Stochastik I

Stochastik I
Sommersemester 2017
Prof. Dr. U. Rösler
S. Hallmann
Blatt 7
Aufgabe 1
Sei α ∈ (0, 1) und seien P, P1 , P2 Wahrscheinlichkeitsmaße auf (
die für alle n ∈ 0 , k ∈ {0, ..., n} folgende Identität erfüllen:
n k
P1 ({k})P2 ({n − k}) =
α (1 − α)n−k P ({n}).
k
N
N0, P ot(N0)),
Zeigen Sie, dass P, P1 , P2 jeweils Poissonverteilungen sind.
Aufgabe 2
Während der Kieler Woche halten sich an einem Abend 10.000 Besucher in
direkter Wassernähe auf. Es sei angenommen, dass diese unabhängig vonein1
ins Wasser fallen.
ander jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 10.000
Wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass dies an diesem Abend mehr
als 2 Besuchern passiert?
Zur Beantwortung dieser Frage
(a) geben Sie eine geeignete Modellierung mit Zufallsgrößen hierfür an und
geben Sie das gesuchte Ereignis A in diesem Modell an,
(b) benutzen Sie die (gleichmäßige) Poisson-Approximation, um die Wahrscheinlichkeit zu approximieren,
(c) geben Sie eine Fehlerabschätzung an.
Aufgabe 3
L. v. Bortkiewicz gab eine Aufstellung der Anzahl der Hufschlagtoten, die
während der Dauer eines Jahres in verschiedenen preußischen Kavallerieregimentern verzeichnet waren. Dabei legte er die Daten von n := 200 Regimentern über einen Zeitraum von einem Jahr zugrunde. Die nachfolgende
Tabelle gibt die Anzahl An (r) der Fälle mit genau r Hufschlagtoten an.
r
0
An (r) 109
1 2
65 22
3 4 ≥5
3 1 0
Ein Regiment besteht aus m := 1000 Soldaten und die Wahrscheinlichkeit für
eine Person durch Hufschlag zu sterben sei eine unbekannte Größe p ∈]0, 1[.
Um die Daten zu analysieren, nehmen wir an, dass X1 , ..., Xn unabhängige
Binomial-verteilte Zufallsgrößen zu den Parametern m und p sind, die die
Anzahl der Hufschlagtoten angeben.
N
(a) Sei (x1 , ..., xn ) ∈ n0 die beobachtete Zahl der Hufschlagtoten in den
einzelnen Regimentern, d.h. es gilt |{i ∈ {1, ..., n} : xi = r}| = An (r) für
r ∈ {0, ..., 4}.
Folgern Sie mit Hilfe der Poissonapproximation, dass
−nmp
P (X1 = x1 , ..., Xn = xn ) ≈ e
4
Y
(mp)rAn (r)
r=1
(r!)An (r)
=: f (p).
(b) Bestimmen Sie die Maximalstelle p̂ von p 7→ f (p).
(c) Vergleichen Sie die relativen Häufigkeiten aus obiger Tabelle mit P oi(mp̂)({r}).
(Hier reicht eine kurze Einordnung.)
Aufgabe 4
Konstruieren Sie eine Folge unabhängiger zentrierter Zufallsgrößen (Xn )n∈N ,
die dem schwachen, aber nicht dem starken Gesetz der großen Zahlen genügt.
D.h.:
!
n
1X
Xk
konvergiert in Wahrscheinlichkeit aber nicht f.s. gegen 0.
n k=1
n∈
N
Aufgabe 5
Seien T, X1 , X2 , . . . unabhängige, reelle Zufallsgrößen in L1 ( ). Es sei
0 ) = 1, und es seien X1 , X2 , . . . identisch verteilt. Wir setzen
P
N
ST :=
T
X
P(T ∈
Xi .
i=1
P
Zeigen Sie, dass ST ∈ L1 ( ) und bestimmen Sie
E(ST ).
Präsenzaufgabe 1
Seien X1 , . . . , Xn unabhängig
und geometrisch verteilt mit Parameter p ∈
Pn
(0, 1). Wir setzen Y = i=1 Xi . Bestimmen Sie mittels Erzeugendenfunktionen die Verteilung von Y .
Hinweis: Für α ∈
R und k ∈ N0 definieren wir den Binomialkoeffizienten
α
α(α − 1) · · · (α − k + 1)
=
k
k!
Es gilt die erweiterte binomische Formel:
∞ X
α k
(1 + x) =
x für jedes x ∈
k
k=0
α
C mit |x| < 1.
Bemerkung: Seien r > 0 (nicht notwendigerweise ganzzahlig) und p ∈ (0, 1].
Mit
∞ X
−r
−
b (r, p) =
(−1)k pr (1 − p)k δk
k
k=0
bezeichnen wir die negative Binomialverteilung.
Abgabe bitte bis spätestens Freitag, den 16. Juni, 10:00 Uhr im Schreinfach
(1. Stock Math. Sem.) bzw. Postfach (3. Stock Math. Sem.) Ihres Übungsgruppenleiters.