Dr. Mark Steinhauer Vorkurs Mathematik Variante A

FB 3: Mathematik/Naturwissenschaften
Dr. Mark Steinhauer
Vorkurs Mathematik Variante A
Funktionen, Verkettung, Injektivität, Surjektivität und Bijektivität
Denition 1. Gegeben seien zwei nicht-leere Mengen A und B . Es sei jedem Element
x ∈ A auf eine bestimmte Weise genau ein Element y ∈ B zugeordnet. Dann heiÿt diese
Zuordnung eine
Funktion oder Abbildung von A nach B .
Die Menge A nennt man Denitionsbereich, die Menge B den Wertebereich oder die Zielmenge der Abbildung.
Die Zuordnung selbst wird mit einem Buchstaben bezeichnet. Ist etwa f dieser Buchstabe,
so schreibt man die Zuordnung in der Form
f
oder f : A → B .
Wird dem Element x ∈ A durch die Abbildung f das Element y ∈ B zugeordnet, so schreibt
man:
y = f (x) oder f : x 7→ y .
In der älteren Literatur werden die Abbildungen selbst oft in der Form y = f (x) eingeführt.
Dann ist aber mit x kein bestimmtes Element von A gemeint, sondern eine Variable, die
Werte in A annehmen kann.
A→B
Denition 2. Jeder Funktion oder Abbildung f : A → B ist eine Menge Gf ⊆ A × B
zugeordnet, nämlich ihr Graph:
Gf := {(x, y) ∈ A × B | y = f (x)} .
Charakteristisch für den Graphen einer Funktion f : A → B sind die folgenden beiden
Eigenschaften:
1. Da jedem x ∈ A wenigstens ein y ∈ B zugeordnet ist, gilt:
∀x ∈ A∃y ∈ B mit (x, y) ∈ Gf .
2. Da jedem x ∈ A höchstens ein y ∈ B zugeordnet ist, gilt:
∀x ∈ A folgt : Ist (x, y1 ) ∈ Gf und (x, y2 ) ∈ Gf , so ist y1 = y2 .
Eine Menge G ⊆ A×B mit den Eigenschaften (1) und (2) bestimmt eindeutig eine Funktion
f : A → B mit dem Graphen Gf = G.
Wir sehen also, dass eine Funktion f : A → B einen Graphen, nämlich Gf bestimmt,
und umgekehrt eine Relation G ⊆ A × B mit obigen beiden Eigenschaften (1) und (2)
eindeutig eine Funktion f bestimmt.
Beispiel 3. 1) Seien a, b ∈ R, a 6= 0. Dann heiÿt die Funktion f : R → R, die durch
f (x) := ax + b
deniert wird, eine an-lineare Funktion.
2) Eine Funktion der Gestalt
f (x) := ax2 + bx + c (mit a 6= 0)
nennt man eine quadratische Funktion.
1
Beispiel 4. 3) Durch die Vorschrift
(
x,
für x ≥ 0,
f (x) := |x| :=
−x für x < 0.
wird die Betragsfunktion auf ganz
√ R deniert.
4) DiepFunktion f (x) := x kann nur für x ≥ 0 deniert werden (Wieso?), aber
f (x) := |x| ist wieder auf ganz R deniert.
5) Recht interessant ist auch die sogenannte Gauÿklammer (ein Beispiel für eine Treppenfunktion):
f (x) := [x] := gröÿtes Element der Menge {n ∈ Z | n ≤ x} .
Denition 5. 1) Eine Funktion p : R → R heiÿt Polynom oder Polynomfunktion, falls
es reelle Zahlen a0 , a1 , a2 , . . . , an (die Koezienten des Ploynoms) gibt, so dass gilt:
∀x ∈ R ist p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 .
Ist f nicht die Nullfunktion, so gibt es ein gröÿtes n ∈ N0 mit an 6= 0. Diese Zahl n heiÿt
der Grad des Polynoms und wird mit deg(f ) bezeichnet.
Die Menge aller Polynome wird mit dem Symbol R[x] bezeichnet. Sie umfasst die konstanten Funktionen, so dass gilt:
R ⊆ R[x] ⊆ F(R, R) ,
wobei F(R, R), die Menge aller Funktionen f : R → R bezeichnet. Die an-linearen und
quadratischen Funktionen sind Beispiele für Polynome.
Denition 6. 1) Ein Abbildung f : A → B heiÿt injektiv genau dann, wenn gilt:
∀x1 , x2 ∈ A gilt: Ist x1 6= x2 , so ist auch f (x1 ) 6= f (x2 ) .
f ist injektiv, wenn die Gleichung f (x) = y für jedes y ∈ B höchstens eine Löaung besitzt.
Dass es überhaupt keine Lösung gibt, ist durchaus erlaubt.
Den Nachweis der Injektivität einer Abbildung führt man meist durch Kontrapostion,
d. h. man zeigt: Ist f (x1 ) = f (x2 ), so ist x1 = x2 .
2) Eine Abbildung f : A → B heiÿt surjektiv genau dann, wenn gilt:
∀y ∈ B∃x ∈ A mit f (x) = y .
f ist surjektiv, wenn jedes Element y ∈ B als Bild eines Elementes x ∈ A vorkommt, also
genau dann, wenn die Gleichung f (x) = y für jedes y ∈ B lösbar ist.
3) Eine Abbildung f : A → B heiÿt bijektiv oder umkehrbar genau dann, wenn gilt: f
ist injektiv und surjektiv.
f ist bijektiv, wenn die Gleichung f (x) = y für jedes Element y ∈ B lösbar ist (surjektiv)
und nur genau eine Lösung x ∈ A existiert, also genau dann, wenn die Gleichung f (x) = y
für jedes y ∈ B eindeutig lösbar ist. Man sagt deshalb auch: Eine bijektive Abbildung von
A nach B ist eine eineindeutige Zuordnung zwischen den Elementen von A und denen von
B.
Denition 7. 1) Sei f : A → B eine Abbildung.
a)
Ist M ⊆ A, so heiÿt die Menge
f (M ) := {f (x) | x ∈ M } = {y ∈ B|∃x ∈ M mit y = f (x)
b)
das (volle) Bild von M unter f .
Ist N ⊆ B , so heiÿt die Menge
f −1 (N ) := {x ∈ A | f (x) ∈ N }
das (volle) Urbild von N unter f .
Die Menge f (A) nennt man auch die Bildmenge von f . Sie muss gut vom Wertebereich B
unterschieden werden! Die Abbildung f ist genau dann surjektiv, wenn f (A) = B ist. Und
f ist genau dann injektiv, wenn für jedes y ∈ f (A) die Menge f −1 ({y}) aus genau einem
Element besteht.
2) Es seien f : A → B und g : B → C zwei Abbildungen. Hintereinander audgeführt
ergeben sie eine neue Abbildung g ◦ f : A → C , die durch
(g ◦ f )(x) := g(f (x))
(für x ∈ A)
deniert wird. Man nennt g ◦ f die Verknüpfung (oder Verkettung) von g und f .
3) Sei eine beliebige Menge. Dann wird die Abbildung idA : A → A deniert durch
idA (x) := x. Man spricht von der identischen Abbildung oder der Identität auf A.
Die identische Abbildung auf A ist stets eine bijektive Abbildung von A auf sich selbst.
Satz 8. Eine Abbildung f : A → B ist genau dann bijektiv, wenn es eine (Umkehr-)
Abbildung g : B → A gibt, so dass gilt:
g ◦ f = idA
und
f ◦ g = idB .
Denition 9. Ist f : A → B bijektiv, so bezeichnet man die im vorhergehenden Satz
eingeführte Umkehrabbildung mit f −1 .
Satz 10. Sind die Abbildungen f : A → B und g : B → C beide bijektiv, so ist auch
g ◦ f : A → C bijektiv und es gilt:
(g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 .
Denition 11. Sei I ⊆ R ein Intervall und f : I → R eine Funktion. f heiÿt streng
monoton wachsend (bzw. fallend) genau dann, wenn gilt:
Sind x1 , x2 ∈ I mit x1 < x2 , so ist auch f (x1 ) < f (x2 ) (bzw. f (x1 ) > f (x2 )).
Satz 12. Sei I ⊆ R ein Intervall und f : I → R eine streng monoton wachsende Funktion.
Dann ist f injektiv. Ist J := f (I) die Bildmenge von I , so ist f : I → J bijektiv, und
f −1 : J → I ist ebenfalls streng monoton wachsend.
Weiter ist Gf −1 = {(y, x) ∈ J × I | (x, y) ∈ Gf }. Das ist der an der Winkelhalbierenden
gespiegelte Graph von f .
Ein analoger Satz gilt für streng monoton fallende Funktionen!