Funktionen - MAB.01012UB MAT.101UB Vorlesung im WS 2017/18

ANALYSIS 1
Kapitel 3:
Funktionen
MAB.01012UB MAT.101UB
Vorlesung im WS 2017/18
Günter LETTL
Institut für Mathematik und wissenschaftliches Rechnen
Karl-Franzens-Universität Graz
3.1 Grundbegrie
Denition (1)
A
a)
und
B
seien Mengen.
Eine Abbildung (oder Funktion)
f : A → B ) ist eine Vorschrift, die
y ∈ B zuordnet. Dann heiÿen:
y
das Bild von
f
A nach B (Schreibweise:
x ∈ A genau ein Element
von
jedem
x unter f (oder: der Wert
y = f (x) bzw. x 7→ y ;
von
f
an der Stelle
Schreibweise:
A
der Denitionsbereich von
B
der Wertevorrat (oder Zielbereich) von
Graph(f
der Graph von
f.
f,
f
und
) = {(x, y ) ∈ A × B | y = f (x)}
x ),
Denition (1) (Fortsetzung)
b)
Es sei
Ist
B⊂R
f:A→B
[bzw.
eine Abbildung.
B ⊂ C],
so heiÿt
f
eine reellwertige [bzw.
komplexwertige] Funktion.
Sind
A, B ⊂ R
[bzw.
A, B ⊂ C],
so heiÿt
f
eine reelle [bzw.
komplexe] Funktion (in einer Variablen).
g : A → B eine weitere Abbildung von A nach B , so heiÿen f
und g gleich (f = g ), wenn für alle x ∈ A gilt: f (x) = g (x).
Ist
Denition (2)
Es sei
a)
f:A→B
eine Abbildung.
A0 ⊂ A heiÿt
f (A0 ) = {f (x) | x ∈ A0 }
0
das Bild von A unter f ;
insbesondere heiÿt f (A) das Bild (oder die Wertemenge)
Für eine Teilmenge
von
f.
0
Für eine Teilmenge B
−1
das Urbild von
b)
Ist
⊂ B heiÿt
f (B 0 ) = {x ∈ A | f (x) ∈ B 0 }
B 0 unter f .
g: B → C
eine weitere Abbildung, so heiÿt die Abbildung
g ◦f:A→C
x 7→ g (f (x))
die Komposition (oder Hintereinanderausführung) von
(Sprechweise: ,,g nach
f
).
g
und
f
Lemma (1)
Ist
f:A→B
eine Abbildung, so gilt:
a) A0 ⊂ A =⇒ A0 ⊂ f −1 (f (A0 ))
b) B 0 ⊂ B =⇒ f (f −1 (B 0 )) = B 0 ∩ f (A) ⊂ B 0
Denition (3)
Eine Abbildung
f:A→B
I injektiv, falls für alle
heiÿt
x1 , x2 ∈ A gilt: f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2
x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )].
[bzw. äquivalent dazu:
I surjektiv, falls
f (A) = B gilt
y ∈ B existiert
[d. h.: zu jedem
(mindestens) ein
f (x) = y ].
I bijektiv, falls
f
injektiv und surjektiv ist.
x ∈A
mit
Lemma (1)
Ist
f:A→B
eine Abbildung, so gilt:
a) A0 ⊂ A =⇒ A0 ⊂ f −1 (f (A0 ))
b) B 0 ⊂ B =⇒ f (f −1 (B 0 )) = B 0 ∩ f (A) ⊂ B 0
Denition (3)
Eine Abbildung
f:A→B
I injektiv, falls für alle
heiÿt
x1 , x2 ∈ A gilt: f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2
x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )].
[bzw. äquivalent dazu:
I surjektiv, falls
f (A) = B gilt
y ∈ B existiert
[d. h.: zu jedem
(mindestens) ein
f (x) = y ].
I bijektiv, falls
f
injektiv und surjektiv ist.
x ∈A
mit
Lemma (2)
Es sei
f:A→B
eine injektive Abbildung. Dann existiert die
Umkehrabbildung
Graph(f
−1
f −1 : f (A) → A,
) = {(y , x) | y ∈ f (A)
und ihr Graph ist
und
x ∈A
mit
f (x) = y } ⊂ f (A)×A.
f −1 ist die eindeutig bestimmte Abbildung von f (A)
f −1 ◦ f = idA und f ◦ f −1 = idf (A) erfüllt.
nach
Denition (4)
a) Es seien f , g : A → B ⊂ C (reell- oder) komplexwertige
Funktionen. Dann deniert man
die Summe von
f
das Produkt von
und
f
g:
und
(
f + g: A → C
g:
x 7→ f (x) + g (x)
(
f · g: A → C
x 7→ f (x) · g (x)
,
,
A,
die
Lemma (2)
Es sei
f:A→B
eine injektive Abbildung. Dann existiert die
Umkehrabbildung
Graph(f
−1
f −1 : f (A) → A,
) = {(y , x) | y ∈ f (A)
und ihr Graph ist
und
x ∈A
mit
f (x) = y } ⊂ f (A)×A.
f −1 ist die eindeutig bestimmte Abbildung von f (A)
f −1 ◦ f = idA und f ◦ f −1 = idf (A) erfüllt.
nach
Denition (4)
a) Es seien f , g : A → B ⊂ C (reell- oder) komplexwertige
Funktionen. Dann deniert man
die Summe von
f
das Produkt von
und
f
g:
und
(
f + g: A → C
g:
x 7→ f (x) + g (x)
(
f · g: A → C
x 7→ f (x) · g (x)
,
,
A,
die
Denition (4) (Fortsetzung)
den Quotienten von
f
durch

f


 g : A0 → C
g:
f (x)



x 7→
g (x)
mit
A0 = {x ∈ A | g (x) 6= 0} ,
die zu
f
konjugiert komplexe Funktion:
den Realteil von
f:
(
f:A→C
x 7→ f (x)
(
<(f ): A → R
und den Imaginärteil von
f:
x 7→ <(f (x))
(
=(f ): A → R
x 7→ =(f (x))
.
,
Denition (4) (Fortsetzung)
b)
Eine reelle Funktion
f:A→B
(d.h.:
A, B ⊂ R)
[streng ] monoton wachsend , wenn für alle
gilt:
heiÿt
x1 , x2 ∈ A
mit
x1 < x2
f (x1 ) ≤ f (x2 ) [bzw. f (x1 ) < f (x2 )] ,
[streng ] monoton fallend , wenn für alle
x1 , x2 ∈ A
mit
x1 < x2
gilt:
f (x1 ) ≥ f (x2 ) [bzw. f (x1 ) > f (x2 )].
Lemma (3)
Es seien
Ist
f
f
A, B ⊂ R
und
f:A→B
eine reelle Funktion.
streng monoton wachsend [bzw. streng monoton fallend], so ist
injektiv und besitzt daher eine Umkehrfunktion
f −1
f −1 : f (A) → A.
ist dann ebenfalls streng monoton wachsend [bzw. streng
monoton fallend].
Denition (4) (Fortsetzung)
b)
Eine reelle Funktion
f:A→B
(d.h.:
A, B ⊂ R)
[streng ] monoton wachsend , wenn für alle
gilt:
heiÿt
x1 , x2 ∈ A
mit
x1 < x2
f (x1 ) ≤ f (x2 ) [bzw. f (x1 ) < f (x2 )] ,
[streng ] monoton fallend , wenn für alle
x1 , x2 ∈ A
mit
x1 < x2
gilt:
f (x1 ) ≥ f (x2 ) [bzw. f (x1 ) > f (x2 )].
Lemma (3)
Es seien
Ist
f
f
A, B ⊂ R
und
f:A→B
eine reelle Funktion.
streng monoton wachsend [bzw. streng monoton fallend], so ist
injektiv und besitzt daher eine Umkehrfunktion
f −1
f −1 : f (A) → A.
ist dann ebenfalls streng monoton wachsend [bzw. streng
monoton fallend].
3.2 Abzählbarkeit von Mengen
Denition (5)
A
und
B
seien Mengen.
a) A und B
Abbildung
b)
heiÿen gleichmächtig, wenn es eine bijektive
f:A→B
gibt.
A heiÿt
A und N gleichmächtig sind, d. h.: es gibt eine
Abbildung f : N → A
(eine ,,Abzählung von A).
Die Menge
abzählbar, wenn
bijektive
höchstens abzählbar, wenn
überabzählbar, wenn
A
A
endlich oder abzählbar ist.
unendlich und nicht abzählbar ist.
Satz (1)
a) Z und Q sind abzählbare Mengen.
b) Die Menge R ist überabzählbar.
3.2 Abzählbarkeit von Mengen
Denition (5)
A
und
B
seien Mengen.
a) A und B
Abbildung
b)
heiÿen gleichmächtig, wenn es eine bijektive
f:A→B
gibt.
A heiÿt
A und N gleichmächtig sind, d. h.: es gibt eine
Abbildung f : N → A
(eine ,,Abzählung von A).
Die Menge
abzählbar, wenn
bijektive
höchstens abzählbar, wenn
überabzählbar, wenn
A
A
endlich oder abzählbar ist.
unendlich und nicht abzählbar ist.
Satz (1)
a) Z und Q sind abzählbare Mengen.
b) Die Menge R ist überabzählbar.
3.3 Polynomfunktionen
Für den gesamten Abschnitt sei
K ∈ {R, C}.
Denition (6)
(
Eine Abbildung
f: K → K
heiÿt
falls
K = R,
komplexe, falls
K = C,
reelle,
Polynomfunktion (auch: Polynom), wenn es ein
n ∈ N0
)
und
a0 , a1 , . . . , an ∈ K gibt, sodass für alle x ∈ K gilt:
n
X
f (x) =
ai x i = a0 + a1 x + a2 x 2 + . . . + an x n .
i=0
Ist
an 6= 0,
so heiÿt
f
Polynomfunktion vom Grad
der führende (oder: höchste) Koezient von
Ist
α∈K
mit
f (α) = 0,
so heiÿt
α
n
und
f.
eine Nullstelle von
f.
an
heiÿt
Satz (2)
f : K → K eine
α ∈ K . Dann gilt:
Es sei
a)
Polynomfunktion vom Grad
Es existiert eine Polynomfunktion
sodass für alle
x ∈K
g: K → K
n∈N
und
vom Grad
n − 1,
gilt:
f (x) = (x − α) g (x) + f (α) .
b) f (α) = 0 ⇐⇒ Es existiert eine Polynomfunktion g : K → K
vom Grad
n − 1,
sodass für alle
x ∈K
gilt:
f (x) = (x − α) g (x)
[ Sprechweise: ,,x
−α
teilt
f (x)
].
Satz (3)
Es sei
Dann
f : K → K eine Polynomfunktion vom Grad n ∈ N0 .
besitzt f in K höchstens n Nullstellen.
Korollar (1)
f , g: K → K
n
X
f (x) =
ai x i
Es seien
Polynomfunktionen mit
und
g (x) =
i=0
Sind
n
X
bi x i
für ein
n ∈ N0 .
i=0
x1 , x2 , . . . , xn+1 ∈ K
≤ k ≤ n + 1:
paarweise verschieden und gilt für alle
mit 1
f (xk ) = g (xk ) ,
so folgt
ai = bi
für alle
i
mit 0
≤i ≤n
(und somit
f = g ).
k
Satz (3)
Es sei
Dann
f : K → K eine Polynomfunktion vom Grad n ∈ N0 .
besitzt f in K höchstens n Nullstellen.
Korollar (1)
f , g: K → K
n
X
f (x) =
ai x i
Es seien
Polynomfunktionen mit
und
g (x) =
i=0
Sind
n
X
bi x i
für ein
n ∈ N0 .
i=0
x1 , x2 , . . . , xn+1 ∈ K
≤ k ≤ n + 1:
paarweise verschieden und gilt für alle
mit 1
f (xk ) = g (xk ) ,
so folgt
ai = bi
für alle
i
mit 0
≤i ≤n
(und somit
f = g ).
k
Korollar (2)
Ist 0
6= f : K → K
eine Polynomfunktion, so ist ihr Grad
n ∈ N0
eindeutig bestimmt, und es existieren eindeutig bestimmte
a0 , a1 , . . . , an ∈ K mit an 6= 0, sodass
f (x) = a0 + a1 x + . . . + an x n .
für alle
x ∈K
gilt:
Korollar (3) (Interpolation nach Lagrange)
n ∈ N0 ; x0 , x1 . . . , xn ∈ K
y0 , y1 , . . . , yn ∈ K .
Es sei
seien paarweise verschieden, und
Dann gibt es genau eine Polynomfunktion
≤ n,
sodass für alle
i
mit 0
f (xi ) = yi
≤i ≤n
f:K →K
vom Grade
gilt:
[,,Interpolationseigenschaft ].
Korollar (2)
Ist 0
6= f : K → K
eine Polynomfunktion, so ist ihr Grad
n ∈ N0
eindeutig bestimmt, und es existieren eindeutig bestimmte
a0 , a1 , . . . , an ∈ K mit an 6= 0, sodass
f (x) = a0 + a1 x + . . . + an x n .
für alle
x ∈K
gilt:
Korollar (3) (Interpolation nach Lagrange)
n ∈ N0 ; x0 , x1 . . . , xn ∈ K
y0 , y1 , . . . , yn ∈ K .
Es sei
seien paarweise verschieden, und
Dann gibt es genau eine Polynomfunktion
≤ n,
sodass für alle
i
mit 0
f (xi ) = yi
≤i ≤n
f:K →K
vom Grade
gilt:
[,,Interpolationseigenschaft ].
Der allgemeine Binomialkoezient:
Für n ∈ N0 und z ∈ C deniert man


1
falls n = 0
z
.
:= z(z − 1) . . . (z − n + 1)

n
falls n ≥ 1
n!
z
ist eine komplexe Polynomfunktion vom Grad n
n
Variablen z ) mit Nullstellen 0, 1, 2, . . . , n − 1.
(in der
Satz (4) (Additionstheorem für allgemeine
Binomialkoezienten)
Für
w, z ∈ C
und
n ∈ N0
gilt:
w +z
n
n
P
w
z
=
.
i
n−i
i=0
Satz (5)
6= f: K → K eine Polynomfunktion und α ∈ K , so existieren
e ∈ N0 und genau eine Polynomfunktion g : K → K ,
sodass für alle x ∈ K gilt:
Ist 0
genau ein
f (x) = (x − α)e g (x)
Denition:
Ist
e > 0,
so heiÿt
α
und
eine
g (α) 6= 0 .
e -fache
Nullstelle von
f.
Satz (6) (Zerlegungssatz für komplexe Polynome)
Ist
f:C→C
eine (komplexe) Polynomfunktion vom Grad
6 a ∈ C, r ∈ N0 ,
=
verschiedene α1 , . . . , αr ∈ C und e1 , . . . , er ∈ N mit
e1 + · · · + er = n, sodass für alle x ∈ C gilt:
r
Y
f (x) = a · (x − αi )ei .
so existieren eindeutig bestimmte 0
i=1
n ∈ N0 ,
paarweise
Satz (5)
6= f: K → K eine Polynomfunktion und α ∈ K , so existieren
e ∈ N0 und genau eine Polynomfunktion g : K → K ,
sodass für alle x ∈ K gilt:
Ist 0
genau ein
f (x) = (x − α)e g (x)
Denition:
Ist
e > 0,
so heiÿt
α
und
eine
g (α) 6= 0 .
e -fache
Nullstelle von
f.
Satz (6) (Zerlegungssatz für komplexe Polynome)
Ist
f:C→C
eine (komplexe) Polynomfunktion vom Grad
6 a ∈ C, r ∈ N0 ,
=
verschiedene α1 , . . . , αr ∈ C und e1 , . . . , er ∈ N mit
e1 + · · · + er = n, sodass für alle x ∈ C gilt:
r
Y
f (x) = a · (x − αi )ei .
so existieren eindeutig bestimmte 0
i=1
n ∈ N0 ,
paarweise
3.4 Rationale Funktionen
Für den gesamten Abschnitt sei
K ∈ {R, C}.
Denition (7)
f , g : K → K seien Polynomfunktionen
E = {α ∈ K | g (α) = 0}. Dann heiÿt
h=
mit
g 6= 0
und
f
: K \E →K
g
f (x)
x 7→
g (x)
eine rationale Funktion auf
K.
α ∈ E eine e -fache Nullstelle von g und f (α) 6= 0, so
eine e -fache Polstelle (oder: Pol der Ordnung e ) von h.
Ist
heiÿt
α
Satz (7) (Partialbruchzerlegung in K ∈ {R, C})
Es sei
h=
f
: K \ E → K eine rationale Funktion, wobei
g
r
t
Y
Y
g (x) =
(x − αi )mi · (x 2 + bi x + ci )ki
i=1
i=1
mit paarweise verschiedenen Polynomfunktionen (x − α1 ), . . .
(x 2 + bt x + ct ), wobei die quadratischen Polynomfunktionen keine
Nullstellen in K besitzen, r , t ∈ N0 , mi , ki ∈ N und αi , bi , ci ∈ K .
Dann besitzt
h
h(x) = p(x) +
eine eindeutige Darstellung der Form
r
X

mi
X

i=1
j=1

aij
+
(x − αi )j
mit einer Polynomfunktion
p(x)
und
t
X

ki
X

i=1
j=1

uij x + vij

(x 2 + bi x + ci )j
aij , uij , vij ∈ K .
Denition:
Diese Darstellung von
h
in Satz 7 heiÿt die (reelle/komplexe )
Partialbruchzerlegung von
h.
Die rationale Funktion
mi
X
j=1
heiÿt der Hauptteil von
und
p(x)
h
aij
(x − αi )j
an der Stelle
heiÿt der Polynomanteil von
αi ,
h.