Serie 9

Quantenmechanik II – SS 07 – Prof. M. Gaberdiel
Serie 9
Rückgabe 05.06.2007
Frage 1 [Bogoliubov-Theorie des schwach gekoppelten Bose-Gases, Teil I ]:
Betrachte den Hamilton-Operator für ein System von N Bosonen mit Wechselwirkung in
der Impuls-Darstellung
X k2 †
1 X
Vq a†k+q a†p−q ap ak ,
(1)
ak ak +
H=
2m
2V
k,p,q
k
wobeiRVq die Fourier-Transformierte der Zweiteilchen-Wechselwirkung ist,
Vq = d3 xe−iqx V (x). Bei tiefen Temperaturen erwarten wir Bose-Einstein-Kondensation,
das heisst, die meisten Teilchen befinden sich im Grundzustand |0i, und es gilt
N0 ≡ h0|a†0 a0 |0i . N,
N − N0 ≪ N0 .
(2)
Entsprechend führen wir nun folgende Näherungen ein:
• Die Wechselwirkung der angeregten Teilchen untereinander wird vernachlässigt.
• Das Herausnehmen oder Hinzufügen eines √
Teilchens zum Kondensat lässt den Zustand des Systems unverändert: a0 = a†0 = N0 .
(i) Zeige, dass der Hamiltonoperator mit diesen Näherungen approximiert werden kann
durch
X′ k 2 †
N2
N X′
N X′ † †
e=
Vk a†k ak +
Vk ak a−k + ak a−k , (3)
ak ak +
V0 +
H
2m
V k
2V
2V k
k
P
wobei k ′ den Wert k = 0 ausschliesst.
(ii) Wir transformieren die Operatoren ak wie folgt (Bogoliubov-Transformation):
†
ak = uk αk + vk α−k
a†k = uk αk† + vk α−k .
(4)
Wir verlangen, dass u2k − vk2 = 1. Zeige, dass diese Bedingung dazu führt, dass die
Operatoren αk die gleichen Kommutationsrelationen erfüllen wie ak . Bestimme die
Umkehrung dieser Transformation. Die neuen Operatoren αk heissen Quasiteilchenoperatoren.
e mit Hilfe des Ansatzes (4). Man erhält
(iii) Diagonalisiere H
2
k
+ nVk
ωk + 2m
u2k =
2ωk
2
k
+ nVk
−ωk + 2m
.
vk2 =
2ωk
Bestimme ωk .
(5)
Frage 2 [Bogoliubov-Theorie des schwach gekoppelten Bose-Gases, Teil II ]:
Der thermodynamische Mittelwert eines Operators O ist gegeben durch
Tr Oe−βH
1
,
Z = Tr e−βH ,
β=
.
Z
kB T
(6)
Es soll die Temperaturabhängigkeit der Teilchendichte des Kondensates N0 (T ) für eine
Kontaktwechselwirkung Vq = λ bestimmt werden.
b T des Teilchenzahloper(i) Zeige zunächst,
der thermodynamische Mittelwert hNi
P dass
†
ators N̂ = k ak ak , ausgedrückt durch die Quasiteilchenoperatoren αk , folgende
Form annimmt:
Z ∞
3 2
2
1
(2x
+
1)
x
(mnλ)
b T = N0 (T ) + 2V
√
+
dx √
hNi
. (7)
π2
6
x2 + 1 e2nβλx x2 +1 − 1
0
Hinweis:
X
k
3
vk2
(mnλ) 2
=V
.
3π 2
(8)
(ii) Zeige, dass im Limes tiefer Temperaturen gilt
N0 (0)
N0 (T )
=
− c(kB T )2 .
V
V
Bestimme die Konstante c.
(9)