Höhere Mathematik 1 für die Fachrichtung Bauingenieurwesen

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c 2009-2017 · Markus Neher, Karlsruher Institut für Technologie
Copyright Höhere Mathematik 1
für die Fachrichtung Bauingenieurwesen
Analysis und Lineare Algebra
Skriptum zur Vorlesung im WS 2017/18 ∗
PD Dr. Markus Neher
Karlsruher Institut für Technologie
Institut für Angewandte und Numerische Mathematik
18. August 2017
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Copyright Inhaltsverzeichnis
I
Grundlagen
3
1 Grundbegriffe
1.1 Mengen
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2 Zahlenmengen: N, Z, Q, R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.1 Menge der natürlichen Zahlen: N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.2 Kommutative Gruppe der ganzen Zahlen: Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.3 Körper der rationalen Zahlen: Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.4 Vollständig geordneter Körper der reellen Zahlen: R . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3 Rechnen mit Symbolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.4 Gleichheitszeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.5 Summen und Produkte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.6 Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.7 Fakultät einer natürlichen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.8 Binomialkoeffizienten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.8.1 Eigenschaften der Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.8.2 Pascal’sches Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.9 Der binomische Lehrsatz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.10 Der Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.10.1 Eigenschaften des Betrags
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.11 Sinus und Kosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.12 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.12.1 Polardarstellung komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.12.2 Veranschaulichung der komplexen Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.13 Nullstellen von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2 Aussagenlogik und elementare Beweistechniken
27
2.1 Grundlagen der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.1.1 Die Negation (Verneinung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.1.2 Die Konjunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.1.3 Die Disjunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
iii
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2.1.4 de Morgan’sche Gesetze der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.1.5 Die Implikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.1.6 Notwendige und hinreichende Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.1.7 Die Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.2 Der indirekte Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.3 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
II Lineare Algebra
37
3 Vektoren im Rn
39
3.1 Geometrische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.1.1 Punkt-Richtung-Form einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.1.2 Punkt-Richtung-Form einer Ebene im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.1.3 Abstand im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.1.4 Normierung von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.2 Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.3 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.4 Analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.4.1 Hesse-Normalform einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.4.2 Abstand eines Punktes von einer Geraden im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.4.3 Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.4.4 Abstand eines Punktes von einer Ebene im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.4.5 Abstand zweier windschiefer Geraden im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.5 Orthogonalisierung von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.5.1 Orthogonalisierung im R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.5.2 Orthogonalisierung im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.6 Lineare Abhängigkeit
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Lineare Gleichungssysteme
52
59
4.1 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.2 Stufenform für lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.3 Lösung linearer Gleichungssysteme in Stufenform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.4 Der Gauß-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.5 Gauß-Algorithmus und lineare Abhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4.6 Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.7 Geometrische Interpretation von Lösungsmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
4.8 Praktische Lösung linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
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5 Matrizenrechnung
77
5.1 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
5.2 Inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
5.3 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
6 Das Eigenwertproblem für Matrizen
95
6.1 Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
6.2 Komplexe Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.3 Mehrfache Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.4 Eigenwerte symmetrischer Matrizen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.5 Praktische Berechnung von Eigenwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
III
Differenzialrechnung in einer Veränderlichen
7 Funktionen
109
111
7.1 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.1.1 Beschränktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.1.2 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.1.3 Periodizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.1.4 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.1.5 Verkettung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.2 Beispiele elementarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.2.1 Die Potenzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.2.2 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.2.3 Rationale Funktionen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.3 Die Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.3.1 Umkehrbarkeitskriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.4 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.5 Die Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.5.1 Umrechnung von Logarithmen mit unterschiedlichen Basen . . . . . . . . . . . 131
7.5.2 Darstellung von Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.5.3 Rechnen mit einer Logarithmentafel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.6 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.6.1 Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen
. . . . . . . . . . . . 135
7.7 Hyperbolische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.7.1 Eigenschaften der hyperbolischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.7.2 Area-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.8 Implizit definierte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
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8 Folgen
8.1 Konvergenz
143
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.1.1 Konvergenz und Beschränktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.1.2 Die geometrische Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.2 Rechenregeln für Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.3 Grenzwertberechnung durch Abschätzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.4 Der Satz von Bolzano-Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.5 Rekursiv definierte Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.6 Cauchy-Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.7 Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.8 Ausgewählte Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9 Reihen
165
9.1 Konvergenzsätze für Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.2 Absolut konvergente Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9.3 Majoranten- und Minorantenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
9.4 Wurzel- und Quotientenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
10 Der Grenzwertbegriff für Funktionen
179
10.1 Einseitige Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
10.2 Grenzwerte für x → ±∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
10.3 Rechenregeln für Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.4 Uneigentliche Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
11 Stetigkeit
189
11.1 Stetigkeit reeller Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
11.2 Einseitige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
11.3 Stetigkeit auf Intervallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
11.4 Charakterisierung von Unstetigkeitsstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
11.5 Stetige Kompositionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
11.6 Stetigkeit der elementaren Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
11.7 Eigenschaften stetiger Funktionen
12 Differenzialrechnung
12.1 Einseitige Differenzierbarkeit
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
207
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
12.2 Differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
12.3 Differenzierbare Kompositionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
12.3.1 Die Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
12.4 Ableitung der Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
12.5 Ableitung der hyperbolischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
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vii
12.6 Ableitung der trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
12.7 Ableitung der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
12.8 Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
12.9 Tragweite der Differenziationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
13 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen
223
13.1 Der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
13.2 Differenzierbarkeit an Nahtstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
13.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
13.4 Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
13.4.1 Lokale Extremwerte in inneren Punkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
13.4.2 Globale Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
13.5 Konvexe und konkave Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
13.6 Wendepunkte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
13.7 Die Regeln von de L’Hospital
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
13.7.1 Der Fall 0 · ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
13.7.2 Der Fall ∞ − ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
13.7.3 Die Fälle 00 , ∞0 , 1∞ und 1−∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
13.8 Der Satz von Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
13.8.1 Die Taylor’sche Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
14 Potenzreihen
249
14.1 Komplexwertige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
15 Parameterdarstellung ebener Kurven
15.1 Glatte Kurven
259
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
15.2 Kurvendiskussion in Parameterdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
15.3 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
15.4 Kurven in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
15.4.1 Diskussion einer Kurve in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
16 Approximation und Interpolation
277
16.1 Das Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
16.2 Approximation mit Taylor-Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
16.2.1 Praktische Berechnung elementarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
16.3 Polynom-Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
16.3.1 Interpolationsfehler der Polynom-Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
16.4 Methode der kleinsten Quadrate
Literaturverzeichnis
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
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Das vorliegende Skriptum ist mithilfe der kompetenten und engagierten Unterstützung zahlreicher Arbeitskolleginnen und Kollegen entstanden, denen ich hiermit herzlich danke.
Der Leserin/dem Leser wäre ich für Hinweise auf noch vorhandene Druckfehler oder Unklarheiten
dankbar.
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Markus Neher
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Teil I
Grundlagen
3
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Copyright Kapitel 1
Grundbegriffe
Zur Einführung werden elementare Konzepte und Begriffe aus der Schulmathematik wiederholt und
komprimiert zusammengefasst. Nach allgemeinen Mengen werden die Zahlenmengen der natürlichen,
der ganzen, der rationalen und der reellen Zahlen axiomatisch definiert und ihre charakteristischen
Eigenschaften besprochen.
Anschließend werden mathematische Symbole für Summen, Produkte, Wurzeln und einige andere
Rechenoperationen behandelt. Der binomische Lehrsatz, der Betrag, trigonometrische Funktionen,
komplexe Zahlen und eine kurze Diskussion von Nullstellen reeller Polynome schließen das Kapitel
ab.
1.1 Mengen
Die ebenso schlichte wie vielseitige Definition einer Menge gehört zu den wichtigsten Grundbegriffen
der Mathematik.
Definition 1.1 Eine Menge ist eine Zusammenfassung von unterschiedlichen Objekten. Die Objekte
heißen Elemente der Menge.
Im Allgemeinen wird eine Menge ausschließlich durch ihre Elemente definiert. Eine Struktur durch
Beziehungen der Elemente untereinander, wie z.B. eine Reihenfolge der Elemente, wird in Definition
1.1 nicht gefordert. Ist das Objekt a ein Element der Menge M , schreibt man dafür a ∈ M . Analog
bedeutet a 6∈ M , dass a kein Element von M ist.
Mengen werden entweder durch Aufzählen ihrer Elemente definiert oder durch die Beschreibung von
Eigenschaften der Elemente. Eine Menge, die nur endlich viele Elemente besitzt, heißt endliche Menge. Eine Menge mit unendlich vielen Elementen wird unendliche Menge genannt. Den Sonderfall einer
Menge ohne Elemente bezeichnet man als leere Menge. Mathematische Symbole der leeren Menge
sind ∅ und {}.
Beispiel 1.2
1. Schreibweisen von Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente:
a) M = {rot, grün, blau}
b) M = {1, 2, 3, . . . , 100}
(endliche Menge).
(endliche Menge).
c) M = {2, 4, 6, . . . , 2n, . . . }
(unendliche Menge der geraden natürlichen Zahlen).
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2. Darstellung von Mengen durch die Beschreibung von Eigenschaften der Elemente:
a) M = {a | a ist gerade natürliche Zahl} = {a : a ist gerade natürliche Zahl}
(= {2, 4, 6, . . . , 2n, . . . }).
b) Menge der Quadratzahlen:
M = {a | a = n2 , n = 1, 2, 3, . . . } = {1, 4, 9, . . . , n2 , . . . }.
c) M = {Deutsche Städte | Einwohnerzahl > 1.000.000}
(= {Berlin, Hamburg, München, Köln}).
d) M = {Berge in Deutschland | Höhe > 3.000m} = ∅.
△
Mengen lassen sich schneiden, vereinigen und miteinander vergleichen.
Definition 1.3
1. Die Menge M1 heißt Teilmenge der Menge M2 , wenn jedes Element von M1 auch zu M2 gehört.
M2 heißt dann Obermenge von M1 .
Schreibweisen: M1 ⊆ M2 , M2 ⊇ M1 .
2. Zwei Mengen M1 und M2 heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten (dann gilt
M1 ⊆ M2 und M1 ⊇ M2 ).
Schreibweise: M1 = M2 .
3. Der Durchschnitt zweier Mengen M1 und M2 wird von den gemeinsamen Elementen gebildet.
Schreibweise: M1 ∩ M2 .
Venn-Diagramm:
Falls M1 ∩ M2 = ∅ gilt, heißen M1 und M2 disjunkt.
4. Die Vereinigung zweier Mengen M1 und M2 enthält alle Elemente, die in M1 oder M2 (d.h. in
mindestens einer der beiden Mengen) liegen.
Schreibweise: M1 ∪ M2 .
Venn-Diagramm:
5. Die Differenz von M1 und M2 enthält alle Elemente von M1 , die nicht gleichzeitig zu M2 gehören.
Schreibweisen: M1 \ M2 = M1 − M2 .
Venn-Diagramm:
Beispiel 1.4 Es seien M1 = {1, 2}, M2 = {1, 2, 3, 4}, M3 = {4, 2, 1, 3}, M4 = {3, 5, 6}. Dann gilt:
1. M1 ⊆ M2 , M1 ⊆ M3 , M2 ⊆ M3 , M2 ⊇ M3 .
2. M2 = M3 .
3. M1 ∩ M4 = ∅, M2 ∩ M4 = {3}.
4. M1 ∪ M4 = {1, 2, 3, 5, 6}, M2 ∪ M3 = {1, 2, 3, 4}.
5. M2 \ M4 = {1, 2, 4}, M4 \ M2 = {5, 6}, M2 \ M1 = {3, 4}, M1 \ M2 = ∅.
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1.2 Zahlenmengen: N, Z, Q, R
Bei den hier vorgestellten Zahlenmengen sind auch Verknüpfungen der Elemente untereinander maßgeblich. Diese sind aus der Schulmathematik bekannt. Wir fassen die wichtigsten Eigenschaften zusammen.
1.2.1
Menge der natürlichen Zahlen: N
N = {1, 2, 3, . . . }.
Die Addition und die Multiplikation zweier beliebiger natürlicher Zahlen sind stets durchführbar und das
Ergebnis ist wieder eine natürliche Zahl: N ist abgeschlossen bezüglich + und ·. Die Subtraktion oder
3
die Division zweier natürlicher Zahlen sind nicht immer definiert (z.B. 3 − 5 = −2 6∈ N, 6∈ N).
2
Nimmt man zur Menge N noch die Zahl 0 hinzu, so erhält man die Zahlenmenge N0 = {0, 1, 2, 3, . . . }.
1.2.2
Kommutative Gruppe der ganzen Zahlen: Z
Z = {0, ±1, ±2, . . . }.
Unter einer Gruppe versteht man in der Mathematik eine Menge M , in der eine Operation „+“ definiert
ist, die zwei beliebigen Elementen e1 , e2 ∈ M eine Summe e3 = e1 + e2 mit e3 ∈ M zuordnet,
sodass dabei gewisse Gesetze (Assoziativgesetz (AG), Gesetz vom neutralen Element (GNE), Gesetz
vom inversen Element (GIE)) erfüllt sind. Gilt zudem noch das Kommutativgesetz (KG), spricht man
von einer kommutativen Gruppe.
Die Menge der ganzen Zahlen bildet eine kommutative Gruppe bezüglich der Addition. Es gilt:
AG:
GNE:
(x + y) + z = x + (y + z) für alle x, y, z ∈ Z.
x + 0 = x für alle x ∈ Z.
Die Zahl 0 ist neutrales Element bezüglich der Addition.
GIE:
x + (−x) = 0.
Für jedes x ∈ Z existiert ein inverses Element −x ∈ Z bezüglich der Addition.
x + y = y + x für alle x, y ∈ Z.
KG:
1.2.3
Körper der rationalen Zahlen: Q
p
q
Q = { | p, q ∈ Z, q 6= 0};
p
k·p
und
,
q
k·q
k ∈ Z \ {0}, beschreiben dieselbe Zahl.
Ein Körper ist eine Menge M , in der zwei Operationen „+“ und „·“ definiert sind, welche gewissen
Rechenregeln genügen (siehe Körperaxiome). Die Menge der rationalen Zahlen bildet einen Körper
und besitzt darüber hinaus die nachfolgend beschriebenen Eigenschaften.
1. Körperaxiome:
a) Q bildet eine kommutative Gruppe bezüglich der Addition.
b) Q \ {0} bildet eine kommutative Gruppe bezüglich der Multiplikation. Das neutrale Element
bezüglich der Multiplikation ist die Zahl 1. Das bezüglich der Multiplikation inverse Element
1
zu x ∈ Q \ {0} ist ∈ Q \ {0}.
x
c) Es gilt das Distributivgesetz (DG)
x(y + z) = xy + xz für alle x, y, z ∈ Q.
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2. Anordnungsaxiome: Rationale Zahlen (und somit auch ganze Zahlen und natürliche Zahlen)
kann man ordnen. Für zwei beliebige Zahlen x, y ∈ Q gilt genau eine der Beziehungen
x < y oder x = y oder x > y
(ausschließendes oder). Durch diese Ordnungsrelation lassen sich die rationalen Zahlen geometrisch mithilfe einer Zahlengeraden veranschaulichen.
Die Ordnungsrelation „<“ besitzt die folgenden Eigenschaften:
a) Aus x < y, y < z folgt x < z .
(Transitivität)
b) Aus x < y folgt x + z < y + z für alle z ∈ Q. (Monotonie bezüglich +)
c) Aus x < y, 0 < z folgt x · z < y · z .
(Monotonie bezüglich · )
3. Archimedisches Axiom: Zu beliebigen positiven rationalen Zahlen a und b gibt es ein n ∈ N
sodass n · a > b gilt.
4. Dichtheit: Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen gibt es keine Lücke. Zwischen x und
x+y
. Durch fortgesetzte Mittely mit x 6= y liegt stets die von x und y verschiedene Zahl z :=
2
wertbildung folgt, dass zwischen x und y sogar beliebig viele andere rationale Zahlen liegen.
z
x
x+y
2
x+z
2
z+y
2
Q
y
Abb. 1.1: Dichtheit von Q.
Für „x < y oder x = y “ (einschließendes oder) schreibt man kurz x ≤ y . Analog wird x ≥ y verwendet.
Zahlenbeispiele sind:
3 ≤ 3,
1.2.4
3 ≤ 4,
5 ≥ 4.
Vollständig geordneter Körper der reellen Zahlen: R
Auf der Zahlengeraden liegen Zahlen, die nicht
√ zu Q gehören. Beispielsweise die positive Lösung der
quadratischen Gleichung x2 = 2, welche mit 2 bezeichnet wird, liegt nicht in Q.
2
1
·
−1
0
1
√
2
2
Q
1
Abb. 1.2: Geometrische Konstruktion von
√
2.
Die Menge der rationalen Zahlen wird nun mithilfe von Intervallschachtelungen zur Menge R der reellen Zahlen vervollständigt. Für a ≤ b bezeichnet das abgeschlossene Intervall [a, b] die Menge aller
(rationalen, ab Lemma 1.7 die Menge aller reellen) Zahlen x mit a ≤ x ≤ b.
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Definition 1.5 Eine Intervallschachtelung ist eine Folge ineinandergeschachtelter Intervalle (sodass
jedes Intervall in allen vorangehenden Intervallen enthalten ist) mit rationalen Endpunkten, für welche
die Länge der Intervalle mit wachsender Anzahl beliebig klein wird.
Beispiel 1.6 Intervallschachtelung für
√
2:
[1, 2] ⊇ [1.4, 1.5] ⊇ [1.41, 1.42] ⊇ [1.414, 1.415] ⊇ · · · ∋
√
2.
△
Mithilfe des Begriffs der Intervallschachtelung wird Q so zu R erweitert, dass die Rechenregeln und die
Ordnungsrelation der rationalen Zahlen auch für R gelten und R die Zahlengerade vollständig ausfüllt:
1. Körperaxiome von R: Wie bei Q.
2. Anordnungsaxiome von R: Wie bei Q.
3. Archimedisches Axiom: Wie bei Q.
4. Stetigkeitsaxiom (neu in R, gilt nicht in Q): Jede Intervallschachtelung definiert genau eine reelle
Zahl.
Jede Eigenschaft der reeller Zahlen kann aus den obigen Axiomen hergeleitet werden. Unter anderem
lassen sich die aus der Schulmathematik bekannten Rechenregeln durch einfache logische Schlüsse
aus den Axiomen gewinnen.
Lemma 1.7 (Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen) Für beliebige reelle Zahlen x, y, z, u, v
gilt:
1. Aus x < y folgt −x > −y .
2. Aus x < y und z < 0 folgt xz > yz .
3.
x < y und x′ < y ′ ⇒ x + x′ < y + y ′ .
4. 0 ≤ x < y , 0 ≤ u < v ⇒ xu < yv .
5. x < y, xy > 0 ⇒
1
1
< .
y
x
Das Symbol ⇒ bedeutet, dass die Beziehung auf der rechten Seite des Zeichens aus der Beziehung
links des Zeichens folgt. Man beachte die in ihrer Bedeutung gleichwertigen Varianten in der Schreibweise der Voraussetzungen und Folgerungen. Folgerung 2. hätte man auch durch
x < y, z < 0 ⇒ xz > yz
ausdrücken können.
Beweis:
A2b)
von 1.: x < y ⇒ x + (−x) < y + (−x) ⇒ 0 < y − x
A2b)
⇒ 0 + (−y) < y − x + (−y) ⇒ −y < −x.
von 2.-5.: Analog.
✷
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Beispiel 1.8
1. 3 < 5 ⇒ −3 > −5.
2. 3 < 5, −2 < 0 ⇒ −6 > −10.
3. 3 < 5, 1 < 2 ⇒ 4 < 7.
4. 0 ≤ 2 < 3, 0 ≤ 4 < 5 ⇒ 8 < 15.
5. 3 < 5, 3 · 5 > 0 ⇒
1
1
< ;
5
3
1
1
−5 < −3, (−5) · (−3) > 0 ⇒ − < − .
3
5
△
1.3 Rechnen mit Symbolen
Mathematik beruht im Wesentlichen darauf, dass mit Variablen anstelle konkreter Zahlen gerechnet
wird. Dies ist in zweierlei Hinsicht fruchtbar. Zum einen erzwingt es die Beschränkung auf allgemeingültige Rechenregeln, wodurch ein sparsames und übersichtliches Axiomensystem erzeugt wird, wie
dies bei der Definition der Zahlenmengen im letzten Abschnitt geschehen ist. Die Praxis, unbekannten
Objekten Namen zu geben, gestattet darüber hinaus, diese mathematisch zu behandeln und durch
logisches Schließen zu neuen Einsichten zu gelangen.
Beide Aspekte erläutern wir anhand der Multiplikation natürlicher Zahlen. Das „kleine 1×1“ lernt man
in der Grundschule auswendig. Zusätzlich zu diesem Wissen erfordert es lediglich Distributivgesetz,
Assoziativgesetz und Kommutativgesetz, um beliebige Produkte mehrstelliger natürlicher Zahlen im
Dezimalsystem auf einige Additionen und Multiplikationen einstelliger Zahlen zurückführen. Unter Zuhilfenahme von fünf Variablen, welche beliebige Werte zwischen 0 und 9 annehmen können, beschreibt
(100a + 10b + c)(10x + y) = 10(100ax + 10bx + cx) + (100ay + 10by + cy)
das bekannte Verfahren zur Multiplikation einer dreistelligen Zahl mit einer zweistelligen Zahl. Die
Multiplikation mit Zehnerpotenzen wird dabei durch Stellenverschiebung bewerkstelligt. Effektiv zu berechnen sind nur die sechs Produkte ax, . . . , cy einstelliger Zahlen sowie die auftretenden Additionen,
welche wiederum auf Additionen einstelliger Zahlen und Überträge reduziert werden. Durch die Formulierung mit Variabeln ist sichergestellt, dass die Methode für beliebige drei- bzw. zweistellige natürliche
Zahlen anwendbar ist, ohne dass man dies für alle 899 · 89 möglichen Kombinationen einzeln nachprüfen muss.
Symbole treten in der Mathematik nicht nur in Form von Variablen auf, sondern auch zur Bezeichnung
von Zahlen. Dies beginnt bei Brüchen, die eine rationale Zahl durch das Bruchstrich-Symbol als Quotienten zweier ganzer Zahlen darstellen, und setzt sich fort bei Wurzeln, Potenzen, Logarithmen und
anderen Funktionsnamen. Die Ausdrücke
218073
,
6916
√
5 13,
sin(100)
sind Symbole, die jeweils genau eine reelle Zahl bezeichnen. Sie wurden geschaffen, um Umformungen wie
1
883
218073
+
=
,
6916
247
28
√
√
(5 13 − 18)(5 13 + 18) = 325 − 324 = 1,
sin(100) cos(90) − sin(90) cos(100) = sin(10),
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zu ermöglichen.
Diese Formeln enthalten einen hohen Abstraktionsgrad. Die wenigsten Menschen erfassen die Symbole so, dass sie spontan die Lage der Zahlen auf der Zahlengeraden eintragen könnten. Dazu sind
die Dezimalnäherungen
218073
≈ 31.53166570,
6916
√
5 13 ≈ 18.02775638,
sin(100) ≈ −0.5063656411
viel geeigneter. Es wäre jedoch nicht zweckmäßig, die obigen Umformungen mit Dezimalnäherungen
durchzuführen, da man dabei sehr viele Nachkommastellen verwenden müsste, um die Rechnung
zumindest plausibel zu machen. Ein mathematisch strenger Beweis würde sich damit ohnehin nicht
√ 2
führen lassen, denn Dezimalnäherungen können grundlegende
Regeln wie x = x verletzen. Die
√
√
auf drei Nachkommastellen genaue Approximation von 2 ist 2 ≈ 1.414, aber es gilt 1.4142 =
1.999386 ≈ 1.999 6= 2.
Die Kraft der Abstraktion und die Nützlichkeit von Symbolen werden sich uns im Folgenden immer
wieder zeigen.
1.4 Gleichheitszeichen
Das Gleichheitszeichen wird in der mathematischen Notation in unterschiedlicher Bedeutung verwendet. Üblicherweise bedeutet die Gleichung a = b, dass der Wert oder Ausdruck a auf der linken Seite
des Gleichheitszeichens mit dem Wert oder Ausdruck b auf der rechten Seite übereinstimmt. Beispiele
2
1
sind die Gleichungen 1 + 2 = 3 oder = .
2
4
Manchmal wird das Gleichheitszeichen auch im Sinne einer Wertzuweisung verwendet, wie z.B. in
x = 2, wo eine Variable x mit Wert 2 eingeführt wird, oder in π = 3.141592 . . . , wo π als Symbol für
die Kreiszahl festgelegt wird. Will man besonders betonen, dass eine Seite der Gleichung durch die
andere definiert wird, schreibt man auf der Seite, die festgelegt wird, einen Doppelpunkt neben das
Gleichheitszeichen. Beispielsweise bedeutet a + b =: c, dass für die Summe aus a und b eine neue
Variable c eingeführt wird.
Sollen zwei Werte oder Ausdrücke gleichgesetzt werden, schreibt man zur Hervorhebung über das
Gleichheitszeichen ein Ausrufezeichen. Will man die Schnittpunkte der Funktionsgraphen von f und g
mit f (x) = 2x und g(x) = x2 + 3 bestimmen, kann man dies durch
!
f (x) = g(x) ⇐⇒ 2x = x2 − 3
verdeutlichen. Das Zeichen ⇐⇒ drückt aus, dass die links und rechts davon stehenden Beziehungen
äquivalent sind.
Stehen über einem Gleichheitszeichen Satz- oder Gleichungsnummern oder eine mathematische Aussage, dann wird damit signalisiert, dass das Gleichheitszeichen durch den angegebenen Sachverhalt
begründet wird. Dieselbe Schreibweise wird auch für Ungleichungszeichen sowie für Folge- und Äquivalenzpfeile verwendet.
1.5 Summen und Produkte
Für die Summe der Zahlen a0 , a1 , . . . , an schreibt man kurz:
n
X
k=0
ak := a0 + a1 + · · · + an .
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P
heißt Summenzeichen, k Summationsindex, 0 untere Summationsgrenze, n obere Summationsgrenze. Für andere Summationsgrenzen gilt die Definition analog. Ist die obere Summationsgrenze
kleiner als die untere, besitzt die leere Summe den Wert 0.
Summen erfüllen die folgenden Rechenregeln:
1. Der Name des Summationsindex ist beliebig:
n
X
ak =
n
X
n
X
aℓ =
j=0
ℓ=0
k=0
aj = a0 + a1 + · · · + an .
2. Bei einer Indexverschiebung ändern sich die Summationsgrenzen:
n
X
n−ℓ
X
ak =
ak+ℓ =
k=j
k=−ℓ
k=0
n+j
X
ak−j = a0 + a1 + · · · + an .
3. Summen können in Teilsummen aufgespalten werden:
n
X
ak =
m
X
ak +
k=m+1
k=0
k=0
n
X
ak (m ≤ n; m, n ∈ N0 ).
4. Es gilt das Distributivgesetz für Summen:
n
X
(αak + βbk ) = α
n
X
ak + β
k=0
k=0
k=0
n
X
bk (α, β ∈ R fest).
5. Produkte von Summen können auf unterschiedliche Weisen zu Doppelsummen zusammengefasst werden:
n
X
k=0
ak
!
p
X
ℓ=0
bℓ
!
=
p
n
X
X
k=0
a k bℓ
ℓ=0
!
=
p
n
X
X
.
!
= 15.
a k bℓ
k=0
ℓ=0
!
Beispiel 1.9
1.
4
X
k=
2.
2
k =
3.
6
X
k=3
k=1
5
X
j = 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
j=1
k=1
4
X
4
X
(k − 2)2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30.
k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = (1 + 2 + 3) + (4 + 5) =
k=1
k=1
4. 3 + 5 + 7 + 9 + 11 =
5
X
k=1
5.
2
X
k=0
3
X
ak
!
1
X
ℓ=0
bℓ
!
(2k + 1) = 2
5
X
k+
k=1
5
X
k=1
k
!
+
5
X
k=4
k
1 = 2 · 15 + 5 = 35.
= (a0 + a1 + a2 )(b0 + b1 )
= a 0 b 0 + a 0 b 1 + a 1 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 0 + a 2 b1 =
2
1
X
X
k=0
= a 0 b0 + a 1 b0 + a 2 b0 + a 0 b1 + a 1 b1 + a 2 b1 =
ℓ=0
2
1
X
X
ℓ=0
k=0
a k bℓ
!
!
a k bℓ .
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Analog zu Summen werden Produkte mit dem Symbol
n
Y
k=1
3
Y
z.B.
ak := a1 · a2 · . . . · an ,
k=1
Q
beschrieben:
k 2 = 12 · 22 · 32 = 1 · 4 · 9 = 36.
1.6 Potenzen und Wurzeln
Für x ∈ R, n ∈ N definiert man:
xn := x
| · x ·{z. . . · x} .
n Faktoren
x0
Für x 6= 0 setzt man
:= 1. Der Fall
hang unterschiedlich definiert (später).
„00 “
wird als Grenzwert je nach mathematischem Zusammen-
Ist n ≥ 2 eine natürliche Zahl und a eine positive reelle Zahl, dann heißt eine positive reelle Zahl x, für
die xn = a gilt, n-te Wurzel von a:
x=
√
n
a ⇐⇒ xn = a
(a, x > 0, n ≥ 2).
√
Die Zahl unter der Wurzel heißt Radikand. Für die Quadratwurzel einer Zahl a schreibt man a statt
√
2
a. Für a = 0 ist x = 0 die einzige Lösung der Gleichung xn = a. Im Fall a < 0 und n gerade gibt es
keine reelle Zahl x mit xn = a.
Beispiel 1.10
√
9 = 3 (da 32 = 3 · 3 = 9).
p
√
(−3)2 = 9 = 3 (nicht −3!).
2.
√
3
8 = 2 (da 23 = 2 · 2 · 2 = 8).
3.
√
4. −9 ist in R nicht definiert.
1.
△
1.7 Fakultät einer natürlichen Zahl
Für n ∈ N ist n Fakultät das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen:
n! := 1 · 2 · . . . · n =
n
Y
k.
k=1
Außerdem setzt man 0! := 1.
Die Fakultät besitzt Anwendungen in der Kombinatorik. Die Zahl n! gibt die Anzahl der Möglichkeiten
an, n unterschiedliche Gegenstände in einer Reihe anzuordnen.
Beispiel 1.11
1. 1! = 1,
3! = 1 · 2 · 3 = 6,
10! = 1 · 2 · . . . · 10 = 3.628.800.
2. Es gibt 3! = 6 Möglichkeiten, die Farben rot, grün und blau anzuorden:
r-g-b, r-b-g, g-r-b, g-b-r, b-r-g, b-g-r.
△
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1.8 Binomialkoeffizienten
Für α ∈ R, k ∈ N ist der Binomialkoeffizient „α über k “ definiert durch
α(α − 1)(α − 2) · . . . · α − (k − 1)
α(α − 1)(α − 2) · . . . · (α − k + 1)
α
=
:=
1 · 2 · 3 · ... · k
k!
k
(je k Faktoren in Zähler und Nenner). Außerdem setzt man
α
0
:= 1.
Wie die Fakultät treten auch die Binomialkoeffizienten
in der Kombinatorik auf. Für natürliche Zahlen
n
n und k gibt der Binomialkoeffizient
die Anzahl der Möglichkeiten an, k Kugeln ohne Zurücklegen
k
aus einer Urne mit n unterschiedlichen Kugeln zu ziehen.
Beispiel 1.12
5
5·4·3
3
3 · 2 · 1 · 0 · (−1)
=
1.
=
= 10,
= 0,
3
5
1·2·3
1·2·3·4·5
1
1
· (− 21 )
1
2
= 2
=− .
2
1·2
8
Liegen in einer Urne 5 mit den Buchstaben a bis e beschriftete Kugeln, von denen drei gezogen
werden, und kommt es dabei nicht auf die Reihenfolge der Ziehung an, kann man die folgenden
10 unterschiedlichen Kombinationen erhalten: abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.
2. Schreibt man die Zahlen von Null bis Neun als 00, 01, . . . 09, dann gibt es
Dezimalzahlen, bei denen die erste Ziffer kleiner ist als die zweite.
10
2
= 45 zweistellige
Zur Überprüfung dieses Ergebnisses streichen wir von den hundert Zahlen 00 bis 99 die zehn
Zahlen 00, 11, . . . 99 mit zwei gleichen Ziffern. Unter den verbleibenden neunzig Zahlen tritt jede
mögliche Ziffernkombination zweimal auf, wie z.B. die Kombination von 3 und 6 in den Zahlen
36 und 63. In der Hälfte der Fälle, also bei 45 Zahlen, ist die erste Ziffer kleiner als die zweite.
3. Beim Lotto „6 aus 49“ gibt es
49
6
= 13.983.816 unterschiedliche Kombinationen. Die Wahr-
scheinlichkeit für einen Sechser im Lotto beträgt ungefähr eins zu 14 Millionen.
1.8.1
Eigenschaften der Binomialkoeffizienten
Die nachstehenden Eigenschaften folgen unmittelbar aus der Definition der Binomialkoeffizienten.
1. Für k, n ∈ N0 mit n < k gilt
n
k
= 0.
2. Berechnungsformel: Für k, n ∈ N0 und n ≥ k gilt
n!
n
.
=
k!(n − k)!
k
5·4·3
5
5!
5·4·3 ·2·1
120
=
Beispiel:
=
=
=
= 10.
3
1·2·3
1·2·3 ·1·2
3!(5 − 3)!
6·2
3. Die Berechnungsformel liefert eine Symmetrieeigenschaft: Für k, n ∈ N0 und n ≥ k gilt
n
n
=
.
k
n−k
△
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4. Additionsformel: Für α ∈ R gilt
α+1
α
α
.
=
+
k+1
k+1
k
Die Additionsformel veranschaulichen wir für den Fall α + 1 = 10, k + 1 = 4. Dazu betrachten wir
eine Urne, die zehn Kugeln mit den Zahlen
von
1 bis 10 enthält, von denen vier gezogen werden. Zu
diesem Lotto „4 aus 10“ existieren genau
10
4
= 210 verschiedene Kombinationen.
Es sei C die Menge dieser Kombinationen. Dann kann man C so in zwei disjunkte Teilmengen A und
B unterteilen, dass A die Ziehungen enthält, bei denen die Zahl 1 gezogen wurde, und B diejenigen
Ziehungen, in denen die Zahl 1 nicht auftritt. Bei den
Ziehungen in B wurden vier Kugeln aus den
9
Zahlen 2 bis 10 gezogen. Die Menge B besitzt
= 126 Elemente. Mit gleicher Begründung gibt
4
9
es
3
= 84 Elemente von A, denn die Elemente in A entsprechen gerade den Ziehungen von drei
1.8.2
Pascal’sches Dreieck
Kugeln aus den Zahlen 2 bis 10. In der Tat ist 210 = 126 + 84.
Der französische Mathematiker Blaise Pascal (1623-1662) ordnete die Binomialkoeffizienten
n
mit
k
k, n ∈ N0 so in
an, dass in der n+1-ten Zeile des Dreiecks die n+1 Binomial einem
Dreiecksschema
koeffizienten
n
,
0
n
, ...,
1
n
n
stehen. Nach der Additionsformel
n
n
n+1
+
=
k
k+1
k+1
ist dann jede Zahl im Dreieck die Summe der beiden über ihr stehenden Zahlen. Die ersten sechs
Zeilen des Pascal’schen Dreiecks lauten:
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
1.9 Der binomische Lehrsatz
Für a, b ∈ R gilt
(a + b)1 = a + b,
b
ab
b2
a
a2
ab
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 ,
(a + b)3 = (a + b)2 (a + b)
= (a2 + 2ab + b2 )(a + b)
= a3 + 2a2 b + ab2 + a2 b + 2ab2 + b3
= a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ,
(a + b)4 = (a + b)3 (a + b)
= a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 .
a
b
2
2
Abb. 1.3: (a + b) = a + 2ab + b2 .
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Mit gleicher Rechnung formt man (a + b)n für n ∈ N, n > 4 um. Auf der rechten Seite
treten dann Ter-
me an−k bk auf, deren ganzzahlige Koeffizienten mit den Binomialkoeffizienten
Allgemein gilt:
n
k
übereinstimmen.
Satz 1.13 (Binomischer Lehrsatz) Seien a, b ∈ R und n ∈ N0 und es sei 00 := 1 vereinbart. Dann
gilt:
n n 0 n X n n−k k
n n−1 1
n n 0
a
b .
a b =
a
b + ··· +
a b +
(a + b) =
k
n
1
0
n
(1.1)
k=0
Bemerkung 1.14 Die Vereinbarung 00 := 1 wird hier benötigt, damit der binomische Lehrsatz auch für
die Sonderfälle a = 0, b = 0 oder a + b = 0 gilt. Z.B. für a = 2, b = 0, n = 2 muss gelten:
4 = (2 + 0)2 = 22 00 + 2 · 21 01 + 20 02 = 4 · 00 + 0 + 0 = 4 · 00 .
✸
Beispiel 1.15 Ohne mühsames Ausmultiplizieren liest man aus der sechsten Zeile des Pascal’schen
Dreiecks ab:
(a + b)5 = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5 .
1.10
Der Betrag
Definition 1.16 Für x ∈ R heißt
|x| =
(
x für x ≥ 0,
0
x1
−x für x < 0,
(absoluter) Betrag von x. Die Zahl |x| gibt den Abstand von x zum Nullpunkt an.
1.10.1
△
|x1 |
x2
x
|x2 |
Abb. 1.4: Betrag einer reellen Zahl.
Eigenschaften des Betrags
Die nachstehenden Eigenschaften lassen sich leicht beweisen. Es wird empfohlen, die Eigenschaften
1.-6. exemplarisch für x = −2, y = 3 zu verifizieren.
1. Für alle x ∈ R gilt:
|x| ≥ x, |x| ≥ −x.
2. Für alle x, y ∈ R gilt:
|x · y| = |x| · |y|.
x |x|
.
3. Für alle x, y ∈ R mit y 6= 0 gilt: =
y
|y|
4. Sei y ≥ 0 vorgegeben. Dann gilt:
|x| ≤ y ⇐⇒ −y ≤ x ≤ y.
−y
0
Mögliche Werte von x
Abb. 1.5: Betragsungleichung.
y
R
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5. Für alle x, y ∈ R erfüllt der Betrag die
Dreiecks-Ungleichung
~x +
|x + y| ≤ |x| + |y| .
Der Name dieser Ungleichung leitet sich
aus der Eigenschaft ebener Dreiecke ab,
bei denen die längste Seite höchstens so
lang ist wie die beiden anderen Seiten zusammen.
~y
~
y
~x
Abb. 1.6: Dreiecks-Ungleichung.
6. Es gilt die umgekehrte Dreiecks-Ungleichung
|x| − |y| ≤ |x ± y| .
7. Anwendung: Gegeben seien a ∈ R, d > 0. Gesucht sind alle x ∈ R mit
|x − a| ≤ d.
Nach 4. gilt:
|x − a| ≤ d ⇐⇒ −d ≤ x − a ≤ d ⇐⇒ a − d ≤ x ≤ a + d.
Die Betragsungleichung definiert das abgeschlossene Intervall [a − d, a + d]. Im Fall |x − a| < d
erhält man das offene Intervall
(a − d, a + d) := {x ∈ R | a − d < x < a + d}.
8. Anwendung: Für x ∈ R ist
1.11
√
x2 = |x|.
Sinus und Kosinus
Schon früh in der Geschichte der Menschheit wurden Dreiecke zu Entfernungsbestimmungen und zur
Landvermessung benutzt. In der trigonometrischen∗ Grundaufgabe werden aus gegebenen Seitenlängen oder Winkeln eines Dreiecks andere Größen des Dreiecks berechnet. Dazu werden sogenannte
trigonometrische Funktionen eingeführt, die wir in diesem Abschnitt kurz vorstellen, um sie im Folgenden als Hilfsmittel verwenden zu können. Eine detaillierte Behandlung erfolgt in Abschnitt 7.6.
In einem ebenen rechtwinkligen Dreieck mit rechtem Winkel γ , gegenüberliegender Hypotenuse (längster Seite) c
und Katheten a und b gemäß Abbildung 1.7 ordnet man den
Winkeln α und β die folgenden Seitenverhältnisse zu, welche als Sinus und Kosinus bezeichnet werden:
a
sin α = cos β = ,
c
∗
b
cos α = sin β = .
c
von griechisch trigonon für Dreieck und metron für Maß
C
b
A
a
β
α
c
Abb. 1.7: Rechtwinkliges Dreieck.
B
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Da die Seitenverhältnisse bei allen ähnlichen Dreiecken dieselben sind, hängen Sinus und Kosinus nur von den Winkeln α und β , nicht aber von den realen Seitenlängen des
betrachteten Dreiecks ab. Bei einem rechtwinkligen Dreieck
kann man aus der Kenntnis von a und β etwa b durch
b=a
b
sin β
cos β
β
a
Abb. 1.8: Höhenmessung mit rechtwinkligem
berechnen.
Dreieck.
Um Sinus und Kosinus auf der Menge der reellen Zahlen zu
definieren, ersetzen wir das Winkelmaß mit der Einheit Winkelgrad durch das dimensionslose Bogenmaß. Dazu betrachten wir den Einheitskreis in der (x, y)-Ebene, welcher
durch die Gleichung
2
y
1
P = (x, y)
1
ϕ
2
x +y =1
x
−1
beschrieben wird, einen Punkt P = (x, y) auf dem Einheitskreis und den Winkel ϕ, welcher von der positiven x-Achse
gegen den Uhrzeigersinn bis zur Verbindungsstrecke von P
mit dem Ursprung gemessen wird.
y
s
1
x
−1
Abb. 1.9: Bogenmaß eines Winkels.
Definition 1.17 Die Länge s des zum Winkel ϕ gehörenden Kreisbogens auf dem Einheitskreis heißt
Bogenmaß von ϕ.
Die Umrechnung zwischen Gradmaß und Bogenmaß erfolgt nach der Beziehung
s
ϕ
=
,
2π
360
die sich aus dem Umfang des Einheitskreises von 2π ergibt. Auflösen nach s bzw. ϕ liefert
s=ϕ
π
,
180
ϕ=s
180
.
π
Häufig benötigte Werte fassen wir in der folgenden Tabelle zusammen:
ϕ
0◦
30◦
45◦
60◦
90◦
180◦
360◦
s
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
2π
Winkel und Bogenmaß eines Punktes P auf dem Einheitskreis sind nicht eindeutig bestimmt. Fügt man beliebig viele
volle Umläufe auf dem Einheitskreis hinzu, landet man wieder auf demselben Punkt.
Im Folgenden wird den trigonometrischen Funktionen das
Bogenmaß als Argument zugrundegelegt. Allerdings ist es
übersichtlicher, den Buchstaben ϕ beizubehalten und ihn
synonym für Bogenmaß und Winkelmaß zu verwenden. In
anderen Worten identifizieren wir einen Winkel mit seinem
Bogenmaß. Wenn wir vom „Winkel“ ϕ sprechen, ist das dazu äquivalente Bogenmaß gemeint.
y
1
P
ϕ
ϕ+2π
−1
1
x
−1
Abb. 1.10: Mehrdeutiges Bogenmaß.
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Der Definitionsbereich der trigonometrischen Funktionen
wird mithilfe des Einheitskreises erweitert. Man nennt die trigonometrischen Funktionen deshalb auch Kreisfunktionen.
Definition 1.18 Gegeben sei ein Punkt P auf dem Einheitskreis mit den Koordinaten (x, y). Der Punkt P , sein Lotfußpunkt auf der x-Achse und der Ursprung des Koordinatensystems bilden ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem die Hypotenuse die Länge 1 und die Katheten die Längen |x| und
|y| besitzen. Dem zwischen der positiven x-Achse und der
Hypotenuse des Dreiecks eingeschlossenen Winkel ϕ ordnet man Sinus und Kosimus wie folgt zu:
x
=x
1
y
sin ϕ := = y
1
Kosinus:
cos ϕ :=
Sinus:
y
1
ϕ
x
−1
1
1
−1
x
y
P = (x, y)
Abb. 1.11: Sinus und Kosinus für ϕ >
π
.
2
„Ankathete durch Hypotenuse“
„Gegenkathete durch Hypotenuse“
Das Vorzeichen von x und y wird berücksichtigt. Je nachdem, im welchem Quadranten der Punkt
P = (x, y) liegt, nehmen Sinus und Kosinus negative Werte an.
1.12
Komplexe Zahlen
Irrationale (nicht als ganzzahliger Bruch darstellbare, „unvernünftige“) Zahlen wurden eingeführt, um
quadratische Gleichungen wie
x2 − 2 = 0
√
zu lösen. „ 2 “ ist ein Symbol für die positive Lösung dieser Gleichung, mit dem die Grundrechenarten
Addition und Multiplikation „wie mit rationalen Zahlen “ durchgeführt werden, indem für rationale Zahlen
gültige Rechenregeln wie Assoziativ- und Distrubutivgesetz auch für reelle Zahlen postuliert werden
(siehe Abschnitt 1.2.4). Z.B. gilt
√
√
√
2 + 3 2 − (1 − 2) = 1 + 4 2,
√
√
√
(1 − 2) · (1 + 2) = 1 − ( 2)2 = 1 − 2 = −1,
√
√
√ 2
√ √
(− 2) · (− 2) = (−1) · (−1) · ( 2 · 2) = 2 = 2,
u.s.w.
In R sind aber immer noch nicht alle quadratischen Gleichungen lösbar. So besitzt beispielsweise die
Gleichung
x2 + 1 = 0
keine reelle Lösung. Wir erweitern daher R zu den komplexen Zahlen C, indem wir imaginäre („eingebildete“) Zahlen einführen. Die imaginäre Einheit „i “ wird definiert als Symbol für eine „positive Lösung“
von x2 + 1 = 0, d.h. es gilt
Wir schreiben dafür auch i =
√
−1.
i2 = −1.
Addition und Multiplikation mit i werden „wie mit den reellen Zahlen “ durchgeführt. Damit ist gemeint,
dass die Körperaxiome aus Abschnitt 1.2.3 auch für komplexe Zahlen gefordert werden. Demnach gilt
analog zu oben
2 + 3 i − (1 − i) = 1 + 4 i,
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(1 − i) · (1 + i) = 1 − i2 = 1 − (−1) = 2,
(−i) · (−i) = (−1) · (−1) · (i · i) = i2 = −1,
u.s.w.
Definition 1.19 Eine Summe der Gestalt
z = x + i y mit x, y ∈ R
heißt komplexe Zahl. x = Re z heißt Realteil von z , y = Im z heißt Imaginärteil von z .
Die komplexe Zahl z = x + i y ist durch ein Paar
(x, y) = (Re z, Im z)
zweier reeller Zahlen definiert und kann geometrisch als Punkt in der komplexen (oder auch
Gauß’schen) Zahlenebene interpretiert werden. Wegen i · 0 = 0 („übliche“ Regeln) gilt für y = 0
z = x + i · 0 = x ∈ R,
sodass R eine Teilmenge von C ist. Bei der Erweiterung von R zu C geht allerdings die Ordnungsrelation der reellen Zahlen verloren. Aus den Ordnungsaxiomen folgt für alle x ∈ R \ {0} zwingend
x2 > 0, was für die imaginäre Einheit i wegen i2 = −1 < 0 nicht erfüllt ist. Man gewinnt in C Zahlen
hinzu, kann diese aber nicht mehr der Größe nach ordnen.
Grundlegende Eigenschaften komplexer Zahlen sind wie folgt definiert:
Definition 1.20
1. Zwei komplexe Zahlen z1 = x1 + i y1 und z2 = x2 + i y2 heißen gleich, wenn x1 = x2 und
y1 = y2 gilt.
2. z := x − i y heißt die zu z = x + i y konjugiert komplexe Zahl.
3. z = i y mit y ∈ R heißt rein imaginäre Zahl.
4. Die Addition und Subtraktion wird gemäß der „üblichen“ Rechenregeln definiert:
(x1 + i y1 ) ± (x2 + i y2 ) := x1 ± x2 + i (y1 ± y2 ).
5. Für die Multiplikation setzt man analog:
(x1 + i y1 ) · (x2 + i y2 ) := x1 x2 + i (x1 y2 + y1 x2 ) + i2 y1 y2
= x1 x2 − y1 y2 + i (x1 y2 + x2 y1 ) .
|
{z
}
{z
}
|
Re(z1 ·z2 )
Im(z1 ·z2 )
6. Die Division komplexer Zahlen wird aus der Multiplikation abgeleitet. Man verwendet, dass das
Produkt einer komplexen Zahl und ihrer konjugiert komplexen Zahl reell ist,
z · z = (x + i y) · (x − i y) = x2 − i2 y 2 = x2 + y 2 ,
und stützt die komplexe Division auf die bekannte reelle Division:
z1
z1 · z2
(x1 + i y1 ) · (x2 − i y2 )
:=
=
z2
z2 · z2
x22 + y22
x 2 y1 − x 1 y2
x 1 x 2 + y 1 y2
+i
für z2 6= 0.
=
2
2
x 2 + y2
x22 + y22
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Im z
Im z
z1
y
z = x + iy
z1 + z2
x
Re z
Re z
z2
−y
z = x − iy
Abb. 1.13: Komplexe Addition.
Abb. 1.12: Gauß’sche Zahlenebene.
Beispiel 1.21 Division komplexer Zahlen.
−1 + 5 i
(2 + 3 i) · (1 + i)
2 + 2i + 3i − 3
1 5
2 + 3i
=
=
=
= − + i.
1−i
(1 − i) · (1 + i)
1 − i2
2
2 2
Man vergleiche hierzu das Beseitigen von Wurzeln im Nenner eines Bruchs nach den gleichen Regeln:
√
√
√
√
√
(2 + 3 2) · (1 + 2)
2+2 2+3 2+6
2+3 2
√ =
√
√
√
=
1− 2
(1 − 2) · (1 + 2)
1 − ( 2)2
√
√
8+5 2
=
= −8 − 5 2.
−1
△
Aus Definition 1.20 folgen weitere Rechenregeln:
1. Für alle z ∈ C ist z = z .
2. Für alle z1 , z2 ∈ C gilt
z1 ± z2 = z1 ± z2 ,
z1 · z 2 = z 1 · z2 ,
z1
z2
=
z1
.
z2
3. Real- und Imaginärteil einer komplexem Zahl z können durch z und z dargestellt werden. Es ist
1
Re z = (z + z),
2
Im z =
1
(z − z).
2i
4. Es gilt z = z ⇐⇒ Im z = 0 ⇐⇒ z ∈ R.
1.12.1
✸
Polardarstellung komplexer Zahlen
Im z
Ein Punkt in der Ebene kann eindeutig dadurch
identifiziert werden, dass man seine Entfernung
zum Ursprung und den Winkel angibt, der zwischen der Verbindungsstrecke des Punktes mit
dem Ursprung und der positiven reellen Achse
eingeschlossen wird.
Auf diese Weise erhält man die Polardarstellung
komplexer Zahlen.
y
=
|z |
ϕ
−ϕ
−y
z = x + iy
r
x
|z |
=r
Re z
z = x − iy
Abb. 1.14: Komplexe Zahl mit Betrag und Argument.
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Definition 1.22
1. Der Abstand einer komplexen Zahl z = x + i y vom Ursprung in der komplexen Ebene heißt
Betrag von z . Es ist
p
√
r = |z| =
x2 + y 2 =
z · z.
2. Das Argument von z ist gegeben durch
ϕ = arg z mit
cos ϕ =
y
x
, sin ϕ = .
r
r
Bemerkung 1.23
1. Eine komplexe Zahl z wird durch ihren Betrag r = |z| und ihr Argument ϕ = arg z eindeutig
festgelegt. Mit
x = r · cos ϕ,
y = r · sin ϕ
(siehe Abbildung 1.14) ergibt sich die Polardarstellung
z = r · (cos ϕ + i sin ϕ).
2. Die Umrechnung von kartesischen Koordinaten (Re z, Im z) in Polarkoordinaten (r, ϕ) und umgekehrt erfolgt nach den folgenden Formeln:
„⇒“ r =
p
x2 + y 2 ,
„⇐“
x
y
ϕ aus cos ϕ = , sin ϕ = ,
r
r
x = Re z = r · cos ϕ,
y = Im z = r · sin ϕ.
3. Prinzipiell ist ϕ ∈ R zugelassen. Man kann aber immer ϕ ∈ [0, 2π) wählen. Man spricht dann
vom Hauptwert des Arguments. Für (x, y) = (0, 0) ist r = 0 und ϕ beliebig.
✸
Im z
Beispiel 1.24 Es sei z = 1 + i. Dann gilt:
r
r = |z| = 12 + 12 = 2,
x
1
cos ϕ = = √ ,
r
2
1
y
sin ϕ = = √ ,
r
2
π
⇒ ϕ = +2kπ, k ∈ Z.
4
z =1+i
1
√
|=
p
|z
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ϕ
ϕ+2π
1
Re z
△
Abb. 1.15: Polardarstellung von 1 + i.
1.12.2
Veranschaulichung der komplexen Multiplikation
Sind zwei komplexe Zahlen z1 und z2 in der Polardarstellung gegeben,
z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ),
z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ),
dann gilt für ihr Produkt
z1 z2 = r1 r2 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )(cos ϕ2 + i sin ϕ2 )
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= r1 r2 cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 + i(cos ϕ1 sin ϕ2 + sin ϕ1 cos ϕ2 )
= r1 r2 cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 ) .
Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen
z1 , z2 werden die Beträge multipliziert und die
Argumente addiert. Im Spezialfall z1 = z2 = z
ergibt sich durch wiederholte Multiplikation von z
mit sich selbst zunächst
2
2
z = r cos(2ϕ) + i sin(2ϕ)
und weiter für n ∈ N
Im z
z1 z2
z2
z1
ϕ1 + ϕ2
ϕ2
Re z
ϕ1
z n = rn cos(nϕ) + i sin(nϕ) .
Abb. 1.16: Multiplikation in C.
Die Umkehrung der letzten Beziehung liefert eine Berechnungsformel für Wurzeln einer komplexen
Zahl. Ist z = r(cos ϕ + i sin ϕ) gegeben, dann ist für n ∈ N
√
ϕ
ϕ n
r cos
+ i sin
n
n
der Hauptwert der n-ten Wurzel von z . Alle weiteren n-ten Wurzeln werden durch die Moivre’sche
Formel (1.2) beschrieben. Für n ∈ N und k ∈ {1, 2, . . . , n − 1} ist
√ ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ wk = n r cos
+ i sin
(1.2)
n
n
w0 =
wegen
wkn = r cos(ϕ + 2kπ) + i sin(ϕ + 2kπ) = r(cos ϕ + i sin ϕ) = z
eine weitere n-te Wurzel von z .
Jede komplexe Zahl z 6= 0 besitzt nach (1.2) n verschiedene n-te Wurzeln, die alle den Betrag
haben und die Ecken eines regelmäßigen n-Ecks in der komplexen Ebene bilden.
p
n
|z|
Beispiel 1.25 Lage der komplexen Lösungen der Gleichungen w 3 = 1, w 3 = i und w 4 = −1.
Im z
Im z
Im z
i
w1
w1
w1
w0
w0
w0
Re z
Re z
Re z
w2
w2
w3
w2
w3 = 1
w3 = i
Abb. 1.17: Komplexe Wurzeln.
1.13
−1
w4 = −1
△
Nullstellen von Polynomen
Im Gegensatz zu R ist C algebraisch abgeschlossen: Jedes Polynom n-ten Grades mit reellen oder
komplexen Koeffizienten kann in genau n Linearfaktoren zerlegt werden. Jeder Linearfaktor enthält
genau eine Nullstelle des Polynoms.
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Satz 1.26 Es sei
pn (z) := z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 ,
a0 , . . . , an−1 ∈ C, z ∈ C
ein normiertes Polynom n-ten Grades mit führendem Koeffizienten an = 1. Dann gibt es genau n
Zahlen z1 , . . . , zn ∈ C, die nicht alle verschieden sein müssen, sodass
pn (z) = (z − z1 ) · (z − z2 ) · . . . · (z − zn ) =
n
Y
k=1
(z − zk )
(1.3)
gilt.
Satz 1.26 folgt aus dem sogenannten Fundamentalsatz der Algebra. Der Beweis erfordert mathematische Konzepte, die über die hier behandelten Inhalte hinausgehen.
Bemerkung 1.27
1. Nach Satz 1.26 besitzt ein Polynom n-ten Grades genau n (komplexe) Nullstellen, die aber nicht
paarweise verschieden sein müssen. Tritt eine Nullstelle zk in (1.3) ℓ-fach auf, heißt zk ℓ-fache
Nullstelle von pn (z).
2. Die bekannte Lösungsformel zur Berechnung der Nullstellen eines quadratischen Polynoms gilt
auch im Komplexen.
3. Auch für Polynome dritten und vierten Grades sind Lösungsformeln zur Berechnung der Nullstellen bekannt. Für Polynome vom Grad ≥ 5 kann man beweisen, dass keine allgemein gültige
Lösungsformel existiert.
4. Kennt man eine Nullstelle von pn (z), kann man diese durch Polynomdivision wie im Reellen
abdividieren.
✸
Beispiel 1.28
1. Die Nullstellen des quadratischen Polynoms
p2 (z) = z 2 + 2z + 2
sind gegeben durch
z1/2 = −1 ±
√
1 − 2 = −1 ± i.
Die Probe bestätigt:
(z + 1 + i) · (z + 1 − i) = (z + 1)2 − i2 = z 2 + 2z + 1 + 1 = z 2 + 2z + 2.
2. Wegen
z 3 = (z − 0) · (z − 0) · (z − 0)
ist z1 = 0 eine dreifache Nullstelle von p3 (z) = z 3 .
3. Gegeben sei das Polynom
p3 (z) = 3z 3 + 6z 2 − 12z − 24
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vom Grad 3. Eine Nullstelle von p3 ist z1 = 2. Durch Polynomdivision können wir p3 (z) als
Produkt eines linearen und eines quadratischen Terms ausdrücken:
3z 3 + 6z 2 − 12z − 24 = z − 2
− 3z 3 + 6z 2
12z 2 − 12z
− 12z 2 + 24z
3z 2 + 12z + 12 .
12z − 24
− 12z + 24
0
Die quadratische Gleichung
!
3 · (z 2 + 4z + 4) = 0
liefert
z2/3 = −2 ±
Insgesamt folgt
√
4 − 4 = −2.
p3 (z) = 3z 3 + 6z 2 − 12z − 24 = 3 · (z − 2) · (z + 2)2 ,
wobei z1 = 2 eine einfache und z2 = −2 eine zweifache Nullstelle von p3 (z) ist.
△
Bei Polynomen mit reellen Koeffizienten können komplexe Nullstellen nur paarweise auftreten:
Lemma 1.29 Besitzt das normierte Polynom
pn (z) = z n +
n−1
X
ak z k
k=0
nur reelle Koeffizienten, gilt also ak = ak für alle k , und ist z1 eine nicht reelle Nullstelle von pn , dann
ist auch z 1 (6= z1 ) eine Nullstelle von pn .
Beweis: Unter der Voraussetzung, dass z1 eine nicht reelle Nullstelle ist, folgt aus
pn (z 1 ) = z 1n +
n−1
X
ak z 1k = z 1n +
k=0
n−1
X
k=0
ak z 1k = z1n +
n−1
X
ak z1k
z1 Nst.
=
0 = 0,
k=0
dass z 1 ebenfalls eine Nullstelle von pn ist.
✷
Zwei Linearfaktoren mit konjugiert komplexen Nullstellen kann man zu einem quadratischen Polynom
mit reellen Koeffizienten zusammenfassen:
(z − z1 ) · (z − z 1 ) = z 2 − (z1 + z 1 ) · z + z1 · z 1 = z 2 − (2 Re z1 ) · z + |z1 |2 .
|{z}
| {z }
∈R
∈R
Aus Lemma 1.29 folgt:
Korollar 1.30
1. Jedes Polynom mit reellen Koeffizienten lässt sich als Produkt von Polynomen
ersten oder zweiten Grades mit ausschließlich reellen Koeffizienten darstellen.
2. Jedes Polynom ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten besitzt mindestens eine reelle Nullstelle.
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Beispiel 1.31 Die komplexe Faktorisierung in Linearfaktoren
z 5 + z 4 + z 3 − z 2 − 2 = (z − 1) · (z + i) · (z − i) · (z + 1 + i) · (z + 1 − i)
lässt sich durch
(z − 1) · (z + i) · (z − i) · (z + 1 + i) · (z + 1 − i) = (z − 1) · (z 2 + 1) · (z 2 + 2z + 2)
{z
} |
{z
}
|
= z2 + 1
= z 2 + 2z + 2
als reelle Faktorisierung mit quadratischen Termen schreiben.
△
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Aussagenlogik und elementare
Beweistechniken
In der Mathematik versucht man immer wieder, vorhandene Kenntnisse über einfache Sachverhalte
auf schwierigere Problemstellungen zu übertragen. Zur Formulierung der dazu notwendigen logischen
Schlussfolgerungen bedient sich die Mathematik der Aussagenlogik, von der in diesem Kapitel eine
kurze Einführung gegeben wird. Außerdem stellen wir zwei häufig verwendete Beweismethoden vor.
2.1 Grundlagen der Aussagenlogik
Zwischenmenschliche Kommunikation erfolgt häufig durch Aussagen, die als richtig oder falsch bewertet werden können. Im täglichen Leben ist der Wahrheitsgehalt einer Aussage allerdings meist
subjektiv gefärbt, wie die Beispiele
• „Mit einem anderen Kanzlerkandidaten hätten wir die Wahl gewonnen“,
• „Der Karlsruher SC gehört in die erste Liga“,
• „Du hast schöne Augen“,
• „Ich kann nichts dafür“
zeigen. Im Gegensatz dazu wird für mathematische Aussagen ein eindeutiger Wahrheitswert gefordert.
Definition 2.1 Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde mit eindeutigem Wahrheitswert (W für „wahr“,
F für „falsch“).
Beispiel 2.2
1. „Katzen sind Säugetiere“ ist eine wahre Aussage.
2. „2 ist größer als 1“ ist eine wahre Aussage.
3. „2 ist größer als 3“ ist eine falsche Aussage.
4. „Haben Sie das verstanden?“ ist keine Aussage, sondern eine Frage.
5. „Gehe nicht über Los!“ ist keine Aussage, sondern eine Aufforderung.
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6. Sätze mit subjektivem Wahrheitsgehalt sind keine Aussagen im mathematischen Sinn.
△
Durch logische Verknüpfungen von Aussagen entstehen neue Aussagen, deren Wahrheitsgehalt ausschließlich vom Wahrheitsgehalt der ursprünglichen Aussagen abhängt. Diese Abhängigkeit wird in
Wahrheitstabellen veranschaulicht.
2.1.1
Die Negation (Verneinung)
Zu einer Aussage A bezeichnet Ā oder ¬A (lies „nicht A“) die Negation (logische Verneinung). Ist A
wahr, so ist Ā falsch. Ist A falsch, so ist Ā wahr. Dies wird in der folgenden Wahrheitstabelle dargestellt:
A
Ā
W
F
F
W
¯ = A gilt.
Aus der Wahrheitstabelle kann man ablesen, dass Ā
Beispiel 2.3
1. Es sei A: Die Ampel ist rot. Dann lautet Ā: Die Ampel ist nicht rot.
Beachte: „Die Ampel ist grün“ ist nicht das logische Gegenteil der Aussage A.
2. Es sei A: x > 2. Dann lautet Ā: x ≤ 2.
Beachte: Für jedes x ∈ R ist genau eine der beiden Aussagen A und Ā richtig und die jeweils
andere Aussage falsch. Betrachtet man außerdem noch die Aussage B : x < 2, dann sind für
x = 2 sowohl A als auch B falsch. B kann daher nicht das logische Gegenteil von A sein.
3. Es sei A: Nachts sind alle Katzen grau. Dann lautet Ā: Nachts sind nicht alle Katzen grau.
Eine äquivalente Formulierung von Ā lautet: Es gibt (mindestens) eine Katze, die nachts nicht
grau ist.
Beachte: Die logische Verneinung von „für alle Elemente einer Menge gilt“ ist nicht „für kein
Element der Menge gilt“, sondern „es gibt (mindestens) ein Element der Menge, für das die
behauptete Eigenschaft nicht gilt“.
△
2.1.2
Die Konjunktion
Werden zwei Aussagen A1 und A2 mit „und“ verknüpft, so bezeichnet man dies als Konjunktion und
schreibt kurz A1 ∧ A2 . Dabei gilt folgende Wahrheitstabelle:
A1
A2
A1 ∧ A2
W
W
W
W
F
F
F
W
F
F
F
F
Die Und-Verknüpfung (Konjunktion) ist nur dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind.
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Beispiel 2.4
1. „Die Hauptstadt von Frankreich liegt an der Seine und heißt Paris“ ist wahr.
2. „Die Hauptstadt von Frankreich liegt am Rhein und an der Mosel“ ist falsch.
3. „Die Hauptstadt von Frankreich liegt am Rhein und an der Seine“ ist falsch.
4. (1 < 2) ∧ (2 < 3) ist wahr.
5. (4 < 1) ∧ (4 < 2) ist falsch.
6. (1 < 2) ∧ (4 < 2) ist falsch.
2.1.3
△
Die Disjunktion
Mit Disjunktion bezeichnet man die Verknüpfung zweier Aussagen A1 und A2 mit „oder“ und schreibt
dafür kurz A1 ∨ A2 . Es gilt folgende Wahrheitstabelle:
A1
A2
A1 ∨ A2
W
W
W
W
F
W
F
W
W
F
F
F
Die Oder-Verknüpfung (Disjunktion) ist wahr, wenn mindestens eine der verknüpften Aussagen wahr
ist. Beachte: Es handelt sich hierbei nicht um entweder-oder !
Beispiel 2.5
1. „Die Hauptstadt von Frankreich liegt an der Seine oder sie heißt Paris“ ist wahr (kein entwederoder).
2. „Die Hauptstadt von Frankreich liegt am Rhein oder an der Mosel“ ist falsch.
3. „Die Hauptstadt von Frankreich liegt am Rhein oder an der Seine“ ist wahr.
4. (1 < 2) ∨ (2 < 3) ist wahr.
5. (4 < 1) ∨ (4 < 2) ist falsch.
6. (1 < 2) ∨ (4 < 2) ist wahr.
2.1.4
△
de Morgan’sche Gesetze der Aussagenlogik
Die de Morgan’schen Gesetze regeln die Verneinung von Konjunktionen und Disjunktionen.
Satz 2.6 Für den Wahrheitswert der aus zwei Aussagen A1 und A2 wie folgt verknüpften Gesamtaussage gilt:
1. A1 ∧ A2 = Ā1 ∨ Ā2 .
2. A1 ∨ A2 = Ā1 ∧ Ā2 .
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Beweis: Von 1.:
A1
A2
A1 ∧ A2
A1 ∧ A2
Ā1
Ā2
Ā1 ∨ Ā2
W
W
W
F
F
F
F
W
F
F
W
F
W
W
F
W
F
W
W
F
W
F
F
F
W
W
W
W
Von 2.: Analog.
✷
Beispiel 2.7
1. Das logische Gegenteil der falschen Behauptung „Die Hauptstadt von Frankreich liegt am Rhein
und an der Mosel“ lautet „Die Hauptstadt von Frankreich liegt nicht am Rhein oder nicht an der
Mosel“. Diese Aussage ist wahr.
2. Das logische Gegenteil der wahren Feststellung „Die Hauptstadt von Frankreich liegt am Rhein
oder an der Seine“ ist die falsche Aussage „Die Hauptstadt von Frankreich liegt weder am Rhein
noch an der Seine“.
3. (1 < 2) ∧ (4 < 2) = (1 ≥ 2) ∨ (4 ≥ 2) ist wahr.
4. (1 < 2) ∨ (4 < 2) = (1 ≥ 2) ∧ (4 ≥ 2) ist falsch.
2.1.5
△
Die Implikation
Konditionalsätze, „wenn – dann“-Aussagen, stellen nicht nur beim Erlernen der englischen Sprache
eine hohe Hürde dar. Sie sind auch die schwierigste Art und Weise, zwei Aussagen zu verknüpfen,
wenn es darum geht, den Wahrheitswert der Gesamtaussage zu bestimmen. Wir stellen einen Auszug
aus Lewis Caroll’s „Alice in Wonderland“ voran, welcher die Problematik ebenso subtil wie humorvoll
beleuchtet.
“Then you should say what you mean,” the March Hare went on.
“I do,” Alice hastily replied; “at least – at least I mean what I say – that’s the same thing,
you know.”
“Not the same thing a bit!” said the Hatter. “You might just as well say that ’I see what I eat’
is the same thing as ’I eat what I see’!”
“You might just as well say,” added the March Hare, “that I like what I get’ is the same thing
as ’I get what I like’!”
“You might just as well say,” added the Dormouse∗ , which seemed to be talking in its sleep,
“that ’I breathe when I sleep’ is the same thing as ’I sleep when I breathe’!”
“It is the same thing with you,” said the Hatter, and here the conversation dropped, and the
party sat silent for a minute.
Lewis Caroll demonstriert hier, dass die Verknüpfungen „wenn A1 – dann A2 “ und „wenn A2 – dann
A1 “ nicht dasselbe ausdrücken. Wir gehen einen Schritt weiter und erarbeiten die Wahrheitstabelle
der Implikation A1 ⇒ A2 („wenn A1 – dann A2 “ bzw. „aus A1 folgt A2 “) am Beispiel der politischen
Willenserklärung
∗
Siebenschläfer
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„Ich unterschreibe keinen Koalitionsvertrag, in dem die PKW-Maut nicht drinsteht.“
In mathematischer Sprechweise würde man dies durch
„Wenn die PKW-Maut nicht im Koalitionsvertrag steht, unterschreibe ich den Koalitionsvertrag nicht.“
mit den Teilaussagen
A1 : „Die PKW-Maut steht nicht im Koalitionsvertrag.“,
A2 : „Ich unterschreibe den Koalitionsvertrag nicht.“
ausdrücken. Dann ist die Gesamtaussage A1 ⇒ A2 wahr (der Politiker hat seine Wähler nicht getäuscht), wenn
• die PKW-Maut nicht im Koalitionsvertrag steht (A1 ist wahr) und er den Vertrag nicht unterschreibt (A2 ist wahr),
• die PKW-Maut im Koalitionsvertrag steht (A1 ist falsch) und er den Vertrag unterschreibt (A2 ist
falsch), oder
• die PKW-Maut im Koalitionsvertrag steht (A1 ist falsch) und er den Vertrag trotzdem nicht unterschreibt (A2 ist wahr).
Die Gesamtaussage ist nur falsch (der Politiker hat sein Wahlversprechen gebrochen), wenn die PKWMaut nicht im Koalitionsvertrag steht (A1 ist wahr) und er dennoch den Vertrag unterschreibt (A2 ist
falsch). Somit gilt für die Implikation die folgende Wahrheitstabelle:
A1
A2
A1 ⇒ A2
W
W
W
W
F
F
F
W
W
F
F
W
Man beachte, dass die Implikation A1 ⇒ A2 immer wahr ist, wenn A1 falsch ist. Auf den Wahrheitsgehalt von A2 kommt es dabei nicht an. In der Praxis entspricht dies der Erfahrungstatsache, dass
Schlussfolgerungen, die aus einer fehlerhaften Annahme gezogen werden, falsch sein können.
Das Beispiel aus der Politik kann man noch weiterführen. Wie hätte der Politiker auf die doppelte
Verneinung verzichten können, um dasselbe auszudrücken? Der Ansatz Ā1 ⇒ Ā2 liefert nicht das
Richtige. Die Aussage Ā1 ⇒ Ā2 lautet in diesem Beispiel
„Wenn die PKW-Maut im Koalitionsvertrag steht, unterschreibe ich den Koalitionsvertrag.“
Die so formulierte Aussage würde man nicht als falsch werten, wenn der Politiker den Koalitionsvertrag
auch unterschreibt, ohne dass die PKW-Maut darin erwähnt wird. Daher kann sie nicht äquivalent zur
ursprünglichen Aussage sein.
Will man die Teilaussagen einer Implikation unter Einhaltung des Wahrheitsgehalts der Gesamtaussage verneinen, muss man die Reihenfolge der Teilaussagen vertauschen. Die Implikationen A1 ⇒ A2
und Ā2 ⇒ Ā1 besitzen die gleiche Wahrheitstabelle.
Im Beispiel lautet Ā2 ⇒ Ā1
„Wenn ich den Koalitionsvertrag unterschreibe, steht die PKW-Maut darin.“
Wie die ursprünglichen Aussage ist diese Gesamtaussage nur falsch, wenn die PKW-Maut nicht im
Koalitionsvertrag steht (Ā1 ist falsch, also A1 wahr) und der Politiker dennoch den Vertrag unterschreibt
(Ā2 ist wahr, also A2 falsch).
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2.1.6
Notwendige und hinreichende Bedingungen
Viele mathematische Sätze werden als Implikation A1 ⇒ A2 formuliert. Im Beweis eines solchen Satzes wird die Aussage A1 durch logisches Schließen so lange umgeformt, bis man die Aussage A2
erhält. Wenn man dabei keinen Fehler begeht, ist die Gesamtaussage A1 ⇒ A2 wahr. Die Wahrheitstabelle der Implikation erlaubt dann gewisse Schlussfolgerungen vom Wahrheitswert einer Teilaussage
auf den Wahrheitswert der anderen:
1. Ist die Aussage A1 eine bekannte wahre Tatsache, dann ist auch die Aussage A2 wahr: A1 ist
eine hinreichende Erklärung für A2 .
2. Die Aussage A2 muss wahr sein, damit A1 wahr sein kann: A2 ist notwendig für A1 . Falls A2
falsch ist, gilt dies auch für A1 .
Definition 2.8 Gilt für die Aussagen A1 und A2 die Implikation A1 ⇒ A2 , so heißt A1 hinreichend für
A2 und A2 heißt notwendig für A1 .
Man kann dies auch so ausdrücken: A1 ist hinreichend für A2 bzw. A2 notwendig für A1 , wenn aus
der wahren Aussage A1 durch logisches Schließen folgt, dass dann auch A2 wahr ist.
Beispiel 2.9
1. Um den deutschen Bundestag wählen zu dürfen (A1 ), muss man volljährig sein (A2 ): Volljährigkeit ist eine notwendige Voraussetzung. Steht eine Person im Wählerverzeichnis, ist dies eine
hinreichende Erklärung für ihre Volljährigkeit (A1 ⇒ A2 ).
Volljährigkeit allein ist jedoch nicht hinreichend für die Wahlberechtigung, die zusätzlich die deutsche Staatsbürgerschaft voraussetzt (A2 ⇒ A1 gilt nicht). Ebenso benötigt man keine Wahlberechtigung, um volljährig zu sein.
2. In der obigen Erklärung des Politikers ist die PKW-Maut im Koalitionsvertrag eine notwendige
Bedingung für seine Unterschrift. Umgekehrt ist die Unterschrift eine hinreichende Erklärung
dafür, dass die PKW-Maut im Koalitionsvertrag steht.
△
2.1.7
Die Äquivalenz
Gilt für zwei Aussagen A1 und A2 sowohl A1 ⇒ A2 als auch A2 ⇒ A1 , dann heißen die Aussagen
A1 und A2 äquivalent. Man schreibt dafür A1 ⇐⇒ A2 („A1 genau dann wenn A2 “). Äquivalenz
bedeutet, dass die beiden Aussagen gegenseitig notwendig und hinreichend sind.
Beispiel 2.10 Die Aussagen A1 : „Die Zahl n ist gerade“ und A2 : „Die Zahl n besitzt die Darstellung
n = 2 · k mit einer natürlichen Zahl k “ sind äquivalente Formulierungen desselben Sachverhalts. △
Die Gesamtaussage A1 ⇐⇒ A2 ist wahr, wenn entweder beide Aussagen wahr oder beide Aussagen
falsch sind. Dies wird in der folgenden Wahrheitstabelle festgelegt:
A1
A2
A1 ⇐⇒ A2
W
W
W
W
F
F
F
W
F
F
F
W
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2.2 Der indirekte Beweis
Die Methode des indirekten Beweises verwendet man vorzugsweise dann, wenn eine Aussage A auf
direktem Weg schwer zu beweisen ist. Die Idee des indirekten Beweises besteht darin, die Aussage A
zu Ā zu negieren und zu zeigen, dass Ā falsch ist.
Der indirekte Beweis wird häufig angewendet, um zu zeigen, dass alle Elemente einer Menge eine
gewisse Eigenschaft besitzen. Beim direkten Beweis müsste man die behauptete Eigenschaft für jedes Element nachweisen. Beim indirekten Beweis nimmt man an, dass es ein Element gibt, das die
Eigenschaft nicht besitzt, und konstruiert daraus einen Widerspruch zu einer bekannten Tatsache. Wir
illustrieren dies an zwei Beispielen.
Lemma 2.11 Es sei a ∈ N und a2 sei gerade. Dann ist a gerade.
Beweis (indirekt): Annahme: Es gibt eine ungerade natürliche Zahl a, für die a2 gerade ist (dies ist die
Negation der Aussage des Lemmas). Dann existiert eine natürliche Zahl n, sodass a = 2n − 1 gilt,
und es folgt
a2 = (2n − 1)2 = |{z}
4n2 − |{z}
4n +1.
gerade
gerade
Damit ist a2 ist im Widerspruch zur Annahme ungerade. Die Annahme ist also falsch und somit die
Aussage des Lemmas richtig.
✷
Satz 2.12 Es gibt keine rationale Zahl, die den Wert
√
2 besitzt.
√
√
Beweis (indirekt): Annahme: Die Zahl 2 ist rational. Dann gibt es natürliche Zahlen p und q mit 2 =
p
. OBdA (ohne Beschränkung der Allgemeinheit, d.h. ohne Beschränkung der Allgemeingültigkeit des
q
Beweises) dürfen p und q als teilerfremd angenommen werden, da man den Bruch sonst kürzen kann.
Durch Quadrieren folgt
2=
p2
⇐⇒ p2 = 2q 2 .
q2
Die Zahl p2 ist also gerade, und somit auch p selbst gemäß Lemma 2.11. Setzt man p = 2r für ein
r ∈ N, folgt weiter
2q 2 = (2r)2 = 4r2 ⇐⇒ q 2 = 2r2 .
Also ist auch q 2 gerade, und nach Lemma 2.11 muss dann auch q gerade sein. Sind p und q aber
beide gerade, dann sind sie nicht√teilerfremd. Daher muss die obige Annahme falsch sein, sodass die
✷
Aussage des Satzes richtig und 2 irrational ist.
2.3 Vollständige Induktion
Eine zu beweisende Aussage An , in der eine natürliche Zahl n als Parameter auftritt, kann man formal
als unendlich viele Aussagen auffassen, die alle bewiesen werden sollen. Die Idee der vollständigen
Induktion besteht darin, die gegebene Aussage im ersten Beweisschritt für n = 1 zu beweisen und in
einem zweiten Beweisschritt zu zeigen, dass die Behauptung auch für den Parameterwert n + 1 gilt,
wenn sie für den (nun beliebig gewählten) Parameterwert n richtig ist. Man schließt – ohne dies im
Einzelnen auszuführen – von A1 auf A2 , von A2 auf A3 , von A3 auf A4 , u.s.w.
Gegeben sei eine von n ∈ N abhängige Aussage An . Der Beweis durch vollständige Induktion gliedert
sich in die zwei Schritte
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1. Induktionsanfang: Man beweist die Aussage A1 (An für n = 1).
2. Induktionsschritt:
a) Induktionsvoraussetzung: Es wird vorausgesetzt, dass An für einen beliebigen, fest gewählten Wert von n richtig ist.
b) Induktionsschluss: Es wird gezeigt, dass dann auch An+1 richtig ist.
Beispiel 2.13
Behauptung: Für alle n ∈ N gilt die Summenformel
n
X
k=1
1
k = n(n + 1).
2
n
n +1
Abb. 2.1: Summenformel.
Beweis durch vollständige Induktion:
IA:
n = 1:
1
X
k=1=
k=1
IV:
n
X
k=1
1
· 1 · (1 + 1), d.h. die Aussage ist wahr für n = 1.
2
1
k = n(n + 1) gelte für ein (beliebiges, aber fest gewähltes) n ∈ N.
2
IS (An y An+1 ): Zu zeigen ist:
n+1
X
k=1
Beweis:
n+1
X
k=1
1
k = (n + 1)(n + 2).
2
n
X
IV 1
k + (n + 1) = n(n + 1) + (n + 1)
2
k=1
1
1
= (n + 1) n + 1 = (n + 1)(n + 2).
2
2
k=
✷
Beispiel 2.14 Behauptung: Für h ≥ −1 und alle n ∈ N gilt die Bernoulli’sche Ungleichung
(1 + h)n ≥ 1 + nh.
(2.1)
Im Fall h > 0 folgt die Bernoulli’sche Ungleichung sofort aus dem binomischen Lehrsatz, denn dann
sind alle Summanden in (1.1) positiv. Für h = 0 oder h = −1 ist die Behauptung ebenfalls offensichtlich richtig. Schwierig zu zeigen ist nur der Fall h ∈ (−1, 0). Der folgende Induktionsbeweis ist für alle
h ≥ −1 gültig.
Beweis durch vollständige Induktion:
IA: n = 1: Es ist (1 + h)1 = 1 + h = 1 + 1 · h. Die Aussage A1 : (1 + h)1 ≥ 1 + 1 · h ist also
wahr (denn ≥ trifft zu, wenn > oder = gilt).
Die Behauptung (1 + h)n ≥ 1 + nh gelte für ein (beliebiges, aber fest gewähltes) n ∈ N und
h ≥ −1.
IV:
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IS (n y n + 1): Zu zeigen ist: (1 + h)n+1 ≥ 1 + (n + 1)h für h ≥ −1.
Beweis: Für h ≥ −1 ist 1 + h ≥ 0. Multipliziert man eine Ungleichung mit (1 + h), ändert das
Ungleichheitszeichen seine Richtung nicht. Daher gilt:
IV
(1 + h)n+1 = (1 + h)n (1 + h) ≥ (1 + nh)(1 + h)
= 1 + (n + 1)h + |{z}
nh2 ≥ 1 + (n + 1)h.
✷
≥0
Wenn eine Behauptung An für alle n ≥ p mit n , p ∈ Z gezeigt werden soll, wird der Induktionsschritt
genauso durchgeführt. Im Induktionsanfang beweist man dann die Aussage Ap .