Betrachte nun die Gleichung Hψ (x) = Eψ (x) Dies ist eine

Betrachte nun die Gleichung
Hψ (x) = E ψ (x)
Dies ist eine Eingenwertgleichung.
Allgemein: ψ ist eine Eigenfunktion zum Operator A mit Eigenwert a, wenn
Aψ = aψ
gilt.
Wir betrachten nun hermitische Operatoren.
Eigenwerte hermitescher Operatoren sind reell, denn
(ψ, ∆ψ) = (ψ, aψ) = a(ψ, ψ)
komplex konjugierte Gleichung
(Aψ, ψ) = (aψ, ψ) = a∗ (ψ, ψ)
A hermitesch ⇒ (ψ, Aψ) = (Aψ, ψ) ⇒ a = a∗
Messgrößen (Observable) müssen hermitesche Operatoren zugeordnet werden, damit
Mittelwerte (Messgrößen) reell sind. H, p, x sind hermitesch.
Eigenfunktionen hermitescher Operatoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal,
denn betrachte:
Aψm = am ψm , Aψn = an ψn
⇒ an (ψm , ψn ) = (ψm , Aψn ) = (Aψm , ψn ) = an (ψm , ψn )
⇒ (an − am )(ψm , ψn ) = 0
an #= am ⇒ (ψm , ψn ) = 0
Wenn zu einem Eigenwert mehrere Eigenfunktionen gehören, kann man z.B. Schmidtsches
Orthonormalisierungsverfahren benutzen: ψ1 , ψ2 , ... linear unabhängige Eigenfkt.
C1 φ1 = ψ1
C2 φ2 = ψ2 − φ1 (φ1 , ψ2 )
C3 φ3 = ψ3 − φ1 (φ1 , ψ3 ) − φ2 (φ2 , ψ3 )
..
.
1
2
C1 = (ψ1 , ψ1 )
!
" 12
2
C2 = (ψ2 , ψ2 ) − |(φ1 , ψ2 )|
..
.
Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators können immer so gewählt werden,
dass die Orthogonalitätsrelation
(ψm , ψn ) = δm,n
erfüllt ist. Darüberhinaus erfüllen die Eigenfunktionen der von uns betrachteten
Operatoren die Vollständigkeitsrelation
!
n
ψn∗ (x " )ψn (x) = δ(x − x " )
ψn bilden vollständiges Orthonormalsystem.
⇒ Darstellung eines allgemeinen Zustandes ψ
"
!"
ψ(x) =
dx " δ(x − x " )ψ(x " ) =
dx " ψn∗ (x " )ψn (x)ψ(x " )
=
!
(ψn , ψ)ψn (x) =
n
Normierung ⇒
!
n
2
|cn | = 1.
!
n
n
cn ψn (x), cn = (ψn , ψ)
Entwicklung nach stationären Zuständen
Orthogonalität und Vollständigkeit gilt insbesondere für Eigenfunktionen des HamiltonOperators.
− iEt
Hψn = En ψn , ψn ("x , t) = e ! ψn ("x )
allgemeine Zeitentwicklung
ψ(x, t)
=
!
cn e
− iE!n t
ψn (x), cn = (ψn , ψ(x, t = 0))
n
∂
⇒ i! ψ(x, t)
∂t
=
!
n
= H
− iE!n t
ψn (x)
− iE!n t
ψn (x) = Hψ(x, t) !
En c n e
!
n
cn e
Physikalische Bedeutung der Eigenwerte eines Operators
Operator A, vollständiges Orthonormalsystem von Eigenfunktionen Ψn mit Eigenwerten am und eine Wellenfunktion
!
ψ(x) =
cm ψm (x)
m
Welche Bedeutung haben an und cn ?
Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundbegriffe
X sei Zufallsvariable, die Werte x annimmt und w (x)dx die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass X einen Wert im Iintervall [x, x + dx] annimmt.
" ∞
mn =
x n w (x)dx = !X n "
n-tes Moment bzgl. w (x)
−∞
" ∞
χ(τ ) =
e −ixτ w (x)dx
charakteristische Funktion
−∞
χ(τ ) ist Fouriertransformierte von w (x). Inverse Fouriertransformation:
" ∞
dτ ixτ
w (x) =
e χ(τ )
2π
−∞
Entwicklung der Exponentialfkt.
χ(τ ) =
! (−i)n
n
Kenntnis der Momente ⇒ w (x).
allgemein: #F (x)$ =
#
Beispiel: χ(τ ) = e
"
∞
−∞
−iX τ
$
F (x)w (x)dx
n!
τ n mn
Operatoren mit diskreten Eigenwerten
i) Das System sei im Eigenzustand ψm :
n
=⇒
⇒
n
n
!A " = (ψm , A ψm ) = (am )
! (−i)n τ n (am )n
−iτ am
χ(τ ) =
=e
n!
n
"
dτ iaτ −iτ am
w (a) =
e e
= δ(a − am )
2π
=⇒ messe mit Sicherheit den Wert am .
!
ii) System im Zustand ψ =
n
!A "
=
=
m cm ψm .
n
(ψ, A ψ) =
##
##
⇒
⇒
⇒
!A "
χ(τ )
=
#
m
=
=
#
cm ! ψm !
m!
∗
cm
cm! (Ψm , An ψm! )
∗
cm
cm! (am! )n δm,m!
|cm |2 (am )n
n!
n
w (a)
cm ψm , A
m
# (−i)n τ n #
%
n
$
m!
m
n
"
#
m!
m
=
Dann:
∞
−∞
m
2
n
|cm | (am ) =
#
m
|cm |2 e −iτ am
#
dτ iaτ #
2 −iτ am
e
|cm | e
=
|cm |2 δ(a − am )
2π
m
m
⇒ man misst einen der Eigenwerte am .
Wahrscheinlichkeit am zu messen ist |cm |2 .
Nach der Messung mit Ergebnis am ist das System im Zustand ψm . Reduktion
der Wellenfunktion: Messung verändert Zustand!. Wenn die Wellenfunktion
nach der Messung genau bekannt ist, nennt man dies ideale Messung. Das
System ist dann im Eigenzustand der gemessenen Größe.
Operatoren mit kontinuierlichen Spektren
! ∂
Beispiel: Impulsoperator p =
i ∂x
! ∂
Eigenwertgln.:
ψp (x) = p ψp (x)
i ∂x
Orthogonalität:
Vollständigkeit:
!
!
=⇒ ψp (x) = (2π!)−1/2 e ipx/!
dx ψp∗ (x)ψp! (x) = δ(p − p # )
dp ψp∗ (x # )ψp (x) = δ(x − x # )
Entwicklung nach Impulseigenfunktionen
!
#
#
φ(p
)
exp(ip
x/!)
#
√
ψ(x) = dp √
2π!
2π!
Vergleich mit diskretem Spektrum =⇒
− 21
cm → (2π!)
φ(p # ) ,
"
m
→
!
dp
Diese Übersetzung einsetzen in w (a)
w (p) =
!
=⇒
"
"2
!
"
"
|φ(p)|2
! " φ(p ) "
!
dp " √
δ(p − p ) =
"
2π!
2π!
w (p) nicht nur plausibel, sondern Folge des Impulsoperators.
Beispiel:
Ortseigenfunktionen ψξ = δ(x − ξ) erfüllen Eigenwertgln. des Ortsoperators:
xψξ (x) = ξψξ (x) ,
EW ξ ,
kontinuierliches Spektrum
Orthogonalität: (ψξ , ψξ! ) = δ(ξ − ξ ! )
!
Vollständigkeit:
dξ ψξ (x)ψξ (x ! ) = δ(x − x ! )
Es folgt:
ψ(x) =
!
dξ ψ(ξ)ψξ (x)
= Entwicklungskoeffizient in der Entwicklung nach Orsteigenfkten.
=⇒ |ψ(ξ)|2 Wahrscheinlichkeitsdichte für den Ort ξ .
Anmerkung: ψ(x) Wellenfunktion in der Ortsdarstellung
φ(p) Wellenfunktion in der Impulsdarstellung (Fouriertransformierte)
In der Regel: gemischtes Spektrum
ψ(x) =
!
cn ψn (x) +
n
"
da c(a)ψa (x) =:
"
!
Wahrscheinlichkeitsdichte:
w (a) =
!
n
|cn |2 δ(a − an ) + |c(a)|2
cn φn
Axiome der Quantenmechanik
i) Der Zustand wird durch die Wellenfkt. ψ(x) beschrieben
ii) Observablen (phys. Meßgrößen) entsprechen hermitesche Operatoren A
iii) Mittelwert der Observablen mit zugehörigem Operator A ist im Zustand ψ
durch !A" = (ψ, Aψ) gegeben.
iv) Zeitentwicklung der Zustände
∂
h2
i! ψ = Hψ , H = −
∇ + V (x)
∂t
2m
v) Wenn bei Messung von A der Wert an gefunden wird, geht die Wellenfkt. in
den entsprechenden Zustand über.