µS (y)]], µT (z)]]
u=v∗z
v=x∗y
= ...
= sup [min [µR(x),
u=x∗v
Über IN gelten die Sätze nicht: Beispiel: (Multiplikation unscharfer Zahlen über IN)
sup [min [µS (y), µT (z)]]]]
Sei
v=y∗z
(3) ist distributiv über ∪:
(S
∪T
) = (R
S)
∪ (R
T
)
R
da:
=
=
= 0.3/1 + 1/2 + 0.4/3 und S
= 0.7/2 + 1/3 + 0.2/4
R
Dann gilt mit
µRS(z) =
sup [min [µR (x), max [µS (v), µT (v)]]]
min [0.3, 0.7]/2 + min [0.3, 1]/3
+ max [min [0.3, 0.2], min [1, 0.7]]/4
+ max [min [1, 1], min [0.4, 0.7]]/6
+ min [1, 0.2]/8 + min [0.4, 1]/9
+ min [0.4, 0.2]/12
=
0.3/2 + 0.3/3 + 0.7/4 + 1/6
+0.2/8 + 0.4/9 + 0.2/12
...
max [sup[min [µR (x), µS (z)]],sup[min [µR (y), µT (z)]]]
u=y∗z
Beachte:
(3 ) ist nicht distributiv über ∩.
S
nicht konvex.
⇒ R
∪ ist nicht distributiv über .
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:
=
S
R
u=x∗v
u=x∗z
sup [min [µR (x), µS (y)]]
z=x·y
Unscharfe Mengen, SS2003: Arithmetik
110
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Unscharfe Mengen, SS2003: Arithmetik
111
Unscharfe Arithmetik I: Partitionierung
Unscharfe Arithmetik: Folgen der Zerlegung
=A
B
mit:
Bestimme C
• ∗ ist beliebige 2-stellige, steigende (fallende), scharfe Operation.
B
sind beliebige unscharfe Mengen über dem Definitionsbereich von ∗.
• A,
Es gilt:
:=
(a) Sei a = H(A)
, sowie
max
[µA(x)], b = H(B)
x
µA (x) = min [µA(x), min (a, b)]
µB (x) = min [µB(x), min (a, b)].
(Erweiterung auf n-stellige Operation kanonisch)
Beachte:
(Zerlegung)
kann als Vereinigung von unscharfen Mengen C
i
Jede stückweise stetige unscharfe Menge C
Ci
B
zugrundeliegende MaxDann gewährleistet die der Berechnung von A
Min-Komposition:
B
=A
B
.
A
i
i gilt:
dargestellt werden, wobei für alle C
i ist konvex
- C
- Es gibt ein Intervall Ii = [li , ri ], in dem µCi nur monoton steigend, nur monoton fallend oder
nur konstant ist,
/ Ii gilt µCi (x) = 0.
und ∀x ∈
(b) Distributivität:

 


 A  B 
i
j
j
i

=
i,j
B
)
(A
i
j
Mit (a) und (b) ergibt sich folgender Algorithmus zur Berechnung von
=A
B
:
C
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Unscharfe Mengen, SS2003: Arithmetik
112
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Unscharfe Arithmetik mit Partitionierung: Algorithmus
Unscharfe Mengen, SS2003: Arithmetik
Unscharfe Arithmetik mit Partitionierung: Beispiel
B
=C
:
Algorithmus zur Berechnung von A
(1) Bestimme h :=
H(B)]
sowie:
min [H(A),
min [µA(x), h],
min [µB(x), h].
A : µA (x) :=
: µB (x) :=
B
und B
in A
i bzw. B
j.
(2) Zerlege A
i
113
2 ∪ A
3 ∪ A
4
=B
1 ∪ B
2 ∪ B
3
=A
1 ∪ A
B
A
1, A
2, A
3}
1, B
2}
NFA = {A
NFB = {B
2, A
4}
2, B
3}
NSA = {A
NSB = {B
=
ij =
j)
i ⊕ B
C
C
(A
⊕B
=C
A
Beispiel:
i,j
j
1
(3) Bilde zwei Mengen NFA und NSA:
i±1 steigend}, (A
i−1 oder A
i+1)
i | A
i ist steigend ∨ konstant mit A
i±1 ≡ A
NFA = {A
i±1 fallend}.
i | A
i ist fallend ∨ konstant mit A
NSA = {A
A2
B2
A
i,j
B
A3
A1
B1
A4
5
B3
10
15
20
1
Bilde analog NFB und NSB .
C 11
i, B
j) aus NFA × NFB bzw. NSA × NSB:
(4) Bestimme für alle Paare (A
5
i B
j.
ij := A
C
C 31
C 21
10
C 32
15
20
1
(Lemma 1 und Lemma 2, Folie 107, anwendbar. Unstetigkeitsstellen werden dabei als
steigend oder als fallend angesehen.)
(5) Bestimme das Gesamtergebnis:
ij
=
C
C
C 12
5
C 22
10
1
C 42
15
C 43
20
C
i,j
C 23
i, B
j) erhält man mit erhöhtem Aufwand das gleiche
ij für alle Paare (A
Beachte: Bestimmt man C
5
10
15
20
Ergebnis.
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Unscharfe Mengen, SS2003: Arithmetik
114
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Unscharfe Mengen, SS2003: Arithmetik
115
Unscharfe Arithmetik II: LR-Arithmetik
LR-Arithmetik II
Beispiel:
(2) LR-Arithmetik:
L(x) =
Definition: (LR-Funktion)
Eine Funktion f : IR → [0, 1] mit
(1) f(x) = f(−x)
(2) f(0) = 1
(3) f streng monoton fallend in IR+
= (m, α, β)
Mit S
LR gilt:
µS(x) =
heißt LR-Funktion.
Definition: (LR-Darstellung einer unscharfen Zahl)
besitzt eine LR-Darstellung genau dann, wenn es zwei
Eine unscharfe Zahl S
LR-Funktionen L und R sowie Skalare α > 0, β > 0 und m gibt, so daß
für x ≤ m
L m−x
α
µS(x) =
für x > m.
R x−m
β
Man bezeichnet m als den Mittelwert, α und β als linke bzw. rechte Spreizung
.
von S
Notation:
S = (m, α, β)LR.
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Unscharfe Mengen, SS2003: Arithmetik
116
Notation:
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m−x
n−y
=ω=L
α
γ
sind x und y eindeutig festgelegt:
L
x = m − αL−1(ω),
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117
(a) LR-Addition:
(m, α, β)LR ⊕ (n, γ, δ)LR = (m + n, α + γ, β + δ)LR
Zusatz:
Mit
L = (αL−1 + γL R = (βR−1 + δR −1 −1
) ,
(m, α, β)LR ⊕ (n, γ, δ)L R = (m + n, 1, 1)L R (b) LR-Subtraktion
z = x + y = m + n − (α + γ)L−1(ω)
m+n−z
= ω.
L
α+γ
und
analog
z − (m + n)
R
= ω.
β+δ
Unscharfe Mengen, SS2003: Arithmetik
−1 −1
) und
gilt:
y = n − γL−1(ω)
Also gilt
Prof. Dr. Gerhard Goos
(m, m, α, β)LR.
LR-Arithmetik: Addition, Subtraktion
Für die Addition: Betrachtung der monoton steigenden Bereiche von µR und
µS:
Sei ω ∈ [0, 1]. Mit


x−5
1

=

(x−5) für x > 5
R 3
1+2 3 I=
= (m, α, β)LR und S
= (n, γ, δ)LR.
gegeben: unscharfe Zahlen R
 1

=
L 5−x
2 für x ≤ 5

2

5−x

1+ 2

Definition: (LR-Darstellung eines unscharfen Intervalls)
Eine unscharfes Intervall I besitzt eine LR-Darstellung genau dann, wenn es
zwei LR-Funktionen L und R sowie Skalare α > 0, β > 0, m und m gibt, so daß
 m−x

für x < m
L α
1
µR(x) =
für m ≤ x ≤ m

 R x−m für x > m.
β
LR-Arithmetik III
1
1
, α = 2, β = 3, m = 5
, R(x) =
1 + x2
1 + 2|x|
Es gilt:
(m, α, β)LR = (−m, β, α)RL.
Damit:
(m, α, β)LR (n, γ, δ)RL = (m − n, α + δ, β + γ)LR.
118
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2003: Arithmetik
119
LR-Arithmetik: Multiplikation
LR-Arithmetik: Division
(c) LR-Multiplikation
ω wie bei Addition festlegen. Dann gilt
2
z = x · y = m · n − (mγ + nα)L−1(ω) + αγ L−1(ω)
Mit
Annahme: α, γ hinreichend klein oder ω ≈ 1:
S
1
=R
R
: S
(d.h., steile Flanken bzw. hohe Zugehörigkeitswerte)
⇒ Approximation:
gilt:
(m, α, β)LR : (n, γ, δ)RL
z = x · y ≈ m · n − (mγ + nα)L−1(ω)
L
mn − z
mγ + nα
≈ω
(analog:
R
z − mn
mδ + nβ
= (m, α, β)LR (n, γ, δ)RL1
1 δ γ
≈ (m, α, β)LR ( , 2 , 2 )LR
n n n
m mδ + nα mγ + nβ
≈ ( ,
,
)LR
n
n2
n2
≈ω)
Beachte:
S
ist nur unter der Voraussetzung R,
S
∈ F (IR±) eine unscharfe Zahl.
T = R
> 0, S
> 0:
R
(m, α, β)LR (n, γ, δ)LR ≈ (mn, mγ + nα, mδ + nβ)LR
andere Fälle analog
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2003: Arithmetik
120
Prof. Dr. Gerhard Goos
LR-Arithmetik: scharfe Operanden
Unscharfe Mengen, SS2003: Arithmetik
121
Unscharfe Arithmetik III: Abtastung
Übereinkunft:
Die Spreizung α = 0 beschreibt eine unendlich steile Flanke, d.h. eine scharfe
Grenze.
= (m, 0, 0)
Damit:∀L, ∀R : M
LR = 1/m = m
S
=T
R
⇒ LR-Arithmetik für scharfe Zahlen:
(m, 0, 0)LR ⊕ (n, 0, 0)L R (m, 0, 0)LR (n, 0, 0)L R (m, 0, 0)LR (n, 0, 0)L R (m, 0, 0)LR : (n, 0, 0)L R =
=
=
=
Grundidee:
(m + n, 0, 0)L R (m − n, 0, 0)L R (mn, 0, 0)L R (m/n, 0, 0)L R 1. unterteile den betrachteten Ausschnitt von IR mit n (zumeist äquidistante)
Stützpunkten
X = x1, . . . , xn
⇒ skalare Multiplikation:
2. ∀x ∈ X: setze µT (x) := 0.
∀λ > 0 :
λ (m, α, β)LR
= (λ, 0, 0)LR (m, α, β)LR
= (λm, λα, λβ)LR
∀λ < 0 :
λ (m, α, β)LR
= (λ, 0, 0)LR (m, α, β)LR
= (λm, −λβ, −λα)RL
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2003: Arithmetik
3. ∀(xR, xS) ∈ X × X mit xR ∈ R0 und xS ∈ S0: bestimme das x ∈ X mit minimalem
Abstand zu xR ∗ xS und setze
µT (x) :=
122
Prof. Dr. Gerhard Goos
max {µT (x), min {µR(xR), µS(xS)}}.
Unscharfe Mengen, SS2003: Arithmetik
123
Unscharfe Arithmetik IV: Polygonverfahren
Unscharfe Arithmetik: Beispiele
Grundidee:
und S
durch die Stützpunkte (x , y ) bzw. (x , y )
Seien unscharfe Zahlen R
Ri Ri
Sj Sj
zweier Polygone beschrieben.
Beispiele für Multiplikation mit Abtastung, Polygonverfahren und LR-Arithmetik; δ bezeichnet
den Abstand zwischen benachbarten Abtastpunkten.
Abtastung, δ = 0.05 / Polygon / LR
Die Menge
T = {x ∈ IR | ∃k, l : x = xRk ∗ xSl }
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
umfaßt die x-Koordinaten der Stützpunkte
∗R
.
(xTk , yTk ) des Ergebnisses T = R
Sei außerdem
Px := {(k, l) | xSk ∗ xRl = x}.
Setze nun
yx :=
max [min [ySk, yRl]].
(k,l)∈Px
Bilde die konvexe Hülle aller Punkte (xTr , yxTr ).
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2003: Arithmetik
124
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2003: Arithmetik
Unscharfe Operationen: Vergleich
(2) LR-Arithmetik:
- nur in Spezialfällen anwendbar (Anforderungen an L und R, Bedingungen
für Multiplikation)
- einfach und schnell
- Probleme bei Multiplikation/Division
(3) Abtast-Verfahren:
- viele “häßliche” Einbrüche
- beste und allgemeinste Annäherung an exaktes Ergebnis
- algorithmisch einfach
- Aufwand: O(n2).
(n: Anzahl der Abtaststellen)
(4) Polygon-Ansatz
- einfache, aber glatte Annäherung
- für Dreiecke und Trapeze vollkommen ausreichend
- algorithmisch einfach
unsortiert)
- Aufwand: O(n · m), (C
B
)
(n, m: Anzahl der Stützstellen von A,
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Unscharfe Mengen, SS2003: Arithmetik
126
Relationengleichungen
125
Relationengleichungen – Motivation I
Relationengleichungen – Motivation II
Gegeben: Konsistente (!), natürlichsprachliche Regeln
: IF x is A
THEN y is B
,
Q
i
i
i
Komposition unscharfer Relationen
≡
Komposition unscharfer
(System-) Abhängigkeiten
deren Prädikate mit Hilfe unscharfer Mengen beschrieben sind, d.h.
: [A
→ B
]
Q
i
i
i
(i = 1, . . . , n).
sind unscharfe Relationen: U × U → [0, 1]
⇒ Q
i
A
B
Beispiel: Balancieren eines Stabes auf einem Wagen
• direkte Frage:
Bestimme die Eigenschaften des Gesamtsystems, wenn alle Teilsysteme vorgegeben sind.
1 : Winkel positiv → Wagen nach links (negative Kraft)
Q
2 : Winkel um Null →
Wagen halten (keine Kraft)
Q
3 : Winkel negativ →
Q
Wagen nach rechts (positive Kraft)
• inverse Frage:
Bestimme Einzelsysteme, wenn angestrebte Gesamteigenschaften sowie bestimmte Einzelsysteme vorgegeben sind.
Auswertung:
für den Winkel
Gegeben: Meßwert A
Gesucht: Kraft B
◦Q
= A
Verfahren: Komposition B
⇒ im Fall endlicher Universen Untersuchung
unscharfer Relationengleichungen.
, so daß
Gesucht: Unscharfe Relation Q
◦Q
=B
A
i
i
(i = 1, . . . , n)
repräsentiert die Regeln
⇒ Q
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
127
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Relationengleichungen I
Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
128
Unscharfe Relationengleichungen: Allgemeine Lösung
Zunächst einfacher Fall:
gegeben:
:
A
UA
→ [0, 1]
:
B
UB
→ [0, 1]
Q : UA × UB → [0, 1]
Satz
◦Q
=B
lösbar
A
bzw.
Betrachtung von
Gleichung mit einer Unbekannten:
gesucht:
B
eine Lösung, Matrizenprodukt
Eigenschaften des α-Operators:
(α1) ∀a, b, c ∈ [0, 1] : a α
(b, c) =
(a α b, a α c)
(α2) ∀a, b ∈ [0, 1] :
(a, a α b) =
(a, b)
(α3) ∀a, b ∈ [0, 1] : a α
(a, b) = a α b
min
gesucht:
(2) A
⇒ keine, eine oder mehrere Lösungen,
Herleitung?
keine, eine oder mehrere Lösungen,
Herleitung?
Prof. Dr. Gerhard Goos
max
min
max
min
Beweis:
einfaches Einsetzen, Fallunterscheidung
gesucht:
(3) Q
⇒
◦ (A
α B)
=B
A
(Q α B) ◦ Q = B
Definition: (α-Operator)
Der Operator α ist eine zweistellige Abbildung α : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] mit:
1 falls a ≤ b
a α b :=
b sonst
◦Q
=B
A
als
(1)
⇒
⇒
(Transposition von (2))
Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
129
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
130
α-Komposition, Gödel-Relation
Unscharfe Relationengleichungen: Existenzsatz
Definition: (α-Komposition)
und Q
unscharfe Relationen auf U × U bzw. U × U . Dann heißt die
Seien P
x
y
y
z
αQ
auf U × U mit
unscharfe Relation P
x
z
µP α Q(x, z) :=
min [µP(x, y) α µQ(y, z)]
y∈Uy
⊆ U und B
⊆ U gegeben. A
◦Q
= B
ist genau dann lösbar,
Satz 1: Seien A
A
B
wenn
und Q
.
die α-Komposition von P
max µA(x) ≥ ymax
µB(y) .
∈U
x∈ U A
Spezialfälle:
(1) |Uy | = 1 :
auf Ux mit der unscharfen Menge B
auf Uz ist die
Die α-Komposition der unscharfen Menge A
αB
auf Ux × Uz mit
unscharfe Relation A
µA α B(x, z) := µA(x) α µB(z).
B
∗ := A
αB
⊆U ×U
Q
A
B
ist die größte aller möglichen Lösungen:
:A
◦Q
=B
⇒ Q
⊆Q
∗.
∀Q
und B
.
Sie heißt Gödel-Relation zwischne A
(2) |Uz| = 1 :
auf Ux × Uy mit der unscharfen Menge B
auf Uy
Die α-Komposition der unscharfen Relation Q
αB
auf Ux mit:
ist die unscharfe Menge Q
µQ α B(x) :=
Prof. Dr. Gerhard Goos
min [µQ(x, y) α µB(y)]
y∈UB
Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
131
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
Relationengleichungen
Beweis Existenzsatz
A◦Q = B
1 A, Q bekannt
’Matrixmultiplikation’
Q e
r
s
v
K 0.7 0.3 0.5 0.6
L 0.2 0.1 0.2 0.9
M 0.4 0.7 0.8 0.2
A N
e
r
s
v
K 0.3
⇒ B=
0.4 0.7 0.8 0.4
L 0.4
M 0.8
2 Q, B bekannt
Wir zeigen die Äquivalenz folgender Aussagen durch Ringschluß:
◦Q
=B
ist lösbar.
(i) A
µA(x) ≥
µB(y)
(ii)
max
x∈U
A
max
y∈U
B
∗ := A
αB
ist Lösung.
(iii) Q
(i) ⇒ (ii) durch ¬(ii) ⇒ ¬(i):
∃y ∈ UB : µB (y) >
⊆ UA × UB : µA◦Q(y) =
⇒ ∀Q
’Stellgröße’
B, Q wie vorher ⇒
K
L
M
Amin1 Amin2 A Amax
0.4
0
0.3 0.4
0
0.4
0.4 0.4
0.8
0.8
0.8
1
r
Q2 e
K
1
1
1
1
L
M 0.4 0.7
A
A
< µB(y)
(ii) ⇒ (iii):
max
min µA(x), µA α B(x, y)
x∈U
= max min µA(x), µA(x) α µB(y)
x∈U
= max min µA(x), µB(y)
x∈U
= min max µA(x), µB(y)
x∈U
µA◦Q∗ (y) =
’Regelbasis’
r
s
v
Q1 e
K 0.7 0.3 0.5 0.6
L 0.2 0.1 0.2 0.9
M 0.4 0.7 0.8 0.2
max
µA(x)
x∈U
max
min µA(x), µQ(x, y)
x∈U
⇒ Q=∅
3 A, B bekannt
A, B wie vorher ⇒
132
s v
1 1
1 1
1 0.4
A
A
A
A
= µB(y)
(iii) ⇒ (i): klar.
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
133
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
134
Beweis Existenzsatz II
Beispiel
gegeben:
= [0.1 0.9 0.8 0.1],
A
= [0.8 0.7]
B
gesucht:
◦Q
∧ Q
∗ maximal
∗ : A
∗ = B
Q
∗ ist maximal.
noch zu zeigen: Q
Lösbarkeit:
0.9 =
mit µQ (x0, y0) > µQ∗ (x0, y0) für ein x0, y0.
Annahme: Es ex. eine Lösung Q
αB
folgt daraus µA(x0) > µB(y0) (sonst wäre µQ (x0, y0) > 1) und damit µQ (x0, y0) >
∗ = A
Mit Q
µQ∗ (x0, y0) = µB(y0).
Also gilt
Matrixschreibweise: [ai ] ◦ [qij ] = [bj ]
√


q12
q22 
= [0.8 0.7]
q32 
q42
falls ai ≤ bj
1
∀(i, j) : qij :=
bj sonst.
q11
 q
[0.1 0.9 0.8 0.1] ◦  21
q31
q41
max
min[µQ (x, y0), µA(x)] ≥ min[µQ (x0, y0), µA(x0)] > µB(y0)
x∈U
max µA(x) ≥ max µB(y) = 0.8
A
die Gleichung löst.
im Widerspruch zur Annahme, daß Q
∗ := A
αB
Q
⇔

⇒
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
135
Prof. Dr. Gerhard Goos
Systeme unscharfer Relationengleichungen

1
1
0.8
0.7


∗ = 
Q
1 0.7 
1
1
Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
136
Lösung von Relationengleichungssystemen
bisher: eine Gleichung:
gegeben:
:
A
:
B
UA
| A
◦Q
= B
} der Lösungen der i-ten Gleichung.
Satz 2: Sei Qi die Menge {Q
i
i
Dann ist
→ [0, 1]
→ [0, 1]
gesucht:
: UA × UB → [0, 1],
Q
so daß:
◦Q
A
=
B
UB
∗ :=
Q
UA

◦Q
= 
P


gesucht:
:
Q
so daß:
◦Q
P
Prof. Dr. Gerhard Goos
1
A
2
A
...
n
A



=
◦ Q



UA × UB
=

1
B
2
B
...
n
B
i=1
αB
)
(A
i
i
=B
i} = ∅.
| ∀i : A
i ◦ Q
Q := {Q
i = 1, . . . , n
→ [0, 1],

n
Beweis:
Voraussetzung: Lösung existiert, d.h.:
→ [0, 1],
UB
in Matrixschreibweise: 
i=1
∗ =
Q
i
die größte Lösung des Gesamtsystems, falls eine Lösung existiert.
nun: System unscharfer Relationengleichungen:
gegeben:
i :
A
i :
B
n
∈ Q eine solche Lösung.
Sei Q
i = 1, . . . , n
=B
i ◦ Q
i
⇒ ∀i : A
∗
(Satz 1) ⇒ ∀i : Q ⊆ Qi
∗ = Q
⊆
∗
Q
⇒ Q


 =R

i
i
Monotonie der Max-Min-Komposition:
i = A
i ◦ Q
i
⊆ A
i ◦ Q
∗ ⊆ A
i ◦ Q
∗ = B
∀i : B
i
→ [0, 1],
i ◦
⇒ ∀i : A
R
Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
137
∗
Q
i sowie Q
⊆Q
∗
=B
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
138
Beispiel
Beispiel: Fortsetzung
 
0.1 0.9 0.8 0.1
 0.4 0.7 1 0.3  
 0.5 0.2 0.5 0.6  ◦ 
0.1 0
0
0

q11
q21
q31
q41
 

q12
0.8 0.7
q22   0.7 0.7 
=
q32   0.5 0.5 
0 0.1
q42
1
bik
falls aij ≤ bik
sonst.
gegeben:
1
A
2
A
3
A
4
A
=
=
=
=
1
B
2
B
3
B
4
B
[0.1 0.9 0.8 0.1],
[0.4 0.7 1 0.3],
[0.5 0.2 0.5 0.6],
[0.1 0
0
0],
∗ = A
i α B
i = [aij] α [bik] gilt
mit [q∗i jk ] = Q
i
= [0.8 0.7],
= [0.7 0.7],
= [0.5 0.5],
= [0 0.1].
q∗i jk = aij α bik =
∗ ergeben sich zu
⇒ die Q
i
gesucht:
: ∀i ∈ {1, . . . 4} : A
=B
i
i ◦ Q
Q
Matrixschreibweise:


◦Q
=
P


1
A
2
A
3
A
4
A




 
◦Q=


1
B
2
B
3
B
4
B

∗ = 
Q

1


 =R


∗ = 
Q

3
Bestimmung der maximalen Lösung:
∗: Q
∗ = A
i α B
i
(1) Bestimmung der Q
i
i
∗
∗
∗
(2) Bestimmung von Q : Q = Qi


1
1
0.8 0.7 
∗ = 
, Q

2
1 0.7 
1
1


1
1
1
1 

∗
, Q4 = 
1
1 
0.5 0.5
1
1
0.7
1
0
1
1
1

1
1 
0.7 
1

1
1 
1 
1

0
1
0.8
0.7


∗ = 
Q
i
0.7 0.7 
0.5 0.5

i
∗ =
⇒ Q
? ∗ Lösung: ∀i : A
∗ =
i ◦ Q
(3) Test, ob Q
Bi
i
, gilt Q
◦Q
∗ = R
∗ ∈ Q =
Da P
∅.
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
139
Unscharfe Relationengleichungen: Minimale Lösungen
Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
140
Unscharfe Relationengleichungen: Beispiel Fortsetzung
∈ Q = {Q
|P
◦Q
= R}
. Dann gilt:
Satz 3 Sei Q
(Fortsetzung von Folie 139)

0.1
 0.4
 0.5
0.1
⊆Q
⊆ Q
∗ ⇒ Q
∈ Q.
Q
Beweis: (Monotonie der Max-Min-Komposition)
=P
◦Q
⊆P
◦Q
⊆ P
◦Q
∗ = R
R
⇒
Prof. Dr. Gerhard Goos
 
0.9 0.8 0.1
0.7 1 0.3  
◦
0.2 0.5 0.6  
0
0
0
q11
q21
q31
q41
 
q12
q22  
=
q32  
q42
0.8
0.7
0.5
0

0.7
0.7 
0.5 
0.1
Betrachte 2 weitere Lösungen, etwa:


0 0.5
0.8
0.3


=
=
Q
und Q

0.5 0.7 
0
0

Um alle Lösungen aus Q angeben zu können: Bestimmung der Menge
Q∗ ⊆ Q der minimalen Elemente
∈ Q ∃Q
∈Q :Q
⊆Q
.
∀Q
∗
∗
∗
~
Q*

0 0.1
0.8 0.7 
0.2 0.5 
0.5 0
Beobachtungen:
und Q
⊆ Q
⊆ Q
(1) Q
~
Q
= Q
ist Lösung:
∪Q
(2) auch Q
Q
~1
Q*
~2
Q*
 

 
0 0.1
0 0.5
0 0.5
0.8
0.7
0.8
0.7
0.8
0.3






= 
∪
Q
=
0.5 0.7   0.2 0.5   0.5 0.7 
0.5 0
0.5 0
0
0

~3
Q*
Prof. Dr. Gerhard Goos
⊂ Q
, Q
⊂ Q
∗ ⇒ Satz 3 anwendbar.
beachte: Q
Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
141
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
142
Minimale Lösungen: Konstruktion, n = 1
Unscharfe Relationengleichungen: alle Lösungen
Vorgehensweise:
◦ Q
= B
lösbar, d. h. A
α B
ist größte Lösung. Für alle y ∈ U sei
Sei A
B
X(y) := {x ∈ UA | µA(x) ≥ µB(y) > 0}.
(1) Aufspaltung in unabhängige Teilprobleme:
Lösungsforderung: ∀y ∈ UB :
| ∀i : A
◦Q
=B
}
Q = {Q
i
i
Sie wird für vorgegebenes y mit µB(y) > 0 minimal erreicht, wenn für genau ein
x ∈ X(y) gilt
∗:
(2) falls Teilprobleme lösbar (max µA (x) ≥ max µB (y)), Bestimmung von Q
i
∗ =
Q
i
i
Q∗i =
i
max (min[µA(x), µQ(x, y)]) = µB(y).
x∈ U A
µQ∗ ((x, y)) = µB(y) ∧ ∀x = x : µQ∗ ((x , y)) = 0.
αB
)
(A
i
i
Für µB(y) = 0 gibt es nur die minimale Lösung µQ∗ ((x, y)) = 0 für alle x. Insgesamt gibt es
[1, |X(y)|] Lösungen zu vorgegebenem y.
max
◦Q
∗ = R
(3) falls P
⇒ Lösungsmenge Q ist leer, Ende
Jede minimale Lösung Q∗ setzt sich aus je einem Vektor für jedes y ∈ UB mit
obiger Eigenschaft zusammen. Es gibt daher
|Q∗| =
[1, |X(y)|]
(4) Bestimmung der minimalen Lösungen Q∗.
Dann gilt:
y∈UB
| ∃Q
∈Q :Q
⊆Q
⊆Q
∗}
Q = {Q
∗
∗
∗
max
minimale Lösungen.
Aber wie bestimmt man Q∗?
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
143
Fortsetzung des Beispiels von Folie 136

q11
 q21
A ◦ Q = [0.1 0.9 0.8 0.1] ◦ 
q31
q41



q12
1
1
q22 
0.8 0.7 
∗ = 
= [0.8 0.7] = B,
Q
 1 0.7 
q32 
q42
1
1
Aufteilung in |UB | = 2 unabhängige Gleichungen:


q11
 q21 
[0.1 0.9 0.8 0.1] ◦ 
= 0.8
j=1:
q31 
q41


q12
 q22 
[0.1 0.9 0.8 0.1] ◦ 
= 0.7
j=2:
q32 
q42
Für j = 1, 2 sind die Mengen Ij der signifikanten“ Indizes i ∈ {1, 2, 3, 4} mit ai ≥ bj :
”


0 0
j = 1 : I1 = {2, 3}
 ∗ ∗ 
Notation: I = 
∗ ∗ 
j = 2 : I2 = {2, 3}
0 0
⇒ es gibt |I1| · |I2| = 4 minimale Lösungen:


 
 
 
0
0
0
0
0
0
0
0




0 
 0.8 0.7   0.8 0   0 0.7   0
,
,
,
Q∗ = 




0.8
0.7
0.8
0
0
0.7
0
0




0
0
0
0
0
0
0
0
Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
144
Minimale Lösungen: Konstruktion, n > 1
Minimale Lösungen: Beispiel
Prof. Dr. Gerhard Goos
Prof. Dr. Gerhard Goos


◦Q
= R
in der Form 

Satz 4 Gegeben sei P


∗. Die Mengen
Lösung Q
A
1
A
2
...
A
n


 ◦Q





= 


B
1
B2
...
Bn



 mit maximaler


|A
◦Q
=B
und Q
minimal}
Qi∗ := {Q
∗
∗
∗
i
i
◦Q
=B
. Dann gilt: Die Menge
seien die minimalen Lösungen von A
i
i
=
Q∪ := {Q
i
i ∈ Qi ∧ Q
⊆Q
∗}
i | Q
Q
∗
∗
∗
(i) enthält ausschließlich Lösungen
|P
◦Q
= R}
Q ∪ ⊆ Q = {Q
(ii) ist Obermenge aller minimalen Lösungen
|P
◦Q
=R
und Q
minimal}
Q∪ ⊇ Q ∗ = { Q
∗
∗
145
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Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
146
Beweis von Satz 4
Nicht alle Vereinigungen minimaler Lösungen sind Lösungen
∈ Q∪ beliebig:
(i) Q∪ ⊆ Q: Sei Q
∗,
⊆Q
Q
⇒
=
i ∈ Qi : Q
∀i ∃Q
∗
∗
◦Q
=B
löst P
◦Q
=
Vorsicht: Nicht jede Vereinigung minimaler Lösungen von A
i
i
R:
i
Q
∗
i
∈ Q1 , Q
⊆ Q
∗
∈ Q2 : Q
∪Q
Beispiel: ∃Q
∗
∗
⇒
⊆Q
∗
i ⊆ Q
∀i : Q
∗
⇒
i = A
i ◦ Q
i
i ⊆ A
i ◦ Q
⊆A
i ◦ Q
∗ = B
∀i : B
∗
⇒
=R
◦Q
P
0.8 1
0.1 0.3
=
◦Q
0.7
0.2
maximale Lösung:
1
∗ = 0.7 , Q
∗ =
∗ = 0.7
Q
⇒
Q
1
2
0.7
0.2
0.2
∗
0
minimale Lösungen: I1 =
, I2 =
.
∗
∗
0.7
0
0
⇒
Q1∗ =
,
, Q2∗ =
0
0.7
0.2
0
0
0
=
∗
⇒
Q
∪
⊆ Q
=
0.7
0.2
0.7
∗ ∈ Q mit Q
∗ ∈
(ii) Q∗ ⊆ Q∪ : Annahme: Es gibt ein minimales Q
/ Q∪:
⇒
i ◦ Q
i
∗ = B
∀i : A
⇒
i ∈ Qi : Q
∗ ⊆ Q
∗
i ⊆ Q
∀i ∃Q
∗
∗
∗
⇒
i
∗
Q∗ ⊆ Q
i
i
/ Q∪ .
Fall 1: Q
∗ = Q∗ : Widerspruch zur Annahme Q∗ ∈
i
i
∗: Widerspruch zur Annahme der Minimalität.
Q
Fall 2: Q
∗ =
i
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Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
147
Prof. Dr. Gerhard Goos
◦Q
=B
, die P
◦Q
=
Vorsicht: Nicht jede Vereinigung minimaler Lösungen von A
i
i
R löst, ist minimal:

◦Q
= R
P
∪Q
∈
∈ Q1 , Q
∈ Q2 : Q
Beispiel: ∃Q
/ Q∗
∗
∗
0.8 1
0.1 0.7
=
◦Q
maximale Lösung:
∗ = 0.7 , Q
∗ =
Q
1
2
0.7
∗
0
minimale Lösungen: I1 =
, I2 =
.
∗
∗
⇒ Q1∗ = {
Q2∗ = {
1
1
0.7
0.7
∗ =
⇒ Q
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⇔




i α B
i);
∗ := (A
(1) Q
1
A
2
A
...
An



 ◦Q=





1
B
2
B
...
Bn





i
0.7
0.7
dann Q∗ := ∅; Ende;
∗ = R
wenn P ◦ Q
(2) L := {1}; bestimme Q1∗ ;
(3) für i = 2 bis n:
(3.1) bestimme Qi∗
0
,
}
0.7
0
}
0.7
0
0.7
Q∪ = {
,
}
0.7
0.7
0.7
0
⊂
0.7
0.7
⇒
148
Algorithmus zur Bestimmung von Q∗
Nicht alle Vereinigungen minimaler Lösungen sind minimal
Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
0.7
0
Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
L∪{i}
(3.2) Q∪
| Q
∪Q
∈ QL ∧ Q
∈ Qi };
:= {Q
∗
∗
L := L ∪ {i}; i := i + 1;
∗}
|Q
⊆ Q
(3.3) QL∪ := QL∪ \{Q
mit P
◦Q
= R
)
(Entfernung aller Q
∗ | Q
∗ minimal in QL }
(3.4) QL∗ := {Q
∪
(4) Q∗ := QL∗
149
Prof. Dr. Gerhard Goos
(Auswahl der minimalen Lösungen)
Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
150
Anwenden des Algorithmus am Beispiel I
Anwenden des Algorithmus am Beispiel II
(2) i = 1; Bestimmung von Q1∗ :
Für k = 1, 2 Bestimmung der Mengen Kk (1) der “signifikanten” Indizes j ∈ {1, 2, 3} mit a1j ≥ b1k:
∗:
(1) Bestimmung von Q



K1(1) = {2, 3} , K2(1) = {2, 3}.


0 0
Notation: K(1) =  ∗ ∗ 
∗ ∗

0.1 0.9 0.8
0.8 0.7
◦Q
=  0.6 0.7 0.1  ◦ Q
=  0.6 0.7  = R
:
P
0 0.1
0.1 0
0
∗ = A
i α B
i = [aij] α [bik] gilt
mit [q∗i jk ] = Q
i
q∗i jk = aij α bik =
⇒
1
bik
⇒ 2 · 2 = 4 minimale Lösungen

 
 
 

0
0
0
0
0
0
0
0
0 }
Q1∗ = { 0.8 0.7  ,  0.8 0  ,  0 0.7  ,  0
0
0
0 0.7
0.8 0
0.8 0.7
falls aij ≤ bik
sonst.






1
1
1 1
0 1
∗ =  0.8 0.7  , Q
∗ =  0.6 1  , Q
∗ =  1 1 
Q
1
2
3
1 0.7
1 1
1 1
⇒
∗ =
Q
i

(3) i = 2:
(3.1) Bestimmung von Q2∗ :
0
1
∗ =  0.6 0.7 
Q
i
1 0.7
⇒ 2 · 1 = 2 minimale Lösungen
gilt Q∗ = ∅
◦Q
∗ = R
⇒ mit P
Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
151
Prof. Dr. Gerhard Goos
Anwenden des Algorithmus am Beispiel III
{1,2}
 

0
0
0.6 0



0 0.7 , 0.6 0.7 }
={
0
0
0
0

Q2∗
Prof. Dr. Gerhard Goos
(3.2) Q∪

∗ 0

K(2) = ∗ ∗ 
0 0


Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
152
Anwenden des Algorithmus am Beispiel IV
∪Q
∈ Q∗{1} ∧ Q
∈ Q2 }:
| Q
:= {Q
∗
(3) i = 3:
{1,2}

{


{1,2}
(3.3) Q∪
Q∪ :=
 
 
0.6 0
0
0
0.6
0.8 0.7  ,  0.8 0.7  ,  0.8
0
0
0
0
0
 
 
0.6 0
0
0
0.6
0 0.7  ,  0.6 0.7  ,  0
0.8 0
0.8 0
0.8
 
0
0.7  , 
0.7
 
0
0.7  , 
0.7
(3.1) Bestimmung von Q3∗ :

0
0
0.8 0.7  ,
0 0.7

0
0
0.6 0.7 }
0.8 0.7
(3.2)
{1,2,3}
Q∪
(3.3)
{1,2,3}
Q∪
∪Q
∈
| Q
:= {Q
{1,2}
Q∗
∈ Q3 }:
∧ Q
∗
{1,2,3}
Q∪
|Q
⊆ Q
∗ }:
:= Q∪ \{Q
{1,2}
{1,2}
 

0
0
0
0
:= { 0.6 0.7  ,  0.6 0.7 }
0.8 0
0.8 0.7
{1,2,3}
(3.4) Q∗
∗ | Q
∗ minimal in Q{1,2}
:= {Q
∪ }:

0 0.1
:= { 0.6 0.7 }
0.8 0
⊆ Q
∗ }:
|Q
{1,2,3}
Q∪

0 0.1
:= { 0.6 0.7 }
0.8 0
{1,2,3}


0 0.1
= { 0.6 0.7 }
0.8 0
Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
154
∗ | Q
∗ minimal in Q∪
:= {Q
{1,2,3}
}:
Q∗
{1,2,3}

0
0
= { 0.6 0.7 }
0.8 0
Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
:=
{1,2,3} Q∪ \{Q
(4) Q∗ := QL∗ = Q∗

{1,2}
Q∗
Prof. Dr. Gerhard Goos

0 0.1
= { 0 0 }
0 0

Q∪
{1,2}
Q3∗


(3.4) Q∗


∗ ∗
K(3) =  ∗ 0  ⇒ nur 1 minimale Lösung, da b31 = 0
∗ 0

153
Prof. Dr. Gerhard Goos
Lösbarkeit
Bedeutung für regelbasiertes Schließen
Diskussion bzgl. Lösbarkeit:
• problemlos: geringe Überlappungen der linguistischen Terme
⇒ “unscharfe Konsistenz” der Regeln
• evtl. problematisch: große Überlappungen der Prämissen-Terme
⇒ “unscharfe Inkonsistenz” der Regeln
Extremfall: widersprüchliche Regeln
• große Überlappungen der Prämissen lassen sich durch Überlappungen der
Konsequenzen ausgleichen
Faustregel: “Benachbarte Konklusionen sollten sich mindestens ebenso stark überlappen wie
die zugehörigen Prämissen”.
i
αB
)⊆B
,
(A
i
i
j
d.h., die Antwort wird höchstens spezifischer als erwartet.
Im Extremfall widersprüchlicher Regeln gilt
◦Q
∗ ≡ 0, was zweifelsohne zu spezifisch ist.
A
j
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
Unscharfe Maße
THEN y is B
IF x is A
i
i
, so daß
Gesucht: Unscharfe Relation Q
◦Q
=B
A
i
i
(i = 1, . . . , n)
Ergebnis: Wenn eine Lösung existiert, dann gibt es i.a. eine Lösungsmenge Q
mit
∗ ∈ Q;
• einer maximalen Lösung Q
• einer Menge Q∗ ⊆ Q minimaler Lösungen.
Folge:
• Entscheidung für eine Lösung abhängig von der Semantik (Possibilitäts-,
Evidenztheorie)
• Lösbarkeit als Anforderung bei der Definition der Regeln denkbar (implizite Forderung an Konsistenz der Regeln); schwierig bei vielen Regeln und
mehrdimensionalen Problemen
Mit Satz 1 gilt immer:
◦Q
∗ = A
◦
A
j
j
Gegeben: Regeln
155
Prof. Dr. Gerhard Goos
Unscharfe Mengen, SS2003: Relationengleichungen
Possibilität und Evidenz
156
Unscharfes Schließen
Unscharfe Regelung II
Lernende unscharfe Regler
Ähnlichkeit, Ballungsanalyse
unscharfe Entscheidungsfindung