Satz und Beweis Indirekter Beweis Kritik des indirekten Beweises

2 Der Beweis
Themen:
◮
Satz und Beweis
◮
Indirekter Beweis
◮
Kritik des indirekten Beweises
Satz und Beweis
Ein mathematischer Satz besteht aus einer Voraussetzung und einer
Behauptung.
Satz und Beweis
Ein mathematischer Satz besteht aus einer Voraussetzung und einer
Behauptung.
Der Beweis des Satzes besteht aus einer Folge von wahren
Aussagen, deren letzte die Behauptung ist.
Beispiel
Man zeige für a, b ≥ 0
a+b √
≥ ab.
2
Beispiel
Man zeige für a, b ≥ 0
a+b √
≥ ab.
2
Das geschieht häufig so
√
⇒ a + b ≥ 2 ab
⇒
⇒ a2 − 2ab + b2 ≥ 0
Was ist daran falsch?
(a + b)2 ≥ 4ab
⇒
(a − b)2 ≥ 0.
Beispiel
Man zeige für a, b ≥ 0
a+b √
≥ ab.
2
Das geschieht häufig so
√
⇒ a + b ≥ 2 ab
⇒
⇒ a2 − 2ab + b2 ≥ 0
(a + b)2 ≥ 4ab
⇒
(a − b)2 ≥ 0.
Was ist daran falsch?
Korrekt ist natürlich die umgekehrte Reihenfolge.
Der indirekte Beweis
Aus den Wahrheitstafeln folgt
A⇒B
⇔
¬A ∨ B
und entsprechend
¬(A ⇒ B)
⇔
A ∧ ¬B
Der indirekte Beweis
Aus den Wahrheitstafeln folgt
A⇒B
⇔
¬A ∨ B
und entsprechend
¬(A ⇒ B)
⇔
A ∧ ¬B
Im indirekten Beweis zeigen wir daher, dass A ∧ ¬B falsch ist. Dazu
nehmen wir die Verneinung der Behauptung als wahr an und
zeigen, dass nicht gleichzeitig die Voraussetzung wahr ist.
Beispiel
Man zeige für a, b ≥ 0
a+b √
≥ ab.
2
Beispiel
Man zeige für a, b ≥ 0
a+b √
≥ ab.
2
Als Voraussetzung können wir hier (a − b)2 ≥ 0 nehmen. Dann
folgt aus der Annahme
a+b √
< ab,
2
Beispiel
Man zeige für a, b ≥ 0
a+b √
≥ ab.
2
Als Voraussetzung können wir hier (a − b)2 ≥ 0 nehmen. Dann
folgt aus der Annahme
a+b √
< ab,
2
dass
√
⇒ a + b < 2 ab
(a + b)2 < 4ab
⇒
⇒ a2 − 2ab + b2 < 0
mit Widerspruch zur Voraussetzung.
⇒
(a − b)2 < 0.
Die Kontraposition
Aus der Wahrheitstafel für die Implikation folgt
(A ⇒ B)
⇔
(¬B ⇒ ¬A).
Man nennt ¬B ⇒ ¬A die Kontraposition zu A ⇒ B.
Beispiel
Man zeige:
Wenn n2 gerade ist, so ist auch n gerade.
Kontraposition:
Wenn n ungerade ist, so ist auch n2 ungerade.
Beispiel
Man zeige:
Wenn n2 gerade ist, so ist auch n gerade.
Kontraposition:
Wenn n ungerade ist, so ist auch n2 ungerade.
Beweis der Kontraposition:
n = 2k + 1
⇒
n2 = 4k 2 + 4k + 1.
Kritik des indirekten Beweises
In der intuitionistischen Denkrichtung der Mathematik ist nur der
Beweis eines Satzes die Quelle seiner Wahrheit. A ∨ ¬A bedeutet
daher, dass A oder ¬A beweisbar ist.
Kritik des indirekten Beweises
In der intuitionistischen Denkrichtung der Mathematik ist nur der
Beweis eines Satzes die Quelle seiner Wahrheit. A ∨ ¬A bedeutet
daher, dass A oder ¬A beweisbar ist.
Im Gegensatz zur klassischen Logik ist damit der Satz vom
ausgeschlossenen Dritten, also A ∨ ¬A, keine Tautologie mehr und
ein indirekter Beweis nicht erlaubt.
Kritik des indirekten Beweises
In der intuitionistischen Denkrichtung der Mathematik ist nur der
Beweis eines Satzes die Quelle seiner Wahrheit. A ∨ ¬A bedeutet
daher, dass A oder ¬A beweisbar ist.
Im Gegensatz zur klassischen Logik ist damit der Satz vom
ausgeschlossenen Dritten, also A ∨ ¬A, keine Tautologie mehr und
ein indirekter Beweis nicht erlaubt.
Auch wenn man nicht dieser Auffassung ist: Erst einmal direkt
versuchen. Das ist schöner und verständlicher!
Der Satz vom Widerspruch
lautet in formaler Schreibweise ¬(A ∧ ¬A), es kann nicht
gleichzeitig eine Aussage und ihr Gegenteil wahr sein. Er wurde im
westlichen Kulturkreis zum ersten Mal vom Philosophen Aristoteles
(384 v. Chr. - 322 v. Chr.) formuliert.
Der Satz vom Widerspruch
lautet in formaler Schreibweise ¬(A ∧ ¬A), es kann nicht
gleichzeitig eine Aussage und ihr Gegenteil wahr sein. Er wurde im
westlichen Kulturkreis zum ersten Mal vom Philosophen Aristoteles
(384 v. Chr. - 322 v. Chr.) formuliert.
Die Intuitionisten erkennen diesen Satz an, nicht aber den Satz vom
ausgeschlossenen Dritten A ∨ ¬A, der durch die Anwendung der
Wahrheitstafeln aus ihm folgt. Alle von uns formulierten
Schlussregeln beruhen auf der zweiwertigen Logik der
Wahrheitstafeln.
Der Satz vom Widerspruch
lautet in formaler Schreibweise ¬(A ∧ ¬A), es kann nicht
gleichzeitig eine Aussage und ihr Gegenteil wahr sein. Er wurde im
westlichen Kulturkreis zum ersten Mal vom Philosophen Aristoteles
(384 v. Chr. - 322 v. Chr.) formuliert.
Die Intuitionisten erkennen diesen Satz an, nicht aber den Satz vom
ausgeschlossenen Dritten A ∨ ¬A, der durch die Anwendung der
Wahrheitstafeln aus ihm folgt. Alle von uns formulierten
Schlussregeln beruhen auf der zweiwertigen Logik der
Wahrheitstafeln.
Von Siddhartha Gautama (um 350 v. Chr.) ist überliefert:
Die Wahrheit kann nicht gelehrt werden. Denn das, was
wahr ist, dessen Gegenteil ist ebenfalls wahr.
Offenbar hat auch er den Satz vom Widerspruch gekannt.
Beispiel: Die Goldbachsche Vermutung
Jede gerade Zahl größer 2 lässt sich als Summe zweier Primzahlen
darstellen.
Beispiel: Die Goldbachsche Vermutung
Jede gerade Zahl größer 2 lässt sich als Summe zweier Primzahlen
darstellen.
Die Vermutung wird widerlegt, indem man eine gerade Zahl angibt,
die sich nicht als Summe zweier Primzahlen schreiben lässt.
Beispiel: Die Goldbachsche Vermutung
Jede gerade Zahl größer 2 lässt sich als Summe zweier Primzahlen
darstellen.
Die Vermutung wird widerlegt, indem man eine gerade Zahl angibt,
die sich nicht als Summe zweier Primzahlen schreiben lässt.
Ist die Vermutung wahr, so kann es sein, dass man kein Verfahren
für die Konstruktion der beiden Primzahlen angeben kann. Die
Vermutung kann daher wahr, aber unbeweisbar sein.
Zum Schluss
ein Gedicht von Friedrich Wille:
Oh wundervolles Theorem,
so lernsympatisch, schreibbequem,
ich singe froh dir Lob und Preis,
doch falsch ist leider dein Beweis.