Vorkurs Mathematik Kapitel 5 – Einführung in die

Vorkurs Mathematik
Kapitel 5 – Einführung in die Aussagenlogik
Christoph Hindermann
Vorkurs Mathematik
Einführung in die Aussagenlogik
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Einführung in die Aussagenlogik
Epimenides der Kreter sagte: Alle Kreter sind Lügner!
(Paradoxon des Epimenides)
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Einführung in die Aussagenlogik
5.1 Grundbegriffe der Logik und des logischen Schließens
Formale Logik
Die formale Logik ist die philosophische Disziplin, die die formalen Eigenschaften
von Aussagen untersucht, sowie die Beziehungen, die auf Grund der formalen
Eigenschaften zwischen Aussagen bestehen. Die formale Logik macht dabei
wesentlich Gebrauch von künstlichen, symbolischen Sprachen.
Untersuchungsgegenstand
Die formale Logik konstruiert aus Aussagen neue Aussagen und untersucht wie
deren Wahrheitswert durch den Wahrheitswert der alten Aussagen bestimmt ist.
Die formale Logik wird zur Überprüfung von Hypothesen im wissenschaftlichen
Arbeitsprozess und zur Beweisführung benötigt.
Dabei ist eine Aussage ein Ausdruck, der entweder wahr oder falsch sein kann.
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Einführung in die Aussagenlogik
5.1 Grundbegriffe der Logik und des logischen Schließens
Notation
Zunächst werden ganz konkreten, “strukturlosen” Aussagen A, B, C, …. (sog.
Atomaussagen) einen Wahrheitswert zugeordnet. Anstatt von Atomaussagen werden
auch oft Platzhalter, sog. Aussagenvariablen p, q, r, …, verwendet.
Beispiele:
Immer wenn es regnet (p), dann ist es nass (q). Es regnet (p). Also ist es nass (q).
Immer wenn es regnet (p), dann ist es nass (q). Es ist nass (q). Also regnet es (p)
oder nicht (¬p).
Immer nur genau dann wenn die Sonne scheint (u), dann ist es Nacht (v). Es ist
Nacht (v). Also scheint die Sonne (u).
Immer nur genau dann wenn Anna einen Hund (h) oder eine Katze (k) streichelt,
freut sie sich (f). Anna streichelt einen Igel (¬h ∧¬k). Also freut sich Anna
nicht (¬f).
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Einführung in die Aussagenlogik
5.1 Grundbegriffe der Logik und des logischen Schließens
Notation
Zunächst werden ganz konkreten, “strukturlosen” Aussagen A, B, C, …. (sog.
Atomaussagen) einen Wahrheitswert zugeordnet. Anstatt von Atomaussagen
werden auch oft Platzhalter, sog. Aussagenvariablen p, q, r, …, verwendet.
Um Aussagen logisch zu verknüpfen, werden Junktoren verwendet, z.B.:
→
¬
∧
∨
→
→ Subjunktion (auch materiale Implikation), bedeutet “wenn dann”
→
↔ Bisubjunktion, bedeutet “genau dann, wenn”
→
→
Negation, bedeutet “nicht”
Konjunktion, bedeutet “und”
Adjunktion, bedeutet nicht-ausschließendes “oder”
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Einführung in die Aussagenlogik
5.1 Grundbegriffe der Logik und des logischen Schließens
Notation
Zunächst werden ganz konkreten, “strukturlose” Aussagen A, B, C, …. (sog.
Atomaussagen) einen Wahrheitswert zugeordnet. Anstatt von Atomaussagen
werden auch oft Platzhalter, sog. Aussagenvariablen p, q, r, …, verwendet.
Des Weiteren benutzt man Klammern {,[ ,( ,) ,] ,}, um eine durch einen Junktur
verbundene Aussage zu umgeben.
Zusätzlich wird oft noch von Quantoren Gebrauch gemacht:
→
∀
Allquantor, bedeutet “für alle”
→
∃
Existenzquantor, bedeutet “es existiert mindestens ein”
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5.2 Molekularaussagen
Mit Hilfe der Junktoren können aus Atomaussagen Molekularaussagen geformt
werden.
Beispiele:
→ zweistellige Junktoren:
(S ∧T )
(S ∨T )
( I → G)
(M ↔ P)
S und T
S oder T
wenn I, dann G
M genau dann, wenn P
→ Negation als einstelliger Junktor:
¬W
¬¬W
nicht W
nicht nicht W
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5.2 Molekularaussagen
Mit Hilfe der Junktoren können aus Atomaussagen Molekularaussagen geformt
werden.
Beispiele:
→ kompliziertere Verknüpfungen
[¬(U ∨B)∧W ]
[ D→(G ∧U )]
[S ∧( M ∨Z )]
[(S ∧ M )∨Z ]
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nicht U und auch nicht B, aber sehr wohl W
wenn D, dann G und U
S und (M oder Z)
S und M zusammen oder nur Z
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5.2 Molekularaussagen
Beispiele: Immer wenn es regnet (p), dann ist es nass (q). Es regnet (p). Also
ist es nass (q). ((p → q) ∧ p) → q
Immer wenn es regnet (p), dann ist es nass (q). Es ist nass (q). Also
regnet es (p) oder nicht (¬p). ((p → q) ∧ q) → (p ⋁ ¬p)
Immer nur genau dann wenn die Sonne scheint (u), dann ist es
Nacht (v). Es ist Nacht (v). Also scheint die Sonne (u).
((u ↔ v) ∧ v) → u
Immer nur genau dann wenn Anna einen Hund (h) oder eine Katze
(k) streichelt, freut sie sich (f). Anna streichelt einen Igel (¬h ∧
¬k). Also freut sich Anna nicht (¬f).
(((h ⋁ k) ↔ f) ∧ (¬h ∧ ¬k)) → ¬f
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5.3 Wahrheitsfunktionen
Wahrheitstafeln einfacher Molekularaussagen dienen dazu, den Wahrheitsgehalt
einer Aussage zu prüfen. Hierbei stellen Junktoren wahrheitsfunktionale
Verbindungen zwischen Aussagen dar. Somit hängt der Wahrheitswert von
Molekularaussagen allein vom Wahrheitswert der Atomaussagen ab.
Wahrheitstafel:
p
q
¬p
¬q
(p˄q)
(p˅q)
(p→q)
(p↔q)
w
w
f
f
w
w
w
w
w
f
f
w
f
w
f
f
f
w
w
f
f
w
w
f
f
f
w
w
f
f
w
w
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5.3 Wahrheitsfunktionen
Wahrheitstafel:
p
q
¬p
¬q
(p˄q)
(p˅q)
(p→q)
(p↔q)
w
w
f
f
w
w
w
w
w
f
f
w
f
w
f
f
f
w
w
f
f
w
w
f
f
f
w
w
f
f
w
w
In Worten:
→ die Negation ist immer genau dann wahr, wenn eine Aussage falsch ist
→ die Konjunktion ist immer genau dann wahr, wenn alle Aussagen wahr sind
→ die Adjunktion ist genau dann falsch, wenn keine Aussage wahr ist
→ die Subjunktion ist nur dann falsch, wenn aus einer wahren Aussage eine falsche folgt
→ die Bisubjunktion ist wahr, wenn beide Aussagen den gleichen Wahrheitswert aufweisen
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5.3 Wahrheitsfunktionen
Immer wenn es regnet (p), dann ist es nass (q). Es regnet (p). Also ist es nass (q).
((p → q) ∧ p) → q
Wahrheitstafel:
p
q
¬p
¬q
(p˄q)
(p˅q)
(p→q)
(p↔q)
w
w
f
f
w
w
w
w
w
w
w
f
f
w
f
w
f
f
f
f
f
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f
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f
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f
w
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((p → q) ∧ p) ((p → q) ∧ p) → q
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5.3 Wahrheitsfunktionen
Wahrheitstafeln komplizierter Molekularaussagen
Definition:
Ein Aussagenschema nennt man:
→ erfüllbar, wenn es mit zumindest einer Wahrheitswertbelegung den Wert “wahr” hat;
→ tautologisch wenn es mit jeder beliebigen Wahrheitswertbelegung den Wert „wahr“ hat;
→ unerfüllbar (kontradiktorisch) wenn es mit keiner Wahrheitswertbelegung den Wert
„wahr“ hat.
Merke!
Ein tautologisches Aussagenschema ist auch stets erfüllbar.
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5.3 Wahrheitsfunktionen – Aufgaben
Bestimmen Sie den Wahrheitswert der folgenden Molekularaussagen. Welche Aussagen sind
erfüllbar, welche tautologisch und welche kontradiktorisch?
a) p ∨¬ p
b) [( p∧q)∨(¬ p∧¬q)]
c) p ∧¬ p
d) [( p→q )∨ p ]
e) ( p ∨q)→( p∧q)
f) [¬( p∨¬q)∨(¬ p→¬q)]
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5.3 Wahrheitsfunktionen – Aufgaben
Betrachten Sie die folgenden vier Karten. Ich behaupte:
Wenn die Karte auf einer Seite einen Vokal hat, dann hat sie auf der anderen Seite eine
gerade Zahl.
Welche Karten müssen Sie umdrehen um diese Behauptung zu überprüfen, wenn Sie so
wenig als möglich Karten umdrehen möchten?
A B 4 7
(Quelle: Wason, Peter C. 1968: "Reasoning about a Rule". Quarterly Journal of Experimental Psychology 20. S. 273–281. )
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