1 Hilbertraum

1
1
Hilbertraum
Im Folgenden sei
K ∈ {R, C}.
1.1 Denition und einführende Beispiele
Denition 1.1 (inneres Produkt, Skalarprodukt)
Ein inneres Produkt auf einem
quilinearform
K-Vektorraum V ist eine positiv denite hermitesche
h·, ·i : V × V → K, das heiÿt: ∀x, y, z ∈ V und ∀α ∈ K gilt:
1. positiv denit:
2. hermitesch:
hx, xi ≥ 0
und
Ses-
hx, xi = 0 ⇔ x = 0.
hx, yi = hy, xi.
hx + αy, zi = hx, zi + αhy, zi
3. sesquilinear:
und
hx, y + αzi = hx, yi + αhx, zi
Bemerkung 1.2
Das Skalarprodukt kann alternativ auch linear im ersten und semilinear im zweiten Argument deniert werden. Im Hinblick auf die Bra-Ket-Notation wird es im Folgenden wie
oben deniert verwendet, da damit das Skalarprodukt als
wobei
hx |
| yi Ket genannt wird.
hx| : V → K, y 7→ hx | yi kann
Bra und
Die Abbildung
hx | yi
geschrieben werden kann,
1
als Linearform auf
V aufgefasst
werden.
Denition 1.3 (Prähilbertraum, Innenproduktraum)
Sei V ein
K-Vektorraum
und sei
h·, ·i : V × V → K
ein inneres Produkt, so ist
(V, h·, ·i)
ein Prähilbertraum.
Denition 1.4 (Hilbertraum)
Ein Hilbertraum ist ein bezüglich der vom inneren Produkt induzierten Norm
k·k =
p
h·, ·i
vollständiger Prähilbertraum.
Beispiel 1.5
1. komplexer n-dimensionaler Koordinatenraum mit Standardskalarprodukt:
P
(Cn , hx, yi = nk=1 xk yk ).
2. Folgenraum
`2 (N) = {(xn )n ⊂ C;
3. Lebesgue-Raum
P∞
k=1
|xk |2 < ∞}2
mit
hx, yi =
P∞
k=1
x k yk .
L2 .
R
(S, A, µ) ein Maÿraum, L2 (S, A, µ) := {f : S → K, S |f |2 dµ < ∞},
N = {f ∈ L2 |f = 0 µ − f ast überall}, so ist L2 der Quotientenraum L2 /N .
Mit
Z
hf, giL2 = hf (x), g(x)i dµ(x)
Sei
und
S
ist ein inneres Produkt deniert, wobei das Skalarprodukt im Integral das Standardskalarprodukt bezeichne; die Vollständigkeit liefert der aus der Maÿtheorie bekannte
Satz von Riesz-Fischer.
1
2
lineare Abbildung vom Vektorraum
V
in den zugrundeliegenden Körper
K
anhand jenem untersuchte David Hilbert die Eigenschaften der nach ihm benannten Räume
2
1
HILBERTRAUM
1.2 Orthonormalbasen
Denition 1.6 (Orthonormalsystem)
E eines Hilbertraums H
he, f i = 0 ∀e, f ∈ E mit e 6= f .
Eine Teilmenge
und
heiÿt Orthonormalsystem, falls
Denition 1.7 (Orthonormalbasis)
Ein Orthonormalsystem
E
3
heiÿt Orthonormalbasis von
H, falls span(E)4
kek = 1 ∀e ∈ E
dicht in
H liegt5 .
Bemerkung 1.8
Damit lässt sich jedes
x∈H
als Grenzwert einer Folge in
span(E)
schreiben.
Denition 1.9 (orthogonales Komplement)
Sei
V
eine Teilmenge eines Hilbertraums
das orthogonale Komplement von
H. V ⊥ := {w ∈ H | ∀v ∈ V : hv, wi = 0}
heiÿt
V.
Satz 1.10 (Charakterisierung einer Orthonormalbasis)
Sei
E = {ek |k ∈ N}
ein abzählbares Orthonormalsystem in einem Hilbertraum
H.
Dann
sind die folgenden vier Aussagen äquivalent:
1.
E ⊥ = {0}.
2.
E
ist Orthonormalbasis.
3. Es gilt
∀x ∈ H:
x=
∞
X
hek , xiek .
k=1
4. Es gilt
∀x, y ∈ H:
∞
X
hx, yi =
hx, ek ihek , yi.
k=1
⊥
⊥
⊥
⇒ (2): U := span(E)
Pn . E ⊂ U liefert U ⊂ E , also U = {0}.
x ∈ H. Deniere sn = k=1 hek , xiek . Dann ist (sn )n eine Cauchyfolge,
Beweis. (1)
Sei nun
2
ksn − sm k = k
=
=
n
X
2
hek , xiek k = h
k=m+1
n
X
n
X
hej , xiej , ek i =
j=m+1
n
X
hek , xiek i =
k=m+1
n
X
hek , xi
k=m+1
∞
X
|hek , xi|2 ≤
k=m+1
Damit existiert
hej , xiej ,
j=m+1
hek , xih
k=m+1
n
X
n
X
5
hej , xi δjk =
j=m+1
k=m+1
s = limn→∞ sn ∈ U .
Nun folgt aber mit der Stetigkeit des Skalarprodukts
n→∞
4
n
X
|hek , xi|2 → 0 für m → ∞.
∀k : hs − x, ek i = lim hsn − x, ek i = 0.
3
da gilt:
oder vollständiges Orthonormalsystem.
Pn
span(E) := { i=1 λi ai |λi ∈ K, ei ∈ E, n ∈ N}
also span(E) = H.
1.2
3
Orthonormalbasen
s − x ∈ U ⊥,
und damit x ∈ U . Nun folgt U = H.
Pn
(2) ⇒ (3): Betrachte die Partialsumme sn =
P k=1 hek , xiek für x ∈ H, n ∈ N.
∀1 ≤ j ≤ n : hej , sn − xi = hej , sn i − hej , xi = nk=1 hek , xihej , ek i − hej , xi = 0.
Insbesondere ist
also
s=x
∀y ∈ span(e1 , ..., en ) : y ⊥ sn − x, also mit dem Satz des Pythagoras6 :
kx − yk = kx − sn k2 + ksn − yk2 ≥ kx − sn k2 .
Betrachte abschlieÿend eine Folge (xn )n → x und eine monoton steigende Folge (mn )n ⊂
N, so gewählt, dass xn ∈ span(e1 , ..., emn ). Dann ist 0 ≤ kx − smn k2 ≤ kx − xn k2 → 0.
2
2
Wegen kx − sn+1 k ≤ kx − sn k konvergiert (sn )n gegen x, was die Behauptung liefert.
Pn
Pn
(3) ⇒ (4): Betrachte wieder sn =
k=1 hek , xiek und tn =
k=1 hek , yiek . Dann folgt:
Pn
hsn , tn i =
hx,
e
ihe
,
yi
.
Wegen
s
→
x
und
t
→
y
folgt
mit der Stetigkeit des
k
k
n
n
k=1
Damit folgt:
2
Skalarprodukts die Behauptung.
P
2
⇒ (1): Setze y = x. Es folgt: kxk2 = ∞
k=1 |hx, ek i| .
2
hx, ek i = 0 und damit folgt kxk = 0 also x = 0.
(4)
Sei
x ∈ E ⊥.
Dann gilt
∀k ∈ N :
Denition 1.11
Existiert für einen Hilbertraum
H
H
eine abzählbare Orthonormalbasis
separabel.
6
anwendbar, da
x − sn ⊥ sn − y
und letzteres aus
span(e1 , ..., en ).
E,
dann nennt man
4
2
2
OPERATOREN
Operatoren
Im Folgenden seien
X, Y
Vektorräume.
Denition 2.1
Ein linearer Operator, oder einfach nur Operator, ist eine lineare Abbildung
Die Menge all jener Abbildungen wird mit
L(X, Y )
T : X → Y.
bezeichnet.
Beispiel 2.2
1. Matrix-Vektor-Produkt:
2. Ableitungsoperator:
A : Cm → Cn x 7→ Ax, A ∈ Cn×m : A ∈ L(Cm , Cn )
D : C 1 → C f 7→ Df
(a, b) × (a, b).
Z
K : L2 ((a, b)) → L2 ((a, b)) (Kf )(x) :=
k(x, y)f (y)dy
3. Integraloperator: Sei k messbar und beschränkt auf
(a,b)
2.1 Beschränkte Operatoren
Nun seien
X, Y
normierte Räume.
Denition 2.3 (Beschränkter Operator)
Die Menge aller beschränkten Operatoren ist:
B(X, Y ) := {T ∈ L(X, Y ) | ∃M < ∞ ∀x ∈ X : kT (x)k ≤ M kxk}.
Statt T(x) ist die Schreibweise Tx gängig.
Die zugehörige Operatornorm ist:
k · k : B(X, Y ) → R
kT k :=
sup
kT (x)k
x∈X; kxk=1
Dass es sich bei
k·k
tatsächlich um eine Norm handelt, lässt sich einfach nachrechnen.
Beispiel 2.4
Sei
(S, A, µ)
ein Maÿraum und
f ∈ L∞ . Tf : Lp → Lp Tf (g)(x) := (f g)(x) = f (x)g(x)
kTf k = kf k∞ < ∞ beschränkt.
ist oenbar eine lineare Abbildung und wegen
Denition 2.5 (Dualraum)
X ∗ := B(X, K)
bezeichnet man als den Dualraum von
X.
Beispiel 2.6
x ∈ X , dann ist hx| ∈ X ∗ , da hx| : X → K y 7→ hx|yi oenbar eine lineare Abbildung ist
und die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung die Beschränktheit liefert: khx|yik ≤ kxkkyk.
Ist
Satz 2.7
Es sei T ein Operator, also
1. T ist Lipschitzstetig.
2. T ist stetig auf X.
T ∈ L(X, Y ).
Dann sind folgende vier Aussagen äquivalent:
2.2
5
Adjungierte Operatoren
3. T ist stetig in einem Punkt
∃ 0 < M < ∞ ∀x ∈ X : kT xk ≤ M kxk.
4. T ist beschränkt, also
⇒ (2)
Beweis. (1)
(3)
⇒ (4):
Sei nun
und (2)
T
x ∈ X.
stetig
⇒ (3) sind klar.
in x ∈ X , dann folgt
mit
-δ -Stetigkeit:
∃δ > 0 ∀y ∈ X : ky − xk ≤ δ ⇒ kT y − T xk ≤ 1
Sei
z ∈ X\{0}.
Dann setze
z
+ x.
y = δ kzk
kT δ
(4)
⇒ (1):
Da
T
Einsetzen liefert:
z
k ≤ 1 ⇔ kT zk ≤ δ −1 kzk
kzk
beschränkt ist, folgt mit Hilfe der Submultiplikativität:
kT y − T xk ≤ kT kky − xk
Damit ist
T
lipschitzstetig.
2.2 Adjungierte Operatoren
Sei
(H, h·, ·i)
ein Hilbertraum und
Denition 2.8
Einen Operator
T ∗ ∈ B(H),
T ∈ B(H).
für den
∀x, y ∈ H
hT x, yi = hx, T ∗ yi
gilt, nennt man einen zu
T
adjungierten Operator.
Bemerkung 2.9
Man kann zeigen, dass für jeden
T ∈ B(H)
ein adjungierter Operator
T∗
existiert und
dieser eindeutig ist.
Beweis. Funktionalanalysis (Darstellungssatz von Fréchet-Riesz).
Beispiel 2.10 (zu Beispiel 2.2)
A0 : Cn → Cm x 7→ A0 x, A0 ∈ Cm×n
0
Matrix lautet A = AT .
1. Zur obigen Matrix-Vektor-Multiplikation ist
der adjungierte Operator. Die zugehörige
3. Zum Integraloperator ist der adjungierte Operator gegeben durch:
∗
∗
Z
K : L2 ((a, b)) → L2 ((a, b)) (K f )(x) :=
k(y, x)f (y)dy
(a,b)
Denition 2.11 (Selbstadjungierte, normale, unitäre und positive Operatoren)
Gilt
Gilt
Gilt
Gilt
7
T = T ∗ , so nennt man T selbstadjungiert, oft auch hermitesch.
T T ∗ = T ∗ T , so nennt man T normal.
T T ∗ = T ∗ T = Id, so nennt man T unitär.
T = T ∗ und ∀x ∈ H : hT x, xi ≥ 0, so nennt man T positiv.7
Hierfür schreibt man oft
T ≥ 0.
6
3
Im folgenden sei
3
(H, h·, ·i)
SPEKTRALTHEORIE UND SPEKTRALSATZ
ein Hilbertraum,
A ∈ B(H)
und
I
der Identitätsoperator
Spektraltheorie und Spektralsatz
3.1 Spektrum beschränkter Operatoren
Denition 3.1
1.
λ∈C
x heist dann Eigenvektor
Def
⇔ ∃x ∈ H \ {0} : Ax = λx
zum Eigenwert λ
ist Eigenwert von A
Def
2.
ρ(A) = {λ ∈ C | (A − λI) ist invertierbar}
3.
R : ρ(A) 7→ B(H), Rλ = (A − λI)−1
4.
σ(A) = C\ρ(A)
Def
heiÿt Resolventenmenge
heiÿt Resolvente des Operators
ist das Spektrum von A
5. Für einen Eigenwert
λ∈C
ist der Eigenraum
Def
Eλ (A) = ker(A − λI)
Bemerkung 3.2
Diese Denitionen sind analog zu denen aus der Linearen Algebra bekannten im endlich Dimensionalen. Allerdings ist das Spektrum nicht die Menge der Eigenwerte, da nun
Operatoren injektiv, aber nicht surjektiv sein können (im Gegensatz zu Räumen mit endlicher Dimension, in denen die Eigenschaften äquivalent sind), anders gesagt, die NichtInvertierbarkeit eines Operators impliziert nicht mehr die Nicht-Injektivität.
Bemerkung 3.3
λI −A in der Denition der Resolvente gesetzt, die Resolventenmenge bleibt
da A invertierbar ⇔ −A invertierbar
Oft wird auch
dabei gleich,
Beispiel 3.4
s : l2 (N) −→ l2 (N)
s(x1 , x2 , x3 , ...) −→ (0, x1 , x2 , x3 , ...)
Betrachte den Shift Operator
Oensichtlich ist s nicht surjektiv, aber injektiv und beschränkt
dann
s − λI = s
nicht invertierbar, also
0 ∈ σ(s),
(ksk = 1),
für
λ=0
ist
aber 0 oensichtlich kein Eigenwert.
Denition 3.5
Das Spektrum lässt sich sinnvoll in 3 disjunkte Mengen zerlegen:
σp (A) = {λ ∈ C | (A − λI) nicht injektiv}
heiÿt Punktspektrum von A.
(Dies ist oensichtlich die Menge aller Eigenwerte)
σc (A) = {λ ∈ C | (A − λI) injektiv, nicht surjektiv ∧ (A − λI)(H) ist dicht in H}
Stetiges (Kontinuierliches) Spektrum von A
σr (A) = {λ ∈ C | (A − λI) injektiv ∧ (A − λI)(H) ist nicht dicht in H}
Residual (Rest-) Spektrum von A
heiÿt
heiÿt
3.1
7
Spektrum beschränkter Operatoren
Bemerkung 3.6
σ(A) = σp (A)
Im endlich dimensionalen gilt
im unendlich dimensionalen gilt dies im
Allgemeinen nicht.
Beispiel 3.7
2
Betrachte im Hilbertraum L ([0, 1]) mit f
2
2
tor A : L ([0, 1]) 7→ L ([0, 1]), A(ϕ) = f ϕ
: [0, 1] 7→ C, f (t) = t
A ist dann stetig und sogar selbstadjungiert, für Eigenwerte
λ)ϕ = 0,
was nicht möglich für
ϕ 6= 0,
da
f −λ
den Multiplikationsopera-
λ ∈ C
müsste gelten
(f −
höchstens eine Nullstelle besitzt.
Satz 3.8
Es gelten für
A 6= 0:
ρ(A) ist oen
σ(A) 6= ∅ ist kompakt
und
σ(A) ⊆ B kAk (0)
Denition 3.9
Ein Operator
(Axn )n∈N
A ∈ B(H)
heiÿt kompakt, falls für alle beschränkten Folgen
(xn )n∈N
in
H
eine konvergente Teilfolge besitzt
Satz 3.10
A ∈ B(H) kompakt.
dim(ker(A − λI)) < ∞
Sei
Sei
λ 6= 0 λ ∈ σ(A).
Dann ist
λ ∈ σp (A)
und
Satz 3.11
Sei
A
kompakt, dann ist
σ(A)
endlich oder abzählbar unendlich.
Im zweiten Fall ist 0 der einzige Häufungspunkt von
σ(A)
(λn )n∈N paarweise verschiedener Spektralwerte
A mit |λn | ≥ . Dann sind alle λn Eigenwerte von A. Sei (xn )n∈N eine Folge zugehöriger
Eigenvektoren von A. Da die λn paarweise verschieden sind, ist die Menge {xn : n ∈ N}
Beweis. Wir nehmen an, es gibt eine Folge
von
linear unabhängig.
Xn = span{x1 , ..., xn } gilt dann Xn ⊂ Xn+1 , Xn 6= Xn+1 und A(Xn ) ⊂ Xn für alle
n ∈ N.
Wir wählen yn ∈ Xn sodass gilt:
k yn k= 1, dist(yn , Xn−1 ) ≥ 21 (Existenz durch Lemma aus der Funktionalanalysis)
Dann gilt yn = αxn + zn−1 für ein α ∈ C, zn−1 ∈ Xn−1 , also
∗
λn yn − Ayn = λn αxn + λn zn−1 − αAxn − Azn−1 = λn zn−1 − Azn−1 ∈ Xn−1
also für alle m ∈ N mit m < n
∗
kAyn − Aym k = kλn yn − (Aym + λn yn − Ayn )k = |λn |kyn − λ1n (Aym + λn yn − Ayn )k ≥ 2 ,
Für
Also hat
(Ayn )n∈N
keine konvergente Teilfolge im Widerspruch zur Kompaktheit von S.
Denition 3.12
r(A) = sup{|λ| | λ ∈ σ(A)}
r(A) = max{|λ| |λ ∈ σ(A)}
Der Spektralradius von A ist deniert als
Da das Spektrum kompakt ist, gilt
Satz 3.13
Sei
A
kompakt, dann ist
r(A) = kAk,
es existiert also ein Eigenwert
λ∈C
mit
|λ| = kAk
8
3
SPEKTRALTHEORIE UND SPEKTRALSATZ
Satz 3.14
Sei
Gilt
A ∈ B(H) normal.
Ax = λx, Ay = µy
für
λ 6= µ,
dann gilt
hx, yi = 0.
(Eigenvektoren zu verschiedenen
Eigenwerten stehen aufeinander senkrecht)
Beweis.
λhx, yi = hλx, yi = hAx, yi = hx, A∗ yi = hx, µyi = µhx, yi
Im vorletzten Schritt wurde verwendet, das für normale Operatoren
Ax = λx ⇔ A∗ x = λx
gilt.
3.2 Spektralsatz
Satz 3.15
Sei
H
C, A ∈ B(H)
ein seperabler Hilbertraum über
eine Orthonormalbasis
Ax =
P∞
wobei
Pλ
i=1
{ei }i∈N
λi hx, ei iei (=
P
H
von
λ∈σp (A)
normal und kompakt. Dann existiert
aus Eigenvektoren von
ei
und es gilt
λPλ x)
die orthogonale Projektion auf den Eigenraum von
dem Eigenvektor
A,
λ
ist.
λi
bezeichnet den zu
gehörenden Eigenwert
Uλ = ker(A − λI), λ ∈ C. Dann ist A(Uλ ) ⊂ Uλ
(Da (A − λI)Ax = A(A − λI)x)
Für λ ∈ σp (A) setzt Eλ als Orthonormalbasis von Uλ , sonst Eλ = ∅
Beweis. Setze
Setze
E=
S
Eλ
λ6=0
Satz 3.10 und 3.11 implizieren, dass
Zeige nun dass
Sei
Sei
E ∪ E0
E
abzählbar ist.
eine Orthonormalbasis ist.
⊥
V = span(E ∪ E0 ) Es genügt zu zeigen, dass V = {0}
x ∈ V . Für beliebiges y ∈ Eλ , λ ∈ C gilt dann mit Satz
3.13
hAx, yi = λhx, yi = 0
Ax ∈ (E ∪ E0 )⊥ ⊆ V A lässt den Unterraum V invariant.
∗
∗
Wäre nun A|V = 0 nicht wahr, so würde ein λ ∈ σp (A), |λ | = kA|V k =
6 0 existieren,
und für einen zugehörigen Eigenvektor x ∈ V würde x ∈ Uλ∗ ⊂ E gelten, oensichtlich
⊥
ein Widerspruch, da V ∩ E = ∅. Also ist V ⊂ ker(A) = U0 ⊂ V
⇒ V = {0}
Also ist
Damit ist wie behauptet
E ∪ E0
eine Orthonormalbasis und wir können
⊥
H = U0 ⊕ UP
0 , damit gilt für alle x
P∈∞H :
∞
x = P0 x + i=1 hx, ei iei ⇒ Ax = i=1 λi hx, ei iei
Damit ist die Behauptung gezeigt
H
zerlegen:
9
4
Spur und Spurklasseoperatoren
Denition 4.1
Ein beschränkter Operator
beliebige Orthonormalbasis
|A|
A ∈ B(H) wird Spurklassenoperator genannt, falls für eine
{en }n∈N ∈ H (und daraus folgend auch für alle) die Spur von
endlich ist, also:
tr : B(H) 7→ R+ , tr |A| :=
P∞
n=1 h|A|en ,
Die Menge der Spurklasseoperatoren in
en i < ∞,
B(H)
wobei
|A| :=
B1 (H)
wird mit
√
A∗ A (selbstadjungiert)
bezeichnet.
Für Operatoren in der Trace Class ist die Spur deniert durch:
trA :=
P∞
n=0 hAen ,
en i
Sowie die Norm
kAk1 = tr|A|,
mit der
B1 (H)
zum Banachraum wird.
Satz 4.2
Eigenschaften der Spur:
1.
A ∈ B1 (H) ⇒ trA < ∞
2. Für
A, B ≥ 0
gilt
tr(A + B) = trA + trB
sowie
tr(λA) = λtrA
3. Die Spur ist wohldeniert auf dem Raum der Spurklassenoperatoren, d.h. unabhängig
von der Wahl der Basis:
{en }n∈N , {fn }n∈N ∈ H
Orthonormalbasen
4.
tr(AA∗ ) = tr(A∗ A)
5.
tr(AB) = tr(BA)
6.
A ∈ B1 (H) ⇒ A∗ ∈ B1 (H)
7.
A ∈ B1 (H) ⇒ kAk1 = kA∗ k1
8.
für
für
P∞
i=1 hAei ,
ei i =
P∞
i=1 hAfi ,
fi i
A ∈ B(H)
A ∈ B1 (H)
B1 (H) ⊆ B2 (H) ⊆ B(H),
Operatoren ist.
⇒
and
wobei
und
B ∈ B(H)
trA∗ = trA
B2 (H)
Notation für den Raum der Hilbert-Schmidt
Literatur
[AF01]
R. Alicki and M. Fannes. Quantum dynamical systems. Oxford University Press,
2001.
[Bel14]
Jordan Bell. Trace class operators and Hilbert-Schmidt operators. Lecture Notes
by Jordan Bell, 2014.
[Bro14] Martin Brokate. Funktionalanalysis. Lecture Notes by Martin Brokate, 2014.
[Gar15] Björn Garbrecht.
Theoretische Physik 3, Quantenmechanik. Lecture Notes by
Florian Röhrer, 2015.
[Gri13]
A. Grigorian. Funktionalanalysis by A. Grigorian. Lecture Notes, 2013.
[Wol14] M. Wolf. Quantum eects. Lecture Notes by M. Wolf, 2014.
[Wol15] M. Wolf. Functional Analysis. Lecture Notes by M. Wolf, 2015.