Quantenmechanik -¨Ubungsblatt 3

Institut für Theoretische Physik
Universität Leipzig
Prof. Dr. B. Rosenow
Dr. D. Scherer
Quantenmechanik - Übungsblatt 3
Wintersemester 2012/13
Abgabe:
Die Aufgaben sollen am Montag 29.10. vor der Vorlesung schriftlich eingereicht
werden.
Internet: Die Übungsblätter sind online verfügbar unter
http://www.uni-leipzig.de/∼stp/Quantum Mechanics.html.
Motivation:
Während in der ersten Aufgabe das Verständnis von Wahrscheinlichkeitsdichte und -strom vertieft werden soll, sind die anderen Aufgaben dem Rechnen mit Operatoren gewidmet. Außer
dem Beweis zweier Eigenschaften von adjungierten Operatoren geht es um Kommutatorrelationen, deren Berechnung geübt werden soll. Der geschickte Umgang mit Kommutatoren ist eine
wichtige Vorraussetzung für die Lösung vieler Probleme in der Quantenmechanik.
10. Stationäre Zustände
2 Punkte
Stationäre Lösungen der Schrödingergleichung haben die Form (wobei wir der Einfachheit halber
den 1-dimensionalen Fall betrachten)
ψ(x, t) = φ(x) · χ(t) .
Zeigen Sie, daß für solche Lösungen sowohl die Wahrscheinlichkeitsdichte als auch die Wahrscheinlichkeitsstromdichte zeitlich konstant sind!
11. Adjungierte Operatoren
1+1 Punkte
† heißt zu  adjungierter Operator, wenn († φ, ψ) = (φ, Âψ) für alle Wellenfunktionen ψ ∈
D(Â) und φ ∈ D(† ), mit D(Â) und D(† ) den Definitionsbereichen der Operatoren  und † .
Zeigen Sie:
(a) (cÂ)† = c∗ † für alle Operatoren  und Zahlen c ∈ C.
(b) (ÂB̂)† = B̂ † † für alle Operatoren Â, B̂.
12. Kommutatoren
1+1+1+1 Punkte
Da Operatoren im allgemeinen nicht vertauscht werden können, ist es nützlich, für Operatoren
Â, B̂ den Kommutator [Â, B̂] := ÂB̂ − B̂ Â zu definieren. Häufig taucht auch der sogenannte
Antikommutator auf, definiert durch {Â, B̂} := ÂB̂ + B̂ Â.
Seien Â, B̂ und Ĉ beliebige Operatoren, x̂ und p̂ Orts- und Impulsoperator. Zeigen Sie in der
angegebenen Reihenfolge:
1
(a) [ÂB̂, Ĉ] = Â[B̂, Ĉ] + [Â, Ĉ]B̂.
(b) Sind  und B̂ selbstadjungiert, so sind auch die Operatoren i[Â, B̂] sowie {Â, B̂} selbstadjungiert. (Achtung, ÂB̂ ist im allgemeinen nicht selbstadjungiert.)
(c) Für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1 gilt [Â, B̂ n ] = n[Â, B̂]B̂ n−1 , falls [B̂, [Â, B̂]] = 0.
(d) [p̂, f (x̂)] = −i~f 0 (x̂).
Nehmen Sie dabei an, daß die Funktion f (x) als Potenzreihe f (x) =
darstellbar ist, und nutzen sie die Kommutatorrelation [x̂, p̂] = i~.
13. Unabhängigkeit von der Darstellung
P∞
1 (n)
(0)xn
n=0 n! f
2 Punkte
Berechnen Sie explizit den Kommutator [x̂i , p̂j ] in Orts- und Impulsdarstellung! Dabei bezeichnen x̂i bzw. p̂j die Komponenten der vektorwertigen Operatoren r̂ und p̂.
14. Drehimpulsoperator
4 Punkte
Der Drehimpulsoperator ist definiert durch L̂ = r̂ × p̂ mit dem Orts- und Impulsoperator
r̂ und p̂. Zeigen Sie, daß für seine Komponenten [L̂i , L̂j ] = i~ijk L̂k gilt, wobei der total
antisymmetrische Tensor ist. Hinweis: kij kmn = δim δjn − δin δjm .
2