Serie 6: Komplexe Zahlen - D-MATH

D-ERDW, D-HEST, D-USYS
Dr. Ana Cannas
Mathematik I
HS 15
Serie 6: Komplexe Zahlen
Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom
26. und 28. Oktober.
Es gibt zwei Darstellungsformen komplexer Zahlen:
• die Normalform oder kartesische Form, wobei die kartesischen Koordinaten als
Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl z dienen;
(
x = Rez
y = Imz
• und die Polarform, die sich äquivalent in der trigonometrischen Form und in
der Exponentialform darstellen lässt, wobei die Polarkoordinaten r und θ als
Betrag und Argument einer komplexen Zahl z dienen.
(
x = r cos θ
y = r sin θ
Die Eulersche Formel
eiθ = cos θ + i sin θ
ermöglicht die direkte Umrechnung zwischen der trigonometrischen und der Exponentialform.
√
π
π
π
Zum Beispiel, hat z = 8ei 6 Betrag r = 8, Argument θ = , Realteil x = 8 cos = 4 3
6
6
π
und Imaginärteil y = 8 sin = 4, kann also äquivalent geschrieben werden als z =
6
√
4 3 + 4i.
√
√
√
Nun hat z = 1 − 3i Realteil x = 1, Imaginärteil y = − 3, Betrag
r
=
12 + 3 = 2
√
x
1
y
− 3
und sein Argument erfüllt cos θ = = und sin θ = =
, durch Betrachtung
r
2
r
2
5π
des Einheitskreises folgt, dass θ =
:
3
1
Die zu z = x + iy = reiθ konjugierte komplexe Zahl ist z̄ = x − iy = re−iθ .
Abhängig vom betrachteten Problem, ist eine oder die andere Darstellung nützlicher.
Während für die Addition die Normalform von Vorteil ist,
z1 + z2 = (x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 )
= (x1 + x2 ) +i (y1 + y2 ),
| {z } | {z }
Re(z1 +z2 )
Im(z1 +z2 )
ist die Multiplikation mit der Polarform einfacher,
z1 · z2 = r1 eiθ1 · r2 eiθ2
= (r1 r2 )ei(θ1 +θ2 ) .
Die Polarform ist somit praktischer um Potenzen zu berechnen und n-te Wurzeln
zu ziehen. Daraus folgen insbesondere trigonometrische Formeln für Summen und
Potenzen von Winkeln:
ei(θ1 +θ2 ) = eiθ1 · eiθ2
und somit
cos (θ1 + θ2 ) = cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2
{z
}
{z
} |
|
iθ1 ·eiθ2
i(θ
+θ
)
Re
e
1
2
(
)
Re(e
)
sin (θ1 + θ2 ) = sin θ1 cos θ2 + cos θ1 sin θ2
{z
}
|
{z
} |
iθ1 ·eiθ2
i(θ
+θ
)
Im
e
1
2
(
)
Im(e
)
und aus
einθ = eiθ
2
n
folgen
cos(nθ) = Re (cos(nθ) + i sin(nθ))n
sin(nθ) = Im (cos(nθ) + i sin(nθ))n .
Sei
z0 = r0 eiθ0
eine komplexe Zahl. Es folgt aus der Multiplikation komplexer Zahlen, dass die nten Wurzeln von z0 , d.h. die n Lösungen z der Gleichung
z n = z0 ,
die Zahlen von der Form
z=
√
n
r0 ei
θ0 +2kπ
n
,
k = 0, 1, 2, · · · , n − 1.
| {z }
Betrag
sind.
Der Fundamentalsatz der Algebra (Gauss) besagt, dass jede Polynomgleichung
der Form
an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 = 0
mit komplexen Koeffizienten a0 , a1 , · · · , an , mit n ≥ 1 und an 6= 0 genau n komplexe
Lösungen hat. Dabei wird jede mehrfache Nullstelle mit ihrer Vielfachheit gezählt.
1. Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der folgenden Zahlen:
a)
1
.
1+i
b)
3 + 4i
.
2−i
3π
d) 2e 4 i .
c) e−1 + πi .
2012
1+i
.
e)
1−i
f) die beiden Quadratwurzeln von i.
2. Bestimmen Sie Betrag und Argument der folgenden Zahlen:
√
√
√
1
3
a)
+
i.
b) − 2 + 2i.
2
2
√
3π
c) −3 3 − 3i.
d) 7e 2 i√.
3−i
e) die drei dritten Wurzeln von 8i. f)
.
2π
cos 3 − i sin 2π
3
3. Wie können Sie die folgenden komplexen Zahlen aus z = x + iy geometrisch
gewinnen? Skizzieren sie.
3
a) z + (2 − 3i)
b) z
c) −z
g)
d) (−z)
e) z1
f) z 2
z
|z|
4. Skizzieren Sie die folgenden Punktmengen in der komplexen Zahlenebene.
Eine grundlegende Strategie ist die Gleichungen, welche die Mengen definieren,
bezüglich x und y umzuschreiben.
A := { z
B := { z
C := { z
D := { z
E := { z
∈ C | |z − i| = 4 }.
∈ C | Rez + Imz = 0 }.
∈ C | 1 ≤ |z − i| ≤ 2 }.
∈ C | |z + i| = |z − 1| }.
∈ C | |z| ≥ 1, |Re z| ≤ 1/2, Im z > 0 }.
√
F := { z ∈ C | |iz̄| = 2, Re(iz̄) = 3 }.
1
3
G := { z ∈ C | z = eiπt + e−iπt , 0 ≤ t ≤ 2 }
2
2
Hinweis zu G: Benutzen Sie die Eulersche Formel, um den Realteil x und den
Imaginärteil
Punktes z von G zu bestimmen. Sie finden dann die Glei2 y eines
1
2
chung 2 x + y = 1, die eine Ellipse darstellt.
5. Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungen:
a) z 2 = −9
b) z 3 = 8
c) z 3 = −27i
d) z 4 + 1 = 0
e) z 2 − 2z − 1 = 0
f) z 6 + 2z 3 + 2 = 0
Hinweis: Das ist eine quadratische Gleichung in w = z 3 .
6. Es sei
P (z) = az 2 + bz + c,
z∈
C,
eine polynomiale Funktion mit reellen Koeffizienten a, b, c ∈
R.
a) Zeigen Sie, dass mit jeder Wurzel z von P auch z̄ eine solche Wurzel ist.
b) Angenommen, P nimmt die folgenden Werte an:
P (0) = 3,
und P (i) = −2 + 2i.
Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b und c.
4
7. Sei Rez der Realteil der Zahl z und Imz ihr Imaginärteil. Zeigen Sie, dass für
beliebige komplexe Zahen z, z1 und z2 die folgenden Beziehungen gelten:
d) |z1 + z2 |2 = |z1 |2 + |z2 |2 + 2Re(z1 z2 )
a) z + z = 2Rez
b) z − z = 2iImz
c) |Rez| ≤ |z|
e) |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
Die Lösungen sind:
1.
a) Rez = 21 , Imz =
b) Rez = 25 , Imz =
1
2
11
5
c) Rez = − 1e , Imz = 0
√
√
d) Rez = − 2, Imz = 2
e) Rez = 1, Imz = 0
√
f) Rez = ±
2.
2
,
2
a) r = 1, θ =
b) r = 2, θ =
c) r = 6, θ =
d) r = 7, θ =
√
Imz = ±
2
2
π
3
3π
4
7π
6
3π
2
e) r1 = r2 = r3 = 2, θ1 = π6 , θ2 =
f) r = 2, θ =
5.
5π
,
6
θ3 =
3π
2
π
2
π
3π
a) z1 = 3ei 2 , z2 = 3ei 2
2π
4π
7π
11π
i
6
b) z1 = 2, z2 = 2ei 3 , z2 = 2ei 3
c) z1 = 3i, z2 = 3e 6 i , z3 = 3e
π
3π
5π
7π
d) z1 = ei 4 , z2 = ei 4 , z1 = ei 4 , z1 = ei 4
√
e) z1,2 = 1 ± 2
√ π
√ 11π
√
√
√ 5π
5π
π
f) z1 = √6 2ei 4 , z2 = 6 2ei 12 , z3 = 6 2e−i 12 , z4 = 6 2e−i 4 , z5 = 6 2ei 12 ,
11π
z6 = 6 2e−i 12
6. b) a = 5, b = 2, c = 3
5
MC-Serie 6
1. Sei z ∈ C. Stets reell ist
(a) z − z̄.
(b)
z
.
z̄
(c) z 2 .
(d) ez ez̄ .
2. Sei z ∈ C. Welche Aussage ist im Allgemeinen falsch?
(a) Re(z) = Im(iz).
(b) Im(z) = Re(iz).
(c) Re(z̄) = Im(iz).
(d) Im(z̄) = Re(iz).
6
3. Die Punktemenge
{z ∈ C| |z − 9| = 4}
ist ein Kreis
(a) um z0 = 4 mit Radius 9.
(b) um z0 = 4 mit Radius 3.
(c) um z0 = 9 mit Radius 4.
(d) um z0 = 9 mit Radius 2.
4. Die Punktemenge {z ∈ C | |z| = Re(z) + 1} ist
(a) eine Ellipse.
(b) eine Parabel.
(c) eine Hyperbel.
(d) keine der obigen Kurven.
7
π
π
5. Der Wert von ei 3 · ei 6 is gleich
(a) 1
(b) −i
√
(c)
3
2
+ i 2i
(d) keine der obigen
6. Gegeben seien die komplexen Zahlen z =
Welche Aussage über wz ist korrekt?
z
z 7π
(a) = 4 und arg
=
.
w
w
6
z
z π
(b) = 4 und arg
= .
w
w
2
z
z 7π
(c) = 1 und arg
=
.
w
w
6
z
z π
(d) = 1 und arg
= .
w
w
2
8
√
3 − i und w =
1
2
cos 2π
− i sin 2π
.
3
3
7. Die Nullstellen des Polynoms
p(λ) = λ2 − 2λ + 3
sind
(a)
√
2 + i,
(b) 1 +
√
√
2 − i.
2i, 1 −
√
2i.
√
√
(c) ( 2 + 1)i, ( 2 − 1)i.
(d) keine der obigen.
8. Die Nullstellen des Polynoms p(λ) = λ3 + 8 sind
(a) −2, 2i, −2i.
(b) −2,
π
√
2+
√ √
√
2i, 2 − 2i.
2π
(c) 2ei 3 , 2ei 3 , −2.
π
π
(d) 2ei 3 , 2eiπ , 2e−i 3 .
9
9. Gegeben sei das Polynom p (λ) = λ4 + 3λ2 + 2. Bemerken Sie, dass p (λ) nur von
λ2 abhängt.
Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
(a) Das Polynom hat keine Nullstellen (weder reelle noch komplexe).
(b) p hat mindestens eine reelle Nullstelle.
(c) p hat 2 Paare komplex konjugierte Nullstellen.
(d) Die Nullstellen können nicht bestimmt werden.
10. Es seien z, w ∈ C komplexe Zahlen mit z 4 = 1 und w3 + i = 0.
Welche der folgenden Zahlen sind mögliche Werte der Summe z + w?
(a) i.
(b)
√
3
i
+
.
2
2
(c) 1.
(d)
√
3
1
+i
.
2
2
10