Mathematik für Informatiker I

Mathematik für Informatiker I
Prof. Dr. Martin Henk,
Dr. Michael Höding,
Janine Bastian, Matthias Henze, Eva Linke
WS 2006/2007
1
Inhaltsverzeichnis
-1 Spielregeln
3
0 Schulsto
4
1 Aussagen und Mengen
1.1
Aussagen
1.2
Mengen
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2 Relationen und Abbildungen
13
3 Elementares Zählen und komplexe Zahlen
17
3.1
Elementares Zählen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.2
Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Index
26
2
-1 Spielregeln
•
Anmelden in Übungsgruppen unter
http://lammbock1.math.uni-magdeburg.de/henk/
(ab 10.10.2006, 18:00 freigeschaltet).
•
Übungsbeginn: Montag, den 09.10.2006.
•
Der zu bearbeitende wöchentliche Übungszettel bendet sich jeweils Montags ab 12:00 unter
http://www.math.uni-magdeburg.de/~henk/lectures/math4inf_I/material.html.
•
Die bearbeiteten Aufgaben eines Übungszettel können bis Montags 12:00 unter
http://lammbock1.math.uni-magdeburg.de/henk/aufgaben/.
(under construction!) angekreuzt werden.
•
Angekreuzte Aufgaben müssen nach Auorderung durch den/die Übungsleiter/in an der Tafel vorgerechnet werden.
•
Am Ende der Vorlesungszeit ndet eine Klausur zum Erwerb der Leistungspunkte statt. Zulassungsvoraussetzungen zu der Klausur sind:
•
mindestens 50% angekreuzte Übungsaufgaben,
erfolgreiche und aktive Mitarbeit in den Übungen.
Informationen zu der Vorlesung, Folien der Vorlesung, Übungszettel etc. nden sich unter
http://www.math.uni-magdeburg.de/~henk/lectures/math4inf_I
3
0 Schulsto
Bemerkung 0.1.
i)
x≤y
ii)
x ≤ y,
iii)
x≤y
iv)
x ≤ y,
v)
und
y ≤ z,
dann
und
Notation 0.2
der Betrag von
ii)
iii)
|x| ≥ 0
dann
gilt:
x ≤ z.
x · z ≤ y · z.
−x ≥ −y .
1
dann y
≥
.
(Betrag)
1
x
> 0.
x heiÿt
(
x,
|x| =
−x,
Für eine reelle Zahl
falls
falls
x ≥ 0,
x ≤ 0.
x.
Bemerkung 0.3.
i)
dann
x, y, z
x ± z ≤ y ± z.
z ≥ 0,
dann
0 < x ≤ y,
Für reelle Zahlen
Für reelle Zahlen
mit Gleichheit nur für
x, y
gilt:
x = 0.
|x · y| = |x| · |y|.
|x + y| ≤ |x| + |y|
(Dreiecksungleichung).
!
sin α
α
cos α
Abbildung 1: Sinus, Cosinus am Einheitskreis
Bemerkung 0.4.
i)
ii)
sin(α + 2π) = sin α, cos(α + 2π) = cos α,
sin(−α) = − sin α, cos(−α) = cos α,
1
iii)
sin2 α + cos2 α = 1,
iv)
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
(Phytagoras)
und
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β .
1 Pythagoras von Samos, 582507
4
(Additionstheoreme)
Notation 0.5.
Zur Abkürzung längerer Summen oder Produkte schreibt man
n
X
i=1
n
Y
ai = a1 + a2 + . . . + an ,
ai = a1 · a2 · . . . · an .
i=1
Bemerkung 0.6.
ai j
Seien
Zahlen für
1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ m.
n X
m
X
ai j =
i=1 j=1
Notation 0.7.
i)
Sei
a
eine reelle Zahl, und
n
m X
n
X
Dann ist
ai j .
j=1 i=1
eine nicht-negative ganze Zahl.
an = a · a · . . . · a (n-mal),
ii)
a0 = 1,
iii)
a−n =
1
an ,
Notation 0.8.
a 6= 0.
Sei
a
n eine positive ganze Zahl. Dann gibt es genau√eine
√
n
x mit xn = a; x√wird mit
a
bezeichnet. Für n = 2 schreibt man auch nur
a.
√
a < 0 so ist auch n a = − n −a deniert.
eine nicht-negative reelle Zahl und
nicht-negative reelle Zahl
Ist
n
ungerade und
Notation 0.9.
a und positive ganze
√
√ m
n
am = n a ,
1
= m , a 6= 0.
an
Für eine nicht-negative reelle Zahl
m
Zahlen
m, n
deniert man
an =
m
a− n
Bemerkung 0.10.
i)
ii)
iii)
iv)
v)
Für reelle Zahlen
x, y
und rationale Zahlen
gilt
xp · xq = xp+q ,
xp
xq
= xp−q , x 6= 0,
xp · y p = (x · y)p ,
p
xp
x
, y 6= 0,
=
p
y
y
(xp )q = xp·q .
Diese Regeln gelten auch für beliebige reelle Exponenten
Notation 0.11
(Logarithmus)
heiÿt Logarithmus von
a
.
Seien
zur Basis
b
a, b
p, q .
positive reelle Zahlen,
und wird
Ist die Basis gegeben durch die Eulersche
b 6= 1.
logb a bezeichnet.
e = 2, 71828182...,
2 Zahl
ln a = loge a
natürlicher Logarithmus.
Bemerkung 0.12.
i)
p, q
blogb a = a, logb b = 1, logb 1 = 0,
2 Leonhard Euler, 1707 1783
5
Die eindeutige Zahl
dann heiÿt
x
mit
bx = a
ii)
logb (a · c) = logb a + logb c, logb
logc a =
iv)
logb (an ) = n · logb a,
vi)
= logb a − logb c.
logb a
logb c ,
iii)
v)
a
c
logb a · loga b = 1,
alogb c = clogb a .
6
1 Aussagen und Mengen
1.1
Aussagen
Vereinbarung 1.1 (Aussagen3 ).
es sei wahr
(w)
oder falsch
(f ).
Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, von dem es sinnvoll ist zu sagen,
Eine Aussage also ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist, aber nie
beides zugleich.
w
und
f
•
12 ist durch 6 teilbar ist eine wahre Aussage.
•
Jede gerade Zahl
heiÿen Wahrheitswerte der Aussage
≥ 4
A.
ist Summer zweier Primzahlen
ist eine Aussage. Wahrheitswert unbekannt
4
(Goldbachsche Vermutung ).
•
Dieser Satz ist falsch ist keine Aussage.
•
Aus gegebenen Aussagen gewinnt man durch Verknüpfungen (Junktionen) neue Aussagen, sogenannte
Aussageformen.
Denition 1.2
.
(Negation, Konjunktion, Disjunktion)
Aussageform
Negation von
A
A und B
A und B
Konjunktion von
Disjunktion von
•
A
und
B
Aussagen.
Symbol
Sprechweise
A
A∧B
A∨B
nicht
A
A
A
B
oder B .
und
Die Wahrheitswerte einer Aussageform werden in Wahrheitstafeln angegeben:
A
f
w
A
w
f
•
Seien
A
w
w
f
f
A∧B
w
f
f
f
B
w
f
w
f
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A∨B
w
w
w
f
Weitere Aussageverbindungen, die insbesondere in der Mathematik verwendet werden, sind Implikationen.
Denition 1.3
(Implikation)
.
Seien
A
B
und
Aussagen. Die Aussage wenn
A⇒B
Implikation (oder logische Folgerung) genannt und mit
durch
A
w
w
f
f
Weitere Sprechweisen: aus
für
A
folgt
B , A
B
w
f
w
f
impliziert
A
gilt, dann gilt
B
wird
bezeichnet. Ihre Wahrheitswerte sind gegeben
A⇒B
w
.
f
w
w
B , A
ist hinreichend für
B ,
oder B ist notwendig
A .
Denition 1.4
.
(Äquivalenz)
Seien
A
und
B
Aussagen. Die Aussageform
(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)
heiÿt Äquivalenz und wird mit
A⇔B
bezeichnet.
Sprechweisen: A ist gleichwertig mit
wenn
B
gilt , A ist äquivalent zu
B
B , A
gilt genau dann, wenn
B
gilt , A gilt dann und nur dann,
oder A ist notwendig und hinreichend für
3 Aristoteles, 384 322
4 Christian Goldbach, 1690 1764
7
B .
•
A
w
w
f
f
Bemerkung 1.5.
Für Aussagen
A
und
B
B
w
f
w
f
A⇔B
w
f
f
w
gilt, d.h. die folgenden Aussagen sind wahr:
(A ∧ B) ⇔ (A ∨ B),
i)
ii)
(A ⇒ B) ⇔ (B ⇒ A) ⇔ A ∧ B,
iii)
Bemerkung 1.6.
Für Aussagen
A, B
und
C
iv)
(A ∨ B) ⇔ (A ∧ B),
(A ⇔ B) ⇔ (A ⇔ B).
gilt:
i)
((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C),
ii)
((A ⇔ B) ∧ (B ⇔ C)) ⇒ (A ⇔ C).
Logische Schlüsse sind Aussageformen, die ausgehend von wahren Aussagen (Voraussetzungen) wieder
wahre Aussagen liefern. Sie sind die Grundlage für alle mathematischen Beweise. Die gebräuchlichsten Beweismethoden in der Mathematik sind:
1. Direkter Beweis einer Implikation
(Konklusion)
B
A ⇒ B:
Aus der Voraussetzung (Prämisse)
abgeleitet, indem gezeigt wird, dass die Implikation
2. Indirekter Beweis oder Widerspruchsbeweis einer Implikation
kann man auch die Implikation
B⇒A
A⇒B
A ⇒ B:
A
wird die Behauptung
wahr ist.
Anstatt der Implikation
nachweisen, oder zeigen, dass die Konjunktion
A∧B
A⇒B
falsch ist,
d.h. zu einem Widerspruch führt (vgl. Bemerkung 1.5 iii)).
3. Beweis einer Äquivalenz
1.2
A ⇔ B:
Man beweist die Aussageformen
A⇒B
und
B ⇒ A.
Mengen
Vereinbarung 1.7 (Mengen5 ).
Eine Menge ist eine Zusammenfassung von verschiedenen Objekten zu einer
Gesamtheit. Die Objekte in einer Menge heiÿen Elemente der Menge. Weiterhin fordern wir, dass für jedes
nur vorstellbare Objekt eindeutig entschieden werden kann, ob es ein Element der Menge ist oder nicht.
Notation 1.8.
mit
x∈
/ M,
Notation 1.9
•
Die Aussage x ist ein Element der Menge
d.h.
x
ist kein Element der Menge
(Beschreibung von Mengen)
wird mit
x∈M
.
Aufzählung der Elemente, z.B.,
M = {1, 2, 3, 4, 5},
• N = {1, 2, 3, 4, 5, . . . }
M = {◦, , ?}.
ist die Menge der natürlichen Zahlen
• Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }
•
M
M.
ist die Menge der ganzen Zahlen
Beschreibung von Eigenschaften, z.B.,
M = {alle geraden positiven natürlichen
= {n ∈ N : n ist Vielfaches von 2}
= {2 n : n ∈ N}
5 Georg Cantor, 18451918
8
Zahlen}
bezeichnet, die Negation
• Q = { pq : p ∈ Z, q ∈ N}
• R
bezeichnet die Menge der reellen Zahlen
• ∅ = {}
•
ist die Menge der rationalen Zahlen
bezeichnet die leere Menge
6
Russellsche Antinomie . Sei
M
die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, d.h.,
M = {X : X ∈
/ X}.
Ist
M ∈ M?
Ist
M ∈ M,
dann muss
Ist
M∈
/ M,
dann gilt nach Denition von
M
die Bedingung
Im Sinne unserer Vereinbarung ist
Denition 1.10
A(x)
M
M∈
/M
erfüllen!
M
M ∈ M!
aber
keine Menge!
.
(Allquantor und Existenzquantor)
Sei
M
eine nichtleere Menge und für jedes
x∈M
sei
eine Aussage.
i) Die Aussage für alle
x∈M
ii) Die Aussage es gibt ein
gilt
A(x)
x ∈ M,
wird mit
für das
A(x)
∀x ∈ M : A(x)
bezeichnet;
gilt
∃x ∈ M : A(x)
wird mit
∀
heiÿt Allquantor.
bezeichnet;
∃
heiÿt
Existenzquantor.
Bemerkung 1.11.
Seien
A(x), x ∈ M ,
Aussagen. Es gilt:
∀x : A(x) ⇔ ∃ x : A(x)
Erklärung 1.12
seien
.
(Vollständige Induktion)
A(n), n ∈ M ,
Sei
∃ x : A(x) ⇔ ∀x : A(x).
und
M = {k, k + 1, k + 2, . . . }, wobei k eine ganze Zahl ist, und
∀n ∈ M : A(n) verwendet man häug das Prinzip
Aussagen. Zum Beweis der Aussage
der vollständigen Induktion:
i) Induktionsanfang: Man zeigt, dass die Aussage für
ii) Induktionsschritt: Man zeigt die Implikation
n=k
Satz 1.13
n,
dass aus
A(n)
die Aussage
.
(Geometrische Reihe)
Sei
A(n + 1)
x ∈ R, x 6= 1,
n
X
i=0
Beweis. Für
n∈N
sei
A(n)
A(k).
A(n) ⇒ A(n + 1).
In Worten: Wir zeigen zunächst, dass für die kleinste Zahl in
wir für jedes
gilt, also
xi =
M
die Aussage gilt, d.h.,
und sei
n ∈ N.
1
X
A(1)
Dann beweisen
Dann gilt
1 − xn+1
.
1−x
(1.1)
die Aussage (1.1).
i) (Induktionsanfang) Wir zeigen, dass
A(k).
folgt.
wahr ist, denn
xi = x0 + x1 = 1 + x = (1 + x)
i=0
6 Bertrand Russell, 18721970
9
1−x
1 − x2
=
.
1−x
1−x
ii) (Induktionsschritt) Wir folgern
n+1
X
A(n + 1)
aus
n
X
i
x =
A(n):
!
+ xn+1 =
i
x
A(n)
i=0
i=0
n+1
=
1−x
1 − xn+1
+ xn+1
1−x
1 − xn+2
+x
(1 − x)
=
.
1−x
1−x
n+1
n ∈ N sei A(n) die Aussage, dass in jeder Gruppe von n Studenten, in der einer Mathematik
Beispiel 1.14. Für
studiert, alle Mathematik studieren.
•
Induktionsanfang:
•
Induktionsschritt: Sei
A(1)
ist sicherlich wahr.
M
s1 , . . . , sn
Also gilt
eine Gruppe von
A(n)
ein Mathematikstudent.
s2 , . . . , sn+1
und
n+1
s1 , . . . , sn+1 bezeichnen. Sei s2
und {s2 , . . . , sn+1 } zeigt, dass
gilt A(n + 1).
Studenten, die wir mit
angewendet auf die Gruppe
{s1 , . . . , sn }
Mathematik studieren; also alle und somit
A(n)?
Denition 1.15
i) Eine Menge
.
(Teilmenge)
B heiÿt Teilmenge
A ist, d.h.,
einer Menge
A
(Schreibweise:
B ⊆ A),
B
wenn jedes Element von
auch
Element von
B ⊆ A ⇔ ∀b ∈ B : b ∈ A.
ii) Zwei Mengen
A
und
B
heiÿen gleich (Schreibweise:
nicht gleich, so schreibt man
iii) Eine Menge
B
Bemerkung 1.16.
Denition 1.17
B = A),
falls
B⊆A
und
A ⊆ B.
Sind
A
und
B
A 6= B .
A
heiÿt echte Teilmenge einer Menge
(Schreibweise:
B ⊂ A),
wenn
B⊆A
und
B 6= A.
Die leere Menge ist Teilmenge einer jeden Menge.
.
(Durchschnitt, Vereinigung, Dierenz)
Seien
A, B
Mengen.
i)
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}
heiÿt Durchschnitt von
A
und
B.
Ist
A ∩ B = ∅,
so heiÿen
A
und
B
disjunkt.
ii)
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}
heiÿt Vereinigung von
A
und
B.
iii)
A \ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈
/ B}
heiÿt Dierenz von
iv) Ist
A
und
B ⊆ U , so heiÿt die
B bezeichnet.
B.
Dierenz
U \B
auch Komplementärmenge von
B
in der Grundmenge
U
und
wird mit
Satz 1.18
(Verknüpfungsregeln für Mengen)
.
Seien
A, B
10
Teilmengen einer Grundmenge
U,
also
A, B ⊆ U .
i) Kommutativität:
A ∩ B = B ∩ A,
A ∪ B = B ∪ A.
ii) Assoziativität:
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C),
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
iii) Distributivität:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
iv) Idempotenz:
A ∩ A = A,
A ∪ A = A.
v) Absorption:
(A ∪ B) ∩ A = A,
vi) Neutralität von
∅
und
(A ∩ B) ∪ A = A.
U:
A ∩ ∅ = ∅,
A ∪ ∅ = A,
A ∪ U = U,
A ∩ U = A.
vii) Komplementregeln:
A ∩ A = ∅,
A ∪ A = U,
A = A.
7
viii) De Morgan'sche Regeln :
A ∪ B = A ∩ B,
Denition 1.19
8
.
(Boolesche Algebra )
A ∩ B = A ∪ B.
Eine Menge, in der drei Operationen, z.B.
(∩, ∪, −)
oder
(∧, ∨, −),
deniert sind, die den Eigenschaften i)-vii) aus Satz 1.18 genügen, wird als Boolesche Algebra bezeichnet.
Denition 1.20
9
.
(Kartesisches Produkt )
i) Das kartesische Produkt
X ×Y
(Sprechweise:
X
Y)
kreuz
zweier Mengen X,Y ist deniert als
X × Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y }.
(x, y) ∈ X × Y
heiÿt geordnetes Paar.
ii) Allgemein ist das kartesische Produkt
X1 × X2 × · · · × Xn
von
n-Mengen X1 , . . . , Xn
deniert als
X1 × X2 × · · · × Xn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ∈ Xi , 1 ≤ i ≤ n}.
(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ X1 × X2 × · · · × Xn
Für das kartesische Produk
Bemerkung 1.21.
Für
heiÿt geordnetes
X × X × · · · × X (n-mal)
n-Tupel.
schreibt man auch
(x1 , . . . , xn ), (x01 , . . . , x0n ) ∈ X1 × · · · × Xn
X n.
gilt
(x1 , . . . , xn ) = (x01 , . . . , x0n ) ⇔ xi = x0i , 1 ≤ i ≤ n.
Denition 1.22
.
(Mächtigkeit endlicher Mengen)
mente enthält. Die Anzahl der Elemente von
A
Eine Menge
A
heiÿt endlich, wenn sie endlich viele Ele-
heiÿt Mächtigkeit von
7 Augustus De Morgan, 18061871
8 George Boole, 18151864
9 René Descartes, 15961650
11
A
und wird mit
|A|
bezeichnet.
Bemerkung 1.23.
i)
ii)
Seien
A, B
endliche Mengen. Dann gilt
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|,
|A × B| = |A| · |B|
Denition 1.24
.
(Potenzmenge)
heiÿt Potenzmenge von
Lemma 1.25.
Sei
A
Sei
A
Menge. Die Menge
A.
eine endliche Menge. Dann gilt
|P (A)| = 2|A| .
12
P (A) = {X : X ⊆ A}
aller Teilmengen von
A
2 Relationen und Abbildungen
Denition 2.1
(Relationen)
i) Eine binäre Relation
R
.
zwischen den beiden Mengen
A1
und
A2
ist eine Teilmenge von
A1 × A2 ,
also
R ⊆ A1 × A2 .
(x, y) ∈ R
Für
Im Falle
ii) Eine
sagt man,
A1 = A2 = A
n-stellige
x
y
und
R
heiÿt
stehen in Relation
Relation auf
Relation auf den
R
und schreibt dafür auch
xRy .
A.
n-Mengen A1 , . . . , An
ist eine Teilmenge von
A1 × A2 × · · · × An .
Denition 2.2 (Verkettung (Komposition) von Relationen).
Sei R eine Relation zwischen den beiden MenA1 , A2 , und sei S eine Relation zwischen den Mengen A2 und A3 . Unter der Verkettung (Komposition)
S ◦ R von S nach R versteht man die Relation zwischen A1 und A3 gegeben durch
gen
S ◦ R = {(x, z) ∈ A1 × A3 : ∃ y ∈ A2
Denition 2.3
.
(Inverse Relation)
Sei
R ⊆ A1 × A2
mit
(x, y) ∈ R
und
(y, z) ∈ S}
eine binäre Relation. Dann heiÿt
R−1 = {(y, x) ∈ A2 × A1 : (x, y) ∈ R}
die zu
R
inverse Relation.
Bemerkung 2.4.
Seien
A1 , A 2 , A 3
Mengen und
R = (R−1 )−1
Denition 2.5
R
i) Sei
ii)
.
(Äquivalenzrelation)
A.
eine Relation auf der Menge
x∈A
a)
R
heiÿt reexiv, falls für alle
R
heiÿt symmetrisch, falls für alle
c)
R
heiÿt transitiv, falls für alle
Eine binäre Relation
R
auf
A,
In diesem Fall sagt man für
Denition 2.6
Dann gilt
(S ◦ R)−1 = R−1 ◦ S −1 .
und
b)
A.
R ⊆ A1 × A2 , S ⊆ A2 × A3 .
.
(Äquivalenzklasse)
gilt:
(x, x) ∈ R,
(x, y) ∈ R
gilt:
(x, y), (y, z) ∈ R
(y, x) ∈ R,
gilt:
(x, z) ∈ R.
die reexiv, symmetrisch und transitiv ist, heiÿt Äquivalenzrelation auf
(x, y) ∈ R
Sei
R
auch x ist äquivalent zu
y .
eine Äquivalenzrelation auf A. Für
x∈A
heiÿt
[x]R = {y ∈ A : (x, y) ∈ R}
die Äquivalenzklasse von
Satz 2.7.
i)
A=
Sei
S
R
In Worten:
bzgl.
R.
eine Äquivalenzrelation auf A. Dann gilt:
x∈A [x]R ,
x, y ∈ A
ii) Für
x
A
gilt entweder
[x]R = [y]R
oder
[x]R ∩ [y]R = ∅.
ist die Vereinigung seiner Äquivalenzklassen, und zwei verschiedene Äquivalenzklassen sind
disjunkt.
Satz 2.8.
für
i 6= j .
Sei
A
eine nicht-leere Menge. Seien
Sei die Relation
R⊆A×A
R = {(x, y) : x
Dann ist
R
A1 , . . . , An ⊆ A, Ai 6= ∅,
mit
A=
Sn
gegeben durch
und
eine Äquivalenzrelation auf
A
y
liegen in der derselben Teilmenge
mit den Äquivalenzklassen
13
Ai .
Ai }.
i=1
Ai
und
Ai ∩ Aj = ∅
Beispiel 2.9 (Restklassen). Sei
m∈N
und sei
Rm
die Relation auf
Rm = {(x, y) ∈ Z × Z : x − y
•
Dann ist
Rm
eine Äquivalenzrelation, und
Äquivalenzklassen
• [k]Rm
Z ist
[0]Rm , [1]Rm , . . . , [m − 1]Rm .
i)
ii)
R
(Totale, partielle, Ordnung(srelation))
Eine Relation
R
A,
auf
iii) Ein Ordnung(srelation)
x, y ∈ A
teilbar}.
die disjunkte Vereinigung der paarweise verschiedenen
m den
[k]m .
besteht aus allen Zahlen, die bei Division durch
heiÿt antisymmetrisch, falls für alle
gegeben durch
m
ist durch
auch Restklasse, und man bezeichnet sie einfach mit
Denition 2.10
Z
.
Sei
R
k
lassen. Daher nennt man
und
(y, x) ∈ R
gilt:
[k]Rm
A.
eine Relation auf der Menge
(x, y) ∈ R
mit
Rest
x = y.
die reexiv, antisymmetrisch und transitiv ist, heiÿt Ordnung(srelation) auf
R
auf
A
mit der Eigenschaft
totale Ordnung. Andernfalls heiÿt
R
(x, y) ∈ R
oder
(y, x) ∈ R
für alle
x, y ∈ A
A.
heiÿt
eine partielle Ordnung.
Beispiel 2.11.
• ≤
ist eine totale Ordnung auf
• ⊆
ist eine partielle Ordnung auf einer Menge von Mengen.
Denition 2.12
Y
R.
.
(Abbildung(Funktion))
x∈X
ist eine Vorschrift, die jedem
Eine Abbildung (Funktion)
genau ein Element
f :X→Y
Man sagt: x wird auf
Die Menge
X
f (x)
mit
.
(Graph)
f
von einer Menge
X
abgebildet, bzw. f (x) ist das Bild oder der Funktionswert von
Sei
f :X→Y
x 7→ f (x)
mit
in eine Menge
zuordnet. Man schreibt dafür:
x 7→ f (x).
heiÿt Denitionsbereich und die Menge
Denition 2.13
f (x) ∈ Y
Y
x.
f.
heiÿt Wertebereich der Abbildung
eine Abbildung. Die Relation
Γf = {(x, f (x)) : x ∈ X} ⊆ X × Y
heiÿt der Graph der Abbildung.
Denition 2.14
.
(Bildmenge, Urbildmenge)
Sei
f : X → Y
mit
x 7→ f (x)
eine Abbildung. Für
A ⊆ X
schreibt man auch einfach
f −1 (y).
heiÿt
f (A) = {f (x) : x ∈ A}
Bildmenge von
A,
und für
B⊆Y
heiÿt
f −1 (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B}
Urbildmenge von
B.
Beispiel 2.15. Sei
•
Für einelementige Mengen
f :R→R
mit
x 7→ x2 ,
d.h.,
B,
also
B = {y}, y ∈ Y ,
f (x) = x2 .
Denitions- und Wertebereich sind die reellen Zahlen.
• f (R) = R≥0 = {x ∈ R : x ≥ 0},
• f ({0, −1, 1}) = {0, 1}
und
Γf = {(x, x2 ) : x ∈ R}.
also die nicht-negativen reellen Zahlen.
√
f −1 ({2, 4}) = {± 2, ±2}.
• f −1 ({−1}) = f −1 (−1) = ∅.
14
8
6
4
2
–3
–2
–1
1
2
3
x
Abbildung 2: Der Graph
Denition 2.16
i)
f
(Injektiv, surjektiv, bijektiv)
.
Sei
f :X→Y
Γf
eine Abbildung.
heiÿt injektiv, wenn
∀x1 , x2 ∈ X : x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ),
d.h., verschiedene Elemente aus
ii)
f
X
werden auf verschiedene Elemente in
Y
abgebildet.
heiÿt surjektiv, wenn
f (X) = Y,
d.h., jedes Element aus
iii)
f
Y
ist das Bild eines Elementes aus
X.
heiÿt bijektiv, oder eins-zu-eins Abbildung bzw. eineindeutige Abbildung, wenn
f
injektiv und surjektiv
ist.
Beispiel 2.17.
•
Sei
f : R → R mit f (x) = x2 . f
•
Sei
f : R → R≥0
•
Sei
f : R≥0 → R≥0
Denition 2.18
mit
f (x) = x2 .
mit
Dann ist
f (x) = x2 .
f
f (1) = f (−1), noch surjektiv, da f (R) = R≥0 6= R.
surjektiv, aber immer noch nicht injektiv.
Dann ist
f
bijektiv.
.
0
f (X) ⊆ X . Die Verkettung (Komposition)
x 7→ (g ◦ f )(x) = g(f (x)).
•
g : X0 → Y 0
0
g nach f ist die Abbildung g ◦f : X → Y
(Verkettung (Komposition) von Abbildungen)
Abbildungen mit
mit
ist weder injektiv, da
von
Seien
f : X → Y
Die Verkettung von Abbildungen entspricht der Verkettung von Relationen:
Lemma 2.19.
Seien
f :X→Y
und
g:Y →Z
f
und
g
injektiv, dann auch
ii) Sind
f
und
g
surjektiv, dann auch
iii) Sind
f
und
g
bijektiv, dann auch
Seien
Γg◦f = Γg ◦ Γf .
Abbildungen.
g ◦ f : X → Z.
i) Sind
Lemma 2.20.
und
g ◦ f : X → Z.
g ◦ f : X → Z.
0
f :X →Y, g :Y →Z
und
h : Z0 → W
Abbildungen mit
f (X) ⊆ Y 0
und
g(Y 0 ) ⊆ Z 0 .
Dann gilt
(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ),
d.h. die Komposition von Abbildungen ist assoziativ.
Denition 2.21
.
(Identische Abbildung)
identische Abbildung auf
Sei
X
Menge. Die Abbildung
X.
15
idX : X → X
mit
x 7→ x
heiÿt
Denition 2.22
. Sei f : X → Y bijektiv. Die Abbildung g : Y → X , die jedem y ∈ Y
y = f (x) zuordnet, heiÿt inverse Abbildung, und man schreibt für g auch
(Inverse Abbildung)
das eindeutig bestimmte
x∈X
mit
f −1 .
•
Die inverse Abbildung entspricht der inversen Relation:
Lemma 2.23.
Sei
f :X→Y
bijektiv. Dann gilt:
i) f −1 ◦ f = idX ,
ii) f ◦ f
:Y →Z
◦ g −1 .
Sei g
−1
f
Γf −1 = Γ−1
f .
−1
= idY ,
d.h.
d.h.
(f −1 ◦ f )(x) = x,
(f ◦ f
−1
)(y) = y,
für alle
x ∈ X,
für alle
y ∈ Y.
eine weitere bijektive Abbildung. Für die Umkehrfunktion von
Denition 2.24 (Gleichmächtigkeit von Mengen).
Zwei Mengen
Kardinalität wenn es eine bijektive Abbildung von
schreibt dann auch
A
nach
B
g◦f : X → Z
gilt:
(g ◦ f )−1 =
A, B heiÿen gleichmächtig oder von gleicher
B nach A) gibt. Man
(und somit auch von
|A| = |B|.
Beispiel 2.25.
•
Zwei endliche Mengen
• N
und
N0 = N ∪ {0}
• N
und
Z
•
|A| = |B|
sind stets gleichmächtig.
sind gleichmächtig.
Man kann auch zeigen, dass
M
mit
sind gleichmächtig.
Denition 2.26
i)
A, B
R
und
{x ∈ R : 0 < x < 1}
.
(Abzählbarkeit, Überabzählbarkeit)
Sei
M
gleichmächtig sind.
eine unendliche Menge.
heiÿt abzählbar unendlich oder kurz abzählbar wenn es eine bijektive Abbildung von
d.h.
ii) Ist
M
M
ist von gleicher Mächtigkeit wie
nicht abzählbar unendlich, dann heiÿt
M
überabzählbar unendlich oder kurz überabzählbar.
Satz 2.27.
i)
Q
ist abzählbar.
ii)
R
ist überabzählbar.
N nach M
N.
iii) Die Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Mengen ist abzählbar.
16
gibt,
3 Elementares Zählen und komplexe Zahlen
3.1
Elementares Zählen
Denition 3.1
.
(Permutationen)
n∈N
Für
sei
Sn = {σ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} : σ
die Menge aller bijektiven Abbildungen von
Denition 3.2
.
(Fakultät)
Für
n∈N
{1, . . . , n}
bijektiv
auf sich selbst.
}
σ ∈ Sn
heiÿt Permutation.
heiÿt
n! =
n
Y
= 1 · 2 · 3 · . . . · (n − 1) · n
i=1
Fakultät (sprich:
Lemma 3.3.
n-Fakultät).
n∈N
Für
Bemerkung 3.4
ist
Man vereinbart zudem
|Sn | = n!.
10 -Formel).
(Stirling
n! ≈
d.h. für groÿe
n
Bemerkung 3.5.
Satz 3.6
0! = 1.
entspricht
n!
√
2π n
n n
e
,
etwa dem Ausdruck auf der rechten Seite.
g : N0 → N mit g(n) = n! lässt
(
1,
n = 0,
g(n) =
n · g(n − 1), n ≥ 1.
Die Fakultätsfunktion
sich auch rekursiv denieren:
11 ). Es sei
z0 ∈ Z, Z≥z0 = {z ∈ Z : z ≥ z0 } und M eine beliebige, nicht leere
f : Z≥z0 × M → M eine Abbildung und m ∈ M . Dann liefert die folgende rekursive
eindeutige Abbildung g : Z≥z0 → M .
(
m,
n = z0 ,
g(n) =
f (n, g(n − 1)), n ≥ z0 + 1.
(Rekursionssatz
Menge. Weiter sei
Vorschrift eine
Beispiel 3.7.
•
Sei
z0 = 0
und
f : Z≥0 × N0 → N0 mit f (n, m) = n + m.
(
0,
n = 0,
g(n) =
f (n, g(n − 1)), n ≥ 1,
=
n
X
i=
i=0
•
12 -Zahlen: Sei
(Verallgemeinerung) Fibonacci
(n + 1) n
.
2
F : N0 → N0 mit


n = 0,
0,
F (n) = 1,
n = 1,


F (n − 1) + F (n − 2), n ≥ 2.
10 James Stirling, 16921770
11 Richard Dedekind, 18311916
12 Leonardo Pisano, 1170(80)-1250
17
Dann ist
Bemerkung 3.8.
Zahl
F (n)
gilt
√
• Sei a =√(1 + 5)/2 (goldener
F (n) = (1/ 5)(an − bn ).
•
Think recursively!
•
Türme von Hanoi, siehe
Denition 3.9
n
k
b = (1 −
√
5)/2.
Für die
n-te
Fibonacci-
http: // en. wikipedia. org/ wiki/ Tower_ of_ Hanoi
=0
falls
.
n ∈ N0 und k ∈ {0, . . . , n} heiÿt
n
n!
=
k!(n − k)!
k
k < 0 oder k > n. nk liest man n über
(Binomialkoezient)
Zudem vereinbart man
Schnitt) und
Für
k.
Satz 3.10.
i)
n
k
=
n−1
k
ii)
n
k
=
n
n−k .
Satz 3.11.
Sei
n−1
k−1
für
n ≥ 1.
k -elementigen Teilmengen einer n-elementigen
• 40 = 1, 41 = 4, 42 = 6, 43 = 2, 44 = 1.
Die Anzahl der
Beispiel 3.12.
•
+
n
k .
M = {1, 2, 3, 4}.
0-elem.
1-elem.
2-elem.
3-elem.
4-elem.
Satz 3.13
∅
{1}, {2}, {3}, {4}
{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}
{2, 3, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3}
{1, 2, 3, 4}
Teilmengen:
Teilmengen:
Teilmengen:
Teilmengen:
Teilmengen:
.
(Binomischer Lehrsatz)
Für
n ∈ N0
x, y ∈ R
und
(x + y)n =
n X
n
k
k=0
Korollar 3.14.
n X
n
k
k=0
Denition 3.15
1
Menge beträgt
.
(Primzahl)
Eine natürliche Zahl
teilbar ist. Die Menge aller Primzahlen wird mit
Satz 3.16
(Primfaktorzerlegung)
.
gilt:
xn−k y k .
= 2n .
p > 1 heiÿt Primzahl,
P bezeichnet.
Jede natürliche Zahl gröÿer als
1
wenn sie nur durch sich selbst und
lässt sich eindeutig (bis auf die Reihen-
folge) als Produkt von Primzahlen schreiben.
Satz 3.17
13 ). Es gibt unendlich viele Primzahlen.
(Euklid
Bemerkung 3.18.
14 sagt aus, dass
Der Primzahlsatz
|{p ∈ P : p ≤ n}| ≈
Notation 3.19.
gibt mit
Für Zahlen
a, b ∈ Z
schreibt man
a|b,
falls
n
.
ln n
a
ein Teiler von
b = m · a.
13 Euklid, ca. 300 v.Chr.
14 Jacques Hadamard, 1865 1963; Charles de la Vallée Poussin, 18661962
18
b
ist, d.h. falls es ein
m∈Z
Bemerkung 3.20.
Für
Denition 3.21 (ggT).
p∈P
und
k ∈ {1, . . . , p − 1}
ist
p kp .
gröÿte gemeinsame Teiler von
a, b ∈ Z, a 6= 0, heiÿt die gröÿte natürliche
a und b. Er wird mit ggT(a, b) bezeichnet.
Lemma 3.22.
und
i)
ii)
Seien
Für
a, b ∈ Z
Zahl
n∈N
mit
n|a
und
n|b
der
m ∈ N.
ggT(a, b) = ggT(b, a) = ggT(−a, b) = ggT(a, −b) = ggT(−a, −b).
ggT(a, b) = ggT(a ± m · b, b) = ggT(a, b ± m · a).
Lemma 3.23 (Division mit Rest).
a ∈ Z und b ∈ N. Dann gibt es eindeutige q ∈ Z und r ∈ {0, . . . , b−1}
Sei
mit
a = q · b + r.
r
a
heiÿt der Rest von
einfach a mod
•
bei Division durch
b
und wird mit
Insbesondere gilt
bezeichnet (gesprochen a modulo
b
oder
ggT(a, b) = ggT(a mod b, b).
Satz 3.24 (Euklidischer Algorithmus).
Seien
Euklidische Algorithmus, berechnet (rekursiv)
a, b ∈ N und sei a ≥ b. Das folgende Verfahren, der sogenannte
ggT(a, b).
r = a mod b.
(1) Berechne
(2) Ist
a mod b
b).
r = 0,
dann
ggT(a, b) = b
(3) Rufe das Verfahren auf für
Beispiel 3.25. Berechnen von
und STOP.
a=b
und
b = r,
d.h. berechne
ggT(b, a mod b).
ggT(29393, 2805).
ggT(a, b)
ggT(29393, 2805)
ggT(2805, 1343)
ggT(1343, 119)
ggT(119, 34)
ggT(34, 17)
r = a mod b
Aufruf von
1343
119
34
17
0
29393 = 10 · 2805 + 1343
(3.1)
2805 = 2 · 1343 + 119
1343 = 11 · 119 + 34
(3.2)
(3.3)
119 = 3 · 34 + 17
(3.4)
34 = 2 · 17 + 0
ggT(29393, 2805) = 17
Lemma 3.26
(Lemma von Bézout
15 ). Seien
a, b ∈ Z.
Dann gibt es
x, y ∈ Z,
so dass
ggT(a, b) = x · a + y · b.
Bemerkung 3.27.
Diese Zahlen
x, y
lassen sich leicht aus dem Euklidischen Algorithmus berechnen, wenn
man in jedem Schritt bei der Berechnung von
r = a mod b
15 Étienne Bézout; 1730 1783
19
auch die Zahl
m∈N
mit
a = m·b+r
abspeichert.
Beispiel 3.28 (ggT(29393, 2805) (fortgesetzt)). Aus (3.4) folgt
17 = 119 − 3 · 34.
Mit (3.3) erhält man
17 = 119 − 3 · (1343 − 11 · 119) = 34 · 119 − 3 · 1343.
Mit (3.2) erhält man
17 = 34 · (2805 − 2 · 1343) − 3 · 1343 = 34 · 2805 − 71 · 1343.
Und abschlieÿend mit (3.1)
17 = 34 ∗ 2805 − 71 · (29393 − 10 · 2805) = −71 · 29393 + 744 · 2805.
Denition 3.29
. Seien a, b ∈ Z
m den gleichen Rest lassen,
a kongruent b mod(ulo) m.
(Kongruente Zahlen)
falls sie bei Division durch
a ≡ b mod m,
•
gesprochen
Mit der Notation aus Beispiel 2.9 gilt also:
Rm
und
m ∈ N. a und b heiÿen kongruent modulo m,
a mod m = b mod m. Man schreibt dafür
d.h. falls
a ≡ b mod m genau dann, wenn a, b in der gleichen Restklasse
enthalten sind.
Satz 3.30.
Sei
a ≡ b mod m
und
c ≡ d mod m.
Dann gilt
a + c ≡ (b + d) mod m,
a · c ≡ (b · d) mod m.
Notation 3.31.
Sei
m ∈ N, m ≥ 2.
i) Sei
Zm = {[0]m , [1]m , . . . , [m − 1]m }
m
die Menge der Restklassen bei Division durch
ii) Auf der Menge
Zm
wird nun eine Addition
⊕
(siehe Beispiel 2.9).
und Multiplikation
[a]m ⊕ [b]m = [a + b]m
Bemerkung 3.32.
Aufgrund von Satz 3.30 sind
⊕
und
und
wie folgt deniert:
[a]m [b]m = [a · b]m
wohldeniert, d.h. für
gilt
[a]m ⊕ [b]m = [c]m ⊕ [d]m
Also sind
⊕
und
Abbildungen von
Zm × Zm
Beispiel 3.33 (Verknüpfungstafeln für
und
nach
[a]m [b]m = [c]m [d]m .
Zm .
m = 4).
⊕
[0]4
[1]4
[2]4
[3]4
[0]4
[0]4
[1]4
[2]4
[3]4
[1]4
[1]4
[2]4
[3]4
[0]4
[2]4
[2]4
[3]4
[0]4
[1]4
[3]4
[3]4
[0]4
[1]4
[2]4
[0]4
[1]4
[2]4
[3]4
[0]4
[0]4
[0]4
[0]4
[0]4
[1]4
[0]4
[1]4
[2]4
[3]4
[2]4
[0]4
[2]4
[0]4
[2]4
[3]4
[0]4
[3]4
[2]4
[1]4
20
[c]m = [a]m , [d]m = [b]m
Beispiel 3.34 (Verknüpfungstafeln für
m = 5).
⊕
[0]5
[1]5
[2]5
[3]5
[4]5
[0]5
[0]5
[1]5
[2]5
[3]5
[4]5
[1]5
[1]5
[2]5
[3]5
[0]5
[0]5
[2]5
[2]5
[3]5
[0]5
[1]5
[1]5
[3]5
[3]5
[0]5
[1]5
[2]5
[2]5
[4]5
[4]5
[0]5
[1]5
[2]5
[3]5
[0]5
[1]5
[2]5
[3]5
[4]5
[0]5
[0]5
[0]5
[0]5
[0]5
[0]5
[1]5
[0]5
[1]5
[2]5
[3]5
[4]5
[2]5
[0]5
[2]5
[4]5
[1]5
[3]5
[3]5
[0]5
[3]5
[1]5
[4]5
[2]5
[4]5
[0]5
[4]5
[3]5
[2]5
[1]5
Bemerkung 3.35.
i) Sowohl bei
(Z4 , ⊕)
als auch bei
(Z5 , ⊕)
gilt
[a]m ⊕ [0]m = [a]m ,
und für jedes
[a]m ∈ Zm
existiert ein
[a0 ]m ∈ Zm
mit
[a]m ⊕ [a0 ]m = [0]m .
ii) Für
(Z4 , )
und
(Z5 , )
gilt analog
[a]m [1]m = [a]m ,
[2]4 gibt es kein Element in Z4
∈ Zm \ {[0]m } ein [a0 ]m ∈ Zm mit
aber für
[a]m
mit
[2]4 · [a0 ]4 = [1]4 .
Für
m=5
gibt es hingegen für jedes
[a]m [a0 ]m = [1]m .
Denition 3.36
.
(Gruppe)
Sei
G
eine nichtleere Menge, und sei
⊗ : G×G → G
mit
(x, y) 7→ x ⊗ y
eine
Abbildung (Verknüpfung).
(G, ⊗)
heiÿt Gruppe, wenn die folgenden Bedingungen 1.3. erfüllt sind:
1. Für alle
x, y, z ∈ G
gilt:
(x ⊗ y) ⊗ z = x ⊗ (y ⊗ z)
2. Es gibt ein neutrales Element
3. Zu jedem
x∈G
e ∈ G,
(Assoziativgesetz).
so dass für alle
gibt es ein inverses Element
x0 ∈ G,
x∈G
gilt:
so dass
e ⊗ x = x ⊗ e = x.
x ⊗ x0 = x0 ⊗ x = e. x0
wird auch mit
x−1
bezeichnet.
•
Gilt zusätzlich
x⊗y =y⊗x
für alle
x, y ∈ G,
dann heiÿt
(G, ⊗)
16 ) Gruppe.
kommutative (abelsche
Beispiel 3.37.
• (Z, +)
ist kommutative Gruppe mit neutralem Element
Ebenso sind
• (Q \ {0}, ·)
(Q, +), (R, +)
0,
und für
ist kommutative Gruppe mit neutralem Element
Element. Ebenso ist
a∈Z
ist
−a
das inverse Element.
kommutative Gruppen.
(R \ {0}, ·)
kommutative Gruppe.
16 Niels Abel, 18021829
21
1,
und für
a ∈ Q \ {0}
ist
1/a
das inverse
• (Sn , ◦)
ist Gruppe mit neutralem Element
Sn
Umkehrabbildung gegeben.
• (Zm , ⊕)
id{1,...,n} ,
und das inverse Element von
ist nicht kommutativ für
σ ∈ Sn
ist durch die
n ≥ 3.
ist kommutative Gruppe mit neutralem Element
[0]m ,
und für
[a]m ∈ Zm
ist
[m − a]m
das
inverse Element.
• (Z4 \ {0}, )
ist keine Gruppe, aber
Denition 3.38
(Körper)
(Addition), bzw.
(x, y) 7→ x · y
.
Sei
K
(Z5 \ {0}, )
ist kommutative Gruppe.
+, · : K × K → K mit (x, y) 7→ x + y
(K, +, ·) heiÿt Körper, wenn die folgenden
eine nichtleere Mengen, und seien
(Multiplikation) Abbildungen.
Bedingungen 1.3. erfüllt sind:
1.
(K, +)
ist kommutative Gruppe.
Das neutrale Element von
2.
(K \ {0}, ·)
wird mit
0
bezeichnet.
ist kommutative Gruppe.
Das neutrale Element von
3. Für alle
(K, +)
x, y, z ∈ K
gilt:
(K \ {0}, ·)
wird mit
1
x · y + x · z = x · (y + z)
bezeichnet und Einselement genannt.
(Distributivgesetz).
Beispiel 3.39.
• (Q, +, ·), (R, +, ·)
• (Z, +, ·)
ist kein Körper.
Satz 3.40. (Zm , ⊕, )
3.2
sind Körper.
ist genau dann ein Körper, wenn
m
Primzahl ist.
Komplexe Zahlen
Denition 3.41
.
(Komplexe Zahlen)
Die Menge
C = {x + y · i : x, y ∈ R}
heiÿt Menge der komplexen Zahlen. Dabei ist
i∈C
deniert durch
i2 = i · i = −1
und heiÿt imaginäre Einheit.
z = x + y · i ∈ C heiÿt x Realteil von z und wird mit Re(z)
Im(z) bezeichnet.
0
0
0
Zwei komplexe Zahlen z = x + y i und z = x + y i sind gleich,
0
und y = y .
Für
bezeichnet.
y
heiÿt Imaginärteil von
z
und wird mit
d.h.
z = z0,
•
Es ist
•
Betrachtet man die imaginäre Einheit als eine Variable mit der Eigenschaft
genau dann, wenn
x = x0
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
i2 = −1, dann ergeben sich
Addition und Multiplikation von komplexen Zahlen unmittelbar aus den entsprechenden Operationen
für reelle Zahlen.
Seien
z = x + y i, z 0 = x0 + y 0 i ∈ C:
z + z 0 = (x + y i) + (x0 + y 0 i)
= (x + x0 ) + (y + y0) i.
z · z = (x + y i) · (x0 + y 0 i) = x · x0 + x · y 0 i + y i · x0 + y i · y 0 i
0
= x x0 + y y 0 i2 + x y 0 i + y x0 i
= x x0 − y y 0 + (x y 0 + y x0 ) i.
22
Im(z)
z
y
z+z
0
|z|
x0
z
Re(z)
x
y0
0
−y
z
Abbildung 3: Addition und Betrag von komplexen Zahlen in der Gauÿsche Zahlenebene
•
Weiterhin ist für
z = x + y i 6= 0 (= 0 + 0 i)
x
−y
1
= 2
+ 2
i.
x+yi
x + y2
x + y2
z −1 =
Satz 3.42. (C, +, ·)
Denition 3.43
i)
ii)
i)
ii)
.
(Konjugierte Zahl, Betrag)
z = x−yi ∈ C
p
|z| = x2 + y 2
Satz 3.44.
Seien
heiÿt die zu
und
konjugierte (komplexe) Zahl.
z.
z · z0 = z · z0.
iii)
|z|2 = z · z .
iv)
z −1 = z/|z|2 , z 6= 0.
(Gauÿsche
Denition 3.46
1 (= 1 + 0 i).
z = x + y i ∈ C.
heiÿt der Betrag der komplexen Zahl
genau dann, wenn
Notation 3.45
z
Sei
und Einselement
z, z 0 ∈ C.
z + z0 = z + z0
z=z
0 (= 0 + 0 i)
ist ein Körper mit neutralem Element
z ∈ R.
17 Zahlenebene).
(Polardarstellung)
.
Jede komplexe Zahl
z = x + y i ∈ C, z 6= 0,
lässt sich eindeutig in der
Form
z = r (cos φ + i sin φ)
darstellen. Dabei ist
r = |z|,
und
φ
ist der Winkel zwischen
cos φ =
(3.5) heiÿt Polardarstellung von
Bemerkung 3.47.
Für
z,
und
(r, φ)
x
|z|
und
z
(3.5)
und der reellen Achse, also
sin φ =
y
.
|z|
nennt man Polarkoordinaten von
z = r(cos φ + i sin φ), z 0 = r0 (cos φ0 + i sin φ0 ) ∈ C
ist (siehe Bemerkung 0.4).
z · z 0 = r(cos φ + i sin φ) · r0 (cos φ0 + i sin φ0 )
= r r0 (cos(φ + φ0 ) + i sin(φ + φ0 )) .
23
z.
Im(z)
z
z0
r
r0
φ + φ0
φ0
φ
Re(z)
r·r
0
z · z0
Abbildung 4: Multiplikation von komplexen Zahlen in Polardarstellung
Lemma 3.48
(Formel von Moivre
18 ). Für
z = r (cos φ + i sin φ)
und
n∈N
gilt:
z n = rn (cos(n · φ) + i sin(n · φ)).
Denition 3.49
.
(Einheitswurzeln)
ωnk = cos
n-te
•
n ∈ N heiÿen
2k π
2k π
,
+ i sin
n
n
Für
k = 0, . . . , n − 1,
Einheitswurzeln.
Es ist
(ωnk )n = 1
für
k = 0, . . . , n − 1.
Beispiel 3.50.
• n = 1: ω01 = 1.
• n = 2: ω02 = 1, ω12 = −1.
• n = 3: ω03 = 1, ω13 = − 12 +
√
3
2 i,
ω23 = − 12 −
√
3
2 i.
• n = 4: ω04 = 1, ω14 = i, ω24 = −1, ω34 = − i.
Bemerkung 3.51.
Die
n-ten
Einheitswurzeln
{ωkn : k = 0, . . . , n − 1}
bilden mit der Multiplikation eine
Gruppe.
Bemerkung 3.52.
gilt
Sei
z = r (cos φ + i sin φ) ∈ C und n ∈ N. Für
√
φ
φ
n
wk = r cos + i sin
· ωkn , k = 0, . . . , n − 1,
n
n
(wk )n = z . wk , k = 0, . . . , n − 1,
Notation 3.53.
Sei
sind die
z = r (cos φ + i sin φ).
√
n-ten
Wurzeln von
z.
Als (Quadrat)-Wurzel von
z=
√
r
cos
φ
φ
+ i sin
2
2
17 Carl Friedrich Gauÿ (Gauss) 17771855
18 Abraham de Moivre, 16671754
24
.
z,
im Zeichen
√
z,
versteht man
Beispiel 3.54.
•
•
√
−1 = i,
Für
√
i=
√1
2
x ∈ R, x ≤ 0,
Satz 3.55
+
ist
√1 i.
2
√
x=
p
|x| i.
.
(Fundamentalsatz der Algebra)
Jede Polynomfunktion
f :C→C
der Form
f (z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0
mit
an 6= 0
besitzt eine Darstellung
f (z) = an (z − c1 ) · (z − c2 ) · . . . · (z − cn ),
mit
ci ∈ C, 1 ≤ i ≤ n.
Beispiel 3.56.
•
Sei
f (z) = z 2 + a1 z + a0 .
Mit
a1
c1 = − +
2
ist
r
a1 2
− a0 ,
2
a1
c2 = − −
2
f (z) = (z − c1 )(z − c2 ).
• z 2 + 1 = (z − i)(z + i), z 4 − 1 = (z − 1)(z − i)(z + 1)(z + i).
Qn−1
• z n − 1 = k=0 (z − ωkn ).
25
r a 2
1
2
− a0
Index
N, 8
Q, 9
R, 9
R≥0 , 14
Z, 8
cos, 4
∅, 9
∈
Q, 8
Inverse Abbildung, 16
Inverse Relation, 13
Kartesisches Produkt, 11
Kommutativität, 11
Komplementregeln, 11
Logarithmus
natürlicher, 5
, 5
sin, 4
⊂, 10
⊆
P, 10
Mächtigkeit
endlicher Mengen, 11
Menge
, 5
gleichmächtig, 16
Äquivalenz, 7
Mengen, 8
Äquivalenzklasse, 13
Dierenz, 10
Äquivalenzreltion, 13
Durchschnitt, 10
Vereinigung, 10
Abbildung, 14
Graph, 14
Ordnung, 14
identische, 15
partiell, 14
invers, 16
total, 14
Komposition, 15
Ordnungsrelation, 14
Verkettung, 15
Absorption, 11
Potenzmenge, 12
Allquantor, 9
Assoziativität, 11
Relation
Aussagen, 7
antisymmetrsich, 14
binär, 13
Betrag, 4
reexiv, 13
bijektiv, 15
symmetrisch, 13
Bild, 14
transitiv, 13
Bildmenge, 14
relation
Boolesche Algebra, 11
inverse, 13
Restklassen, 14
De Morgan'sche Regeln, 11
Russellsche Antinomie, 9
Denitionsbereich, 14
Distributivität, 11
surjektiv, 15
Existenzquantor, 9
Teilmenge, 10
Funktion, 14
Urbildmenge, 14
Funktionswert, 14
Verkettung von Abbildungen, 15
Geometrische Reihe, 9
Verknüpfungsregeln für Mengen, 10
Graph, 14
Vollständige Induktion, 9
Idempotenz, 11
Wertebereich, 14
Identische Abbildung, 15
Implikation, 7
injektiv, 15
26