Theoretische Physik II: Quantenmechanik

Theoretische Physik II:
Quantenmechanik
Hans-Werner Hammer
Marcel Schmidt ([email protected])
Wintersemester 2016/17
11. Übung
19./20. Januar 2017
Aufgabe 1 Clebsch-Gordan-Koeffizienten
Wir betrachten ein System, das von den zwei Drehimpulsen ~j1 und ~j2 abhängig sei. Dabei sei zunächst
offen, ob es sich um Spins ( j1 bzw. j2 halbzahlig) oder Bahndrehimpulse ( j1 bzw. j2 ganzzahlig) handelt.
Die Eigenzustände von ~ˆj12 , ĵ1,z bzw. ~ˆj22 , ĵ2,z seien gegeben durch j1 , m1 ∈ H1 bzw. j2 , m2 ∈ H2 . Das
Gesamtsystem wird dann beschrieben durch den Hilbertraum H = H1 ⊗ H2 mit der Tensorbasis
¦
©
j , m ; j , m ≡ j , m ⊗ j , m ∈ H .
1
1 2
2
1
1
2
2
Operatoren Oˆ1 aus H1 bzw. Oˆ2 aus H2 können ebenso auf Zustände in H angewendet werden. Dafür
setzt man
Oˆ1 ≡ Oˆ1 ⊗ 1̂ bzw. Oˆ2 ≡ 1̂ ⊗ Oˆ2 .
a) Wie wirken die Operatoren ~ˆj12 , ĵ1,z und ~ˆj22 , ĵ2,z auf Elemente der Tensorbasis ? Berechnen Sie

und ĵ1,z · ĵ2,z j1 , m1 ; j2 , m2 .
ĵ1,z + ĵ2,z j1 , m1 ; j2 , m2
b) Die Tensorbasis besteht aus Eigenzuständen von
~ˆj 2 ,
1
ĵ1,z ,
~ˆj 2
2
und
ĵ2,z .
Oft hängen physikalische Größen jedoch einzig vom Gesamtdrehimpuls ~j ≡ ~j1 + ~j2 ab. In diesem
Fall wählt man für H statt der Tensorbasis eher die gekoppelte Basis
(
)
X
jm
( j j ) j m ≡
C j1 m1 , j2 m2 j1 , m1 ; j2 , m2
1 2
m1 , m2
mit j ∈ {| j1 − j2 |, | j1 − j2 | + 1, ..., j1 + j2 }, m ∈ {− j, − j + 1, ..., j} aus den Eigenzuständen von
~ˆj 2 = (~ˆj1 + ~ˆj2 )2 ,
ĵz = ĵ1,z + ĵ2,z ,
~ˆj 2
1
und ~ˆj22 .
Die Entwicklungskoeffizienten
¶
¬
jm
C j1 m1 , j2 m2 ≡ C j1 , j2 , j; m1 , m2 , m ≡ j1 , m1 ; j2 , m2 ( j1 j2 ) j m
heißen Clebsch-Gordan-Koeffizienten und können reell gewählt werden.
Wie wirken die Operatoren ~ˆj 2 , ĵ und ~ˆj 2 , ~ˆj 2 auf Elemente der gekoppelten Basis? Berechnen Sie
z
1
2
~ˆj1 · ~ˆj2 ( j1 j2 ) j m .
1
c) Zeigen Sie durch Berechnung des Matrixelements
¬
¶
j1 , m1 ; j2 , m2 ĵz ( j1 j2 ) j m ,
jm
dass nur dann C j1 m1 , j2 m2 6= 0 gilt, wenn m1 + m2 = m .
d) Seien nun ĵ± ≡ ĵ1,± + ĵ2,± die Leiteroperatoren der gekoppelten Basis. Zeigen Sie durch Anwendung
von ĵ± auf ein Element der gekoppelten Basis die Rekursionsbeziehungen
p
j (m±1)
j( j + 1) − m(m ± 1) C j1 m1 , j2 m2
p
jm
= j1 ( j1 + 1) − m1 (m1 ∓ 1) C j (m ∓1), j m
1
1
2 2
p
jm
+ j2 ( j2 + 1) − m2 (m2 ∓ 1) C j m , j (m ∓1) .
1 1 2
2
e) Zeigen Sie, dass aus der Normiertheit der Zustände j1 , m1 ; j2 , m2 und ( j1 j2 ) j m die Beziehung
2
X jm
C j1 m1 , j2 m2 = 1
m1 , m2
folgt.
f) Wir betrachten von nun an den Fall j1 = 1, j2 = 1/2 und j = 1/2 . Welche Werte können m1 , m2 im
Fall m = +1/2 annehmen? Benutzen Sie die mit ĵ+ hergeleitete Relation aus Teilaufgabe d), um
1/2 1/2
die Clebsch-Gordan-Koeffizienten C1 m , 1/2 m zu bestimmen. Wählen Sie hierfür m = j = 1/2 . Wie
1
2
müssen m1 und m2 gewählt werden?
HINWEIS: Es gelte die Vorzeichenkonvention
jj
Cj
1 j1 , j2 ( j− j1 )
> 0.
g) Welche Werte können m1 , m2 im Fall m = −1/2 annehmen? Benutzen Sie die mit ĵ− hergelei1/2 (−1/2)
tete Relation aus Teilaufgabe d), um die Clebsch-Gordan-Koeffizienten C1 m , 1/2 m zu bestimmen.
1
2
Wählen Sie hierfür m = −1/2 . Wie müssen m1 und m2 gewählt werden?
HINWEIS: Es gelte die Vorzeichenkonvention
j (−m)
1 (−m1 ), j2 (−m2 )
jm
C j1 m1 , j2 m2 = (−1) j− j1 − j2 C j
Aufgabe 2 Baker-Campbell-Hausdorff-Formel
Seien Â und B̂ lineare Operatoren und x ∈ R .
a) Zeigen Sie, dass
d
dx
e x Â = Â e x Â = e x Â Â.
b) Es gelte nun Â, [Â, B̂] = 0 = B̂, [Â, B̂] . Zeigen Sie die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel
eÂ+B̂ = eÂ e B̂ e− 2 [Â, B̂] .
1
HINWEIS: Zeigen Sie, dass die Funktion f (x) ≡ exp (x Â) exp (x B̂) die Differentialgleichung
f 0 (x) = Â + B̂ + Â, B̂ x f (x), f (0) = 1
erfüllt. Lösen Sie diese und leiten Sie daraus die gesuchte Beziehung her.
c) Zeigen Sie mithilfe der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel, dass
eÂ e B̂ = e B̂ eÂ e[Â, B̂] .
2