Seminar Quadratische Formen

Seminar Quadratische Formen
Vortrag 10 - Binäre quadratische Formen und ihre Klassenzahl
Patrick Bloÿ
30. Juni 2014
1 Binäre Quadratische Formen
Denition 1.1 Eine binäre quadratische Form über Z ist ein Ausdruck der Gestalt
f (x, y) = ax2 + bxy + cy 2
mit a, b, c ∈ Z. Da eine solche Form bereits durch die Koezienten a, b, c bestimmt ist,
schreiben wir auch f = (a, b, c).
α β
Denition 1.2 Sei A = γ δ ∈ SL2 (Z). Zwei binäre quadratische Formen f =
(a, b, c) und f 0 = (a0 , b0 , c0 ) heiÿen äquivalent, falls sie unter der folgenden Rechtsgrup-
penoperation ineinander übergehen
f A (x, y) := f ((x, y)At )
In diesem Fall gilt für die Koezienten
a0 = aα2 + bαγ + cγ 2 ,
b0 = 2aαβ + b(αδ + βγ) + 2cγδ,
c0 = aβ 2 + bβδ + cδ 2 .
Denition 1.3 Die Diskriminante einer quadratischen Form
durch
f = (a, b, c) ist gegeben
D = b2 − 4ac.
Sie ist invariant unter der obigen Transformation.
Denition 1.4 Zu jedem D ≡ 0 oder 1
f1 (x, y) =
x2

x2 + xy +
−
mod 4 ist
D 2
4y ,


1−D 2
4 y ,
falls D ≡ 0 mod 4
falls D ≡ 1 mod 4
die Grundform zu D.
Satz 1 Sei D ∈ Z und sei D kein Quadrat. Es gibt nur endlich viele Äquivalenzklassen
von quadratischen Formen mit Diskriminante D.
1
2 Die Klassenzahl
Proposition 2.1 Sei f
= (a, b, c) eine quadratische Formen, dann sind unter der obigen
Gruppenoperation invariant:
(a) ggT(a, b, c)
(b) sgn(a), falls D < 0
Proposition 2.2 Sei f (x, y) = ax2 +bxy+cy2 eine quadratische Form mit Diskriminante
D < 0. Dann ist f
(a) positiv denit, stellt also nur positive Zahlen dar, falls a > 0,
(b) negativ denit, stellt also nur negative Zahlen dar, falls a < 0.
Denition 2.3 Eine quadratische Form f
= (a, b, c) heiÿt primitiv, falls ggT(a, b, c) = 1.
Denition 2.4 Die Klassenzahl zur Diskriminante D ist deniert als
h(D) =






Anzahl der Äquivalenzklassen von primitiven
quadratischen Formen der Diskriminante D, falls D > 0,



Anzahl der Äquivalenzklassen von positiv deniten primitiven


quadratischen Formen der Diskriminante D, falls D < 0.
Denition 2.5 Die Menge
Uf := {A ∈ SL2 (Z) | f = f A }
ist die Menge der Automorphismen von f . Es gilt Uf = StabSL2 (Z) (f ).
Uf operiert auf der Lösungsmenge von f (x, y) = n und deniert so eine Äquivalenzrelation.
3 Die Darstellungszahl
Denition 3.1 Die Darstellungszahl
R(n, f ) von n durch die Form f ist die Anzahl der
unter der Operation von Uf inäquivalenten Lösungen der Gleichung f (x, y) = n oder
anders ausgedrückt: R(n, f ) ist die Anzahl der Bahnen der Lösungsmenge unter Uf .
Denition 3.2 Die Gesamtdarstellungszahl
nante D ist
R(n) von n durch Formen der Diskrimi-
h(D)
R(n) :=
X
R(n, fi ),
i=1
wobei f1 , . . . , fh(D) Repräsentanten der Äquivalenzklassen von primitiven quadratischen
Formen mit Diskriminante D sind (positiv- bzw. negativ-denit, falls D < 0 und n positiv
bzw. negativ ist).
2
Denition 3.3 Eine Gleichung der Form
t2 − Du2 = 1
mit t, u ∈ Z und D > 0 kein Quadrat, heiÿt Pellsche Gleichung. Im weiteren Sinne
werden wir auch Gleichungen der Form
t2 − Du2 = 4
als Pellsche Gleichungen bezeichnen, da jede Lösung der ersten Gleichung mit 2 multipliziert eine Lösung der zweiten Gleichung liefert.
Satz 2 Sei f (x, y) = ax2 +bxy+cy2 eine primitive quadratische Form der Diskriminante
D, wobei D kein Quadrat sei. Dann liefert die Abbildung
t−bu
−cu
2
(t, u) 7→
au t+bu
2
eine Bijektion zwischen der Lösungsmenge der Pellschen Gleichung t2 − Du2 = 4 und
der Automorphismengruppe Uf von f . Sie ist ein Gruppenisomorphismus bezüglich der
Kompositionsregel
(t1 , u1 ) ◦ (t2 , u2 ) =
t1 t2 + Du1 u2 t1 u2 + u1 t2
,
2
2
.
Für D < 0 ist Uf eine endliche zyklische Gruppe, konkret ist

Z/6Z, für D = −3,
Uf ∼
= Z/4Z, für D = −4,

Z/2Z, für D < −4.
Für D > 0 ist Uf ∼
= Z × Z/2Z.
Denition 3.4 Sei D > 0 und sei (t0 , u0 ) mit t0 , u0 > 0 die Lösung mit minimalem t0
von t2 − Du2 = 4. Die Zahl
√
t0 + u0 D
ε0 =
2
heiÿt Grundeinheit der Form f .
Denition 3.5 Eine Diskriminante
wenn
D≡1
oder
D≡0
mod 4,
D einer Form f heiÿt Fundamentaldiskriminante,
mod 4, D quadratfrei,
D
D
quadratfrei, ≡ 2 oder 3
4
4
3
mod 4.
Denition 3.6 Ein Charakter einer Gruppe G ist ein Gruppenhomomorphismus
ϕ : G → C× .
Denition 3.7 Ein Dirichletscher Charakter modulo
(Z/N Z)× .
χ auf der Gruppe
Funktion χ : Z → C× durch
N für N ∈ N ist ein Charakter
Deniere auÿerdem folgende (ebenfalls mit χ bezeichnete)
χ(n) =
χ(n
mod N ),
0,
falls ggT(n, N ) = 1,
falls ggT(n, N ) > 1.
Denition 3.8 Für eine Fundamentaldiskriminate D deniere die Funktion χD : Z → Z
durch
D
χD (p) =
, für p eine ungerade Primzahl,
p

 0, falls D ≡ 0 mod 4,
1, falls D ≡ 1 mod 8,
χD (2) =

−1, falls D ≡ 5 mod 8,
1, falls D > 0,
χD (−1) =
−1, falls D < 0.
Man kann zeigen, dass χD ein Dirichletscher Charakter modulo |D| ist. Insbesondere ist
χD multiplikativ, also gilt für n = pr11 · · · prrs
χD (n) = χD (p1 )r1 · · · χD (pr )rs .
Satz 3 Sei
D eine Fundamentaldiskriminante und n 6= 0 ∈ Z. Dann ist die Gesamtdarstellungszahl R(n), also die Gesamtanzahl der Darstellungen von n durch (primitive)
Formen der Diskriminante D gegeben durch
R(n) =
X
m|n
4
χD (m).