Friedrich-Schiller-Universit t Jena Mathematisches Institut ALGEBRA

Friedrich-Schiller-Universität Jena
Mathematisches Institut
ALGEBRA/GEOMETRIE
1
für Lehrer
Prof. E. Hertel
1
Skript zur Vorlesung im 2. Semester der Lehrerausbildung für Gymnasien
INHALTSVERZEICHNIS
1
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen (Wiederholung)
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abbildungen, Relationen, Operationen
Algebraische Strukturen . . . . . . . .
Unendlichkeit . . . . . . . . . . . . . .
Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. 3
. 5
. 8
. 10
. 12
Natürliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . .
Ganze Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elementare Zahlentheorie (Teilbarkeitslehre) .
Rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . .
Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Lineare Abbildungen (Wiederholung) . . . . . . . . . . . .
Ane Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ähnlichkeitsabbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anwendung (Klassikation der Kurven zweiter Ordnung) .
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2 Zahlen
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3 Vektoren
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Geometrische Einführung . . .
Lineare Räume (Wiederholung)
Ane Räume . . . . . . . . . .
Euklidische Räume . . . . . . .
Polyeder . . . . . . . . . . . . .
4 Abbildungen
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Index
3
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14
14
16
17
20
21
23
23
24
26
30
35
40
40
41
44
46
49
55
2
INHALTSVERZEICHNIS
3
1 Grundlagen (Wiederholung)
1.1 Mengen
Mengenlehre - Logik als Fundament der Mathematik.
Zur Symbolik:
Aussage: Der Baum ist grün ! Aussageform: x ist grün ! H (x).
Menge - Eigenschaft:
Menge G aller grünen Dinge - x ist grün - ist ! " ! " ! .
x 2 G () H (x)
x 2 A \ B () HA (x) ^ HB (x)
x 2 A [ B () HA (x) _ HB (x)
M = fM : 2 I g
x2
\
[
x2
! H = fH : 2 I g
M ()
M ()
^
2I
_
2I
H(x)
H (x)
Alphabet:
Aussagenlogische Funktoren: : (nicht), ^ (und), _ (oder), ) (wenn...dann),
, (genau dann, wenn)
Prädikatenlogische Funktoren: V (für alle), W (es gibt (mindestens)
ein)
Elementfunktion: 2
Mengenvariable: M
Technische Zeichen: j ( )
Beispiel: Durch je zwei verschiedene Punkte geht mindestens eine Gerade:
^
M j
^
^
M jj Mj 2 M j ^ M jj 2 M j ^ : M jj M j 2 M jj ,
, M jj 2 M jj )
_
M jjj M jjj 2 M jj ^ M j 2 M jjj ^ M jj 2 M jjj
:
4
1 GRUNDLAGEN (WIEDERHOLUNG)
Axiomatik:
Menge als Grundbegri
Mengenbildung: Ist H (x) ein Ausdruck, in dem die Individuenvariable x
vollfrei undWdieV Mengenvariable
M nicht
vorkommt, so gilt
(MBA)
x 2 M () H (x) .
M x
Umfangsgleichheit: A = B :,
V x 2 A , x 2 B:
x
V
Eigenschaftsgleichheit: A B :,
M
A2M,B 2M .
Extensionalität:
(EXT) V A = B =) A B :
A;B
Lemma. V A = B () A B :
A;B
Einige Grundbeziehungen der Mengenlehre:
Für beliebige Mengen A; B (gleicher Stufe) wird mittels (MBA) eine neue
Menge C deniert:
_ ^
C
!!
x
x 2 C () (x 2 A ^ x 2 B ) :
Diese Menge heiÿt Durchschnitt von A und B : C =: A \ B: Analog:
A [ B := fx : x 2 A _ x 2 Bg (V ereinigung);
V
A B :, (x 2 A ) x 2 B) (Inklusion);
x
A B :, A B ^ A 6= B;
AnB := fx : x 2 A ^ x 62 Bg (Dierenz),
2M := fX : X M g (Potenzmenge);
; := fx : x 6= xg (leere Menge);
n
o
(a; b) := fa; bg; fbg (geordnetes Paar);1
A B := f(a; b) : a 2 A ^ b 2 Bg (kartesisches Produkt);
M (n = 1)
n
M := M M n 1 (n > 1) :
1
oder Paarbildungsprinzip:
(PBP) Gilt a 2 A; b 2 B für beliebige Mengen A; B , so kann das geordnete Paar (a; b)
als neues Objekt gebildet werden mit: (a ; b ) = (a ; b ) , a = a ^ b = b
1
1
2
2
1
2
1
2
1.2 Abbildungen, Relationen, Operationen
5
1.2 Abbildungen, Relationen, Operationen
Denition 1. Für beliebige Mengen A; B heiÿt K Korrespondenz (allgemeine Abbildung, Relation)
aus A in B :, K A B,
W
DK := fa 2 A :
(a; b) 2 K g (Definitionsbereich);
WK := fb 2 B :
b2B
W (a; b) 2 K g (Wertebereich);
a2A
K := f(b; a) : (a; b) 2 K g (Umkehrkorrespondenz);
V
V
K eindeutig (Abbildung) :,
(a; b) 2 K ^ (a; c) 2 K ) b = c ;
1
a2A b;c2B
K eindeutig umkehrbar :, K 1 ist eindeutig,
K Korrespondenz von A in B :, DK = A;
K Korrespondenz aus A auf B :, WK = B;
F : A ! B :, F ist Abbildung von A in B ,
F injektiv :, F eindeutig umkehrbare Abbildung von A in B ,
F surjektiv :, F Abbildung von A auf B ,
F bijektiv (Bijektion) :, F injektiv und surjektiv,
K1 Teilkorrespondenz (Teilabbildung) von K2 :, K1 K2;
W (x; b) 2 K g;
K(X) (volles) K-Bild von X A :, K (X ) = fb 2 B :
x2X
K 1 (Y ) (volles) K-Urbild von Y B
W (a; y) 2 K g;
:, K 1 (Y ) = fa 2 A :
y2Y
K2 Fortsetzung von K1 auf A2 (K1 Einschränkung von K2 auf A1)
K1 = K2 jA1 :, Ki Ai B (i = 1; 2) ^ A1 A2 A ^ K1 =
K2 \ (A1 B );
K (a) = b :, (a; b) 2 K (funktionale Schreibweise für Abbildungen),
A = idA := f(a; a) : a 2 Ag identische Abbildung von A (auf A).
Hilfssatz 1. Für beliebige Korrespondenzen Ki A B (i = 1; 2) gilt:
(1) A A A =) K (A ) K (A ), V K (X ) = K (X ) ;
(2) K = K ()
1
1
2
2
1
X A
1
1
(3) (K1 1 ) 1 = K1 ;
(4) K1 K2 () K1 1 K2 1 :
1
2
2
6
1 GRUNDLAGEN (WIEDERHOLUNG)
Satz 1. Sei K A B, dann gilt für alle Systeme von Teilmengen
A A und B B ( 2 I ):
S
S
(1) K ( A ) =
2I
T
2I
T
K (A );
(2) K ( A ) K (A ); 2
S
S
(3) K 1 ( B ) = K 1 (B );
T
T
(4) K 1 ( B ) K 1 (B ); 3
(5) K eindeutig umkehrbar ^ WK = B ()
V K (AnX ) = BnK (X ):
X A
Denition 2. Für F A B und G B C heiÿt die Korrespondenz
K A C mit
_
(a; c) 2 K ()
(a; b) 2 F ^ (b; c) 2 G
b2B
Produkt oder Hintereinanderausführung K = G F der Korrespondenzen F
und G.
Hilfssatz 2. Für die Korrespondenzen Fi Ai Ai (i = 1; 2; 3) gilt:
(a) F F DF WF ,
(b) (F F ) F = F (F F ),
(c) idA F = F idA = F ,
(d) (F F ) = F F .
+1
2
1
3
2
2
1
2
1
1
2
1
1
3
1
1
1
2
1
2
1
1
1
Satz 2. Die Menge SA aller Bijektionen von einer Menge A auf sich
(die dann auch Transformationen oder Permutationen von A heiÿen) bildet
bezüglich der Hintereinanderausführung eine Gruppe (SA ; ) - die (volle)
Transformations- bzw. Permutationsgruppe4 von A mit dem neutralen Element idA .
Denition 3. Sei M eine beliebige Menge und n eine natürliche Zahl.
a) R heiÿt n-stellige Relation auf M :, R M n
(R binär :, n = 2; xRy :, (x; y ) 2 R):
b) P heiÿt n-stellige Operation auf M :, P : M n ! M
(P binär :, n = 2; z = xPy :, P (x; y ) = z ):
c) Eine binäre Relation R auf M heiÿt
reflexiv :, idM R,
irreflexiv :, idM \ R = ;,
symmetrisch :, R R 1,
Gleichheit für alle Systeme A genau dann, wenn K eindeutig umkehrbar.
Gleichheit für alle Systeme B genau dann, wenn K eindeutig.
4
für n-elementige endliche Mengen auch symmetrische Gruppe Sn
2
3
1.2 Abbildungen, Relationen, Operationen
7
antisymmetrisch :, R \ R 1 idM ,
asymmetrisch :, R \ R 1 = ;,
transitiv :, R R R,
linear :, R [ R 1 = M M ,
konnex :, R [ R 1 [ idM = M M .
d) Eine binäre Operation auf M heiÿt
V a (b c) = (a b) c,
a;b;c2M
kommutativ :, V a b = b a ,
a;b2M
idempotent :, V a a = a .
assoziativ :,
a2M
e) Eine binäre Operation 1 auf M heiÿt bezüglich der binären Operation 2
auf M
linksseitig distributiv :, V a 1 (b 2 c) = (a 1 b) 2 (a 1 c) ,
a;b;c2M
V (a b) c = (a c) (b c),
rechtsseitig distributiv :,
a;b;c2M
2
1
1
2
1
beidseitig distributiv :, ist links- und rechtsdistributiv bezüglich .
f) Das Element nl 2 M heiÿt linksneutral
bezüglich der binären Operation
V
auf M :,
nl a = a ,
a2M
V a n = a,
nr 2 M heiÿt rechtsneutral :,
r
a2M
n 2 M heiÿt (universelles) neutrales Element :, n ist links- und
1
2
rechtsneutral.
g) R heiÿt Äquivalenzrelation auf der Menge M :, R ist reexive, symmetrische und transitive binäre Relation auf M .
h) Z heiÿt Klasseneinteilung (Zerlegung) von M :,
(0) Z 2M ;
V (1) Z ist disjunkt
X 6= Y ) X \ Y = ; ;
X;Y 2Z
(2) ; 62 Z,
S
(3) M Z.
8
1 GRUNDLAGEN (WIEDERHOLUNG)
Hilfssatz 3. Jede n-stellige Operation auf einer Menge M ist eine (n+1)-
stellige Relation auf M (die in der letzten Stelle eindeutig ist).
Satz 3. (Hauptsatz über Äquivalenzrelationen) Die Begrie Äquivalenzrelation und Klasseneinteilung einer Menge sind kryptomorph (kanonisch
äquivalent).
1.3 Algebraische Strukturen
Denition 1. a) A = (M; O; R) heiÿt algebraische Struktur (allgemeine Algebra)
,
:
(1) M 6= ; Menge.
(2) O = fPi : i 2 I g (wohl-) geordnetes System ni -stelliger Operationen
Pi : M ni ! M auf M (ni 2 N ; i 2 I ).
(3) R = fRj : j 2 J g (wohl-) geordnetes System mj -stelliger Relationen
Rj M mj auf M (mj 2 N ; j 2 J ).5
(4) I 6= ; _ J 6= ;:
b) R heiÿt Kongruenzrelation auf der Algebra A = (M; O; R) :,
(1) R Äquivalenzrelation auf M.
(2) Für jede Operation Pi 2 O gilt
^
x ;x0 2M
=1;:::;n
i
x ; x0 ) 2 R ( = 1; :::; ni)
(
)
=
Pi(x1; :::; xni); Pi(x01 ; :::; x0ni) 2 R :
(3) Für jede Relation Rj 2 R gilt
^
x ;x0 2M
=1;:::;m
j
x ; x 2 R ( = 1; :::; mj) ) (x1; :::; xmj ) 2 Rj ) x ; :::; xmj ) 2 Rj :
0)
(
0
( 1
0
c) A0 = (M 0; O0 ; R0) heiÿt Teil- oder Unteralgebra der Algebra A = (M; O; R) :,
(1) M 0 M.
(2) O0 = fPi \ (M 0 )ni +1 : i 2 I g:
(3) R0 = fRj \ (M 0)mj : j 2 J g:
d) ' heiÿt Homomorphismus von A = (M; O; R) in A0 = (M 0 ; O0; R0) :,
(1) A und A0 sind vom gleichen Typ.
(2) ' : M ! M 0: V
V
0
(3)
' Pi(x1 ; :::; xni ) = Pi '(x1); :::; '(xni ) :
i2I x1 ;:::;xni 2M V
V
0
(4)
(x1 ; :::; xmj ) 2 Rj , '(x1 ); :::; '(xmj ) 2 Rj :
j 2J x1 ;:::;xmj 2M
e) Ein Homomorphismus ' heiÿt genauer
Monomorphismus :, ' injektiv,
5
Es können auch unendlichstellige Operationen und Relationen zugelassen werden;
fn : i 2 I g; fm : j 2 J g) heiÿt Typ (Signatur) von A.
(
i
j
1.3 Algebraische Strukturen
9
Epimorphismus :, ' surjektiv,
Isomorphismus :, ' ist Mono- und Epimorphismus,
Endomorphismus :, A = A0 ,
Automorphismus :, ' ist Iso- und Endomorphismus.
f) Zwei Walgebraische Strukturen A und A0 heiÿen isomorph
,
:
'
' Isomorphismus von A auf A0 ).
(
Hilfssatz 1. (Faktoralgebra ) Ist R eine Kongruenzrelation auf der allgemeinen
Algebra A = (M; O; R), so bildet das System M = M=R aller Restklassen
x := fy 2 M : (y; x) 2 Rg bezüglich der den Operationen Pi 2 O vermöge
Pi(x1 ; :::; xni ) := Pi(x1 ; :::; xni)
zugeordneten Operationen P i 2 O und bezüglich der den Relationen Rj 2 R vermöge (x1 ; :::; xmj ) 2 Rj :, (x1; :::; xmj ) 2 Rj zugeordneten Relationen Rj 2 R
eine allgemeine Algebra A := (M; O; R), die Faktoralgebra A = A=R von A nach R.
Satz 1. (Allgemeiner Homomorphiesatz) Ist R eine Kongruenzrelation auf der
allgemeinen Algebra A, so ist die kanonische Abbildung mit (x) := x ein Epimorphismus von A auf die Faktoralgebra A=R (Homomorphiesatz).
Ist umgekehrt f ein Epimorphismus von A auf eine Algebra A0, so ist R mit
x; y) 2 R :, f (x) = f (y)
(
eine Kongruenzrelation in A, und die Faktorstruktur A=R ist isomorph zu A0 (Isomorphiesatz).
Denition 2. a) (G; ) heiÿt Halbgruppe :,
(H0) G =
6 ; Menge, binäre Operation auf G.
(H1) ist assoziativ.
b) (G; ) heiÿt Gruppe :,
(G1) (W
G; )VHalbgruppe,
(G2)
(e x = x) (e linksneutral)
e2VG x2WG
(G3)
(x0 x = e) ( x0 linksinvers zu x ).
0
x2G x 2G
c) Eine Gruppe heiÿt kommutativ (abelsch)6 :, (G4) kommutativ.
d) Eine Untergruppe U der
Gruppe1 G heiÿt
invariant oder Normalteiler
V
V
(U / G) :,
g ug 2 U :
g2G u2U
Hilfssatz 2. Die Axiome (G2) und (G3) sind äquivalent zu
^ _ a;b2G
6
x2G
y 2G
!! a x = b ^ y a = b :
Niels Henrik Abel, 1802-1829
10
1 GRUNDLAGEN (WIEDERHOLUNG)
Satz 2. (Satz von Cayley)7 Jede Gruppe ist isomorph zu einer Unter-
gruppe einer Transformationsgruppe.
Korollar: Jede endliche Gruppe ist isomorph zu einer Permutationsgruppe (:= Untergruppe einer symmetrischen Gruppe Sn ).
Denition 3. a) (R; +; ) heiÿt Ring :,
(R1) (R; +) abelsche Gruppe,
(R2) (R; ) Halbgruppe,
(R3) beidseitig distributiv bezüglich +.
b) (K ; +; ) heiÿt Körper :,
(K1) (KV; +;W) kommutativer Ring mit Einselement e 2 K ,8
(K2)
(x y = e).
x2K y2K
Hilfssatz 3. (K ; +; ) Körper ()
(K1') (K ; +) abelsche Gruppe,
(K2') (K ; ) Gruppe und kommutative Operation auf K ,
(K3) linksdistributiv bezüglich +.
Satz 3. (Quotientenkörper) Jeder Integritätsbereich (Integritätsring) R
(nullteilerfreier kommutativer Ring mit Einselement) läÿt sich isomorph in
einen Körper einbetten.
Der bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte minimale Körper mit dieser Eigenschaft heiÿt Quotientenkörper von R.
1.4 Unendlichkeit
Mengenlehre als (mathematische) Theorie des Unendlichen nach Cantor.9
Dazu Denition der Unendlichkeit einer Menge, hier nach Dedekind:10
Denition 1. a) Zwei Mengen A und B heiÿen gleichmächtig
A B :,
_
'
(' Bijektion von A auf B ):
W
b) Eine Menge M heiÿt endlich :, : (M 0 M ^ M 0 M ):
M0
c) M heiÿt unendlich :, M nicht endlich.
Arthur
Cayley, 1821-1895
K := K n fng für Nullelement n in (K ; +)
Georg Cantor, 1845-1918
10
Richard Dedekind, 1831-1916
7
8
9
1.4 Unendlichkeit
11
Unendlichkeitsaxiom:
(UAX) W (E unendlich):
E
Hilfssatz 1. ist eine Äquivalenzrelation (z. B. auf der Menge 2M aller
Teilmengen einer Menge M).
Satz 1. (Grundeigenschaften endlicher Mengen)
(1) ; ist endlich.
(2) A endlich ^ A0 A ) A0 endlich.
(3) A; B endlich ) A [ B; A \ B; A B endlich.
(4) M endlich ) 2M endlich.
W M ; M unendlich ^
(5) M unendlich )
M ;M
^ M \M = ; ^M [M = M :
1
1
2
2
1
2
1
2
Denition 2. a) Die Äquivalenzklasse jM j := fX E : X M g aller
zu einer Menge M gleichmächtigen Mengen heiÿt Mächtigkeit oder Kardinalzahl von M .
b) Eine unendliche Menge M heiÿt abzählbar unendlich (jM j = @0) :,
M N; sonst überabzählbar.
c) Für Kardinalzahlen a; b; c sei
a b :,
a + b = c :,
_ _
A2a B 2b
AB ;
_ _
A2a B 2b
a b = c :,
A\B = ; ^ A[B 2 c ;
_ _ _
A2a B 2b C 2c
AB C :
Satz 2. ( Cantorsches Diagonalverfahren) Für alle Mengen X und A mit
jAj 2 und die Menge AX aller Abbildungen von X in A gilt jAX j > jX j.
Hilfssatz 2 Für jede Menge X gilt jX j < j2X j.
Bem.: c := jRj = 2@ > @0; Kontinuumshypothese.
0
12
1 GRUNDLAGEN (WIEDERHOLUNG)
1.5 Ordnung
Denition 1. Sei R eine binäre Relation auf einer Menge M .
R heiÿt reexive Halbordnungsrelation bzw. (M; R) reexive Halbordnung (Poset) :, R ist reexiv, antisymmetrisch und transitiv.
R heiÿt reexive Ordnungsrelation bzw. (M; R) reexive Ordnung oder
Kette :, R ist lineare reexive Halbordnungsrelation.
R heiÿt irreexive Halbordnungsrelation bzw. (M; R) irreexive Halbordnung :, R ist irreexiv und transitiv.
R heiÿt irreexive Ordnungsrelation bzw. (M; R) irreexive Ordnung
:, R ist konnexe irreexive Halbordnungsrelation.
Hilfssatz 1. Jede irreexive Halbordnungsrelation ist asymmetrisch.
Satz 1. Die Begrie reexive Halbordnung und irreexive Halbordnung
sind kryptomorph.
Denition 2. Sei R eine binäre (Halbordnungs-) Relation auf einer Menge M und N M .
V (s; x) 2 R _ s = x;
a) s 2 M untere Schranke von N (bzgl. R) :,
x2N V (x; s) 2 R _ x = s:
s 2 M obere Schranke von N (bzgl. R) :,
x2N
b) a heiÿt Minimum von N (bzgl. R); a = min N :,
a 2 N ^ a untere Schranke von N .
b heiÿt Maximum von N (bzgl. R); b = max N :,
b 2 N ^ b obere Schranke von N .
c) i heiÿt Inmum von N (gröÿte
untere Schranke); i = inf N :, V
i unt. Schr. von N ^
s unt. Schr. von N ) (s; i) 2 R _ s = i :
s2M
s heiÿt Supremum von N (kleinste
0 obere Schranke); s 0= sup N 0 :,
V
s ob. Schr. von N ^ 0 s ob. Schr. von N ) (s; s ) 2 R _ s = s :
s 2M
d) a heiÿt minimales Element in N (bzgl.
R) :,
V
(x; a) 2 R ) x = a :
a2N ^
x2N
b heiÿt maximales Element in N V(bzgl.
R) :,
b2N ^
(b; x) 2 R ) x = b :
x2N
e) R heiÿt Wohlordnungsrelation auf
bzw. (M; R) Wohlordnung
:,
V W!!N M
6= ; ) x = min N :
N M x
1.5 Ordnung
13
Hilfssatz 2. Jede reexive Ordnungsrelation auf einer endlichen Menge
ist eine Wohlordnungsrelation.
Satz 2. Jede reexive (irreexive) Wohlordnung ist eine reexive (irreexive) Ordnung.
Wohlordnungssatz
(WO) Jede Menge kann wohlgeordnet werden.
Äquivalent zu
Auswahlaxiom
(AAX) Zu jedem disjunkten Mengensystem M existiert eine Auswahlmenge
A mit
^ M 2M
M 6= ; =)
_
a
A \ M = fag
:
Bem.: Ordinalzahlen, ordnungstheoretische Charakterisierung von Verbänden.
14
2 ZAHLEN
2 Zahlen
2.1 Natürliche Zahlen
Nach dem Unendlichkeitsaxiom (UAX) existiert wenigstens eine unendliche
Menge E . Dann ist die Gleichmächtigkeit eine Äquivalenzrelation auf dem
System Me 2E aller endlichen Teilmengen von E .
Denition 1. (Genetische Einführung der natürlichen Zahlen)
Eine natürliche Zahl ist eine Klasse m gleichmächtiger endlicher Mengen.
Für die Menge N aller natürlichen Zahlen gilt also
N :=
n
m:
_
M 2Me
o
(M 2 m) :
Die natürliche Zahl Null kann deniert werden durch 0 := ;. Die natürliche Zahl m0 heiÿt Nachfolger der Zahl m 2 N
:,
_ _
M 2m x=2M
(M [ fxg) 2 m0 :
Addition, Multiplikation und Ordnung werden für natürliche Zahlen ebenso deniert wie für beliebige Kardinalzahlen (Def. 1.4.2). Damit gilt folgender
Hilfssatz 1. a) V a b , W (a + c = b) .
a;b2N
c2N
b) (N; +; ; ; 0; 1) ist ein wohlgeordneter kommutativer Fastring mit Nullelement, Einselement und Kürzungsregeln:
(F1) (N; +) ist kommutative Halbgruppe,
(F2) (N; ) ist Halbgruppe,
(F3) ist distributiv bezüglich +,
((F1)-(F3) Fastring und zusätzlich:)
(Z1) ist kommutativ,
(Z2) 0 ist Nullelement in (N; +),
(Z3) 1 ist Einselement in (N; );
V (a + c = b + c ) a = b);
(Z4)
(Z5)
a;b;c2N
V (a c = b c ^ c 6= 0 ) a = b);
a;b;c2N
(Z6) ist mit + und verträglich,
(Z7) (N; ) ist Wohlordnung.
c) Jede nichtleere nach oben beschränkte Menge natürlicher Zahlen besitzt
ein Maximum.
2.1 Natürliche Zahlen
15
Satz 1. (Algebraische Charakterisierung der natürlichen Zahlen)
(N; +; ; 0) ist die bis auf (kanonische) Isomorphie einzige nichttriviale kommutative Halbgruppe mit neutralem Element und Kürzungsregel, die bezüglich der kanonischen Halbordnung wohlgeordnet ist.
Denition 2. Eine Struktur (N; ; n) heiÿt Peano-Algebra11 :,
(P0) N Menge,
(P1) n 2 N (Nullelement, Anfangselement),
(P2) : N ! N (einstellige Nachfolgeroperation),
(P3) ist injektiv,
W (x) = n,
(P4) :
x2N
V n 2 M ^ V x 2 M ) (x) 2 M =) N M (P5)
M N
(Induktionsaxiom).
x2N
Lemma 1. (Rechtfertigungssatz für Beweise durch vollst. Induktion) Ist
H eine Aussageform auf einer Peano-Algebra (N; ; n), so gilt:
H (n) ^
^
x2N
H (x) ) H ( (x))
=)
^
x2N
H (x):
Lemma 2. (Rechtfertigungssatz für induktive Denitionen) In jeder PeanoAlgebra (N; ; n) existiert für gegebene Abbildungen (Operationen)
g : Ns ! N
genau eine Lösung f : N s+1
f (a1; :::; as; n)
f (a1; :::; as; (x))
und h : N s+2 ! N (s 2 N)
! N des Funktionalgleichungssystems
= g (a1; :::; as)
= h(a1; :::; as; x; f (a1; :::; as; x)):
Mit der induktiven Denition x + n := x; x + (y ) := (x + y ) und
der kanonischen Halbordnung ergibt sich für beliebige Peano-Algebren
(N; ; n) der
Hilfssatz 2. (N; +; ; n) ist eine nichttriviale wohlgeordnete kommutative Halbgruppe mit Nullelement n und Kürzungsregel.
Satz 2. (Axiomatische Charakterisierung der natürlichen Zahlen)
(N; 0; 0) ist bis auf Isomorphie die einzige Peano-Algebra.
11
Guiseppe Peano, 1858-1932
16
2 ZAHLEN
2.2 Ganze Zahlen
Denition 1. Auf der Menge D := N N formaler Dierenzen na-
türlicher Zahlen wird die Relation der Dierenzengleichheit eingeführt durch
(a1; b1) =d (a2; b2) :, a1 + b2 = a2 + b1 für (ai; bi) 2 D:
Hilfssatz 1. a) Mit (a; b) + (c; d) := (a + c; b + d) und (a; b) (c; d) :=
(ac + bd; ad + bc) wird (D; +; ) zu einem kommutativen Fastring mit dem
Nullelement (0; 0) und dem Einselement (1; 0).
b) =d ist eine Kongruenzrelation auf dem Fastring (D; +; ).
Denition 2. a) Eine ganze Zahl ist eine Klasse dierenzengleicher Paare von natürlichen Zahlen: Z:= (N N)== .
b) (a; b) + (c; d) := (a; b) + (c; d):
c) (a; b) (c; d) := (a; b) (c; d):
d) (a; b) (c; d) :, a + d c + b.
d
Satz 1. (Z; +; ; ) ist ein angeordneter Integritätsbereich (Integritätsring), d. h.:
a) (Z; +; ; ) ist ein kommutativer angeordneter Ring mit Einselement,
b) Zist nullteilerfrei.
Hilfssatz 2. (Z; ) ist eine Ordnung, keine Wohlordnung (!), aber es gilt:
Jede nichtleere nach oben (unten) beschränkte Menge ganzer Zahlen besitzt
ein Maximum (Minimum).
Satz 2. (Isomorphe Einbettung der natürlichen Zahlen)
Die Abbildung ' mit '(n) := (n; 0) ist ein Isomorphismus von (N; +; ; )
auf (Z+ ; +; ; ), wenn Z+ die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen ist.
Folgerung. (Algebraische Charakterisierung der ganzen Zahlen)
(Z; +; ; ) ist der (bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte) kleinste geordnete Ring, der eine zu (N; +; ; ) isomorphe Teilstruktur enthält.
Bemerkungen zu:
Gebrochene Zahlen: Q+ := (N N )== .
q
2.3 Elementare Zahlentheorie (Teilbarkeitslehre)
17
2.3 Elementare Zahlentheorie (Teilbarkeitslehre)
Denition 1. (1) Die ganze Zahl a 2 Zheiÿt Teiler von b 2 Z(b Vielfaches
von a)
a=b :,
_
(a t = b):
t2Z
(2) Zwei ganze Zahlen a; b heiÿen assoziiert (a b) :, a=b ^ b=a.
Hilfssatz 1. Für ganze Zahlen a; b; c 2 Zgilt:
(1) a=a ( / ist reexiv),
(2) a=b ^ b=c ) a=c (/ ist transitiv),
(3) a=b ^ a=c ) a=(b + c);
(4) a=b ) a=bc,
(5) a=b ) a=( b) ^ ( a)=b,
(6) ist Äquivalenzrelation auf Z,
(7) a b , jaj = jbj.
Bemerkungen:
/ ist keine Halbordnung auf Z(nicht antisymmetrisch).
Bei Einschränkung von / auf N gilt aber: (N, / ) ist Halbordnung (keine
Ordnung!) mit 1= minN und 0= maxN.
Denition 2: (1) Eine ganze Zahl d heiÿt gröÿter gemeinsamer Teiler
der ganzen Zahlen a1 ; :::; an (n 2)
^
d = ggT(a1; :::; an) :,
in
(d=ai) ^
1
^ ^
d0 2Z 1in
(d0=ai ) ) d0=d :
(2) Eine ganze Zahl v heiÿt kleinstes gemeinsames Vielfaches der ganzen
Zahlen a1 ; :::; an (n 2)
v = kgV(a1 ; :::; an) :,
^
in
1
(ai =v ) ^
^ ^
v0 2Z 1in
(ai=v 0 ) ) v=v 0 :
(3) Die ganzen Zahlen a1 ; : : :; an heiÿen teilerfremd (relativ prim) :,
ggT(a1; : : :; an ) = 1:
Bemerkungen:
ggT und kgV sind in Z nur bis auf Assoziiertheit eindeutig, auf N
dagegen eindeutig bestimmt.
Mit a t b := kgV(a; b) und a u b := ggT(a; b) wird (N; t; u) zu einem
distributiven Verband mit dem Nullelement 1 und dem Einselement 0.
18
2 ZAHLEN
In N gilt: a=b ^ b 6= 0 ) a b.
In N gilt: ggT(a; b)kgV(a; b) = ab.
Hilfssatz 2. (Division mit Rest)
^
_ !! n = q m + r ^ 0 r < m :
n;m)2NN (q;r)2N2
(
(q heiÿt Quotient, r Rest bei der Division von n durch m).
Folgerung. Euklidischer Algorithmus12 zur Bestimmung des gröÿten ge-
meinsamen Teilers zweier natürlicher (ganzer) Zahlen.
Denition 3. Eine natürliche Zahl p heiÿt Primzahl
^
:, p > 1 ^
t=p ) (t = 1 _ t = p) :
t2N
Satz 1. (Hauptsatz über die eindeutige Primfaktorzerlegung)13
Für jede natürliche Zahl n > 1 existiert genau eine Darstellung n = p1 ::: pk
mit Primzahlen p1 ::: pk .
Satz 2. Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Satz 3. (g-adische Zahldarstellung)
Zu jeder natürlichen Zahl g 2 Nnf0; 1g existiert für jede natürliche Zahl
n > 0 genau eine Darstellung der Form
n=
s
X
i=0
ai g i mit s 0; 0 < as < g; 0 ai < g (i = 0; :::; s 1):
Bemerkung: g = 10 (Dezimaldarstellung), g = 2 (Dualdarstellung).
Hilfssatz 3. (Teilbarkeitsregeln) Ist die natürliche Zahl n in Dezimaldar-
stellung gegeben
n = ak 10k + ak 1 10k 1 + + a1 10 + a0
mit den Ziern ai ; 0 ai 9; (i = 0; : : :; k), so gilt
(1) 2/n () 2/aP
0 (2 teilt die letzte Zier, n ist gerade),
(2) 3/n () 3= ai ( 3 teilt die Quersumme von n),
(3) 4/n () 4=(a1 10 + a0 ),
12
13
Euklid, um 365 - um 300 v. Chr.
Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie
2.3 Elementare Zahlentheorie (Teilbarkeitslehre)
(4) 5/n
(5) 6/n
(6) 8/n
(7) 9/n
(8) 10/n
()
()
()
()
()
19
a0 = 0 _ a0 = 5,
2=n ^ 3=n,
8=(P
a2 102 + a1 10 + a0 ),
9= ai ,
a0 = 0.
Ergänzungen:
Kongruenzen: a kongruent b modulo m
a b (m) :, a; b; m 2 Z^ m > 0 ^ m=(a b):
Faktorringe Zm := Z=(m) , endliche Körper, insbesondere Zp (p Primzahl).
Eulersche '-Funktion14
'(m) := jfx 2 N : 0 < x m ^ ggT(x; m) = 1gj;
also '(1) = '(2) = 1; '(3) = '(4) = 2; '(5) = 4; :::;
'(m) = Anzahl der primen Restklassen modulo m.
Satz von Euler: Für teilerfremde natürliche Zahlen k und m gilt
k'(m) 1 (m):
Kleiner Satz von Fermat:15 Für Primzahlen p, die kein Teiler der natürlichen Zahl k sind, gilt: kp 1 (p):
Eine Primzahl p heiÿt Fermatsche Primzahl :,
1
_
(p = 22 + 1):
t
t2N
Satz von Gauÿ:16 Ein reguläres n-Eck ist genau dann mit Zirkel und
Lineal konstruierbar, wenn
n = 2m p1 ::: pk
mit m; k 2 N ^ pi Fermatsche Primzahlen (i = 1; : : :; k) mit pi < pi+1 ,
also n = 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 16; 17; 20; 24; 30; : : : .
Leonhard Euler, 1707-1783
Pierre de Fermat, 1601-1665
16
Carl Friedrich Gauÿ, 1777-1855
14
15
20
2 ZAHLEN
2.4 Rationale Zahlen
Z Z als direktes Produkt der kommutativen Halbgruppen (Z; )
und (Z ; ) (Menge der Brüche oder formalen Quotienten).
B :=
Denition 1. Für (a; b); (c; d) 2 B sei
(a; b) + (c; d) := (ad + bc; bd); (a; b) (c; d) := (ac; bd);
ad bc (bd > 0)
(a; b) (c; d) :,
ad bc (bd < 0);
(a; b) =q (c; d) :, ad = bc (Quotientengleichheit):
Hilfssatz 1. a) (B; +) ist eine kommutative Halbgruppe mit dem Nullelement (0; 1).
b) (B; ) ist eine kommutative Halbgruppe mit dem Einselement (1; 1).
c) =q ist Kongruenzrelation auf (B; +; ; ).
Denition 2. a) Eine rationale Zahl ist eine Klasse quotientengleicher
Paare von ganzen Zahlen:
Q := B==q
= (Z Z )== :
q
b) (a; b) + (c; d) := (a; b) + (c; d):
c) (a; b) (c; d) := (a; b) (c; d):
d) (a; b) (c; d) :, (a; b) (c; d).
Hilfssatz 2. (Q; +; ; ) ist ein geordneter Körper (der Quotientenkörper
des Ringes Z).
Satz 1. (Anordnungseigenschaften der rationalen Zahlen)
a) ist archimedische17 Ordnungsrelation in Q, d. h.:
^ ^ _
(n p > q ):
q2Q p2Q+ n2N
b) Die rationalen Zahlen liegen dicht, d. h.:
^ _
p;q2Q r2Q
p < q =) p < r < q ):
c) Es gibt nichtleere beschränkte Mengen rationaler Zahlen, die (in Q) kein
Inmum oder Supremum besitzen.
17
Archimedes von Syrakus, um 287-212 v. Chr.
2.5 Reelle Zahlen
21
Satz 2. (Algebraische Charakterisierung der rationalen Zahlen)
a) Der Körper der rationalen Zahlen ist (bis auf Isomorphie) der kleinste
Körper, der einen zum Ring der ganzen Zahlen isomorphen Unterring enthält (isomorphe Einbettung der ganzen Zahlen!).
b) Der Körper der rationalen Zahlen ist der kleinste geordnete Körper.
Hilfssatz 3. Jede rationale Zahl läÿt sich als Quotient einer ganzen
Zahl und einer von Null verschiedenen natürlichen Zahl darstellen (gemeiner Bruch).
Denition 3. Ein Dezimalbruch ist eine Folge (a )2N natürlicher Zahlen mit a 9 für alle 1.18 Ein Dezimalbruch heiÿt periodisch, wenn
natürliche Zahlen l; k (k 1) existieren mit a = ak für alle > l
+
(l: Vorperiodenlänge, k: Periodenlänge; Schreibweise: a0 ; a1a2 a3 :::).
Satz 3. Bei Ausschluÿ der Periode 9 besitzt jede rationale Zahl entweder
eine endliche Dezimalbruchentwicklung (Weglassen der Periode 0) oder eine
periodische (unendliche) Dezimalbruchentwicklung.
2.5 Reelle Zahlen
Denition 1. a) Die Menge [a; b] := fx 2 Q : a x bg heiÿt (abgeschlossenes) Intervall in Q für a; b 2 Q mit a b.
b) Eine Folge ha ja0 i 2N von Intervallen I = [a ; a0 ] in Q heiÿt Intervallschachtelung inQ :, V I I (Schachtelung),
(1)
2N
(2) (a0
+1
a ) 2N ist Nullfolge (Zusammenziehen).
c) Zwei Intervallschachtelungen heiÿen punktgleich
ha ja0 i =p hb jb0 i :,
^
(b a0 ^ a b0 ):
2N
Hilfssatz 1. =p ist eine Äquivalenzrelation in der Menge S(Q) aller In-
tervallschachtelungen in Q.
Denition 2. a) Eine reelle Zahl ist eine Klasse punktgleicher Intervallschachtelungen rationaler Zahlen: R := S(Q)== :
b) Mit [aija0i ] := fhxijx0i i 2 S(Q) : hxi jx0i i =p hai ja0iig sei
[ai ja0i ] + [bijb0i ] := [ai + bi j a0i + b0i];
p
Die beliebige natürliche (oder auch ganze) Zahl a0 sei dabei in Dezimaldarstellung
gegeben.
18
22
2 ZAHLEN
[ai ja0i ] [bijb0i] :=
[a b ja0 b0 ]
für 0 < ai ; bi
::: usw.
i i i i
[ai ja0i ] [bijb0i ] :,
^
i2N
ai b0i :
Satz 1. (R; +; ; ) ist ein stetiger Körper, d. h. (R; +; ; ) ist ein geord-
neter Körper und jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge besitzt
ein Supremum.
Satz 2. (Algebraische Charakterisierung der reellen Zahlen)
(R; +; ; ) ist der (bis auf Isomorphie) einzige stetige Körper.
Hilfssatz 2. Jede reelle Zahl läÿt sich eindeutig als Dezimalbruch (ohne
Neunerperiode) darstellen.
Bemerkungen zu:
Irrationale Zahlen
Transzendente Zahlen
Isomorphe Einbettung der rationalen Zahlen in die reellen Zahlen
Archimedische Ordnung
Potenz und Wurzel
Komplexe Zahlen.
23
3 Vektoren
3.1 Geometrische Einführung
Gegeben sei E = E i , die euklidische Ebene (i = 2) oder der euklidische Raum
(i = 3) mit der Menge P der Punkte A; B; :::. Die durch zwei verschiedene
Punkte A; B 2 P eindeutig bestimmte Gerade werde durch g (AB ) bezeichnet. jAB j bezeichne die Länge (Längenmaÿzahl) der Strecke AB .
Denition 1. a) S := P P sei die Menge aller gerichteten Strecken
(A; B ) (A: Anfangspunkt, B : Endpunkt).
b) Zwei gerichtete Strecken (A; B ); (C; D) 2 S heiÿen parallelgleich
8 A = B für C = D
>>
W
< A 6= B ^
g(AB )kg(PQ)kg(CD) ^
(A; B ) =k (C; D) :, >
P;Q=2g AB [g CD
>: ^ g(AP )kg(BQ) ^ g(CP )kg(DQ) für C 6= D:
(
)
(
)
Hilfssatz 1. (Satz von Desargues)19 Sind die Geraden g(A A ); g(B B )
1
2
1
und g (C1C2 ) paarweise parallel und verschieden und gilt auÿerdem
g (A1B1 )kg (A2B2 ) und g (B1C1 )kg (B2C2 ), so gilt auch g (A1C1 )kg (A2C2 ).
2
Hilfssatz 2. =k ist Äquivalenzrelation auf der Menge S aller gerichteten
Strecken.
Denition 2. a) Ein Vektor ist eine Klasse parallelgleicher gerichteter
Strecken der euklidischen Ebene bzw. des euklidischen Raumes:
V := (P P)= =k = S= =k :
b) Für (A; B ); (C; D) 2 V sei
(A; B ) + (C; D) = (E; F ) :,
_
X 2P
(B; X ) 2 (C; D) ^ (A; X ) 2 (E; F ) :
c) Für (A; B ) 2 V und 2 R sei
8< (A; A) für = 0 oder A = B;
(A; B ) := : (A; C ) mit C 2 AB ^ jAC j = jAB j für > 0; A 6= B;
(A; C ) mit C 2 AB ^ jAC j = jjjAB j für < 0; A 6= B:
+
Satz 1. (V1) V; + ist eine abelsche Gruppe.
19
Gérard Desargues, 1591-1662
24
3 VEKTOREN
Satz 2. Für alle a; b 2 V und ; 2 R gilt:
(V2) 1 a = a;
(V3) (a) = ()a;
(V4) ( + )a = a + a;
(V5) (a + b) = a + b:
Bemerkungen: Richtung, Betrag, Richtungssinn, Translationen.
3.2 Lineare Räume (Wiederholung)
Denition 1. (V; +; K) ist linearer Raum (Vektorraum) über K :,
(V0) V Menge (Elemente: Vektoren), K Körper (Elemente: Skalare, " Einselement); es existiert eine Vervielfachung als Abbildung von K V in V
mit
(V1) (V; +) abelsche Gruppe,
V
(V2) (" a = a);
V V (a) = ()a;
;2K a2V
V V ( + )a = a + a;
(V4)
;2K a2V
V V (V3)
(V5)
a2V
2K a;b2V
(a + b) = a + b :
Beispiele: V2 ; V3 ; K ; K n , insbesondere R; Rn ; C ; C n ;
A(M; K ) := ff j f : M ! K g für M 6= ; mit
f1 + f2 (x) := f1 (x) + f2 (x)
f (x) := f (x);
insbesondere V := L(V; R) A(V; R) - der zu V duale Vektorraum;
C [a; b]; B [a; b]; C r[a; b]; F := A(N; R) - Menge aller Folgen reeller Zahlen;
M(m;n) (K ); +; K - Matrizen festen Typs (m; n); Raum der ganzrationalen
Funktionen (Polynome) höchstens n-ten Grades.
Denition 2. a) (V 0; +; K ) ist linearer Unterraum des Vektorraumes
(V; +; K ) :, V 0 V ^ (V 0; +; K ) Vektorraum.
3.2 Lineare Räume (Wiederholung)
25
b) ' heiÿt lineare Abbildung
(Homomorphismus) desVektorraumes
(V1; +; K ) in (V2; +; K ) ' 2 L(V1; V2) = Hom(V1; V2) :,
(1) ' : V1 ! V2,
V '(a + b) = '(a) + '(b),
(2)
(3)
V V '(a) = '(a).
a;b2V1
a2V1 2K
c) Ein Vektor v des Vektorraumes (V; +; K ) heiÿtPLinearkombination der
Vektormenge A V , falls eine Darstellung v =
aa existiert, in der
a2A
fast alle Koezienten a gleich dem Nullelement in K sind (so daÿ sich die
Summe durch Weglassen aller Summanden 0 a auf eine endliche reduziert).
d) Für A V heiÿt die Menge linA aller Linearkombinationen von A
lineare Hülle von A. 20
e) Eine Teilmenge A V von Vektoren eines Vektorraumes (V; +; K )
heiÿt linear unabhängig :,
X
^
aus 2 lin A mit = aa folgt (a = 0):
a2A
a2A
f) Eine Teilmenge B V eines Vektorraumes (V; +; K ) heiÿt Basis
:, B linear unabhängig ^ lin B = V:
g) Ist B eine Basis des Vektorraumes V , so heiÿt ihre Kardinalzahl
dim V := jB j Dimension von V .
Hilfssatz 1. a) Für Teilmengen V 0 6= ; von V gilt:
0
(V ; +; K ) ist linearer Unterraum von (V; +; K )
()
()
^ ^
x;y2V 0 z2V
z 2 linfx; yg =) z 2 V 0
^ ^
x;y2V 0 2K
x + y 2 V 0 :
b) Ist ' ein Homomorphismus eines linearen Raumes (V1; +; K ) in einen
linearen Raum (V2; +; K ), so ist das volle Bild '(V1) Unterraum von V2 und
der Kern Ker(') := fx 2 V1 : '(x) = g ein Unterraum von V1 .
c) Ist fL : 2 I g ein beliebiges System
linearer Unterräume eines VekT
torraumes (V; +; K ), so ist auch L := L ein linearer Unterraum von V .
2I
Ist A = fa1 ; :::;an g endlich, so bedeutet v 2 lin A die Existenz von n Elementen i 2 K
mit v = 1 a1 + ::: + n an .
20
26
3 VEKTOREN
d) Eine Teilmenge A V eines Vektorraumes ist genau dann linear unabhängig, wenn kein a 2 A existiert mit a 2 lin(Anfag):
Hilfssatz 2. Für Teilmengen A V eines Vektorraumes (V; +; K) sind
folgende Aussagen äquivalent:
(1) V 0 =linTA,
(2) V 0 =
L (L linearer Unterraum von V ),
(3) V 0 =
A
nL
x2V :
W jA0j < 1 ^ x 2 linA0o:
A0 A
Folgerung. lin ist ein Hüllenoperator auf V , d. h.
(H0) lin : 2V ! 2V ,
V (A linA),
(H1)
AV
V (A B =) linA lin B),
(H2)
(H3)
A;B V
V lin(linA) = lin A ).
AV
Satz 1. (Basissatz für Vektorräume) Jeder Vektorraum V besitzt eine
Basis, und alle Basen von V haben dieselbe Mächtigkeit.
Satz 2. (Hauptsatz über endlichdimensionale Vektorräume)
Jeder Vektorraum (V; +; K ) mit dim V = n (n 2 N) ist isomorph zu K n .
3.3 Ane Räume
Denition 1. a) (P; Vn; R) ist n-dimensionaler reeller aner Raum (PunktVektorraum) :,
(0) P 6= ; (Punkte), (Vn ; +; R) ist n-dimensionaler reeller linearer
Raum, und es ist eine Punkt-Vektor-Addition erklärt + : P Vn ! P mit
V (A + = A);
(1)
A2P
V
V
(2)
(A + x) + y = A + (x + y ) ;
A2P x;y2V
V W !! (A + x = B) (Bezeichnung: x = AB
! ):
(3)
n
A;B 2P x2Vn
3.3 Ane Räume
27
b) (U; Vk ; R) ist k-dimensionaler aner Unterraum des anen Raumes
(P; Vn; R) :,
(1) U P,
(2) Vk linearer Unterraum von Vn ,
(3) (U; Vk ; R) ist k-dimensionaler aner Raum.
Die Punktmenge U heiÿt dann auch k-Ebene, für k = 1 Gerade,
für k = 2 Ebene, für k = n 1 Hyperebene .
c) Ein Vektor v des anen Raumes (P; Vn; R) heiÿt ane Kombination
Pk
der Vektormenge A = fa1; :::; akg Vn , falls eine Darstellung v = i ai
Pk
existiert mit i=1
i=1
i = 1.
d) Für A Vn heiÿt die Menge aA aller anen Kombinationen von
Vektoren aus A ane Hülle von A.
Standardbeispiel: Jeder n-dimensionale reelle lineare Raum (Vn; +; R)
wird mit P := Vn und der Vektoraddition als Punkt-Vektor-Addition zu
einem n-dimensionalen anen Raum.
Dann ist insbesondere jeder lineare Unterraum ein aner Unterraum, während die Umkehrung i. a. nicht richtig ist.
Ferner ist jede ane Kombination auch Linearkombination, während die
Umkehrung i. a. nicht gilt.
Die leere Menge kann als aner Raum der Dimension -1 aufgefaÿt werden.
Hilfssatz 1. Sei (P; Vn; R) ein n-dimensionaler reeller aner Raum.
Dann gilt:
a)
V (AB
! = , A = B) ^ AB
! = BA
!:
A;B 2P
b) Wird ein Punkt O 2 P ausgezeichnet, so ist die Abbildung
! eine Bijektion.
: P ! Vn mit (X ) := OX
c) Eine nichtleere Punktmenge U P ist genau dann eine k-Ebene, wenn
ein k-dimensionaler linearer Unterraum Vk von Vn und ein Punkt A 2 P
existieren mit
n
U= X 2P:
_
x2Vk
o
(X = A + x) =: A + Vk
(U ist verschobener linearer Unterraum, lineare Mannigfaltigkeit).
28
3 VEKTOREN
d) a ist Hüllenoperator auf Vn , der sich vermöge
a A :=
\
AU
U
(U; V; R) aner Unterraum
auch auf P übertragen läÿt (der Durchschnitt eines beliebigen Systems aner Unterräume ist wieder ein aner Unterraum).
Denition 2. a) Ist fb1; :::; bng Basis von Vn und O 2 P ein ausgezeichneter Punkt (Ursprung), so heiÿt (O; b1; :::; bn) anes Koordinatensystem im
! und die Zahlen in
Raum (P; Vn; R), ibi Komponenten von OX
i
!=
(X ) = OX
n
X
i=1
ibi
! von X ).
die anen Koordinaten des Punktes X (bzw. des Ortsvektors OX
b) Für jeden Vektor t 2 Vn heiÿt die Abbildung : P ! P mit
(P ) := P + t
Translation (Verschiebung) des anen Raumes (P; Vn; R). Die Menge aller
Translationen sei Tn .
c) Zwei Punktmengen M1 ; M2 P eines anen Raumes heiÿen translationsgleich
_
M1 =t M2 :()
2Tn
(M1 ) = M2 :
d) Zwei ane Unterräume bzw. die entsprechenden Punktmengen Ur ; Ul
(0 < r; l < n) heiÿen parallel
Ur kUl :()
_
2Tn
(Ur ) Ul _ (Ul ) Ur :
Hilfssatz 2. a) Die Menge aller Translationen bildet eine zur Gruppe Vn
isomorphe Transformationsgruppe von P:
Tn < SP :
b) Die Translationsgleichheit =t ist eine Äquivalenzrelation in der Menge
2P aller Punktmengen.
c) Für festes k (0 < k < n) ist die Parallelität eine Äquivalenzrelation
auf der Menge aller k-Ebenen eines anen Raumes.
3.3 Ane Räume
29
Satz 1. (Parameterdarstellung) Ist U = A + Vk eine k-Ebene eines anen
Raumes mit dem Koordinatensystem (O; a ; :::; an) und der Basis fb ; :::; bkg
! der Punkte X 2 U mit a := OA
!
von V , so gilt für die Ortsvektoren x := OX
1
1
k
die Parameterdarstellung
x= a+
k
X
i=1
ibi (i 2 R):
Folgerungen: 1. Parameterdarstellung einer Geraden g im R :
Vektoriell: x = a + b ( 2 R):
2
In Koordinaten:
1 = 1 + 1
2 = 2 + 2
g
1
O
r
"@@
r r
a3
PP
PPA
P
bP
PP
qP X
P
P
a2
PP
1
a PP
AK
PP
A
x
P
A
-
r
für x = = 1 a1 + 2 a2 ; b = ; a = 1 :
2
2
2
1
a1
O
@
@
a @
A
@
@
a1
r
@
@
X @
@
@
@
Rc
@
@
x
@
*
-
-b
@
@
2. Parameterdarstellung einer Ebene " im R :
Vektoriell: x = a + b + c ( ; 2 R):
3
1
In Koordinaten:
1 = 1 + 11 + 21
2 = 2 + 12 + 22
3 = 3 + 13 + 23
2
1
2
0 1
0 1
0 1
0 1
für x = @ A ; a = @ A ; b = @ A ; c = @ A :
1
1
1
1
2
2
2
3
3
3
3
2
Satz 2. (Inzidenzeigenschaften des anen Raumes)21 Für die Menge G
der Geraden und die Menge E der Ebenen eines 3-dimensionalen reellen afnen Raumes gilt:
V A 6= B ) W !! (A 2 g ^ B 2 g) g =: g(AB):
A;B 2P
g2G
V
(I2) (jg j 2):
(I1)
g2G
21
Hilbertsche Inzidenzaxiome, David Hilbert, 1862-1943
30
3 VEKTOREN
W (A; B; C nicht kollinear):
A;B;C 2P
V W !! (A; B; C nicht kollinear ) A 2 " ^ B 2 " ^ C 2 "):
(I4)
A;B;C 2P "2E
V W (A 2 "):
(I5)
"2E A2P
V V (A 6= B ^ A; B 2 " ) g(AB) "):
(I6)
A;B 2P "2E
V V W (P 2 \ ) Q 2 \ ):
(I7)
; 2E P 2P Q2PnfP g
W : W (A; B; C; D 2 "):
(I8)
A;B;C;D2P "2E
V V W !! (P 2 h ^ hkg):
(PA)
(I3)
g2G P 2P h2G
3.4 Euklidische Räume
Denition 1. a) Ein reeller n-dimensionaler euklidischer Raum ist ein aner
Raum (P; Vn; R), in dem ein Skalarprodukt deniert ist, d. h. eine Abbildung
: Vn Vn !
R mit
V
x x 0 ^ (x x = 0 ) x = ) ;
(S1)
x2V
V
(xy = yx);
(S2)
n
(S3)
x;y2Vn
V
V (x)y = (xy) ^ (x + y)z = xz + yz:
x;y;z2Vn 2R
b) Zwei Vektoren heiÿen senkrecht (orthogonal) (x ? y ) :, x y = 0:
p
c) jxj := x x
(Länge, Betrag des Vektors x).
d) ' ist Gröÿe des Winkels zwischen den Vektoren x; y 6= :, cos' = jxxjjyyj .
e) Eine Basis fb1; :::; bng heiÿt orthonormiert
:, bi bk = ik (i; k = 1; :::; n). 22
22
ik :=
0
1
für i 6= k
für i = k
3.4 Euklidische Räume
31
Bemerkungen:
1. Geometrischer Zugang (Schule):
! : jAB
!j := jABj,
Länge des Vektors AB
! und AC
! : ](AB;
! AC
!) := ]BAC;
Winkel zwischen den Vektoren AB
! CD
! := jAB
!j jCD
!j cos ](AB;
! CD
!).
Skalarprodukt: AB
2. Anderer Zugang zum Skalarprodukt x y := f (x; y ) bzw. zum Begri des
euklidischen Vektorraumes (V; f ) - mit positiv deniter symmetrischer Bilinearform f auf einem reellen linearen Raum (V; +; R):
f : V V ! R, so daÿ für alle ; 2 R und x; y; z 2 V gilt:
(B1) f (x + y; z ) = f (x; z ) + f (y; z );
(B2) f (x; y ) = f (y; x);
(B3) x 6= ) f (x; x) > 0:
Hilfssatz 1. a) Für das Skalarprodukt gilt die Cauchy-Schwarzsche
Ungleichung:23
^ x;y2V
(x y )2 x2y 2 :
b) Jeder endlichdimensionale reelle lineare bzw. ane Raum ist ein euklidischer Raum.
p
Satz 1. a) Jeder euklidische Vektorraum (V; f ) wird mit kxk := f (x; x)
zu einem normierten linearen Raum - der Betrag hat die Eigenschaften einer
Norm:
j j : V ! R, so daÿ für alle 2 R und x; y 2 V gilt:
(N1) jxj = 0 () x = ,
(N2) j xj = jj jxj;
(N3) jx + y j jxj + jy j:
!j zu einem
b) Jeder euklidische Raum (P; Vn; R) wird mit d(A; B ) = jAB
metrischen Raum (P; d):
d : P2 ! R, so daÿ für alle A; B; C 2 P gilt:
(M1) d(A; B ) = 0 () A = B ,
(M2) d(A; B ) = d(B; A),
(M3) d(A; B ) + d(B; C ) d(A; C ):
Denition 2. a) Ein (anes) Koordinatensystem (O; b ; :::; bn) eines euklidischen Raumes (P; Vn; R) heiÿt genau dann kartesisch,24 wenn fb ; :::; bng
1
1
eine Orthonormalbasis ist.
23
Hermann Amandus Schwarz, 1843-1921; Augustin Louis Cauchy, 1789-1857
24
René Descartes (Cartesius), 1596-1650
32
3 VEKTOREN
0 1
0 1
0 1
b) Drei Vektoren a = @ A ; b = @ A ; c = @ A des 3-dimensionalen
1
1
1
2
2
3
3
2
3
euklidischen Raumes bilden genau dann ein Rechtssystem (positive Orientierungsgur), wenn ihr Spatprodukt
(abc) := det(a b c) = 1
1
1
2
2
2
3
3
3
positiv ist.
c) Der Vektor c des 3-dimensionalen euklidischen Raumes heiÿt Vektorprodukt der Vektoren a und b
8
><(1) c ? a; c ? b; c = a b :, >(2) jcj = jajjbj sin ](a; b) ;
:(3) a; b; c Rechtssystem (für c 6= ):
.......
......................................................................................................................
..........
...... ..
.
.
...... ....
...... ....
.....
..
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..
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.....
.......
.
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......
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.......
...
......
.
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.
..
.. ........
........
*
c
b -
a
Parallelepiped und Spatprodukt
ab
A
K
A
A
A
rq
............
............. ....
.........................
................ . . . . ....
.....................................
....................
.
.
.
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................................
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....
...........................
..
..
............................
..
.......................
.............................................
.
............................. ........
..... ............................... . .
.
............... .
........... .
.. .
b
:
A
A
a
Vektorprodukt
Hilfssatz 2. Für alle Vektoren a; b; c des 3-dimensionalen euklidischen
Raumes und alle reelle Zahlen gilt:
(1) a b = 0 = @ b1 2
2
b2 := b1 1 1 b2 + 1 1 b3
2
2
3
3
3
3
2
2
b3 3
3
1
32
2 3
13A ;
3 1
12 21
(2) a b = () a; b linear abhängig;
(3) (a + b) (c) = (a c) + (b c) ^ a b = (b a);
a2 ab
2
(4) ja bj = ab b2 =: G(a; b);
1
1
( G(a; b) heiÿt Gramsche Determinante25 ).
25
Jørgen Pedersen Gram, 1850 - 1916
3.4 Euklidische Räume
33
Bemerkungen: 1. Das Vektorprodukt läÿt sich (als alternierende Multilinearform) auf den n-dimensionalen Fall (n 3) verallgemeinern.
2. Für n = 2 kann a b als die reelle Zahl jajjbj sin ](a; b) , also als
Flächeninhalt des von den (Seiten-) Vektoren a; b aufgespannten Parallelogramms aufgefaÿt werden.
3. Im Raum ist das Spatprodukt (abc) = (a b) c das (orientierte) Volumen des von den (Kanten-) Vektoren a; b; c aufgespannten Parallelepipeds
(Spates), und es gilt (abc)2 = G(a; b; c)) (Gramsche Determinante).
Satz 2. (Geraden- und Ebenengleichungen)
a) Die Gerade g : x = a + u ( 2 R) (Parameterdarstellung oder Punkt!
richtungsdarstellung) mit a = OA für A 2 g und Richtungsvektor u kann
auch beschrieben werden durch die Zweipunkteform
(1) x = a + (b a) ( 2 R)
für A; B 2 g ^ A 6= B ,
im 3-dimensionalen Fall auch durch die Vektorproduktform
(2) u (x a) = für u Richtungsvektor und A 2 g ,
im 2-dimensionalen Fall auch durch die Hessesche Normalform26
(3) n(x a) = 0
für n ? u, jnj = 1 und A 2 g;
durch die allgemeine Geradengleichung
(4) 1 1 + 2 2 + 3 = 0
2
2
die Normalform
(5) 2 = 1 + ;
die Punktrichtungsform
(6) 2 2 = 1
1
!
für a = OA =
und A 2 g ,
die Zweipunkteform
26
Ludwig Otto Hesse, 1811-1874
mit + > 0 und x = 1 ;
2
2
1
1
2
34
3 VEKTOREN
(7) 2 2 = 2 2
1
1
1
1
1 1 = 0
1 bzw.
1
2
1
2
1
2
für A; B 2 g
und die Achsenabschnittsform
(8) 1 + 2 = 1 .
b) Die Ebene " : x = a + u + v (; 2 R; u; v linear unabhängig,
! für A 2 ") (Parameterdarstellung oder Punktrichtungsdarstellung)
a = OA
kann auch beschrieben werden durch die Dreipunkteform
(1') x = a + (b a) + (c a) (; 2 R)
kollinear,
für A; B; C 2 " nicht
im 3-dimensionalen Fall auch durch die Vektorprodukt- bzw. Determinantenform
(2')
u v (u v )(x a) = u v = 0
u v 1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
für A 2 ",
oder durch die Hessesche Normalform
für n ? u; v ; jnj = 1 und A 2 ",
(3') n(x a) = 0
die allgemeine Ebenengleichung
(4') 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 = 0 (
die Dreipunkteform
(7')
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
P > 0),
i
3
i=1
2
3 3 = 0
3 3 bzw.
jx a b a c aj = 0
für A; B; C 2 " nicht kollinear
3.5 Polyeder
35
oder die Achsenabschnittsform
(8') 1 + 2 + 3 = 1 ( 6= 0).
s
3
6
..........
...........
... . ......
................
.
.. . . . . ....
.................
.. ...................
... . . . . . . .....
.. .......................
.............................
.
. . . . . . . . . . . . ....
.. .............................
.. . . . . . . . . . . . . . ....
.. ................................
.. . . . . . . . . . . . . . . .....
..........................................
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
.. .........................................
...............................................
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
............................................ ......
.. .......................................................
.
.
....
.. .............................................
.. . . . . . . . . . . . . . .............
.. ....................................
...................................
.. ...............................
.
.......................
.. . ..............
..............
1
s
s
- 2
Achsenabschnittsgleichung der Ebene
3.5 Polyeder
In diesem Kapitel wird der ane bzw. euklidische Standardraum E d :=
(Rd ; Rd ; R) betrachtet mit dem kartesischen Koordinatensystem (O; e1; :::; ed);
Punkte A werden mit ihrem Ortsvektor bzw. ihrem Koordinaten-n-Tupel
identiziert:
!=
A = a = OA
d
X
1
0 1
iei = B
@ ... CA :
1
d
Dann ist E d mit dem Skalarprodukt
a b := at b =
d
X
i i für at = (1; :::; d); bt = (1 ; :::; d)
1
ein euklidischer d-dimensionaler Raum, für d = 2 die euklidische Ebene, für
d = 3 der euklidische Raum.
Denition 1. a) Ein Punkt (Vektor) a 2 Rd heiÿt konvexe KombinatiPk
on der Punkte (Vektoren) a ; :::; ak 2 Rd , falls eine Darstellung a = i ai
Pk
existiert mit 1
1
i = 1 und i 0 (i = 1; :::; k).
1
36
3 VEKTOREN
b) Für eine Punktmenge M Rd heiÿt die Menge convM aller konvexen
Kombinationen von Punkten aus M konvexe Hülle von M .
c) Die konvexe Hülle ab von zwei Punkten a; b 2 Rd heiÿt Strecke mit
den Endpunkten a und b.
d) Eine Punktmenge K Rd heiÿt konvex
^
K konvex :()
a;b2K
'r r $
& %
a
(ab K ):
' r
r
& a
b
b
konvex
nicht konvex
Hilfssatz 1. a) Der Durchschnitt jeder Familie konvexer Mengen ist eine
konvexe Menge.
b) K konvex ,
c)
V
M Rd
(convM
V
V
n2N x1 ;:::;xn2K
(convfx1 ; :::; xng K ):
konvex).
Satz 1. a) V convM = T K (K konvex) :
M K
M Rd
b) conv ist ein Hüllenoperator auf Rd .
Denition 2. a) k + 1 Punkte p0; :::; pk heiÿen genau dann in allgemeiner Lage oder an unabhängig, wenn keine (k 1)-Ebene existiert, die alle
Punkte pi enthält.
b) Die konvexe Hülle S k von k + 1 Punkten p0 ; :::; pk 2 Rd in allgemeiner
Lage heiÿt k-Simplex
S k := convfp0 ; :::; pkg
= fx 2 Rd :
x=
k
X
i=0
i pi ^
k
X
0
i = 1 ^ i 0 (i = 0; :::; k)g;
3.5 Polyeder
37
für k = 2 auch Dreieck .27
c) Die konvexe Hülle P einer endlichen Punktmenge M Rd , die nicht
in einer Hyperebene liegt, heiÿt konvexes Polyeder oder d-Polytop
P := convM;
für d = 2 auch konvexes Polygon .
d) Die Vereinigung von endlich vielen konvexen Polyedern heiÿt allgemeines Polyeder.
e) Jede Hyperebene " = fx 2 Rd : u(x a) = 0g zerlegt den Rd
elementargeometrisch in zwei (abgeschlossene) Halbräume
H"+ := fx 2 Rd : u(x a) 0g und H" := fx 2 Rd : u(x a) 0g :
= H"+ [ H" ^ H"+ \ H" = ":
f) Eine Hyperebene " : u(x a) = 0 heiÿt Stützhyperebene28 an eine
Punktmenge M Rd in Richtung u
:() M H" ^ " \ M 6= ;:
g) Ist " Stützhyperebene an ein Polytop P , so heiÿt die Stützmenge
Fk := P \ " k-Seite von P , falls k = dimFk := dim (aFk ). F0 heiÿt
Eckpunkt, F1 Kante und Fd 1 Seitenäche von P .
Rd
Lemma 1. (Analytische Beschreibung konvexer Polyeder) a) Jede k-Seite
eines d-Polytops ist selbst ein k-Polytop.
b) Sind "1; :::; "f die Trägerebenen "i : ui (x ai ) = 0 der Seitenächen
Fdi 1 "i des d-Polytops P und p1; :::; pe die Eckpunkte von P , so gilt
P=
\f
i=1
H" = fx 2 Rd : ui (x ai ) 0 (i = 1; :::; f )g
i
g = fx 2 Rd :
= convfp1; :::; pe
x=
e
X
i=1
ipi ^
e
X
i = 1 ^ i 0 (i = 1; :::; e)g:
1
Hilfssatz 2. Jedes d-Polytop P ist elementargeometrisch in endlich viele
d-Simplexe Si zerlegbar:
P=
m
X
Si :() P =
1
27
28
Ein 1-Simplex ist eine Strecke.
für d = 2 Stützgerade
m
[
1
Si ^ dim(Si \ Sk ) < d für i 6= k:
38
3 VEKTOREN
Beispiele dreidimensionaler Polytope:
Pn ist eine (konvexe) n-seitige Pyramide :, es existiert ein n-Eck
Gn " in einer Ebene " des R3 (Grundäche von Pn ) und ein Punkt
s 62 " (Spitze von Pn ) mit
Pn := conv(fsg [ Gn ):
Qn ist ein (konvexes) n-seitiges Prisma :, es existiert ein n-Eck
Gn " in einer Ebene " des R (Grundäche von Qn ) und eine Translation t =
6 id, deren Translationsvektor t nicht parallel zu " ist mit
Qn := conv Gn [ (Gn) :
3
Ist die Grundäche des (vierseitigen) Prismas Q ein Parallelogramm,
4
so heiÿt Q4 Parallelotop, Spat oder Parallelepiped.
Gilt t ? ", so heiÿt das Prisma Qn gerade.
Ein gerades Prisma mit rechteckiger Grundäche heiÿt Quader.
Ein Quader mit gleichlangen Kanten ist regulär und heiÿt Würfel oder
Hexaeder.
Die weiteren regulären dreidimensionalen Polytope (Platonische Körper)29 sind das Tetraeder (reguläre dreiseitige Pyramide), das Oktaeder
mit acht gleichseitigen Dreiecken als Seitenächen, das Dodekaeder mit
12 regelmäÿigen Fünfecken als Seitenächen und das Ikosaeder mit 20
gleichseitigen Dreiecken als Seitenächen.
3-Polytope
e k
f
n-seitige Pyramide Pn n+1 2n n+1
n-seitiges Prisma Qn 2n 3n n+2
Tetraeder T
4 6 4
Hexaeder W
8 12 6
Oktaeder O
6 12 8
Dodekaeder D
20 30 12
Ikosaeder I
12 30 20
Lemma 2. (Eulerscher Polyedersatz) Für jedes konvexe Polyeder des
euklidischen Raumes mit e Eckpunkten, k Kanten und f Seitenächen gilt
die Eulersche Formel
e k+f =2:
29
Platon, 427 - 347
3.5 Polyeder
39
Satz 2. Ist S d =convfp ; :::; pdg ein d-Simplex, so gilt mit den Kanten0
vektoren
ai := pi pi 1 (i = 1; :::; d) die Darstellung
S d = fx 2 Rd :
x = p0 +
d
X
i=1
i ai ^ 1 1 ::: d 0g;
und für das d-dimensionale Volumen von S d gilt
p
vold (S d) = d1! G(ai; ak )
mit der Gramschen Determinante
a a a :::
a a a :::
G(ai; ak) := ::: ::: :::
ada ad a :::
2
1
..........
.... ....
... .. ....
.... ... ......
...
.. .....
.
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.............................................................................................................................................
Tetraeder
1
2
...................................................................................................
......
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Dodekaeder
2 1
1 2
2
2
a1ad a2ad :
::: a2d .......
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Ikosaeder
40
4 ABBILDUNGEN
4 Abbildungen
4.1 Lineare Abbildungen (Wiederholung)
' ist lineare Abbildung (Homomorphismus) des Vektorraumes (V; +; K)
in den Vektorraum (W; +; K ) (' 2 L(V; W ) = Hom(V; W )) :,
(1) ' : V ! W ,
V
(2)
(3)
'(a + b) = '(a) + '(b) ;
V V '(a) = '(a).
a;b2V
a2V 2K
Hintereinanderausführung linearer Abbildungen ist wieder lineare Ab
bildung.
Für lineare Räume (V; +; K ) und (W; +; K ) ist (L(V; W ); +; K) ein linearer Raum.
V := L(V; K ) ist der zu (V; +; K ) duale lineare Raum.
Für jede lineare Abbildung ' 2 L(V; W ) ist das volle Bild Im(') :=
'(V ) ein Unterraum von W und der Kern Ker(') := ' 1 () ein Unterraum von V .
rg(') := dim Im(') (Rang der Abbildung ').
' 2 L(V; W ) =) dim Ker(')+ rg(') = dim V (Dimensionssatz für
lineare Abbildungen).
Ist fb1; :::; bng eine Basis in V , so existiert zu jedem n-Tupel (w1; :::; wn) 2
W n genau ein ' 2 L(V; W ) mit '(bi ) = wi (i = 1; :::; n).
Die linearen Räume M m;n (K ); +; K und L(K n; K m) sind isomorph
(
)
(jeder linearen Abbildung ' eines n-dimensionalen Raumes (V; +; K )
in einen m-dimensionalen linearen Raum (W; +; K ) entspricht genau
eine (m n)-Matrix über K und umgekehrt).
Die Automorphismengruppe GL(V ) < SV eines n-dimensionalen linearen Raumes (V; +; K ) ist isomorph zur multiplikativen Gruppe
GL(n; K ) = Mrn (K )30 der regulären quadratischen Matrizen n-ter Ordnung über K (General Linear group).
30
Mrn := Mr(n;n)
4.2 Ane Abbildungen
41
4.2 Ane Abbildungen
Denition 1. a) heiÿt ane Abbildung
reellen anen
des n-dimensionalen
Raumes (Pn ; Vn; R) in (Pm ; Vm; R) 2 A(Pn ; Pm ) :,
(1) : Pn ! Pm , V V AB
! = CD
! ) (A)(B!) = (C )(D!):
(2)
A;B;C;D2Pn 2R
b) Jede bijektive ane Abbildung von Pn auf Pn heiÿt Anität (ane
Transformation) des anen Raumes (Pn ; Vn; R); An bezeichne die Menge
aller anen Transformationen von Pn .
Bemerkung/Beispiel:
1. Die Forderung (2) ist äquivalent zur Forderung nach Teilverhältnisinvarianz
(2')
V AC
! = CB
! ) (A)(C!) = (C )(B!): 31
V
A;B;C 2Pn 2R
2.0 ist
1 Parallelprojektion des
1
r := @ A mit 6= 0 :
0
1
B
(X ) := @0
2
R3
auf R2 (1 3 Ebene) in Richtung
1
1 1
2 2
2
3
0
1
2
0
3
2
0 01 1 01
0C
A @2A = @
3
1 3
0
3 2 2
A:
Lemma 1. a) Jede ane Abbildung 2 A(Pn; Pm) induziert vermöge
! 7 ! x0 = ' (x) := (A)(B!)
x = AB
eine lineare Abbildung ' 2 L(Vn ; Vm).
b) Ist umgekehrt ' 2 L(Vn ; Vm), so existiert zu zwei festen Punkten
A 2 Pn ; B 2 Pm genau eine ane Abbildung
' 2 A(Pn; Pm ) mit
V
!
(1)
' (X ) = B + '(AX ) (also ' (A) = B ) und
X 2Pn V
!
!
(2)
'(PQ) = ' (P )'(Q) .
P;Q2P
n
!
= (A;B ; C ) = TV (ABC ) ist das Teilverhältnis der Punkte A; B; C :, AC
!; C teilt die (gerichtete) Strecke AB im Verhältnis : 1.
CB
31
=
42
4 ABBILDUNGEN
Satz 1. Die Menge An aller Anitäten des n-dimensionalen anen
Raumes (P; Vn ; R) bildet eine Gruppe, die (volle) ane Gruppe mit der
Gruppe Tn aller Translationen als Untergruppe.
Korollar 1. Die Abbildung , die gemäÿ Lemma 1 jeder anen Transformation 2 An eine lineare Abbildung ' = () 2 GL(Vn) zuordnet, ist
ein Gruppenhomomorphismus mit Ker = Tn : Es gilt also
Tn C An < SP ^ An =T GL(Vn).32
Korollar 2. Zu jeder Anität 2 An und jedem Punkt X0 2 P existiert
eine Translation 2 Tn , so daÿ die Anität 0 := den Fixpunkt X0
besitzt:
n
0(X0) = X0:
Hilfssatz 1. Bei festem anen Koordinatensystem (O; b1; :::; bn) in
(P; Vn; R) kann jede Anität 2 An als Produkt = ' einer linearen
Abbildung ' 2 GL(Vn) und einer Translation 2 Tn aufgefaÿt werden:
! t := O(O!):
(X ) = X 0 () (x) = '(x) + t für x := OX;
Folgerung 1. (Analytische Beschreibung aner Transformationen)
(X ) = X 0 () x0 = Ax + t
A 2 Mrn (R) :
Folgerung 2. Eine Anität 2 An ist eindeutig bestimmt durch Vor-
gabe von n + 1 Punkten in allgemeiner Lage und deren Bilder in allgemeiner
Lage.
Satz 2. (Invarianten der anen Gruppe) Die ane Gruppe An besitzt
neben dem Teilverhältnis von kollinearen Punktetripeln 33 folgende wichtige
weitere Invarianten:
k-Ebenen werden auf k-Ebenen abgebildet (insbesondere Geraden auf
Geraden),
parallele ane Unterräume werden auf parallele ane Unterräume abgebildet,
Polytope werden auf Polytope abgebildet.
32
33
: isomorph
als charakteristischer Invariante
4.2 Ane Abbildungen
43
Denition 2. (Spezielle ebene Anitäten)34
a) Eine Anität 2 A ( =
6 id) mit einer Fixpunktgeraden a, d. h.,
2
^
P 2a
(P ) = P ;
heiÿt axiale Anität mit der Achse a.
b) Eine axiale Anität mit der Achse a heiÿt Scherung :,
^ g (P(P )) k a :
P 2Pna
c) Eine axiale Anität mit der Achse a heiÿt Orthogonalstreckung
:,
^ g(P(P )) ? a :
P 2Pna
d) Eine axiale Anität mit der Achse a heiÿt Anspiegelung an a
:,
^ _
P 2Pna Z
fZ g = a \ g(P(P )) ^ TV (P (P ) Z ) = 1 :
e) Ebene Anitäten , die den Inhalt (von Polygonen) festlassen, heiÿen
äquiane Transformationen ( 2 Ae2 ).
Hilfssatz 2. a) Bezüglich kartesischer Koordinaten gilt für axiale Anitäten mit der Achse 2 = 0 (1-Achse) im Sinne von obiger Folgerung 1
stets x0 = Ax (t = ) und
1 W
Scherung ()
A= 0 1 ;
2R
Orthogonalstreckung
Anspiegelung ()
1 0 W
()
A= 0 ;
2Rnf ; g
W 1 01
2R
A= 0
1
:
b) Scherungen und Anspiegelungen sind äquiane Transformationen.
c) Eine Anität mit (x) = Ax + t ist genau dann äquian, wenn
jAj = 1.
34
analog für höhere Dimensionen!
44
4 ABBILDUNGEN
Lemma 2. Die Menge As der Anspiegelungen bildet ein invariantes
2
involutorisches Erzeugendensystem der äquianen Gruppe Ae2 :
V ( 6= id ^ = id) ( Involution);
2A
V V ( 2 As ) (Invarianz von As );
(2)
2A 2A
V W
W ( = ::: ) (As erzeugt Ae ):
(3)
(1)
2
s
2
1
s
2
2
e
2
2Ae2 n2N 1 ;:::;n2As2
2
1
n
2
2
4.3 Ähnlichkeitsabbildungen
Denition 1. heiÿt Ähnlichkeitstransformation (äquiforme Transformation, Ähnlichkeitsabbildung) des n-dimensionalen euklidischen Raumes (P; Vn; R)
:()
(1) 2 SP ( ist Bijektion von P auf P),
(2)
W d(A; B) = d(C; D) )
V
A;B;C;D2P 2R+
d( (A); (B)) = d( (C ); (D)) :35
Hn bezeichne die Menge aller Ähnlichkeitstransformationen von (P; Vn; R).
Hilfssatz 1. Jede Ähnlichkeitstransformation bildet parallele Geraden
auf parallele Geraden ab.
Folgerung:
^ _
!!
^ 2Hn 2R+ X;Y 2P
d( (X ); (Y )) = d(X; Y ) :
Diese durch eindeutig bestimmte Zahl heiÿt Ähnlichkeitsfaktor von .
Lemma 1. Jede Ähnlichkeitstransformation des euklidischen Raumes
(P; Vn; R) induziert vermöge
!
! 7 ! x0 = ' (x) := (A) (B)
x = AB
eine lineare Abbildung ' 2 GL(Vn).
35
d: euklidischer Abstand, vgl. S. 31.
4.3 Ähnlichkeitsabbildungen
45
Satz 1. Die Menge Hn aller Ähnlichkeitstransformationen des n-dimen-
sionalen euklidischen Raumes (P; Vn; R) bildet eine Untergruppe von An , die
(volle) Ähnlichkeitsgruppe (Hauptgruppe oder äquiforme Gruppe) mit der
Gruppe Tn aller Translationen als Normalteiler:
Tn Hn < An :
Folgerung: (Analytische Darstellung von Ähnlichkeitstransformationen)
Zu jeder Ähnlichkeitstransformation 2 Hn des euklidischen Raumes
(P; Vn; R) existieren bei festem (kartesischem) Koordinatensystem (O; e1; :::; en)
eine reguläre Matrix H 2 Mrn (R) und ein Vektor t 2 Vn mit
(X ) = X 0 () x0 = Hx + t ;
wobei für H = (ik ) und Ähnlichkeitsfaktor von gilt
(
n
X
li lk = 02 (i 6= k); und jH j = n :
(i = k )
l=1
Satz 2. (Invarianten der Hauptgruppe)
Neben den Invarianten der anen Gruppe (Satz 4.2.2) und der (charakteristischen) Invariante Streckenverhältnis besitzt Hn die Winkelgröÿe als wichtige zusätzliche Invariante.36 Insbesondere werden orthogonale ane Unterräume auf orthogonale ane Unterräume abgebildet.
Denition 2. = Z; heiÿt zentrische Streckung (Dilatation) des euklidischen Raumes (P; Vn ; R) mit dem Zentrum Z und dem Streckungsfaktor
2 R+ :,
^
X 2P
!:
(X ) = Z + ZX
Hilfssatz 2. a) Jede zentrische Streckung = Z; ist eine Ähnlichkeitstransformation mit dem Fixpunkt Z , dem Ähnlichkeitsfaktor
und der
! bzw.
analytischen Darstellung (x) = E x + (1 )z für z := OZ
n
(x) = x + (1 )z :
b) Die Menge HZ aller zentrischen Streckungen mit demselben Zentrum
Z bildet eine Untergruppe von Hn :
^
(HZ < Hn ):
Z 2P
Lemma 2. (Strahlensätze) Werden zwei verschiedene Strahlen
! ^ 0g und b = ZB+ mit demselben
a = ZA+ := fX 2 P : X = Z + ZA
36
deshalb der Name äquiforme Gruppe
46
4 ABBILDUNGEN
Anfangspunkt Z von zwei Geraden g := g (AB ) und g 0 := g (A0B 0 ) geschnitten (A0 2 a; B 0 20 b), so 0 gilt mit XY := d(X;
Y)
ZB
AA0 = BB 0 ),
=
(und
damit
(1) g kg 0 =) ZA
ZA
ZB
ZA
ZB
0
A0 B 0
(2) g kg 0 =) ZA
ZA = AB
und umgekehrt
0
ZB 0
0
(1') ZA
ZA = ZB =) g kg ,
0
A0 B 0
0
(2') ZA
ZA = AB ^ AB > ZA =) g kg :
4.4 Bewegungen
Denition 1. heiÿt Bewegung (Kongruenztransformation, Isometrie) des
n-dimensionalen euklidischen Raumes (P; Vn; R) :()
(1) 2 SP ( ist Bijektion von Pauf P),
V
(2)
d(A; B ) = d( (A); (B)) :
A;B 2P
Bn bezeichne die Menge aller Bewegungen von (P; Vn; R).
Lemma 1. Jede Bewegung des euklidischen Raumes (P; Vn; R) indu-
ziert vermöge
!
! 7 ! x0 = ' (x) := (A)(B)
x = AB
eine lineare Abbildung ' 2 GL(Vn).
Satz 1. Die Menge Bn aller Bewegungen des n-dimensionalen euklidischen Raumes (P; Vn; R) bildet eine Untergruppe von Hn , die (volle) Bewegungsgruppe (Kongruenztransformationsgruppe, Isometriegruppe) mit der
Gruppe Tn aller Translationen als Normalteiler:
Tn Bn < Hn ^ Bn =T O(n) < GL(Vn ):
Folgerung: (Analytische Darstellung von Bewegungen)
Zu jeder Bewegung 2 Bn des euklidischen Raumes (P; Vn; R) existieren
bei festem (kartesischem) Koordinatensystem (O; e1; :::; en) eine orthogonale
Matrix B 2 Mrn (R) und ein Vektor t 2 Vn mit
n
(X ) = X 0 () x0 = Bx + t ;
!
! x0 = OX 0, und für B = ( ) gilt
wobei x = OX;
ik
(
n
X
lilk = 0 (i 6= k); bzw. B t = B 1 ; also jB j = 1:
1 (i = k)
l=1
4.4 Bewegungen
47
Satz 2. (Invarianten der Bewegungsgruppe)
Neben den Invarianten der anen Gruppe (Satz 4.2.2), der Hauptgruppe
(Satz 4.3.2) und der (charakteristischen) Invariante Länge besitzt Bn den
Inhalt (n-dimensionales Volumen) als wesentliche zusätzliche Invariante.
Denition 2. (Spezielle Bewegungen)
a) Eine Bewegung 2 Bn heiÿt eigentlich, orientierungstreu oder direkte Kongruenztransformation ( 2 Bn ) :, jB j = +1; sonst uneigentlich
+
oder indirekte Kongruenztransformation.
b) Eine Abbildung = O;' von P in P heiÿt Drehung der euklidischen
Ebene (P; V2; R) mit dem Drehzentrum O 2 P um den (Dreh-) Winkel der
! und x0 = O(X!) gilt
Gröÿe ', wenn für alle X 2 P mit x := OX
0
' sin ' 1 :
x0 = 10 = cos
sin
'
cos ' 2
2
c) Eine Abbildung = a von P in P heiÿt Spiegelung (Geradenspiegelung) der euklidischen Ebene an der Spiegelachse a = 1 Achse, wenn für
x0 = (x) gilt
0 1 0 0
x = 10 = 0 1 1 :
2
2
d) Eine Abbildung = a;' von P in P heiÿt Drehung des euklidischen
Raumes (P; V3; R) mit der Drehachse a = 3 Achse um den (Dreh-) Winkel
! und x0 = O(X!) gilt
der Gröÿe ', wenn für alle X 2 P mit x = OX
00 1 0cos ' sin ' 01 0 1
1
1
x0 = @20 A = @ sin ' cos ' 0A @2 A :
30
0
0
1 3
e) Eine Abbildung = " von P in P heiÿt Spiegelung (Ebenenspiegelung) des euklidischen Raumes (P; V3; R) an der Ebene " = 1 2 Ebene,
! und x0 = O(X!) gilt
wenn für alle X 2 P mit x = OX
00 1 01 0 0 1 0 1
1
1
x0 = @20 A = @0 1 0 A @2A :
30
0 0 1 3
Hilfssatz 1. a) Alle in Def. 2 erklärten Abbildungen sind Bewegungen
der euklidischen Ebene bzw. des euklidischen Raumes.
b) Jede nicht identische ebene Bewegung ist entweder eine Translation
x0 = x + t
48
4 ABBILDUNGEN
oder eine Drehung mit einem Zentrum Z 2 P um einen Winkel der Gröÿe '
x0 = Bx + (E2
cos '
!
sin ' ; E = 1 0 ; z = OZ;
B)z mit B = sin ' cos
2
'
0 1
oder eine Gleitspiegelung g an der Achse g
0 cos 2'
20 = sin 2'
1
+
+
;
sin 2'
cos 2'
1
1
2 2
1
2
1
2
wenn die Achse g die Gleichung x = y + a mit y = ; a = 1 hat,
2
2
ae1 = jaj cos ' gilt und der (eventuell verschwindende) Translationsanteil durch einen Translationsvektor t = a bestimmt ist.
1
Hilfssatz 2. a) Eine Drehung g;' des euklidischen Raumes
mit der
!
!
Drehachse g (AB ) um den Winkel der Gröÿe ' wird für a = OA, b = OB
und c := b a beschrieben durch
' (x a)cc + sin ' c (x a):
x0 = a + (x a) cos ' + 1 cos
2
jcj
c
b) Jede Bewegung des euklidischen Raumes ist entweder eine Schraubung
t g;' (g k t) mit eventuell verschwindendem Dreh- oder Translationsanteil, eine Drehspiegelung g " (g ? ") mit eventuell verschwindendem
Drehanteil oder eine Gleitspiegelung t " (t k ").
Lemma 2. a) Die eigentlichen Bewegungen bilden eine Untergruppe der
Bewegungsgruppe:
Tn B+n < Bn ^ B+n =T SO(n) < O(n):
b) Jede ebene Bewegung ist das Produkt von höchstens drei Geradenspiegelungen.
n
c) Jede räumliche Bewegung ist das Produkt von höchstens vier Ebenenspiegelungen.
Folgerung: Die Spiegelungen bilden ein invariantes involutorisches Er-
zeugendensystem der Bewegungsgruppe.37
Bemerkungen:
1. In der reellen euklidischen Ebene gibt es keine allgemeineren Kollineationen als die anen Abbildungen: Jede geradentreue Transformation
37
vgl. Lemma 4.2.2
4.5 Anwendung (Klassikation der Kurven zweiter Ordnung)
49
(Kollineation) der (reellen) euklidischen Ebene ist eine Anität.
2. Erst in allgemeineren (projektiven) Räumen gibt es allgemeinere Kollineationen (projektive Transformationen).
3. Erlanger Programm (F. Klein: Vergleichende Betrachtungen über
neuere geometrische Forschungen. Antrittsvorlesung, Erlangen 1872):38
Es ist eine Mannigfaltigkeit und in derselben eine Transformationsgruppe gegeben;
man soll die der Mannigfaltigkeit angehörigen Gebilde hinsichtlich solcher Eigenschaften untersuchen, die durch die Transformationen der Gruppe nicht geändert
werden.
- Geometrie ist die Invariantentheorie einer Transformationsgruppe über einer Mannigfaltigkeit.
Mannigfaltigkeit
Gruppe Invarianten
Geometrie
Aner Raum
An Teilverhältnis
ane Geometrie
Euklidischer Raum Hn
Streckenverh. äquiforme Geometrie
Euklidischer Raum Bn
Längen
euklidische Geometrie
4.5 Anwendung (Klassikation der Kurven zweiter Ordnung)
Denition 1. Eine Kurve zweiter Ordnung (Kegelschnitt) ist die Menge K
aller Punkte X 2 P der euklidischen Ebene (P; V ; R), deren Koordinaten
; eine quadratische Gleichung der Form
2
(1) 11 2 + 22 2 + 212 + 213 + 223 + 33 = 0
erfüllen mit Koezienten ik 2 R und 211 + 222 + 212 > 0:
Als Spezialfall einer Quadrik können die Ortsvektoren x der Punkte von K auch
durch eine inhomogene quadratische Form
q(x) + '(x) + 33 = 0
beschrieben werden mit der homogenen quadratischen Form q(x) = f (x; x), die
durch die symmetrische Bilinearform
12 2 Ms (R)
f (x; y) = xtA33 y mit A33 = 11
2
12 22
gegeben ist, der linearen Form
'(x) = 213 + 223
38
Felix Klein, 1849-1925
50
4 ABBILDUNGEN
und der Konstanten 33 2 R.
Schlieÿlich läÿt sich K auch beschreiben durch die Matrixform
(1')
0 1
(; ; 1)A @A = 0
0 mit A = @ 11
12
12
22
1
13
23A 2 Ms3(R):
33
13 23
1
Zwei Matrizen A; B 2 Mn (R) heiÿen orthogonal kongruent
A B :()
_
(B = C t AC ):
C 2O n
Hilfssatz 1. Jede symmetrische Matrix A 2 Msn (R) ist othogonal kongruent
( )
zu einer Diagonalmatrix.
Früher wurde durch Hauptachsentransformation eine Orthonormalbasis
aus Eigenvektoren der Matrix A33 konstruiert, so daÿ der quadratische Anteil q (x) der Quadrik durch eine Diagonalmatrix beschrieben werden konnte
und so eine Normalform der Gleichung (1) erreicht wurde. Jetzt soll (äquivalent dazu) die Punktmenge K einer Bewegung 2 B2 unterworfen werden,
so daÿ sich (K) in Hauptachsenlage bezüglich des vorgegebenen kartesischen
Koordinatensystems bendet.
1. Schritt: Eine Drehung = O;' um den Ursprung O und einen Winkel
der Gröÿe ' mit
(a) cot 2' = 2 22
11
12
für 12 6= 039
überführt K in (K) mit der Gleichung
(2) 11 2 + 22 2 + 2 13 + 2 23 + 33 = 0 bzw.
0 1
(2') (; ; 1)B @ A = 0 mit
1
0 0 1
B = @ 0 A = C tAC
11
13
22
23
13 23 33
0 cos '
für C := @ sin '
0
cos '
sin '
33 x =
sin ' cos '
x0 = (x) = C t
39
1
sin ' 0
cos ' 0A ; also
0 1
Im Fall 12 = 0 ist ' = 0 zu setzen, die Drehung ist nicht notwendig: = id.
4.5 Anwendung (Klassikation der Kurven zweiter Ordnung)
51
und mit
(b) 11 + 22 = 11 + 22 und 33 = 33,
(c) jBj = jAj;
(d) B33 = 11 22 = A33 ;40
(e) B11 + B22 = A11 + A22:
2. Schritt: Durch eine Translation x = (x) := x x0 bzw. x = x + x0
wird (K) mit Gleichung (2) in (K) überführt mit der Darstellung
11 2 + 22 2 + 2 (110 + 13) + 2 (220 + 23) + = 0 mit
(f) := 1102 + 22 02 + 2 13 0 + 2 230 + 33
(bei Weglassen der Querstriche).
Dabei sollen 0; 0 bestimmt werden durch das Gleichungssystem
(g)
+ 13 = 0 .
220 + 23 = 0
11 0
1. Fall: = B =d A 6= 0 =) (g) ist eindeutig lösbar mit
( )
11
22
33
33
0 = 13 ; 0 = 23 ; = BjBj ; also
33
11
22
(3) 11 2 + 22 2 + BjB j = 0:
33
Eine weitere Fallunterscheidung erfolgt nun nach dem Rang r := rg A =
rg B der Matrix B bzw. A (vgl. Hilfssatz 1):
1.1. r = 3 ; also jAj = jBj =6 0 und = BjBj 6= 0:
33
Im elliptischen Fall A33 > 0 haben 11 und 22 dasselbe Vorzeichen,
und es ergeben sich mit 2 := j j > 0; 2 := j j > 0 die folgenden
beiden Möglichkeiten:
11
40
Xik := (
Matrix X .
i+k
1)
22
jX j bezeichne das algebraische Komplement des Elementes einer
ik
ik
52
4 ABBILDUNGEN
2
2
(I) 2 + 2 + 1 = 0
(K heiÿt imaginäre Ellipse)
für den Fall (11 + 22)jAj > 0 und
2
2
(I') 2 + 2 1 = 0
(K heiÿt (reelle) Ellipse)
für den Fall (11 + 22)jAj < 0.
Im hyperbolischen Fall A33 < 0 haben 11 und 22 verschiedene Vorzeichen, und es ergeben sich analog die beiden Möglichkeiten:
2
(II) 2
2 1 = 0 (K heiÿt Hyperbel)
2
für den Fall 11jAj > 0 und
2
(II') 2
2 + 1 = 0
2
für den Fall 11jAj < 0.
(K heiÿt (zu (II) konjugierte) Hyperbel)
1.2. r = 2 ; also jAj = jBj = = 0; und (3) reduziert sich zu
11 2 + 22 2 = 0:
In Abhängigkeit von den Vorzeichen von 11 und 22 ergeben sich wieder
zwei Möglichkeiten:
2
2
(III) 2 + 2 = 0
(K heiÿt imaginäres Geradenpaar)41
für den Fall A33 = 11 22 > 0 und
2
(III') 2
2 = 0 (K ist ein (reelles) Geradenpaar)
2
für den Fall A33 = 11 22 < 0:
2. Fall: 1122 = B33 = A33 = 0 : Das bedeutet, daÿ der Rang der
Koezientenmatrix B33 des Gleichungssystems (g) kleiner als 2 ist, und die
Lösbarkeit von (g) hängt vom Rang
0 0
:= rg 011 13
22
23
41
mit reellem Schnittpunkt
4.5 Anwendung (Klassikation der Kurven zweiter Ordnung)
53
der Systemmatrix ab. Da = 0 unmöglich ist, muÿ zunächst gelten
entweder 11 = 0 oder 22 = 0; sei o.B.d.A. 11 = 0 ^ 22 6= 0 :
Also gilt = 1, und (g) ist genau dann lösbar, wenn auch 0 = 1 ist. Eine
weitere Fallunterscheidung erfolgt nun wieder nach dem Rang r der Matrix
A bzw. B.
2.1. r = 3 Dann ergibt sich mit
0 0 0 = 6= 0
13
13
22
23
23
33
22
2
13
0 = 2 > , und (g) ist nicht lösbar, und für
222 + 2 13 + 2 23 + 33 = 0
ist nur das Verschwinden des Koezienten 23 erreichbar durch den erneuten
Translationsansatz
= + 0 ^ = + 0 :
Mit 0 := ; 0 := 21 ( 33 ); p := 6= 0 ergibt sich
(IV) 2 2p = 0 (K heiÿt Parabel).
23
22
13
2
23
13
22
22
2.2. r = 2 Dann muÿ B = B = 0 gelten, was auf 0 = 1 führt, so
31
32
daÿ (g) lösbar wird, und sich mit 11 = 0 die Darstellung
22 2 + = 0
ergibt, so daÿ sich in Abhängigkeit von der Vorzeichenverteilung von 22 und
folgende zwei Fälle ergeben:
(V) 2 + 2 = 0 (K heiÿt imaginäres Parallelenpaar)
für den Fall A11 + A22 > 0 und
(V') 2 2 = 0 (K heiÿt (reelles) Parallelenpaar)
für den Fall A11 + A22 < 0:
2.3. r = 1 Dann ist 0 = 1 und (g) lösbar bei gleichzeitigem Verschwin-
den des absoluten Gliedes , und es ergibt sich schlieÿlich
(VI) 2 = 0
(K heiÿt Doppelgerade).
54
4 ABBILDUNGEN
Satz 1. (Klassikation der Kurven 2. Ordnung) a) Für Kurven 2. Ordnung mit der Gleichung (1) bzw. (1') gilt folgende Einteilung in Abhängigkeit
von den Koezienten:
rgA
A33 > 0
A33 < 0
A33 = 0
3
reelle: (11 + 22)jAj < 0
imag.: (11 + 22)jAj > 0
Hyperbel
Parabel
2
Ellipse
imaginäres
Geradenpaar
mit reellem S.-Pkt.
1
Parallelenpaar
Geradenpaar reell: A + A < 0
11
22
imag.: A11 + A22 > 0
-
Doppelgerade
-
b) Nach Hauptachsentransformation lassen sich die Kurven entsprechend durch folgende Normalformen beschreiben:
rg A
3
A33 > 0
A33 < 0
+ 1= 0 2
2
2
2
2
2
2
+ =0
1
-
2
2
2
2
A33 = 0
2
2
1 = 0 2p = 0
2
2
2
2
2 2 = 0
-
2 = 0
=0
2
Index
Abel, N. H., 9
Archimedes, 20
Cantor, G., 10
Cauchy, A. L., 31
Cayley, A., 10
Dedekind, R., 10
Desargues, G., 23
Descartes, R., 31
Euklid, 18
Euler, L., 19
Fermat, P., 19
Gram, J. P., 32
Hesse, L. O., 33
Hilbert, D., 29
Klein, F., 49
Peano, G., 15
Platon, 38
Schwarz, H. A., 31
axiale Anität, 43
Basis, 25
orthonormierte, 30
Betrag eines Vektors, 30, 31
Bewegung, 46
eigentliche, 47
uneigentliche, 47
Bewegungsgruppe, 46
bijektiv, 5
Bilinearform, 31
Bruch, 21
Cantorsches Diagonalverfahren, 11
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung,
31
Denitionsbereich, 5
Dezimalbruch, 21
dicht, 20
Dierenz, mengentheoretische, 4
Dierenzengleichheit, 16
Dilatation, 45
Dimension, 25
Dimensionssatz, 40
Division mit Rest, 18
Dodekaeder, 38
Doppelgerade, 53
Drehachse, 47
Drehspiegelung, 48
Drehung
ebene, 47
im Raum, 47
Drehzentrum, 47
Dreieck, 37
Durchschnitt, 4
Abbildung, 5
identische, 5
ane, 41
lineare, 25, 40
Rang einer linearen, 40
abzählbar unendlich, 11
Ähnlichkeitsfaktor, 44
Ähnlichkeitsgruppe, 45
Ähnlichkeitstransformation, 44
Äquivalenzrelation, 7
an unabhängig, 36
ane Kombination, 27
ane Koordinaten, 28
Anität, 41
Anspiegelung, 43
algebraische Struktur, 8
allgemeine Lage, 36
Anfangspunkt, 46
aussagenlogische Funktoren, 3
Auswahlaxiom, 13
Auswahlmenge, 13
Automorphismus, 9
Ebene, 27
Achsenabschnittsform, 35
allgemeine Gleichung, 34
Determinantenform, 34
Dreipunkteform, 34
55
56
Hessesche Normalform, 34
Parameterdarstellung, 29
Punktrichtungsdarstellung, 34
Vektorproduktform, 34
Ebenenspiegelung, 47
Eckpunkt, 37
Eigenschaftsgleichheit, 4
Ellipse
imaginäre, 52
reelle, 52
endliche Menge, 10
Endomorphismus, 9
Epimorphismus, 9
Erlanger Programm, 49
Erzeugendensystem, 44
invariantes, 44
involutorisches, 44
euklidische Ebene, 35
Euklidischer Algorithmus, 18
Eulersche '-Funktion, 19
Extensionalitätsaxiom, 4
Faktoralgebra, 9
Fastring, 14
Fermatsche Primzahl, 19
Fixpunkt, 42
Fixpunktgerade, 43
Flächeninhalt, 33
g-adische Zahldarstellung, 18
ganze Zahlen, 16
algebraische Charakterisierung,
16
assoziierte, 17
teilerfremde, 17
gebrochene Zahlen, 16
geordnetes Paar, 4
Gerade, 27
Achsenabschnittsform, 34
allgemeine Gleichung, 33
Hessesche Normalform, 33
Normalform, 33
Parameterdarstellung, 29
Punktrichtungsdarstellung, 33
INDEX
Punktrichtungsform in Koordinaten, 33
Richtungsvektor, 33
Vektorproduktform, 33
Zweipunkteform, 33
Geradenpaar
imaginäres, 52
reelles, 52
Geradenspiegelung, 47
gleichmächtig, 10
Gleitspiegelung, 48
Gramsche Determinante, 32
gröÿter gemeinsamer Teiler, 17
Gruppe, 9
äquiane, 44
äquiforme, 45
abelsche, 9
symmetrische, 6
ane, 42
der Ähnlichkeitstransformationen, 45
der Isometrien, 46
der Kongruenztransformationen,
46
Halbgruppe, 9
Halbordnungsrelation, 12
Halbraum, 37
Hauptgruppe, 45
Hintereinanderausführung, 6
Homomorphiesatz, allgemeiner, 9
Homomorphismus, 8
Hülle
ane, 27
konvexe, 36
lineare, 25
Hüllenoperator, 26
Hyperbel, 52
konjugierte, 52
Hyperebene, 27
Ikosaeder, 38
Inmum, 12
injektiv, 5
INDEX
Inklusion, 4
Integritätsbereich, 10, 16
Integritätsring, 10, 16
Intervallschachtelung, 21
Involution, 44
Isometrie, 46
isomorph, 9
Isomorphiesatz, 9
Isomorphismus, 9
kanonische Abbildung, 9
Kante, 37
Kardinalzahl, 11
kartesisches Produkt, 4
k-Ebene, 27
Kegelschnitt, 49
Kern, 25, 40
Kette, 12
Klasseneinteilung, 7
kleinstes gemeinsames Vielfaches,
17
Körper, 10
stetiger, 22
Kollineation, 49
Komponenten, 28
Kongruenz modulo m, 19
Kongruenzrelation, 8
Kongruenztransformation, 46
direkte, 47
uneigentliche, 47
konvex, 36
konvexe Kombination, 35
Koordinatensystem
anes, 28
Korrespondenz, 5
Kurve zweiter Ordnung, 49
Länge, 30, 31
leere Menge, 4
Linearkombination, 25
Mächtigkeit, 11
maximales Element, 12
Maximum, 12
Mengenbildungsaxiom, 4
57
minimales Element, 12
Minimum, 12
Monomorphismus, 8
Nachfolger, 14
natürliche Zahlen, 14
algebraische Charakterisierung,
15
axiomatische Charakterisierung,
15
genetische Einführung, 14
isomorphe Einbettung, 16
neutrales Element, 7
Norm, 31
Normalform, 50, 54
Normalteiler, 9
Oktaeder, 38
Operation
n-stellige, 6
assoziative, 7
binäre, 6
distributive, 7
idempotente, 7
kommutative, 7
Ordnung, 12
Ordnungsrelation, 12
archimedische, 20
orthogonal, 30
orthogonale Kongruenz, 50
Orthogonalstreckung, 43
Ortsvektor, 28
Paar, geordnetes, 4
Paarbildungsprinzip, 4
Parabel, 53
parallel, 28
Parallelenpaar
imaginäres, 53
reelles, 53
Parallelepiped, 33, 38
Parallelotop, 38
Parallelprojektion, 41
Parameterdarstellung, 29
Peano-Algebra, 15
58
Permutation, 6
Permutationsgruppe, 6, 10
Platonische Körper, 38
Polyeder
allgemeines, 37
konvexes, 37
Polygon
konvexes, 37
Polytop, 37
Potenzmenge, 4
prädikatenlogische Funktoren, 3
Primzahl, 18
Prisma, 38
Produkt von Korrespondenzen, 6
Pyramide, 38
Quadrik, 49
Quotientengleichheit, 20
Quotientenkörper, 10
rationale Zahlen, 20
algebraische Charakterisierung,
21
Anordnungseigenschaften, 20
Raum
aner, 26
dualer linearer, 40
euklidischer, 30, 35
linearer, 24
metrischer, 31
normierter, 31
Rechtssystem, 32
reelle Zahlen, 21
algebraische Charakterisierung,
22
Relation
antisymmetrische, 7
asymmetrische, 7
binäre, 6
irreexive, 6
konnexe, 7
lineare, 7
n-stellige, 6
reexive, 6
INDEX
symmetrische, 6
transitive, 7
Restklasse, 9
Ring, 10
Satz (Hauptsatz)
Äquivalenzrelationen, 8
algebraische Charakterisierung
der natürlichen Zahlen, 15
algebraische Charakterisierung
der rationalen Zahlen, 21
algebraische Charakterisierung
der reellen Zahlen, 22
allgemeiner Homomorphiesatz,
9
Anordnung rationaler Zahlen,
20
axiomatische Charakterisierung
der natürlichen Zahlen, 15
Basissatz für Vektorräume, 26
Cantorsches Diagonalverfahren,
11
endlichdimensionale Vektorräume, 26
endliche Mengen, 11
Eulerscher Polyedersatz, 38
g -adische Zahldarstellung, 18
Invarianten der Bewegungsgruppe, 47
isomorphe Einbettung der natürlichen ZAhlen, 16
Kurven 2. Ordnung, 54
Parameterdarstellung aner Unterräume, 29
Primfaktorzerlegung, 18
Quotientenkörper, 10
Rechtfertigungssatz, 15
Strahlensätze, 45
von Cayley, 10
von Desargues, 23
Scherung, 43
Schranke
obere, 12
untere, 12
INDEX
Schraubung, 48
Seite, 37
Seitenäche, 37
senkrecht, 30
Simplex, 36
Skalarprodukt, 30, 31
Spat, 38
Spatprodukt, 32
Spiegelung, 47
Standardraum, 35
Strahl, 45
Strecke, 36
Strecken, gerichtete, 23
paralellgleiche, 23
Streckung
zentrische, 45
Streckungsfaktor, 45
Stützgerade, 37
Stützhyperebene, 37
Supremum, 12
surjektiv, 5
Teilbarkeitsregeln, 18
Teiler, 17
Teilverhältnis, 41
Teilverhältnisinvarianz, 41
Tetraeder, 38
Transformation, 6
äquiane, 43
äquiforme, 44
ane, 41
Transformationsgruppe, 6
Translation, 28
translationsgleich, 28
überabzählbar, 11
Umfangsgleichheit, 4
Umkehrkorrespondenz, 5
unendliche Menge, 10
Unendlichkeitsaxiom, 11
Unteralgebra, 8
Unterraum
aner, 27
linearer, 24
59
Vektor, geometrischer, 23
Vektorprodukt, 32
Vektorraum, 24
dualer, 24
euklidischer, 31
Vereinigung, 4
Verschiebung, 28
volles Bild, 40
vollständige Induktion, 15
Volumen, 33, 39
Wertebereich, 5
Winkel, 30, 31
Wohlordnung, 12
Wohlordnungssatz, 13
zentrische Streckung, 45
Zentrum, 45
Zerlegung, 7