1 Grundlagen - FernUni Hagen

Grundlagen
1
1
Grundlagen
Der Abschnitt orientiert über Notation und Sprechweisen
und präsentiert ergänzende Sachverhalte. Die Ausführungen
über Konvergenz von Reihen sind insbesondere im Zusammenhang mit Abschnitt 12 Erwartungswerte zu sehen.
1.1 Allgemeines
a := b meint, dass a denitionsgemäÿ gleich b ist.
=⇒ bzw. ⇐⇒ meint die Implikation bzw. die Äquivalenz. kennzeichnet das Ende eines Beweises.
1.2 Mengen, Allquantor
Die Begrie Menge, Element, Teilmenge einer Menge,
die leere Menge werden als bekannt vorausgesetzt. Die
P(A) der Menge A ist die Menge aller
Teilmengen von A
x ∈ A besagt, dass x Element von A ist, während A ⊂
B die Menge A als Teilmenge der Menge B ausweist.
∅ bezeichnet die leere Menge.
Der Durchschnitt A ∩ B , die Vereinigung A ∪ B sowie
die Dierenz A \ B werden als bekannt vorausgesetzt.
Ac als Komplementmenge der Menge ist die Dierenz
Ω \ A bez. einer Grundmenge Ω.
Potenzmenge
Überblick
Grundlagen
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A ×B der Mengen A und
Menge (a, b) | a ∈ A , b ∈ B .
Das kartesische Produkt
B
ist deniert als die
n
i=1 Ai meint entsprechend das kartesische Produkt
der Mengen Ai , i = 1, . . . , n.
×
N, Z, Q, R
kennzeichnen die Mengen der natürlichen,
ganzen, rationalen und reellen Zahlen.
Rn
meint den linearen Raum der nTupel reeller Zahn
n
len. Insbesondere ist R+ := {x ∈ R | x ≥ 0}.
0
0
0
Die Mengen N , Nn und Nn sind deniert als N :=
N ∪ {0}, Nn := {1, . . . , n} und N0n := {0, 1, . . . , n}.
Ω, Ω0 , Ω00 bezeichnen Grundmengen, I, J
Indexmengen;
sie sind stillschweigend als nichtleer vorausgesetzt.
A(ω) (ω ∈ Ω) bzw. A(i), i = 1, . . . , n meint, dass die
Aussage A(ω) bzw. A(i) für alle ω ∈ Ω bzw. alle
i ∈ {1, . . . , n} zutrit.
1.3 Abbildungen
Der Begri der Abbildung (Funktion) wird als bekannt
vorausgesetzt, ebenso die Konzepte der Injektivität,
Surjektivität und Bijektivität.
A bijektiv auf Nm für ein m ∈ N
bzw. auf N abbilden, so heiÿt A endlich bzw. abzählbar
Lässt sich eine Menge
(unendlich).
Grundlagen
3
Notation einer Abbildung bedienen wir uns
Zur
Darstellungsweise
der
f : A −→ B ,
der dann die
Funktionswertzuweisung folgt
f (a) := .
Wir
(a ∈ A) .
schreiben aber auch f ( . ) bzw. a
7→ f (a), sofern
die Darstellung aufgrund des Kontextes Missverständnisse ausschlieÿt.
f : A → B und g : A → C Abbildungen, so meint
(f, g) die Produktabbildung von f und g , d.h. die
Sind
Abbildung
(f, g) : A −→
(f, g)(a) :=
B×C
mit
f (a), g(a)
f ◦ g ist die Komposition
B → C und g : A → B gemeint:
Mit
(a ∈ A) .
der Abbildungen
f ◦ g( . ) := f g( . ) .
f :
Grundlagen
4
idΩ : Ω → Ω meint die Identität auf Ω, id(x) = x für
alle x ∈ Ω.
1.3.1 Denition (Indikatorfunktion)
A eine Teilmenge von Ω. Die Funktion 1A : Ω → R
mit
(
1, falls ω ∈ A
1A (ω) :=
0, falls ω ∈
/A
Sei
heiÿt
Indikatorfunktion von
A.
1.3.2 Satz
A, B ⊂ Ω. Dann gilt
(1.3.2.1) 1Ac = 1 − 1A ,
(1.3.2.2) A ⊂ B =⇒ 1A ≤ 1B ,
(1.3.2.3) 1A∩B = 1A · 1B .
Seien
Grundlagen
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1.4 Mengen (Ergänzungen), Mengensysteme
1.4.1 Denition (ωi Schnitt)
Sind
V ⊂ Ω1 × Ω2
Vω̄1 :=
der
und
ω̄1 ∈ Ω1 ,
so heiÿt
ω2 ∈ Ω2 | (ω̄1 , ω2 ) ⊂ V
ω̄1 Schnitt von V ; analog deniert man den ω̄2 V.
Schnitt von
1.4.2 Bemerkungen
1.4.2.1 Stellt man die Menge
V
in einem Koor-
dinatensystem mit den Achsen
ω1
und
ω2
dar, so ergibt sich für die Schnittmengen
Vω1
und
Vω2
bei festen
stellung, die den
fertigt.
ω1
bzw.
ω2
eine Dar-
Namen Schnitt recht-
Grundlagen
Vω1
6
ω2 6
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.......
.
...
.......
.......

......
...
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......
......

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
..
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.



ω2
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..................................
.............................
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...
...
...
...
...
V
|
ω i Schnitt
1.4.2.2
1.4.2.3
{z
|
von
}
|
ω
{z1
Vω2
V , i = 1, 2.
∅ω̄i = ∅,
i = 1, 2,
Für A1 ⊂ Ω1 , A2 ⊂ Ω2
und
ω̄1 ∈ Ω1
falls
ω̄1 ∈ A1
ω̄1 ∈
/ A1 ,
gilt
oenbar
(
(A1 × A2 )ω̄1 =
A2 ,
∅,
falls
ein entsprechender Sachverhalt gilt für
Ω2 .
ω̄2 ∈
{z
}
}
-
ω1
Grundlagen
1.4.2.4
(Ω1 × Ω2 )ω̄i = Ω3−i ,
7
i = 1, 2.
Grundlagen
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1.4.3 Denition
1.4.3.1 Eine Menge von Mengen heiÿt ein Mengensystem.
1.4.3.2
Ist
I
eine (nichtleere) Menge,
gensystem und
die jedem
i∈I
f :I→K
K ein Men-
eine Abbildung,
ein Element
f (i) = Ai ∈ K,
(Ai | i ∈
also eine Menge, zuordnet, so heiÿt
I)
eine
Familie von Mengen bzw. Men-
genfamilie (aus
1.4.3.3
ne
(Ai | i ∈ N) heiÿt eiΩ); wir schreiben da-
Eine Mengenfamilie
Mengenfolge (in
für auch
1.4.3.4
K).
(Ai ).
Sind in 1.4.3.2 bzw. in 1.4.3.3 alle Ele-
K Teilmengen ein und derselben
Ω, so sprechen wir von einer
Mengenfamilie bzw. Mengenfolge in Ω.
mente von
Grundmenge
Als Beispiel für ein Mengensystem nennen wir die
ge aller Teilmengen einer Menge
te
Potenzmenge
P(A)
von
Men-
A, die sogenann-
A.
1.4.4 Denition (disjunkte Vereinigung)
Grundlagen
Ist
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(Ai | i ∈ I) eine Familie paarweise
fremder Men-
gen, so schreiben wir
X
Ai :=
i∈I
X
Ai .
[
I
und sprechen von der
Mengen
Ai :=
Ist
Ai :=
I
[
Ai .
i∈I
disjunkten Vereinigung der
I = Nn
bzw.
I = N,
so schreiben wir
auch
n
X
Ai = A1 + . . . +An
i=1
bzw.
∞
X
Ai = A1 +A2 + . . .
i=1
1.4.5 Denition (Zerlegung, Partition)
(Ai | i ∈ I) paarweise fremder Mengen in
I Ai = Ω heiÿt Zerlegung (oder Partition)
Eine Familie
Ω
mit
von
P
Ω.
Grundlagen
10
1.4.6 Satz
1.4.6.1 Sei
(Bi | i ∈ I) eine Zerlegung von Ω und
A ⊂ Ω. Dann gilt
X
A =
(A ∩ Bi ) .
I
1.4.6.2
Ist
I = Nn
oder
I =N
und
(Ai | i ∈ I)
eine Familie von Mengen, so gilt
[
Ai = A1 +
i∈I
X
Ai −
i−1
[
Aj
.
j=1
i∈I
i6=1
1.5 Die erweiterten reellen Zahlen
Erweitert man die Menge
R
der reellen Zahlen durch
Adjunktion (=Hinzufügen) der Elemente
+∞ und −∞
R := R∪{+∞}∪{−∞} der erweitert reR üblichen Rechenregeln
ergänzen.Man setzt für a ∈ R:
zur Menge
ellen Zahlen, so sind die in
zu
(1.5.1)
a + (±∞) = (±∞) + a = (±∞) + (±∞) = ±∞ .
Hingegen bleiben die Operationen
(1.5.2)
(±∞) − (±∞)
Grundlagen
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a ∈ R:

 ±∞
0
a · (±∞) = (±∞) · a =

∓∞
unerklärt. Weiter setzt man für
(1.5.3)
für
für
für
a>0
a=0
a<0
(1.5.4) (±∞)·(±∞) = +∞ , (±∞)·(∓∞) = −∞ ,
a
1
= 0,
±∞
0
Eigenschaften:
Die oben denierte Addition und Multiplikation ist
kommutativ und assoziativ, freilich bleiben gewisse Operationen (siehe (1.5.2))unerklärt.
R ist daher kein Kör-
per.
±∞ oene Umgebung gemäÿ (c <
(−∞ ≤ x < c) und übernimmt man
Deniert man für
x ≤ +∞)
bzw.
die übliche Denition der Umgebung für die übrigen
Punkte, so ist die Menge der erweitert reellen Zahlen
kompakt.
Grundlagen
12
1.6 Konvergenz von Reihen
i∈
P
i∈N ai mit Gliedern ai ∈
Nn , wird als bekannt vorausgesetzt. Ist für n ∈
Der Begri der Reihe
sn :=
n
X
R,
N
ai
i=1
die
nte
Teilsumme, so sagt man, die Reihe
giert in
der
R
(bzw. in
R)
zum Reihenwert
Grenzwert der Teilsummenfolge
(bzw. in
R)
konver-
a,
(sn )
wenn
in
R
existiert und
a = lim sn
n→∞
gilt.
Wir werden uns was den denitorischen Aufbau betrit auch in Abschnitt 12 Erwartungswerte auf
die Konvergenz in
R
beschränken. Alle Rei-
hen werden im folgenden auch ohne explizite Erwähnung als
Reihen mit ausschlieÿlich reellen
Gliedern vorausgesetzt.
Nun lässt sich ein Reihenwert nur dann sinnvoll denieren, wenn dieser für jede Summationsreihenfolge
Grundlagen
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stets derselbe ist. Ist
I
eine Indexmenge und
b:N→I
eine Bijektion, so wird man vernünftigerweise fordern,
dass
X
ab(i)
für jede beliebige Bijektion
Reihenwert in
b:I→N
gegen denselben
R konvergiert. Damit wird die Menge N
mit ihrer natürlichen Ordnung entbehrlich.
1.6.1 Denition
Sei
I
eine abzählbare Indexmenge. Konvergiert
X
(1.6.1.1)
ab(i) ,
mit
ab(i) ∈ R (i ∈ N) ,
i∈N
in
R
für jede beliebige Bijektion
P
i∈I
R.
zum sel-
so
konvergiert die Reihe unbe-
Für den
Reihenwert schreiben wir auch
ben Reihenwert
dingt in
b:N→I
a,
ai .
Als Beispiel:
Eine Reihe mit lauter nichtnegati-
ven Gliedern konvergiert unbedingt, allerdings
in
R.
1.6.2 Denition
Grundlagen
14
Eine Reihe
P
ai
absolut in
R,
wenn
i∈N
ai ∈ R , iP
∈ N, konvergiert
die Reihe
i∈N |ai | in R kon-
mit
vergiert. Bekanntlich gilt der
1.6.3 Satz
Konvergiert die Reihe
vergiert sie
P
ai
R.
i∈N
unbedingt in
absolut in
R,
so kon-
Weiter gilt der
1.6.4 Satz (Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen)
(Ik | k ∈ K) eine Zerlegung der
P abzählbaren Indexmenge I . Konvergiert die Reihe
Pi∈I ai absolut in R,
so konvergiert jede der Reihen
a (k ∈ K), sowie
P
Ik i
P
auch die Reihe
unbedingt in R,
k∈K
i∈Ik ai
wobei die letztere für jede Zerlegung von I densel-
Sei
ben Reihenwert hat.
1.6.5 Bemerkungen
1.6.5.1 Setzt man für
Ik insbesondere die Einpunktmengen von I , so geht (1.6.4) in (1.6.3)
über.
1.6.5.2
P
i∈N ai einer Reihe
mit nichtnegativen Gliedern in R, so ist sie
Existiert der Wert
Grundlagen
15
absolut konvergent, so dass Satz 1.6.4 gilt.
Wir sprechen in diesem Fall auch vom
Um-
ordnungssatz von Reihen mit nichtnegativen Gliedern.
Die folgenden Sachverhalte sind unmittelbar einsichtig.
1.6.6 Satz
Sind
P
i∈I ai und
1.6.6.1
P
i∈I
bi Reihen und α, β ∈ R.
P
P
i∈I ai und
i∈I bi absolut konvergent, so auch die Reihe
Sind die Reihen
P
i∈I (αai
α
X
i∈I
1.6.6.2
+ βbi ),
ai + β
und es gilt
X
bi =
i∈I
X
(αai + βbi ) .
i∈I
P
P
bi
ai ≤
X
i∈I ai und
solut konvergent, so gilt
Sind die Reihen
ai ≤ b i
(i ∈ I)
=⇒
X
i∈I
i∈I
i∈I
ab-
bi .
Grundlagen
1.6.6.3
Ist
16
P
i∈I
ai absolut konvergent, so gilt
X X
ai ≤
|ai | .
i∈I
i∈I
1.7 Binomialkoezient
n
Der Binomialkoezient
k
n, k ∈ N0 deniert durch
(
n
:=
k
(sprich:
n!
,
k!(n−k)!
falls
0
falls
n! (sprich: nFakultät)
3 · · · · · n, 0! = 1.
,
n
über
k)
ist für
k≤n
k > n.
ist festgelegt durch
n! := 1 · 2 ·